Tentamen TEN1, HF1012, 29 maj Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 14:00-18:00 Lärare och examinator : Armin Halilovic

Transkript

1 Tentamen TEN, HF, 9 maj 9 Matematisk statistik Kurskod HF Skrivtid: 4:-8: Lärare och examinator : Armin Halilovic Hjälmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statistik ") och miniräknare av vilken ty som helst Förbjudna hjälmedel: Telefon, lato och alla elektroniska medel som kan kolas till internet Skriv namn och ersonnummer å varje blad Denna tentamensla får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar Poängfördelning och betygsgränser: Tentamen ger maximalt oäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 4,, 6 resektive oäng Komlettering: oäng å tentamen ger rätt till komlettering (betyg Fx) Sida av 4

2 Ugift () Bara för dem som inte klarat ks Bland 5 rodukter som finns å en lager har vi av ty A, 5 av ty B och 5 av ty C Vi tar ut å måfå 5 rodukter, utan hänsyn till ordning och utan återläggning Vad är sannolikheten att få a) av ty A, 5 av ty B och 5 av ty C b) exakt av ty A c) högst av ty A Du svarar med binomiska koefficienter Ugift () Bara för dem som inte klarat ks En komonents livslängd antas vara exonentialfördelad med medelvärdet µ a) Bestäm sannolikheten att en komonent fungerar mer än 8 år b) Man köer komonenter Bestäm sannolikheten att minst 9 av dem fungerar mer än 8 år Ugift () Bara för dem som inte klarat ks En födelsedödsrocess med oändligt många tillstånd definieras av följande diagram Bestäm, och Ugift 4 () En kortlek med 5 kort består av fyra färger ( hjärter, sader, klöver, ruter) och valörer: ess,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9,, knekt, dam, kung Vi väljer 6 kort å måfå Vad är sannolikheten att få a) alla kort i samma färg b) fyra tior (och två vilka kort som helst) c) tre olika ar, dvs x,x,y,y,z,z ( t ex 5,5, 7,7, 8,8 eller,,4,4, 9,9 eller liknande) Du svarar med binomiska koefficienter Var god vänd Sida av 4

3 Ugift 5 () Låt ax, x f ( x) a( x + ), < x, för övrigt vara täthetsfunktionen för en stokastisk variabel X a) Bestäm konstanten a b) Bestäm väntevärdet E(X) c) Bestäm sannolikheten P ( X ) Ugift 6 () I en container skall lådor av tre olika storlekar ackas Totalt skall det ackas lådor av Ty vars vikt är normalfördelad med väntevärdet kg och standardavvikelsen 5 kg, lådor av ty vars vikt är normalfördelad med väntevärdet kg och standardavvikelsen kg samt lådor av ty vars vikt är normalfördelad med väntevärdet kg och standardavvikelsen 5 kg Hur stor är sannolikheten att containerns innehåll kommer att väga mer än 6 kg? Ugift 7 (4) En forskare gjorde 5 mätningar i en flod strax nedanför ett industriutslä och fick följande resultat (enhet: mg/l) för ett giftigt ämne: X: 7 8 Efter en månad gjorde forskaren 4 mätningar å samma lats och fick följande resultat: Y: 6 8 Vi antar normalfördelning a) () Bestäm ett konfidensintervall för µ X µ Y med konfidensgrad 95% b) ()Kan man med 95% konfidensgrad åstå att situationen i floden har förbättrats? Motivera svaret Ugift 8 (5) En kommunikationskanal i ett datornät har kaaciteten K bitar/sekund Till kanalen ankommer meddelanden enligt en Poissonrocess med intensiteten λ meddelanden/minut Meddelandena har en längd som är exonentialfördelad med medelvärdet v 5 bitar Vi antar att vi kan modellera systemet som ett vanligt M/M/ kösystem a) Bestäm det minsta värdet å K som erfordras för att medelvärdet av totala tiden i systemet blir högst T 5 sekunder b) Bestäm µ och W för detta K värde c) Bestäm sannolikheten att för detta K värde totala tiden i systemet blir mindre än sekunder men längre än sekunder Notera att formelblad för M/M/ och M/M/K finns å sidor 5 och 6 Sida av 4

4 Var god vänd Ugift 9 () Ett betjäningssystem kan modelleras som M/M// (två betjänare och kölatser) Ankomstintensiteten är λ kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är µ 5 kunder/minut a) () Bestäm sannolikheterna,,, 4 b) () Bestäm medel väntetid W för en kund i detta system Notera att formelblad för M/M/ och M/M/K finns å sidor 5 och 6 Ugift () a) () Låt X vara en Poissonfördelad sv med arameter λ, dvs X Po(λ) Då gäller k λ λ k P( X k) k e Bevisa att k k! b) () Låt X vara en exonentialfördelad sv med arameter λ, dvs X Ex(λ) Bevisa att väntevärdet E ( X ) λ Sida 4 av 4

