Enkel linjär regression
|
|
- Torbjörn Forsberg
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Ekel ljär regresso Ekel ljär regresso Kap Ekel ljär regressosmodell: = β + β + ε Sstematsk del Stokastsk (slumpmässg) del där är beroede varabel, de varabel som v vll förklara eller predktera De kallas äve resposvarabel är oberoede varabel, äve kallad förklargsvarabel ε är felterm (störgsterm), de stokastska dele modelle, dvs de eda källa tll slumpmässghet β är ljes tercept, dvs där lje skär -ael β är ljes lutg Iledade eempel (scatterplot) E scatterplot som vsar par av observatoer Scatterplot of Advertsg Epedtures () ad Sales () reklamkostade på -ael ad försäljg på - ael Notera: Större (mdre) försäljgsffror verkar vara assoserade med större (mdre) reklamkostader Advertsg Puktera verkar vara fördelade rut e lje med postv lutg Puktera är lgger te eakt på lje Scatterplotte vsar ett mer eller mdre stark tedes och te ett eakt ljärt sambad Lje represeterar de geomsttlga relatoe mella försäljg och reklamkostader Sales β = Itercept Ekel ljär regresso (forts) ε { } } β = Lutg E[]=β + β De ekla ljära regressosmodelle asätter ett eakt ljärt sambad mella vätevärdet (eller geomsttlga värdet) på, de beroede varabel, och, de obereode varabel: E[ ]=β + β Det faktska observerade värdet på skljer sg frå vätevärdet med ett slumpmässgt fel: = E[ ] + ε = β + β + ε 5 Fler eempel Ekel ljär regresso (forts ) Tolkg av modelle: De sstematska dele av modelle, β + β, är det betgade vätevärdet av, gvet, E[ ] Detta är ekvatoe för lje β är det förvätade värdet på då är oll E: Om reklamkostade är oll är de geomsttlga försäljge 5 eheter β är hur mcket geomstt ökar (mskar) då -varabel ökar med e ehet E: Om reklamkostade är ökar med e ehet (t e kr) så ökar försäljge geomstt med eheter 6
2 le (atagade) Msta-kvadratmetode (forts) Relatoe mella och är ljär Värdea på varabel atas fa (ej stokastska); det eda slumpmässga värdea på kommer frå felterme ε ε ~ N(,σ) och oberoede Se äve fgur 6 s 5 Aderso Atagade E[]=β + β Normalfördelade feltermer, cetrerade på regressoslje och med lka stor varas 7 ˆ observato ˆ = b + b de skattade regressoslje Resdual e = ˆ { ˆ predkterat värde på för Skattg av modelle Skattg av modelle (de ljära relatoe) ebär att skatta värdet på terceptet och lutge på regressoslje De skattade regressosekvatoe: = b + b + e där b är ett estmat (skattg) av terceptet, β b är ett estmat av lutge, β e är observerade feltermer så kallade resdualer, dvs skllade mella de skattade regressoslje ŷ = b + b och de puktera ŷ kallas -hatt 8 Låt oss jämföra två ljer: 5 (,) Msta-kvadratmetode (forts) (,) (,5) (,) Summa av kvadrerade resdualer = ( - ) + ( - ) + (5 - ) + ( - ) = 689 Summa av kvadrerade resdualer = ( -5) + ( - 5) + (5-5) + ( - 5) = 99 Ju mdre kvadratsumma är desto bättre apassar lje tll data Msta-kvadratmetode (Method of Least Squares) MK-estmatorera Msta-kvadratmetode är e specell metod för att skatta Parametrara modelle Med msta-kvadrat metode väljs de skattade parametrara så att summa av resdualera kvadrat mmeras Data Resdualer b = b b = ( )( ) = ( ) ( )( ) ( ) Summa av kvadratera av resdualera mmeras 9
3 Eempel: Markadsadel Eempel: Markadsadel (SPSS-utskrft) Varables Etered/Removed b Varables Varables Etered Removed Method a, Eter a All requested varables etered b Depedet Varable: Summar Korrelato Korrelatoe mella, &, är ett mått på ljärt sambad Populatoes korrelato ρ, är mella - & Adjusted Std Error of R R Square R Square the Estmate,96a,9,95,995 a Predctors: (Costat), Squares df Mea Square F Sg Regresso 8, 8, 9,55, a Resdual,899,99 Total 9, a Predctors: (Costat), ρ = perfekt ljärt sambad som är egatvt -< ρ < egatvt sambad ρ = get ljärt sambad < ρ < postvt sambad ρ = perfekt ljärt sambad som är postvt b Depedet Varable: Coeffcets a b och b Ustadardzed Stadardzed Coeffcets Coeffcets B Std Error Beta t Sg (Costat) -,57,97 -,8,9,87,6,96,8, Notera: Om ρ <, β < Om ρ =, β = Om ρ >, β > a Depedet Varable: 7 Eempel: Markadsadel (Mtab-utskrft) Korrelato (forts) r = - r = r = Utskrft frå Mtab The regresso equato s = -,6 +,87 b och b Predctor Coef SE Coef T P Costat -,566,97 -,5,9 r = - 8 r = r = 8,866,6,8, S =,995 R-Sq = 9,% R-Sq(adj) = 9,5% 5 8
