Tentamen i MATEMATISK STATISTIK Datum: 8 Juni 07

Transkript

1 Tentamen MATEMATISK STATISTIK Datum: 8 Jun 0 Kurser: MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK 6H3000 (TEN2), 6L3000 (TEN2), MATEMATIK2 MED MATEMATISK STATISTIK 6H2208 (TEN2) MATEMATISK STATISTIK 6A2111 (TEN1); KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK 6H3012 (TEN1) Skrvtd: 13:15-1:15 Lärare: Armn Hallovc Kurskod 6H3000 (TEN2), 6L3000(TEN2), 6H2208(TEN2), 6A2111(TEN1), 6H3012(TEN1) Hjälpmedel: Mnräknare av vlken typ som helst och formelsamlng Formler och tabeller statstk Införda betecknngar skall förklaras och defneras. Resonemang och uträknngar skall vara så utförlga och väl motverade att de är lätta att följa. Numerska svar skall anges med mnst två sffrors noggrannhet. Poängfördelnng och betygsgränser: Tentamen består av 6 uppgfter á 4 poäng. För betyg 3, 4, 5 krävs 12, 18 respektve 21 poäng. För kompletterng krävs 10 poäng. Denna tentamenslapp får ej behållas utan lämnas n. Uppgft 1. I en låda fnns glödlampor, varav 18 är av typ 25w, 12 är av typ w, och 10 är av typ 60w. Man väljer utan återläggnng på måfå lampor ur lådan. Vad är sannolkheten att bland de valda fnns: a) exakt 6 är av typ 60 w b) högst 2 är av typ w c) exakt 3 är av typ 25 w, och exakt 4 är av typ w d) alla är av typ w Du ska svara med hjälp av bnomska koeffcenter Uppgft 2. Ett företag som tllvärkar batterer har tllverknngen förlagt tll tre olka fabrker. Fabrk A står för % av tllverknngen, fabrk B 35% och fabrk C 25%. Man vet att ett batter från fabrk A har 82 % sannolkhet att räcka mer en 10 drftstmmar. Motsvarande sannolkheterna för fabrkerna B och C är 2% respektve 88%. Man har blandat batterer från de tre fabrkerna ett stort centralt lager. a) Vad är sannolkheten att ett batter som tas på måfå ur lagret skall räcka mer en 10 drftstmmar? b) Man tar på måfå ett batter ur lagret och fnner att det räcker mer än 10 drftstmmar. vad är sannolkheten att det tllverkats fabrk A?

2 Uppgft 3. En stokastsk varabel ξ och har följande frekvensfunkton: ax ( + 2), för 0< x< 1 fξ ( x) =, 0 för övrgt a) Bestäm värdet på a b) Bestäm väntevärden E (ξ ) c) Bestäm varansen V (ξ ) Uppgft 4. En teknolog vet av erfarenhet att hans morgonaktvtet kan struktureras på följande sätt: Tvättnng och påklädnng, vlket tar ξ1mnuter, där ξ1 N(11, 2). Frukost, vlket tar ξ2 mnuter, där ξ2 N(21,2). Promenad tll skolan, vlket tar ξ3 mnuter, där ξ3 N(15, 2). På grund av detta ställer han en kväll väckarklockan på rngnng kl : förhoppnng att hnna tll första lektonen kl 8:30. Hur stor är sannolkheten att han lyckas? Uppgft 5. En forskare gjorde 5 mätnngar av en lösnngs fryspunkt och fck följande resultat: 1.3, 1.4, 1.6, 1.2, 1.5 Normalfördelnngen kan antas och standardavvkelse är känt, σ = 0.4. a) Bestäm ett 95 % konfdensntervall för fryspunktens medelvärde. b) Hur många mätnngar behövs för att få ett konfdensntervall som har 98 % konfdensgrad och som är hälften så brett Uppgft 6. I en affär handlar varje tsdag 100 kunder. Antal lter mjölk en kund köper kan betraktas som en stokastsk varabel ξ med P(ξ =0)=0.1, P(ξ =1) =0.15, P(ξ =2)= 0.35, P(ξ =3)=0.3, P(ξ =4)=0.1 a) Beräkna approxmatvt sannolkheten att lagret räcker om man tar hem 1100 lter mjölk. b) Hur många lter mjölk ska man planera lagret om sannolkheten att lagret ska räcka skall vara 99% Lycka tll!

