TATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym
|
|
- Birgitta Gustafsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt uttrcks som funktioner v någon prmeter t som vrierr i ett intervll. Till eempel skulle (t) = cos t och (t) = sin t, där vi låter t π, beskriv cirkeln + =. På dett sätt kn vi även få med fllet då en kurv inte kn uttrcks som en funktion = f(). Eempelvis kn kurvn som bestäms v = 6 sin 3 t och = 3 cos t 5 cos t cos 3t cos 4t med t π rits upp enligt följnde. L.7 l.e. Att beskriv dett som ett funktionssmbnd = f() förefller gnsk omöjligt. Omvänt däremot, om vi utgår från en funktion kn vi lltid skp en prmeterfrmställning. Prmeterform för en funktionskurv Om kurvn vi är intresserd v ges v en funktion f på ett intervll [, b], i.e., = f() för b, så kn vi beskriv dett på prmeterform genom tt till eempel välj = t och = f(t), där t b. Än så länge hr vi egentligen inte ställt någr krv på ingående funktioner, men för tt på något (enkelt) sätt kunn definier vd vi menr med kurvlängd kommer vi tt kräv tt funktionern är kontinuerligt deriverbr (dvs f är deriverbr och f är kontinuerlig). Vi john.thim@liu.se En dödsklle visde sig vr för svår tt beskriv mtemtiskt...
2 brukr smmnftt dett villkor genom tt säg tt f C ([, b]). Vi ntr underförstått tt dett gäller om inget nnt nges. Sts. Om C ([, b]) och C ([, b]) så ges längden v kurvn ((t), (t)) för de t där t b, v L = ( (t)) + ( (t)) dt. Vi skissr beviset lite informellt br för tt se tt det verkr rimligt; det finns ett mer precist bevis i kursboken. Vi ritr en figur och funderr över hur vi kn pproimer längden v en liten del v kurvn. Låt t > vr ett litet tl och låt r(t) = ((t), (t)) R. Vi hr följnde principfigur: r(t) s l r(t + t) Då är det lill bågelementet s l om t är litet och kurvn gltt (ges v deriverbr funktion). Längden l i sin tur kn vi beräkn genom l = r(t + t) r(t) = ((t + t) (t)) + ((t + t) (t)) ((t ) ( ) + t) (t) (t + t) (t) = + t ( t t (t)) + ( (t)) dt då t. Vi väljer nu tt kll det sist uttrcket för bågelementet ds. Med ndr ord, vi definierr ds = ( (t)) + ( (t)) dt. Eempel Räkn ut omkretsen för en cirkel med rdie R. Lösning. Vi vet redn svret, men vi nvänder stsen ovn för tt illustrer. Lämpligen representerr vi cirkeln som (t) = R cos t och (t) = R sin t för t π. Dett är ett sätt tt prmetriser cirkeln på. Eftersom ingående funktioner är snäll erhåller vi då kurvlängden L = ˆ π ˆ π ( (t)) + ( (t)) dt = ( R sin t) + (R cos t) dt = ˆ π = R ˆ π R sin t + cos t dt dt = πr,
3 eftersom R = R då R >. Ovnstående är ett specilfll för kurvlängd då vi nvänder polär koordinter. Mer generellt låter vi rdien vr en given funktion r = h(t), så (t) = r(t) cos t och (t) = r(t) sin t. Stsen ovn implicerr tt ds = h(t) + h (t) dt (vis det). Låt oss smmnftt dett nvändbr resultt. Kurvlängd i polär koordinter Om en kurv Γ ges i polär koordinter, = r cos t och = r sin t, där r = h(t) för α t β och h är kontinuerlig, så kn längden v Γ beräkns enligt L = ˆ β α h(t) + (h (t)) dt. Kurvlängd v en funktionskurv Om vi är intresserde v längden v kurvn = f(), b, kn vi enkelt ställ upp uttrcket för dett genom tt prmetriser som i eemplet tidigre: (t) = t och (t) = f(t). Då är (t) = och (t) = f (t) och längden ges v L = + (f ()) d. ( ) Rent konkret blir klklern oft gnsk jobbig eftersom integrnden innehåller kvdrtrötter v ndrgrdsuttrck. Som tur är behndldes mång sådn situtioner i envribelettn! Eempel Räkn ut längden v kurvn = för. Lösning. Vi ser tt kurvn ges v en C -funktion och tt = f() med f() =. Då ges lltså kurvlängden v + () d = = + 4 d [ + 4 ] = 5 = 5 = där vi utnttjt välkänd (nåj..) primitiv funktion till integrlen med rätt tecken hr vi nu d + 4 d + d [ ( + 4 d + ln + ) ] d ln( + 5), + () d = 5 + ln( + 5) Eftersom vi får tillbk +