4 Korrelato (forts) Eempel: Markadadel (SPSS-utskrft) r = där s = ( )( ) s s ( ), s = ( ) Varables Etered/Removed b Varables Varables Etered Removed Method a, Eter a All requested varables etered b Depedet Varable: Summar Adjusted Std Error of R R Square R Square the Estmate,96a,9,95,995 a Predctors: (Costat), S Squares df Mea Square F Sg Regresso 8, 8, 9,55, a Resdual,899,99 Total 9, a Predctors: (Costat), b Depedet Varable: SSE MSE Coeffcets a 9 Ustadardzed Stadardzed Coeffcets Coeffcets B Std Error Beta t Sg (Costat) -,57,97 -,8,9,87,6,96,8, a Depedet Varable: Total varas och varase för felterme Hur bra är modelle? Förklargsgrade (coeffcet of determato), R, är ett mått som beskrver strka på regressossambadet, ett mått på hur väl regressoslje passar data Vad du ser är du tttar på de totala varatoe för, är varase för Vad du ser är du tttar lägs med regressoslje, är feltermsvarase (error varace) dvs σ $ { Ueplaed Devato Devato Eplaed Devato {}Total ( ) = ( ˆ) + Total = Ueplaed Devato Devato (Error) ( ) =( ˆ) +( ˆ ) SST = SSE + SSR R = SSR = SSE SST SST ( ˆ ) Eplaed Devato (Regresso) Procet av totala varatoe som förklaras av regressoe Adel som förklaras av regressoe σ är oftast okäd och måste skattas frå vårt stckprov σ skattas med S = MSE = SSE/(-) = = ( ˆ ) /(-) Frhetsgrader, Df (degrees of freedom) SSE = Squares of Error MSE = Mea Square of Error Totala varatoe för Oförklarad varato
5 Förklargsgrad, R Stadard errors (stadardavvkelsera för estmatorera) Dessa aväds för kostrukto av kofdestervall och hpotestest för parametera β och β r = r =5 r =9 Oftast är det te så tressat att pröva hpoteser etc för terceptet uta bara för lutgsparameter V behöver alltså bara käa tll att SST SSE SST SSE SSR S S E SST SSR s b = MSE ( ) 5 8 Eempel: Markadsadel (SPSS-utskrft) Eempel: Markadsadel (SPSS-utskrft) Varables Etered/Removed b Varables Varables Etered Removed Method a, Eter a All requested varables etered b Depedet Varable: Summar Varables Etered/Removed b Varables Varables Etered Removed Method a, Eter a All requested varables etered b Depedet Varable: Summar Adjusted Std Error of R R Square R Square the Estmate,96a,9,95,995 Predctors: (Costat), a R =9,% Adjusted Std Error of R R Square R Square the Estmate,96a,9,95,995 Predctors: (Costat), a Regresso Resdual Total Squares df Mea Square F Sg 8, 8, 9,55, a,899,99 9, Regresso Resdual Total Squares df Mea Square F Sg 8, 8, 9,55, a,899,99 9, a Predctors: (Costat), a Predctors: (Costat), b Depedet Varable: b Depedet Varable: Coeffcets a Coeffcets a (Costat) Ustadardzed Stadardzed Coeffcets Coeffcets B Std Error Beta t Sg -,57,97 -,8,9,87,6,96,8, (Costat) Ustadardzed Stadardzed Coeffcets Coeffcets B Std Error Beta t Sg -,57,97 -,8,9,87,6,96,8, s b a Depedet Varable: 6 a Depedet Varable: 9 Eempel: Markdsadel ( Mtab-utskrft) Eempel: Markadsadel (Mtab-utskrft) Utskrft frå Mtab The regresso equato s = -,6 +,87 Predctor Coef SE Coef T P Costat -,566,97 -,5,9,866,6,8, S =,995 R-Sq = 9,% R-Sq(adj) = 9,5% Utskrft frå Mtab The regresso equato s = -,6 +,87 s b Predctor Coef SE Coef T P Costat -,566,97 -,5,9,866,6,8, S =,995 R-Sq = 9,% R-Sq(adj) = 9,5% R =9,% 7 5
6 Kofdestervall för lutgsparameter β Ett (-α)%-gt kofdestervall för β : b ± t( a /, ) sb Estmato och predkto Kap 6--7 Markadele: t-test av H :β = (SPSS) Predkto Varables Etered/Removed b Varables Varables Etered Removed Method a, Eter a All requested varables etered b Depedet Varable: Summar Adjusted Std Error of R R Square R Square the Estmate,96a,9,95,995 a Predctors: (Costat), Squares df Mea Square F Sg Regresso 8, 8, 9,55, a Resdual,899,99 Total 9, a Predctors: (Costat), b Depedet Varable: Coeffcets a Ustadardzed Stadardzed Coeffcets Coeffcets B Std Error Beta t Sg (Costat) -,57,97 -,8,9,87,6,96,8, a Depedet Varable: T obs och p-värdet Puktestmato (puktpredkto) Ett puktestmat av för ett vsst gvet värde på, säg p, som fås av att sätta värdet på, dvs p, de skattade regressosekvatoe Puktestmatet beteckas boke p 5 Eempel: Markadsadel ( Mtab-utskrft) Utskrft frå Mtab The regresso equato s = -,6 +,87 Predctor Coef SE Coef T P Costat -,566,97 -,5,9,866,6,8, S =,995 R-Sq = 9,% R-Sq(adj) = 9,5% T obs och p-värdet Predktostervall och kofdestervall Predktostervall För ett observato på gvet ett vsst värde på, säg p Beteckas boke p Osäkerhete skattge av regressolje Varatoe rut regressoslje 6 6
7 Kofdestervall för E( p ) Kofdestervall För vätevärdet för gvet ett vsst värde på, säg p, dvs för E( p ) Beteckas boke E( p ) Osäkerhete (varatoe) skattge av regressolje Ett (-α)%-gt kofdestervall för E( p ): ˆ ± t p ( α/, ) s ( p ) + ( ) = där ˆ + p = b b p 7 Kofdestervall för E( p ) Predktostervall för p Övre gräs för lutge Regressoslje Nedre gräs för lutge Övre gräs för terceptet Regressoslje Nedre gräs för terceptet Regresso lje Kofdesbad för E[ p ] Regressoslje Predktosbad för p ) Osäkerhet om lutge ) Osäkerhet om terceptet ) Varato rut lje + osäkerhet om lje, dvs ) och ) Predktostervall för 8 Kofdestervall för E( p ) (forts) Predktostervall för : Kofdetervall för E( p ) Kofdestervall för E( p ) Regressoslje Ett (-α)%-gt predktostervall för : ( p ) ˆ ± + + p t( α/, ) s ( ) = där ˆ = b + b p p 9 7