3 Lösnngsförslag: Uppgft 1. I en låda fnns glödlampor, varav 18 är av typ 25 w, 12 är av typ w, och 10 är av typ 60 w. Man väljer utan återläggnng på måfå lampor ur lådan. Vad är sannolkheten att bland de valda fnns: a) exakt 6 är av typ 60 w b) högst 2 är av typ w c) exakt 3 är av typ 25 w, och exakt 4 är av typ w d) alla är av typ w Du ska svara med hjälp av bnomska koeffcenter Svar: a) b) c) 3 4 d) Uppgft 2. Ett företag som tllvärkar batterer har tllverknngen förlagt tll tre olka fabrker. Fabrk A står för % av tllverknngen, fabrk B 35% och fabrk C 25%. Man vet att ett batter från fabrk A har 82 % sannolkhet att räcka mer en 10 drftstmmar. Motsvarande sannolkheterna för fabrkerna B och C är 2% respektve 88%. Man har blandat batterer från de tre fabrkerna ett stort centralt lager. a) Vad är sannolkheten att ett batter som tas på måfå ur lagret skall räcka mer en 10 drftstmmar? b) Man tar på måfå ett batter ur lagret och fnner att det räcker mer än 10 drftstmmar. vad är sannolkheten att det tllverkats fabrk A? Svar: a) 0.8 b) 0.41 Uppgft 3. En oberoende stokastsk varabel ξ och har följande frekvensfunkton: ax ( + 2), för 0< x< 1 fξ ( x) =, 0 för övrgt a) Bestäm värdet på a b) Bestäm väntevärden E (ξ ) c) Bestäm varansen V (ξ ) Svar a) a=2/5, b) E (ξ ) =8/15 c) V (ξ ) =3/450

4 Uppgft 4. En teknolog vet av erfarenhet att hans morgonaktvtet kan struktureras på följande sätt: Tvättnng och påklädnng, vlket tar ξ1mnuter, där ξ1 N(11, 2). Frukost, vlket tar ξ2 mnuter, där ξ2 N(21,2). Promenad tll skolan, vlket tar ξ3 mnuter, där ξ3 N(15, 2). På grund av detta ställer han en kväll väckarklockan på rngnng kl : förhoppnng att hnna tll första lektonen kl 8:30. Hur stor är sannolkheten att han lyckas? Lösnng: V betecknar ξ = ξ1 + ξ2 + ξ3 Då är ξ N( m, s) med medelvärdet m = E(ξ ) = =4, och standardavvkelsen s = = 2 3 = m P ( ξ ) 60 = F(50) = φ( ) = φ(0.866) = s Uppgft 5. En forskare gjorde 5 mätnngar av en lösnngs fryspunkt och fck följande resultat: 1.3, 1.4, 1.6, 1.2, 1.5 Normalfördelnngen kan antas och standardavvkelse är känt, σ = 0.4. a) Bestäm ett 95 % konfdensntervall för fryspunktens medelvärde. b) Hur många mätnngar behövs för att få ett konfdensntervall som har 98 % konfdensgrad och som är hälften så brett Lösnng: a) x =1.4 ( λ α / 2 = 1.96) Konfdensntervall: σ σ ( x λα / 2, x + λα / 2 ) = ( , ) n n 5 5 (1.049,1.51) Svar a) (1.049,1.51) b)

5 Intervallets längd =d1=0.012 d2=d1/2= Från formeln för konfdensntervall får v σ 0.4 2λ α / 2 = = n n n = n 29 2 n = 28.2 Svar b) : Det behövs 29 mätnngar ( 5 redan gjorda +24 nya). Uppgft 6. I en affär handlar varje tsdag 100 kunder. Antal lter mjölk en kund köper kan betraktas som en stokastsk varabel ξ med P(ξ =0)=0.1, P(ξ =1) =0.15, P(ξ =2)= 0.35, P(ξ =3)=0.3, P(ξ =4)=0.1 c) Beräkna approxmatvt sannolkheten att lagret räcker om man tar hem 1100 lter mjölk. d) Hur många lter mjölk ska man planera lagret om sannolkheten att lagret ska räcka skall vara 99% Svar: Medelvärdet: m = E( ξk ) = xp( ξk = x ) = = V använder formeln V ( ξ ) = ( x m) P( ξ = x ) och beräknar Varans( ξ k ) = 1.225, Härav standardavvkesen = σ Varans( ξ ) = = k

6 100 ξ k k = 1 Låt η =. Då (approxmatvt) gäller: η N ( 100m, σ n) = N(215, 11.09) a) P ( η 1000) 1 x 215 P( η x) = 0.99 F( x) = 0.99 Φ( ) = b) x 215 = x = x =