4 Definition v kurvlängd Om f C kn mn definier längden L v en kurv direkt med ( ) ovn, men observer tt vi inte direkt kn nvänd stsen som definition v kurvlängd för ll kurvor. Betrkt till eempel fllet då f() =. Som beknt är f inte deriverbr i origo och därmed fungerr inte stsen som formulerd. Men vi vet också tt mn kn del upp Riemnnintegrler i två delr och därmed kunn räkn ut längden v kurvn på vrje del och summer dess. Dett fungerr även om vi hr mång fler punkter där f inte finns (åtminstone så länge dett är ett ändligt ntl). Vd händer sen? Ett eempel på en kurv där det går åt skogen tt räkn ut längden är Kochs snöfling. Mn strtr med en liksidig tringel och delr sedn vrje sid i tre delr och ersätter den mitterst med en n liksidig tringel. Processen uppreps på ll n linjesegment om och om igen oändligt mång gånger. Den kurv som uppstår visr sig inte h någon prmetrisering som är deriverbr i en end punkt! Hur sk vi definier längden v en sådn kurv? Vi ritr upp de se först stegen. Fktum är tt L = är den end rimlig definitionen. 4
5 Pln re Om g() f() på ett intervll [, b] så ges ren A melln f och g v A = (g() f()) d under förutsättning tt funktionern är tillräckligt snäll. Området vrs re vi är intresserde v är D = {(, ) R : b, f() g()}. g() D b f() Eempel Räkn ut ren melln = cos och = sin, π/4. Lösning. Aren ges v A = ˆ π/4 (cos sin ) d = [ sin + cos ] π/4 = 4 = vilket är positivt så svret är inte helt orimligt. Vi bör även kontroller tt cos sin för < < π/4. En figur visr tdligt hur situtionen ser ut, och här är lltså den skuggde ren lik med.83 reenheter. D π 4 5
6 . Are i polär koordinter Polär koordinter är nvändbr i situtioner då vi hr lättre tt beskriv hur långt från origo något befinner sig än tt preciser hur vrition ser ut direkt i - och -koordinter. Vi hr som beknt = r cos ϕ och = r sin ϕ och kn då betrkt områden som ges på formen D = {(, ) R : r h(ϕ), α ϕ β} där h(ϕ) är någon kontinuerlig funktion och α β. Vi skissr upp hur situtionen ser ut. D da r = h(ϕ) dϕ α β ϕ Aren v dett område kn beräkns enligt följnde: A(D) = ˆ β α h(ϕ) dϕ. Motiveringen till reformeln kommer från tt vi kn betrkt ett litet reelement vid vinkeln ϕ enligt da = πh(ϕ) dϕ π = h(ϕ) dϕ eftersom det är en del v en disk med rdien h(ϕ). Vi summerr dess reelement och erhåller formeln ovn. 3 Volm Både rottionsre- och rottionsvolmsberäkningr hör egentligen hemm i en flervribelnlskurs, men på grund v rottionssmmetrin kn vi oft reducer re- och volmberäkningr till ett fll med br en vribel. Mcket v kommnde formler är lite hndviftnde men visr ändå på hur krftfull verktg integrl- och differentilklkl är. 6
7 3. Rottionsvolm vi skivor Vi börjr med tt beskriv det som brukr klls skivformeln. Vi betrktr en icke-negtiv funktion f() och låter området D = {(, ) R : f(), b} roter ett vrv kring -eln. För vrje värde [, b] uppstår då en disk (skiv) med re A() = πf() eftersom rdien för disken ges v funktionsvärdet i punkten : r = f(). Vi multiplicerr med d för tt få en infinitesiml clinder (höjden är lltså d) som hr volmen dv = A() d = πf() d. Vi summerr dess och erhåller då den så kllde skivformeln: V = dv = π f() d. Skivformeln Sts. Om f() är kontinuerlig så ges volmen V som uppstår då området roterr ett vrv kring -eln v D = {(, ) R : f(), b} V = π f() d. Vi bevisr inte stsen utn nöjer oss med rgumentet ovn. En principskiss visr också hur vi summerr små skivor för tt få hel volmen. Formeln är även känd som brödskiveformeln. Vrför tror du formeln fått det nmnet? f() A() b f() 7