8 Eempel: Markadsadel lkotroll Utskrft frå Mtab Resduals Resduals Predcted Values for New Observatos Kofdestervall New Obs Ft SE Ft 95,% CI 95,% PI 6,75,98 (5,6; 6,9) (,988; 8,56) Predkto Values of Predctors for New Observatos Predktostervall New Obs 5, p Homoscedastct: Resdualera verkar helt slumpmässga Atagadea verkar uppfllda Resduals or $ Tme Resdualera uppvsar e ljär tred med tde or $ Heteroscedastct: Resdualvarase ädras är ädras Resduals or $ Ett kurvgt möster resdualera som beror på ett uderlggade cke-ljärt sambad 6 Normalfördelgsatagadet lkotroll (Resdualaals) Kap 8 & Hstogram över resdualera Lkar det e ormalfördelg? eller Normal Probablt Plot (se ästkommade blder för eempel) Lgger puktera på lje? 7 lkotroll Kotrollera att modellatagade är uppfllda geom att ttta på resdualplottar Atagade att kolla: Ljärt sambad Feltermera, ε, är oberoede och ormalfördelade med vätevärde och kostat varas, σ Normal Probablt Plot Normal Problt Plot: Alla pukter bör lgga på lje för att feltermera ska vara ormalfördelade 5 Tjockare svasar ä ormalfördelge 8 8
9 Eempel: Markadsadel Resduals Versus the Ftted Values (respose s ) Resduals Versus (respose s ) Resdual Resdual Ftted Value Normal Probablt Plot of the Resduals (respose s ) Hstogram of the Resduals (respose s ) Normal Score Frequec - - Smalare svasar ä ormalfördelge 9 - Resdual -, -,5,,5, Resdual,5, 5 Utelggare och fltelserka varabler Skattad regressoslje uta utelggare Skattad regressoslje med utelggare * Utelggare Iget sambad blad dessa pukter Pukt med ett stor värde på * Skattad regressoslje med alla observatoer kluderade Mer postvt skev ä ormalfördelge 5 Utelggare Ifltelserka observatoer 5 Mer egatvt skev ä ormalfördelge 5 9
Lösningsförslag till tentamen i 732G71 Statistik B, 2009-12-04
Prs Lösgsförslag tll tetame 73G7 Statstk B, 009--04. a) 340 30 300 80 60 40 0 0.5.0.5.0 Avståd.5 3.0 3.5 b) r y y y y 4985.75 7.7 830 0 39.335 7.7 0 80300-830 0 3.35 0.085 74.475 c) b y y 4985.75 7.7 830
Läs merF15 ENKEL LINJÄR REGRESSION (NCT )
Stat. teor gk, ht 006, JW F5 ENKEL LINJÄR REGRESSION (NCT.-.4) Ordlta tll NCT Scatter plot Depedet/depedet Leat quare Sum of quare Redual Ft Predct Radom error Aal of varace Sprdgdagram Beroede/oberoede
Läs merFöreläsningsanteckningar till Linjär Regression
Föreläsgsateckgar tll Ljär Regresso Kasper K S Aderse 3 oktober 08 Statstsk modell Ofta söks ett sambad y fx mella e förklarade eller oberoede varabel x och e resposvarabel eller beroede varabel y V betrakter
Läs merREGRESSIONSANALYS S0001M
Matematk Kerst Väma 9--4 REGRESSIONSANALYS SM INNEHÅLL. Iledg.... Ekel regressosaalys... 3. Udersökg av modellatagadea...7 4. Korrelatoskoeffcet.... Kofdestervall för förvätat Y-värde...3 6. Progostervall...4
Läs merCentrala gränsvärdessatsen
Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Cetrala gräsvärdessatse Cetrala gräsvärdessatse Vätevärdet och varase för e ljär kombato av stokastska varabler beräkas elgt följade: S Låt c, c,, c vara kostater,,,, stokastska
Läs merSensorer, effektorer och fysik. Analys av mätdata
Sesorer, effektorer och fysk Aalys av mätdata Iehåll Mätfel Noggrahet och precso Några begrepp om saolkhetslära Läges- och sprdgsmått Kofdestervall Ljär regresso Mätosäkerhetsaalys Mätfel Alla mätgar är
Läs mer732G71 Statistik B. Föreläsning 2. Bertil Wegmann. November 13, 2015. IDA, Linköpings universitet
732G71 Statistik B Föreläsning 2 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet November 13, 2015 Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B November 13, 2015 1 / 26 Kap. 4.1-4.5, multipel linjär regressionsanalys
Läs merSensorer och elektronik. Analys av mätdata
Sesorer och elektrok Aalys av mätdata Iehåll Mätfel Några begrepp om saolkhetslära Läges- och sprdgsmått Kofdestervall Ljär regresso Mätosäkerhetsaalys Mätfel Alla mätresultat är behäftade med e vss osäkerhet
Läs merTentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00
0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:
Läs merNågot om beskrivande statistik
Något om beskrvade statstk. Iledg I de flesta sammahag krävs fakta som uderlag för att komma tll rmlga slutsatser eller fatta vettga beslut. Exempelvs ka det på ett företag ha uppstått dskussoer om att
Läs merTentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15
Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt
Läs merVinst (k) 1 1.5 2 4 10 Sannolikhet 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 ( )
Tentamen Matematsk statstk Ämneskod-lnje S1M Poäng totalt för del 1 5 (8 uppgfter) Poäng totalt för del 3 (3 uppgfter) Tentamensdatum 9-3-5 Kerstn Vännman Lärare: Robert Lundqvst Mkael Stenlund Skrvtd
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 6. Regression & Korrelation. (LLL Kap 13-14) Inledning till Regressionsanalys
Fnansell Statstk (GN, 7,5 hp,, HT 8) Föreläsnng 6 Regresson & Korrelaton (LLL Kap 3-4) Department of Statstcs (Gebrenegus Ghlagaber, PhD, Assocate Professor) Fnancal Statstcs (Basc-level course, 7,5 ECTS,
Läs merSAMMANFATTNING AV KURS 602 STATISTIK (Newbold kapitel [7], 8, 9, 10, 13, 14)
AMMANFATTNING AV KUR 6 TATITIK (Newbold katel [7], 8, 9,, 3, 4) INLEDNING 3 Proortoer 3 Proortoer 4 Poulatosvaras 5 KONFIDENINTERVALL 6 Itutv förklarg 6 Arbetsgåg vd beräkg av kofdestervall 7 Tfall. ök
Läs merLycka till och trevlig sommar!