5 FACIT Ugift () Bara för dem som inte klarat ks Bland 5 rodukter som finns å en lager har vi av ty A, 5 av ty B och 5 av ty C Vi tar ut å måfå 5 rodukter, utan hänsyn till ordning och utan återläggning Vad är sannolikheten att få a) av ty A, 5 av ty B och 5 av ty C b) exakt av ty A c) högst av ty A Du svarar med binomiska koefficienter Svar a) b) 4, c) Rättningsmall: för varje del Ugift () Bara för dem som inte klarat ks En komonents livslängd antas vara exonentialfördelad med medelvärdet µ a) Bestäm sannolikheten att en komonent fungerar mer än 8 år b) Man köer komonenter Bestäm sannolikheten att minst 9 av dem fungerar mer än 8 år Lösning: a)låt ξ beteckna livslängden hos en komonent Enligt antagande är ξ exonentialfördelad E ( ξ ) µ λ / F( x) e x, 8, 8 ( ξ > 8) ( ξ 8) ( e ) e Sannolikheten att en komonent fungerar mer än år är b) Låt η beteckna antalet komonenter, bland inköta, som fungerar mer än 8 år η Bin ( ; ) Bin(; ) Sida 5 av 4

6 ( η 9) ( η 9) + ( η ) 9 9 ( ) * 6 + Svar a) b) * 6 Rättningsmall: för korrekt λ / för korrekt a-delen om allt är korrekt Ugift () Bara för dem som inte klarat ks En födelsedödsrocess med oändligt många tillstånd definieras av följande diagram Bestäm, och Först uttrycker vi,,, som funktioner av : µ λ 5 (*) λλ µ µ För att bestämma substituerar vi (*) i villkoret och får Vi bryter ut Sida 6 av 4

7 och använder formeln för den oändliga geometriska summan + x + x x (notera att x < ) 5 + x + x med Vi får och därmed Härav 6 och Svar: (6), 5 6 (4) och 5 (69456) 5 5 Rättningsmall: för varje del Ugift 4 () En kortlek med 5 kort består av fyra färger ( hjärter, sader, klöver, ruter) och valörer: ess,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9,, knekt, dam, kung Vi väljer 6 kort å måfå Vad är sannolikheten att få a) alla kort i samma färg b) fyra tior (och två vilka kort som helst) c) tre olika ar, dvs x,x,y,y,z,z ( t ex 5,5, 7,7, 8,8 eller,,4,4, 9,9 eller liknande) Du svarar med binomiska koefficienter Lösning: Svar a) b) c) Rättningsmall: för varje del Sida 7 av 4

8 Ugift 5 () Låt ax, x f ( x) a( x + ), < x, för övrigt vara täthetsfunktionen för en stokastisk variabel X a) Bestäm konstanten a b) Bestäm väntevärdet E(X) c) Bestäm sannolikheten P ( X ) Lösning: a) x x a Arean axdx + a( x + ) dx a a( x) + a( + 4) a( + ) 4a + + Arean 4a a b) E(X) 4 x x 7 x dx + ( ) 4 x + x dx x ( ), c) P ( X ) axdx x xdx Rättningsmall: Rättningsmall: för varje del Ugift 6 () I en container skall lådor av tre olika storlekar ackas Totalt skall det ackas lådor av Ty vars vikt är normalfördelad med väntevärdet kg och standardavvikelsen 5 kg, lådor av ty vars vikt är normalfördelad med väntevärdet kg och standardavvikelsen kg samt lådor av ty vars vikt är normalfördelad med väntevärdet kg och standardavvikelsen 5 kg Hur stor är sannolikheten att containerns innehåll kommer att väga mer än 6 kg? Lösning: 4 η ξ i ξ + + ξ + ξ + + ξ + ξ + + ξ6 Väntevärdet: Sida 8 av 4

9 E ( η) E( ξ) + + E( ξ) + E( ξ) + + E( ξ) + E( ξ) + + E( ξ6) Variansen: V η) V ( ξ ) + + V ( ξ ) + V ( ξ ) + + V ( ξ ) + V ( ξ ) + + V ( ξ ) ( Standardavvikelsen är variansen Därmed är η N(58; 9976) Härav ( η > 6) ( η 6) 6 58 Φ( ) Φ(68) Svar: ( η > 6) 48 Rättningsmall: för E ( η) 58 eller korrekt V ( η) 855 om allt är korrekt 5 Ugift 7 (4) En forskare gjorde 5 mätningar i en flod strax nedanför ett industriutslä och fick följande resultat (enhet: mg/l) för ett giftigt ämne: X: 7 8 Efter en månad gjorde forskaren 4 mätningar å samma lats och fick följande resultat: Y: 6 8 Vi antar normalfördelning a) () Bestäm ett konfidensintervall för µ X µ Y med konfidensgrad 95% b) ()Kan man med 95% konfidensgrad åstå att situationen i floden har förbättrats? Motivera svaret Lösning: x 8 s 567 y 95 s 986 Sida 9 av 4