8 Eempel Beräkn volmen v den kropp som uppstår då området som begränss v kurvn = 3 och -eln roters ett vrv kring -eln. Lösning. Kurvn = 3 skär -eln då 3 =, vilket sker precis då = och = 3. För 3 är 3, så volmen vi söker ges v ˆ 3 ˆ 3 ] 3 ) π (3 ) d = π ( ) d = π [ = π ( Mn bör se till tt dett uttrck åtminstone är positivt (vrför?). En figur är också på sin plts: 3 Vi kn även t hänsn till ihåligheter i rottionskroppen som i följnde eempel. Eempel Beräkn volmen v ett klot med rdie där vi skär ut en clinder med rdie som hr -eln som sin smmetriel. Lösning. Vi tänker oss tt klotet uppstår vid rottion v disken + kring -eln. Clindern uppstår när vi roterr området melln = och -eln kring -eln. Clindern får oändlig volm så hur reder vi ut hur mcket som ligger i klotet? Ett sätt är skiss upp situtionen. Kurvn + = skär linjen = precis då = ±. Vi ser då tt skivformeln med en undre gräns = istället för = (-eln) ger tt den eftersökt volmen blir V = π ( ) d = π ( ) d = 4π 3. 8
9 Rottion kring lr prllell med -eln Vi kn roter kring en linje = c i stället för kring -eln om vi kräver tt f() c. Det end som ändrs är rdien eftersom det nu är reltivt = c och inte =, så skivformeln får utseendet π (f() c) d. Smm formel gäller om f() c. Det viktig är tt vi ligger på en sidn v rottionseln. 3. Rottionsvolm vi clindrr Om vi vill roter kring -eln i stället är det oft enklst tt gör med rörformeln. Vi betrktr smm område D = {(, ) R : f(), b} med tillägget tt (så hel området är på en sidn v rottionseln). Vid ett fit [, b] tänker vi oss en clinder med höjden f() och rdien. Dett ger mntelren M() = πf(). Vi multiplicerr med en liten tjocklek för tt få ett volmselement dv = M() d = πf() d. Vi summerr dess volmelement och erhåller då den så kllde clinderformeln: V = dv = M() d = π f() d. Clinderformeln Sts. Låt och f(). Volmen V som uppstår då området D = {(, ) R : f(), b} roters ett vrv kring -eln ges v V = π Vi försöker skiss upp situtionen. f() d f( ) f() b b 9
10 Eempel Beräkn rottionsvolmen som uppstår då området melln kurvn = 3/, -eln och 4 roters ett vrv kring -eln. Lösning. För givet [, 4] är rdien för vår clinder (vståndet till -eln) och höjden ges v 3/. Alltså är mntelren π(3/) = 6π och vårt volmselement blir helt enkelt 6πd. Alterntivt direkt vi rörformeln: π ˆ 4 3 ˆ 4 d = π 3 d = 8π. Rottion kring lr prllell med -eln Det är inget mgiskt med -eln, utn rottion kn ske kring vilken linje = c som helst utn större modifiktion. Det end som ändrs är krvet tt bts ut mot tt c och tt rdien för vår clindrr nu ges v r = c, eller tt b c och r = c. Eempel Beräkn rottionsvolmen som uppstår då området melln kurvn = 3/, -eln och 4 roters ett vrv kring () linjen = (b) linjen = 5. Lösning. () För givet [, 4] är rdien för vår clinder (vståndet till rottionseln) och höjden ges v 3/. Rörformeln ger nu tt volmen ges v π ˆ 4 ( ) 3 d = π ˆ 4 ( 3 3 ) d = 6π [ ln ] 4 = 6π (3 ln ). Observer tt denn volm är strikt mindre än volmen i förr eemplet. Precis som sig bör. (b) Nu befinner vi oss på ndr sidn rottionseln, och rdien för rottionen ges v r = 5. Sålund, V = π ˆ 4 (5 ) 3 d = π (5 ln 3 9). Volmen är åtminstone större en noll (eftersom ln 3 > ) så inget direkt orimligt. 4 Smmnfttnde eempel för rottionsvolmer Eempel Låt området D ges v det begränsde området melln kurvn =, -eln och linjen =. Bestäm volmen V då D roterr ett vrv kring -eln och volmen V då D roterr ett vrv kring -eln. Lösning. Vi börjr med tt rit en figur (lltid en br idé).