UMEÅ UNIVERSITET Isttutoe för matematsk statstk Statstk för lärare, MSTA38 Lef Nlsso TENTAMEN 07-05-3 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statstk för lärare, 5 poäg Skrvtd: 09.00-5.00 Tllåta hjälpmedel: Tabellsamlg,
Läs merMA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23
1 MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 014-08-3 Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 7. Multipel regression. (LLL Kap 15) Multipel Regressionsmodellen
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 8) Föreläsning 7 Multipel regression (LLL Kap 5) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course,
Läs merFöreläsning 3 Kap 3.4, 3.6, 4.2. 732G71 Statistik B
Föreläsning 3 Kap 3.4, 3.6, 4.2 732G71 Statistik B Exempel 150 slumpmässigt utvalda fastigheter till salu i USA Pris (y) Bostadsyta Tomtyta Antal rum Antal badrum 179000 3060 0.75 8 2 285000 2516 8.1 7
Läs merFöreläsning 2. Kap 3,7-3,8 4,1-4,6 5,2 5,3
Föreläsning Kap 3,7-3,8 4,1-4,6 5, 5,3 1 Kap 3,7 och 3,8 Hur bra är modellen som vi har anpassat? Vi bedömer modellen med hjälp av ett antal kriterier: visuell bedömning, om möjligt F-test, signifikanstest
Läs mer= α. β = α = ( ) D (β )= = 0 + β. = α 0 + β. E (β )=β. V (β )= σ2. β N β, = σ2
Ljär regresso aolkhet och statstk Regressosaalys VT 2009 Uwe.Mezel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Fgur: Mätpukter: x, y Ljär regresso - kalbrerg av e våg Modell för ljär regresso Modell: y α +
Läs merTENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK. Statistik för lärare, 5 poäng
UMEÅ UNIVERSITET Isttutoe för matematsk statstk Statstk för lärare, MSTA38 Lef Nlsso TENTAMEN 04--6 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statstk för lärare, 5 poäg Skrvtd: 9.00-15.00 Tllåta hjälpmedel: Utdelad
Läs merENKEL LINJÄR REGRESSION
Fnansell statstk, vt 0 ENKEL LINJÄR REGRESSION Ordlsta tll NCT Scatter plot Dependent/ndependent Least squares Sum of squares Resdual Ft Predct Random error Analyss of varance Sprdnngsdagram Beroende/oberoende
Läs mer1. a Vad menas med medianen för en kontinuerligt fördelad stokastisk variabel?
Tentamenskrvnng: TMS45 - Grundkurs matematsk statstk och bonformatk, 7,5 hp. Td: Onsdag den 9 august 2009, kl 08:30-2:30 Väg och vatten Tesen korrgerad enlgt anvsngar under tentamenstllfället. Examnator:
Läs merKompletterande kurslitteratur om serier
KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du
Läs merEn kvalitetskontroll - Snustillverkaren Fiedler & Lundgren kvalitetstestas Av: Andreas Timglas
E kvaltetskotroll - Sustllverkare Fedler & Ludgre kvaltetstestas Av: Adreas Tmglas Uppsats statstk 10 poäg Nvå: 61-80 Vt 2008 Hadledare: Björ Holmqust Abstract Ths paper am to descrbe the varato ad develop
Läs merFöreläsning 14: Försöksplanering
Föreläsning 14: Försöksplanering Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 14, 2015 Modellbeskrivning Vi har gjort mätningar av en responsvariabel Y för fixerade värden på förklarande
Läs merKvalster. Korrelation och regression: lineära modeller för bivariata samband. Spridningsdiagram. Bivariata samband
Kvalster och regression: lineära modeller för bivariata samband Matematik och statistik för biologer, 10 hp En viss sorts kvalster (Demodex folliculorum) trivs bra i människors hårsäckar. Enligt en studie
Läs merÖvningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp
Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.
Läs merParametriska metoder. Icke-parametriska metoder. parametriska test. Icke-parametriska test. Location Shift. Vilket test ersätts med vilket?
Icke-parametrska test Icke-parametrska metoder Parametrska metoder Fördelge för populatoe som stckprovet togs frå är käd så ära som på ett atal parametrar, t.ex: N med okäda och Icke-parametrska metoder
Läs merArmin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR. ) De Moivres formel ==================================================== 2 = 1
Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR KOMPLEXA TAL x + y, där x, y R (rektagulär form r(cosθ + sθ (polär form r (cos θ + s θ De Movres formel y O x + x y re θ (potesform eller expoetell form θ e cosθ + sθ Eulers
Läs merStatistik för ekonomer, Statistik A1, Statistik A (Moment 2) : (7.5 hp) Personnr:..