10 α / * ( n ) s + ( n ) s s 84 n + n 5% r antal frihetsgrader n + n Konfidensintervall: x y t α / ( n + n * ) σ +, n n x y + t α / ( n + n * ) σ + n n Eftersom n 5, n 4 * σ 48 x y 5 och tα / (7) 646 * får vi tα / (7) σ Härav får vi för µ X µ Y följande konfidensintervall: [ 4, 6] Svar a) Konfidensintervall: [ 4, 6] b) Nej: Eftersom intervallet innehåller kan man INTE med 95% konfidensgrad åstå att det finns en skillnad mellan X och Y * Rättningsmall: för korrekta x och y + för s och s + för σ 4 om allt är korrekt Sida av 4

11 Ugift 8 (5) En kommunikationskanal i ett datornät har kaaciteten K bitar/sekund Till kanalen ankommer meddelanden enligt en Poissonrocess med intensiteten λ meddelanden/minut Meddelandena har en längd som är exonentialfördelad med medelvärdet v 5 bitar Vi antar att vi kan modellera systemet som ett vanligt M/M/ kösystem a) Bestäm det minsta värdet å K som erfordras för att medelvärdet av totala tiden i systemet blir högst T 5 sekunder b) Bestäm µ och W för detta K värde c) Bestäm sannolikheten att för detta K värde totala tiden i systemet blir mindre än sekunder men längre än sekunder Notera att formelblad för M/M/ och M/M/K finns å sidor 5 och 6 Lösning: a) Vi ska använda samma tidsenheter i alla beräkningar, t ex sekunder λ meddelanden/minut ger att λ/6 meddelanden/sekund Från T har vi µ λ 5 µ µ 4 meddelande/s µ µ Alltså för att få T5 s krävs det betjäningsintensitet µ 4 meddelande er sekund Eftersom meddelande har i genomsnitt v 5 bitar drar vi slutsats att vi behöver en överföringskaacitet med minst K 4 5 bitar er sekund b) µ har vi redan bestämt Först x s Från T W + x har vi W T x µ c) Fördelningsfunktionen för den totala tiden i systemet för en kund är F ( ( ~ ( µ λ ) t ~ s t) P s t) e e t Därför ~ P ( < s < ) F() F() ( e ) ( e 4 4 e e e e Svar: a) K bitar er sekund b) µ 4 meddelande er s W 4 c) P ( < ~ s < ) e 4 e ) Rättningsmall: a,b: för varje del c Sida av 4

12 Ugift 9 () Ett betjäningssystem kan modelleras som M/M// (två betjänare och kölatser) Ankomstintensiteten är λ kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är µ 5 kunder/minut a) () Bestäm sannolikheterna,,, 4 b) () Bestäm medel väntetid W för en kund i detta system Notera att formelblad för M/M/ och M/M/K finns å sidor 5 och 6 Lösning: a) Diagram: Från ovanstående diagramm får vi Först,, 4, Substitutionen i ger Därmed: /9, /9 /9 /9 / 9 Sida av 4

13 4 /9 Svar b) Först N, λ eff , x min, T och slutligen W T x Rättningsmall: a) för korrekt diagram om allt är korrekt b) rätt eller fel Ugift () a) () Låt X vara en Poissonfördelad sv med arameter λ, dvs X Po(λ) Då gäller k λ λ k P( X k) k e Bevisa att k k! b) () Låt X vara en exonentialfördelad sv med arameter λ, dvs X Ex(λ) Bevisa att väntevärdet E ( X ) λ Lösning: a) Vi använder Taylorserien k x x e k k! k k λ λ λ λ λ λ k e e e e e k! k! k k k (VSB) b) Låt f (x) vara täthetsfunktionen till X, alltså λe f ( x) Väntevärdet: E( X ) λx xf ( x) dx Partiell integration:, x x < λxe λx dx uu λλλλ, vv ee λλλλ uu λλ, v ee λλλλ λλ λλλλλλ λλλλ dddd uuuu uu vvvvvv xxxx λλλλ + ee λλλλ dddd xxxx λλλλ ee λλλλ λλ Sida av 4

14 Därför λλλλλλ λλλλ dddd xxxx λλλλ ee λλλλ λλ λλ (VSB) Rättningsmall: a) rätt eller fel b) för korrekt obestämd integral Sida 4 av 4