TENTAMEN Tentamensdatum 8-3-7 Statistik för ekonomer, Statistik A, Statistik A (Moment ) : (7.5 hp) Namn:.. Personnr:.. Tentakod: A3 Var noga med att fylla i din kod samt uppgiftsnummer på alla lösningsblad
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 Punktskattning och kondensintervall Innehåll 1 Punktskattning och kondensintervall Population Punktskattning och kondensintervall Vi har en population vars någon mätbar egenskap X vi är intresserade
Läs merOrderkvantiteter vid begränsningar av antal order per år
Hadbok materalstyrg - Del D Bestämg av orderkvatteter D 64 Orderkvatteter vd begräsgar av atal order per år Olka så kallade partformgsmetoder aväds som uderlag för beslut rörade val av lämplg orderkvattet
Läs merFÖRSÖKSPLANERING. och utvärdering av försöksresultat med den matematiska statistikens metoder. av Jarl Ahlbeck
FÖRSÖKSPLNERING och utvärderg av försöksresultat med de matematska statstkes metoder av Jarl hlbeck Åbo kadem Laboratoret för alägggstekk I a sstem whch varable quattes chage, t s of terest to eame the
Läs merNedlagd studietid och olika kurskarakterisika en anspråkslös analys baserad på kursvärderingsdata. Fan Yang Wallentin
Nedlagd studietid och olika kurskarakterisika en anspråkslös analys baserad på kursvärderingsdata. Fan Yang Wallentin Inledning I denna miniundersökning analyseras hur studietiden är relaterad till attityder
Läs merEn utvärdering av två olika sätt att skatta fördelningen till stickprovsmedelvärden från olikfördelade data - normalapproximation kontra resampling
utvärderg av två olka sätt att skatta fördelge tll stckprovsmedelvärde frå olkfördelade data - ormalapproxmato kotra resamplg av Adreas Holmström xamesarbete matematsk statstk Umeå uverstet, Hadledare:
Läs merExempel 1 på multipelregression
Exempel på multipelregression Hastighet = högsta hastighet som uppnåtts fram till givna år (årtal) Årtal Hastighet 8 (tåg) 95 (tåg) 9 (flyg) 97 7 (flyg) 95 5 (flyg) 99 5 (raket) Regression Plot Hastighet
Läs merEnkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider...
Ekel slumpvadrig Sve Erick Alm 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) Iehåll 1 Iledig 2 2 Apa och stupet 3 2.1 Passagesaolikheter............................... 3 2.2 Passagetider....................................
Läs merSammanfattning formler och begrepp, första delen av två
Ekoomsk sask, del kurs 6 ael agwall;, vårerme 5 ockholm chool of Ecoomcs ammafag formler och begre, försa dele av vå amle sckrov objek,,,...,, av oulaoes N. Om Varje objek har lka sor saolkhe a väljas
Läs mer4.2.3 Normalfördelningen
4..3 Normalfördelge Bomal- och Possofördelge är två exempel på fördelgar för slumpvarabler som ka ata ädlgt eller uppräkelgt måga olka värde. Sådaa fördelgar sägs vara dskreta. Ofta är ett resultat X frå
Läs merLösningar till Tentamen i Matematisk Statistik, 5p 22 mars, 2001. Beräkna medelvärdet, standardavvikelsen, medianen och tredje kvartilen?
Lösningar till Tentamen i Matematisk Statistik, 5p 22 mars, 2001 1. Månadslönerna för 10 lärare vid en viss skola är 1 17 700 19 800 19 900 20 200 20 800 16 100 17 000 23 500 19 700 21 100 Beräkna medelvärdet,
Läs merKonsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor
Kosoliderad versio av Styrelses för ackrediterig och tekisk kotroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkig av färdigförpackade varor Rubrike har dea lydelse geom (STAFS 2008:11) Ädrig iförd: t.o.m.
Läs merFöreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I
Föreläsg 6 73G04 urveymetodk 73G9 Utredgskuska I Dages föreläsg ortfall Totalbortfall Partellt bortfall Hur hatera bortfall? ortfallsstratumasatse (tvåfasurval) ubsttuto Imuterg Reettosquz ortfall och
Läs mera) Vad är sannolikheten att det tar mer än 6 sekunder för programmet att starta?
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 1, 2008-01-18 1. Ett företag som köper enheter från en underleverantör vet av erfarenhet att en viss andel av enheterna kommer att vara felaktiga. Sannolikheten
Läs merFlexibel konkursriskestimering med logistisk spline-regression
Matematsk statstk Stockholms uverstet Flexbel kokursrskestmerg med logstsk sple-regresso Erk vo Schedv Examesarbete 8: Postadress: Matematsk statstk Matematska sttutoe Stockholms uverstet 6 9 Stockholm
Läs merFlode. I figuren har vi också lagt in en rät linje som någorlunda väl bör spegla den nedåtgående tendensen i medelhastighet för ökande flöden.
Hast Något om enkel lnjär regressonsanalys 1. Inlednng V har tdgare pratat om hur man anpassar en rät lnje tll observerade talpar med hjälp av den s.k. mnsta kvadratmetoden. V har också berört hur man
Läs merFöreläsning 9: Hypotesprövning
Föreläsning 9: Hypotesprövning Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 5, 2014 Statistik Stickprov Ett stickprov av storlek n är n oberoende observationer av en slumpvariabel
Läs meri de fall de existerar. Om gränsvärdet ifråga inte skulle existera, ange i så fall detta med motivering.
Kap 9. 9.5, 9.8 9.9, 6.5. Talföljd, mootoa talföljder, koverges, serier, koverges, geometriska serier, itegralkriterium, p serier, jämförelsekriterier, absolut koverges, altererade serier, potesserie,
Läs merTentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 24 januari 2004, kl. 09.00-13.00
Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen, 5p 4 januari 004, kl. 09.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Ansvarig lärare:
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 2: Derivata Institutionen för matematik KTH 8 september 2015 Derivata Innehåll om derivata (bokens kapitel 2). Definition vad begreppet derivata betyder Tolkning hur man kan tolka derivata Deriveringsregler
Läs merPrimär- och sekundärdata. Undersökningsmetodik. Olika slag av undersökningar. Beskrivande forts. Beskrivande forts. 2012-11-08
Prmär- och sekundärdata Undersöknngsmetodk Prmärdataundersöknng: användnng av data som samlas n för första gången Sekundärdata: användnng av redan nsamlad data Termeh Shafe ht01 F1-F KD kap 1-3 Olka slag
Läs merStatistisk undersökningsmetodik (Pol. kand.)
TENTAMEN Tentamensdatum 2008-10-02 Statistisk undersökningsmetodik (Pol. kand.) Namn:.. Personnr:.. Tentakod: Obs! Var noga med att skriva din tentakod på varje lösningsblad som du lämnar in. Skrivtid
Läs merSOS HT Punktskattningar. Skattning från stickprovet. 2. Intuitiva skattningar. 3. Skattning som slumpvariabel. slump.
Puktskattgar SOS HT10 Puktskattg uwe@math.uu.se http://www.math.uu.se/~uwe/sos_ht10 1. Vad är e puktskattg och varför behövs de? 1. Jämförelse: saolkhetstoer statstkteor 2. Itutva ( aturlga ) skattgar
Läs merb) Om du nu hade oturen att du köpt en trasig dator, vad är sannolikheten att den skulle ha tillverkats i Litauen?
UMEÅ UNIVERSITET Isttutoe för matematk och matematsk statstk MSTA, Statstk för tekska fysker A Peter Ato TENTAMEN 005-0-03 ÖSNINGSFÖRSAGTENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statstk för tekska fysker, 4 oäg.
Läs merF13. Förra gången (F12) Konfidensintervall och hypotesprövning Chi-tvåtest. Stratifierat urval
Konfdensntervall och hypotesprövnng Ch-tvåtest F3 Förra gången (F) Stratferat urval Dela n populatonen homogena ata med avseende på atferngsvarabeln Välj atferngsvarabel som har ett samband med undersöknngsvarabeln
Läs merVid mer än 30 frihetsgrader approximeras t-fördelningen med N(0; 1). Konfidensintervallet blir då
Stat. teori gk, ht 006, JW F7 ENKEL LINJÄR REGRESSION, FORTS. (NCT.5-.7) Statistisk iferes rörade β Vi vet reda att b är e vätevärdesriktig skattig av modellparameter β. Vi vet också att skattige b har
Läs merKorrelationens betydelse vid GUM-analyser
Korrelatoes betydelse vd GUM-aalyser Hela koceptet GUM geomsyras av atagadet att gåede mätgar är okorrelerade. Gude betoar och för sg att ev. korrelato spelar, me ger te mycket vägledg för hur ma då ska
Läs merTentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Onsdag 1 november 2006, Kl 08.15-13.15
Tentamen i Statistik, STA A och STA A13 (9 poäng) Onsdag 1 november 00, Kl 0.15-13.15 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approximationsschema och tabellsamling (dessa skall returneras). Egen miniräknare.
Läs merKontingenstabell (Korstabell) 2. Oberoende-test. Stickprov beror av slumpen. Vad vi förvf. är r oberoende: kriterier är r oberoende: kriterier
. Oberoede-test Kotgestabell (Korstabell) Oberoedet av två rterer för lassfato udersöes xempel: V vll veta om röadet är beroede av ö V tar ett stcprov ur befolge (=50) och lassfcera persoera elgt dessa
Läs merMöbiustransformationer.
224 Om Möbiustransformationer Torbjörn Kolsrud KTH En Möbiustransformation är en komplexvärd funktion f av en komplex variabel z på formen f(z) = az + b cz + d. Här är a b c och d komplexa tal. Ofta skriver
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I
MS-A0409 Gudkus i disket matematik Sammafattig, del I G. Gipebeg 1 Mägde och logik 2 Relatioe och fuktioe Aalto-uivesitetet 15 maj 2014 3 Kombiatoik etc. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i
Läs merFöreläsning 4 Kap 3.5, 3.8 Material om index. 732G71 Statistik B
Föreläsning 4 Kap 3.5, 3.8 Material om index 732G71 Statistik B Skötsel (y) Transformationer Ett av kraven för regressionsmodellens giltighet är att residualernas varians är konstant. Vad gör vi om så
Läs mer1. Frekvensfunktionen nedan är given. (3p)
TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF14 TEN 11 kl 1.15-.15 Hjälpmedel: Formler och tabeller i statistik, räknedosa Fullständiga lösningar erfordras till samtliga uppgifter. Lösningarna skall
Läs merAlgebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument
Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument Distributiva lagen a(b + c) = ab + ac 3(x + 4) = 3 x + 3 4 = 3x + 12 3(2x + 4) = 3 2x + 3 4 = 6x + 12
Läs merVariansberäkningar KPI
STATISTISKA CENTRALBYRÅN Slutrapport (9) Varasberäkgar KPI Varasberäkgar KPI Iledg Grov varasskattg Detaljerade varasskattgar av tuga produktgrupper 5 Rätekostader 5 Charter 6 Böcker 8 Utrkesflyg 0 Iträdesbljetter
Läs mer732G71 Statistik B. Föreläsning 1, kap Bertil Wegmann. IDA, Linköpings universitet. Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 20
732G71 Statistik B Föreläsning 1, kap. 3.1-3.7 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 20 Exempel, enkel linjär regressionsanalys Ett företag vill veta
Läs merSammanfattning. Härledning av LM - kurvan. Efterfrågan, Z. Produktion, Y. M s. M d inkomst = Y >Y. M d inkomst = Y
F12: sd. 1 Föreläsnng 12 Sammanfattnng V har studerat ekonomn påp olka skt, eller mer exakt, under olka antaganden om vad som kan ändra sg. 1. IS-LM, Mundell Flemmng. Prser är r konstanta, växelkurs v
Läs merRegressions- och Tidsserieanalys - F1
Regressions- och Tidsserieanalys - F1 Kap 3: Enkel linjär regression Linda Wänström Linköpings universitet November 4, 2013 Wänström (Linköpings universitet) F1 November 4, 2013 1 / 25 Statistik B, 8 hp
Läs mer(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter?
Lösigar Grudläggade Diskret matematik 11054 Tid: 1.00-17.00 Telefo: 036-10160, Examiator: F Abrahamsso 1. I de lokala zoo-affäre fis 15 olika fiskarter med mist 0 fiskar utav varje art). På hur måga sätt
Läs merx 2 + px = ( x + p 2 x 2 2x = ( x + 2
Inledande kurs i matematik, avsnitt P.3 P.3. Bestäm en ekvation för cirkeln med mittpunkt i (0, 0) och radie 4. Med hjälp av kvadratkompletteringsformeln + p = ( + p ) ( p ) En cirkel med mittpunkt i (
Läs merTentamentsskrivning: Tillämpad Statistik 1MS026 1
Tetametsskrivig: Tillämpad Statistik 1MS026 1 Tetamesskrivig i Tillämpad Statistik 1MS026 Tid: de 7 mars, 2012 kl 8:00-13:00 Examiator och jour: Erik Broma, mob. 073 7320791, Hjälpmedel: miiräkare, formelsamlig
Läs merRegressions- och Tidsserieanalys - F1
Regressions- och Tidsserieanalys - F1 Kap 3: Enkel linjär regression Linda Wänström Linköpings universitet May 4, 2015 Wänström (Linköpings universitet) F1 May 4, 2015 1 / 25 Regressions- och tidsserieanalys,
Läs merLösningsförslag 081106
Lösigsförslag 86 Uppgift Trädslag: kvalitativ, omialskala (diskret) Diameter: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Höjd: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Ålder: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Trädslag:
Läs merFunktionsteori Datorlaboration 1
Fuktiosteori Datorlaboratio 1 Fuktiosteori vt1 2013 Rekursiosekvatioer och komplex aalys Syftet med datorövige Öviges ädamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem ka avädas för att att lösa
Läs merÖvningshäfte Algebra, ekvationssystem och geometri
Stockholms Tekniska Gmnasium --9 Övningshäfte Algebra, ekvationssstem och geometri Nivå: rätt svårt Fråga : f är ett polnom. Beräkna värdet av f, f och fπ Fråga : Ingångslönen på företaget Börjes Gurkinläggning
Läs merLeica Lino. Noggranna, självavvägande punkt- och linjelasers
Leica Lio Noggraa, självavvägade pukt- och lijelasers Etablera, starta, klart! Med Leica Lio är alltig lodat och perfekt apassat Leica Lios projekterar lijer eller pukter med millimeterprecisio och låter
Läs merArtificiell intelligens Probabilistisk logik
Probabilistiska resoemag Artificiell itelliges Probabilistisk logik Are Jösso HCS/IDA Osäkerhet Grudläggade saolikhetslära Stokastiska variabler Bayes teorem Bayesiaska ätverk Kostruktio Iferes Osäkerhet
Läs merKapitel 6. f(x) = sin x. Figur 6.1: Funktionen sin x. 1 Oinas-Kukkonen m.fl. Kurs 6 kapitel 1
Kapitel 6 Gränsvärde 6. Definition av gränsvärde När vi undersöker gränsvärdet av en funktion undersöker vi vad som händer med funktionsvärdet då variabeln, x, går mot ett visst värde. Frågeställningen
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341/LIMAB6, STN2) 2012-01-09 kl 08-13
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341/LIMAB6, STN2) 212-1-9 kl 8-13 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är
Läs merTentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035
Tetame i Flervariabelaalys F/TM, MV35 8 3 kl. 8.3.3. Hjälpmedel: Iga, ej räkedosa. Telefo: Oskar Hamlet tel 73-8834 För godkät krävs mist 4 poäg. Betyg 3: 4-35 poäg, betyg 4: 36-47 poäg, betyg 5: 48 poäg
Läs mer( ) ( ) Kap. 5.5-7. Kolligativa egenskaper + fasjämvikter för 2-komponentsystem 5B.2/5.5 Kolligativa egenskaper R T
Ka. 5.5-7. Kolligativa egeskaer + fasjämvikter för 2-komoetsystem 5.2/5.5 Kolligativa egeskaer Kolligativa egeskaer: Egeskaer som edast beror å atalet artiklar som lösts Förutsättig: utsädda lösigar, lösta
Läs merValfri räknedosa, kursbok (Kutner m fl) utan anteckningar. Tentamen omfattar totalt 20p. Godkänt från 12p.
Tentamen Linköpings Universitet, Institutionen för datavetenskap, Statistik Kurskod och namn: Datum och tid: Jourhavande lärare: Tillåtna hjälpmedel: Betygsgränser: 732G21 Sambandsmodeller 2009-01-14,
Läs merTentamen i matematisk statistik
Tetame i matematisk statistik Uppgift : På e arbetsplats skadades % av persoale uder ett år. 60% av alla skadade var mä. 0% av alla aställda var kvior. Är det maliga eller kviliga aställda som löper störst
Läs merSkrivning i ekonometri lördagen den 25 augusti 2007
LUNDS UNIVERSITET STATISTISKA INSTITUTIONEN MATS HAGNELL STA10:3 Skrivning i ekonometri lördagen den 5 augusti 007 1. Vi vill undersöka hur variationen i ölförsäljningen i ett bryggeri i en stad i USA
Läs mer4-3 Vinklar Namn: Inledning. Vad är en vinkel?
4-3 Vinklar Namn: Inledning I det här kapitlet skall du lära dig allt om vinklar: spetsiga, trubbiga och räta vinklar. Och inte minst hur man mäter vinklar. Att mäta vinklar och sträckor är grundläggande
Läs mer- Syns den globala uppvärmningen i den svenska snöstatistiken?
Examesarbete vd sttutoe för geoveteskaper ISSN 65-6553 Nr 9 - Sys de globala uppvärmge de sveska söstatstke? Mattas Larsso - - Sammafattg Dea stude är ett resultat av e omfattade udersökg av söförhålladea
Läs merLeif Abrahamsson. Uppsala Universitet
Två formler för talet π Leif Abrahamsso Uppsala Uiversitet Dea uppgift syftar till att härleda två formler för talet π. De två formleras härledig är oberoede av varadra och ka således var för sig utgöra
Läs mer3. Värmeutvidgning (s. 49 57)
3. Värmeutvidgning (s. 49 57) Om du vill öppna ett burklock som har fastnat kan du värma det under varmt vatten en stund och sedan lossnar det enklare. Detta beror på att värmen får locket att utvidga
Läs merD 45. Orderkvantiteter i kanbansystem. 1 Kanbansystem med två kort. Handbok i materialstyrning - Del D Bestämning av orderkvantiteter
Hadbok materalstyrg - Del D Bestämg av orderkvatteter D 45 Orderkvatteter kabasystem grupp av materalstyrgsmetoder karakterseras av att behov av materal som uppstår hos e förbrukade ehet mer eller mdre
Läs merFACITSKISSER version 121122 (från och med sidan 5)
FACITSKISSER version 111 (från och med sidan 5) till: Frågor inom moment LT, Lagerteori, inom tentamen i kursen SG0061: Skogsindustriell försörjningsstrategi För frågorna inom moment LT gäller följande:
Läs merSpridningsdiagram (scatterplot) Fler exempel. Korrelation (forts.) Korrelation. Enkel linjär regression. Enkel linjär regression (forts.
Spridningsdiagram (scatterplot) En scatterplot som visar par av observationer: reklamkostnader på -aeln and försäljning på -aeln ScatterplotofAdvertising Ependitures ()andsales () 4 Fler eempel Notera:
Läs merTentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M
Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2013-01-18 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Ove
Läs merkonstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b 2 a b
Tentamen i Inledande matematik för V och AT, (TMV25), 20-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) Bestäm { konstanterna a och b så att ekvationssystemet
Läs merBibliotekMitt.se. Riktlinjer för Boktips, Artiklar, Arrangemang, Utställningar Arrangemang mm
BibliotekMitt.se Riktlinjer för Boktips, Artiklar, Arrangemang, Utställningar Arrangemang mm Här hittar du speciella riktlinjer för BibliotekMitt. Vill du ha mer detaljerat om varje funktion så finns en
Läs merVirkade tofflor. Storlek 35 37 & 38 40. By: Pratamedrut. pratamedrut.se/blog/virkade tofflor 1
Virkade tofflor Storlek 35 37 & 38 40 By: Pratamedrut pratamedrut.se/blog/virkade tofflor 1 Innehåll Lite tips sid 3 Material sid 3 Maskor och förkortningar sid 3 Tillvägagångssätt Sulor sid 4 Skor, nedre
Läs merSANNOLIKHET. Sannolikhet är: Hur stor chans (eller risk) att något inträffar.
SANNOLIKHET Sannolikhet är: Hur stor chans (eller risk) att något inträffar. tomas.persson@edu.uu.se SANNOLIKHET Grundpremisser: Ju fler möjliga händelser, desto mindre sannolikhet att en viss händelse
Läs mervara en funktion av n variabler som har kontinuerliga derivator av andra ordningen i en öppen omgivning D av punkten ) A =.
rmi Hlilovi: EX ÖVNING lors ormel ör utioer v ler vriler v 9 YLOS FOMEL FÖ FUNKIONE V FLE VIBLE. PPOXIMIONE. FELNLYS. --------------------------------------------------------------------------------------------
Läs merFormler och tabeller i statistik
KTH STH, Campus Hage Formler och tabeller statstk Arm Hallovc Formler och tabeller statstk Medelvärde och varas = = = ( ) = = = Medelvärde och varas för ett frekvesdelat materal = k = f = k = f ( ) Vätevärde
Läs merMultipel regression och Partiella korrelationer
Multipel regression och Partiella korrelationer Joakim Westerlund Kom ihåg bakomliggande variabelproblemet: Temperatur Jackförsäljning Oljeförbrukning Bakomliggande variabelproblemet kan, som tidigare
Läs merUppdrag: Huset. Fundera på: Vilka delar i ditt hus samverkar för att elen ska fungera?
Uppdrag: Huset Praktiskt arbete: (Krav) Göra en skiss över ditt hus. Bygga en modell av ett hus i en kartong med minst två rum. Koppla minst tre lampor och två strömbrytare till ditt hus. Visa både parallellkoppling
Läs mer