11 = Vi ser tt för kurvn gäller tt = om och endst om = (både och är ickenegtiv). Vi kn lltså uttrck kurvn både som en funktion v och som en funktion v. På dett sätt kn ll rottionsvolmer ställs upp på två olik sätt: med vseende på och med vseende på. Vi ställer upp volmen som uppstår vid rottion kring -eln först: lterntivt V = π V = π ˆ ˆ ( ) d = π ( ) d = π [ ] = π ] [ 4 = π. 4 Angående den ndr formeln kn vi säg tt vi egentligen roterr en clinder med bsrdie och höjd (längs -eln) och drr bort volmen som uppstår från kurvn =. Om vi roterr kring -eln i stället erhåller vi vi rörformeln tt V = π ˆ [ ] d = π 5 5/ = 6π. 5 Alterntivt kn vi nvänd skivformeln där vi återigen måste skär bort delr ur rottionen med hjälp v en clinder: V = π ˆ ( ( ) ) d = π (4 ) 5/ 5 = 6π. 5
TATA42: Föreläsning 11 Kurvlängd, area och volym
TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 4 mrs 8 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt
Läs merTATA42: Föreläsning 2 Rotationsarea, tyngdpunkter och Pappos-Guldins formler
TATA4: Föreläsning Rottionsre, tngdpunkter och Pppos-Guldins formler John Thim 7 mrs 16 1 Rottionsre När vi sk beräkn rottionsre kommer vi tt utför liknnde mnövrr som vi gjorde för rottionsvolmer, men
Läs merTATA42: Föreläsning 12 Rotationsarea, tyngdpunkter och Pappos-Guldins formler
TATA4: Föreläsning 1 Rottionsre, tngdpunkter och Pppos-Guldins formler John Thim 15 november 18 1 Rottionsre När vi sk beräkn rottionsre kommer vi tt utför liknnde mnövrr som vi gjorde för rottionsvolmer,
Läs merTATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016
TATA4: Envribelnlys VT 6 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volym John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på
Läs merTILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER. VOLYMBERÄKNING.
Armin lilovic: EXTA ÖNINGA olmeräkning TILLÄMPNINGA A INTEGALE. OLYMEÄNING. uvud verktg för volmeräkning är duelintegrl som tillör kursen i flervrielnls, men någr volmeräkningr kn vi gör med jälp v enkelintegrl.
Läs mer10. Tillämpningar av integraler
90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om
Läs merAddition och subtraktion
Sidor i boken 35-39 Addition och subtrktion Vi börjr med lite ritmetik. Heltlsddition innebär ing som helst problem. Här tr vi lämpligen räknedosn till hjälp. Eempel. 3+00+5 = 7 Så länge ll nämnre är lik
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn
Läs merFöreläsning 7b. 3329 Längdskalan är L = 2 3
Föreläsning 7b 3329 Längdskln är L = 2 3 eller 2 : 3 som det oft skrivs i smbnd med krtor. Från teorin får vi tt A, reskln är längdskln i kvdrt det vill säg A = L 2. I denn uppgift ger det A = ( ) 2 2
Läs merNågra integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1
F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så
Läs merTATA42: Tips inför tentan
TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så
Läs merModul 6: Integraler och tillämpningar
Institutionen för Matematik SF65 Envariabelanalys Läsåret 5/6 Modul 6: Integraler och tillämpningar Denna modul omfattar kapitel 6. och 6.5 samt kapitel 7 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas
Läs mer1 Föreläsning IX, tillämpning av integral
Föreläsning IX, tillämpning v integrl. Volym v någr kroppr.. Skiv- oc sklmetodern, m.m. Vi kn tänk oss en limp (röd) som längsledes är genomorrd v eln,. Limpn skivs i n lik tjock skivor, lltså med tjocklek
Läs merVolum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3
Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen
Läs merkonstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b 2 a b
Tentamen i Inledande matematik för V och AT, (TMV25), 20-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) Bestäm { konstanterna a och b så att ekvationssystemet
Läs merKapitel 6. f(x) = sin x. Figur 6.1: Funktionen sin x. 1 Oinas-Kukkonen m.fl. Kurs 6 kapitel 1
Kapitel 6 Gränsvärde 6. Definition av gränsvärde När vi undersöker gränsvärdet av en funktion undersöker vi vad som händer med funktionsvärdet då variabeln, x, går mot ett visst värde. Frågeställningen
Läs merTrigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...
Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010:
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/ 00: Genomgånget på föreläsningrn - 5. Generliserde integrler. Vi hr vist tt den bestämd integrlen I b f
Läs mer13 Generaliserade dubbelintegraler
Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll
Läs merORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM LÄNGDEN AV EN VEKTOR AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER MITTPUNKT TYNGDPUNKT SFÄR OCH KLOT INLEDNING För tt bild
Läs merInduktion LCB 2000/2001
Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n
Läs merAlgebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument
Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument Distributiva lagen a(b + c) = ab + ac 3(x + 4) = 3 x + 3 4 = 3x + 12 3(2x + 4) = 3 2x + 3 4 = 6x + 12
Läs mer4-6 Trianglar Namn:..
4-6 Trianglar Namn:.. Inledning Hittills har du arbetat med parallellogrammer. En sådan har fyra hörn och motstående sidor är parallella. Vad händer om vi har en geometrisk figur som bara har tre hörn?
Läs merSfärisk trigonometri
Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller
Läs merSF1625 Envariabelanalys
SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen
Läs mer3.1 Linjens ekvation med riktningskoefficient. y = kx + l.
Kapitel Analytisk geometri Målet med detta kapitel är att göra läsaren bekant med ekvationerna för linjen, cirkeln samt ellipsen..1 Linjens ekvation med riktningskoefficient Vi utgår från ekvationen 1
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En
Läs merFÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06
FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Dett är föreläsningsnteckningr för distnskursen Mtemtik A - nlysdelen vid Uppsl universitet höstterminen 2006. 1. Integrler I denn sektion går vi igenom
Läs merStokes sats och Integralberäkning Mats Persson
Föreläsning 5/9 tokes sts och Integrlberäkning Mts Persson 1 tokes sts Först given på skrivningen för mith sk priset i februri 185 i mbridge. Bäst student J.. Mxwell). ts: Den slutn kurvn är rnden till
Läs merx 2 + px = ( x + p 2 x 2 2x = ( x + 2
Inledande kurs i matematik, avsnitt P.3 P.3. Bestäm en ekvation för cirkeln med mittpunkt i (0, 0) och radie 4. Med hjälp av kvadratkompletteringsformeln + p = ( + p ) ( p ) En cirkel med mittpunkt i (
Läs mer4-3 Vinklar Namn: Inledning. Vad är en vinkel?
4-3 Vinklar Namn: Inledning I det här kapitlet skall du lära dig allt om vinklar: spetsiga, trubbiga och räta vinklar. Och inte minst hur man mäter vinklar. Att mäta vinklar och sträckor är grundläggande
Läs merSF1620 Matematik och modeller
KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF160 Matematik och modeller 007-09-10 Andra veckan Trigonometri De trigonometriska funktionerna och enhetscirkeln Redan vid förra veckans avsnitt var
Läs mer1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1
UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs
Läs mer19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3
Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i
Läs merORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,
Läs merTMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013
TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment
Läs merMängder i R n. Funktioner från R n till R p
Kpitel 1 Mängder i R n. Funktioner från R n till R p 1.1. Euklidisk rummet R n : geometri Som vnligt betecknr vi med R n mängden v ll reell n-tiplr = ( 1, 2,..., n ) med origo (nollvektorn) = (,,...,)
Läs merTillämpad Matematik I Övning 4
HH/ITE/BN Tillämpd Mtemtik I, Övning 8 6 Tillämpd Mtemtik I Övning 6 8 Allmänt Övningsuppgiftern, speciellt Tpuppgifter i först hnd, är eempel på uppgifter du kommer tt möt på tentmen. På denn är du ensm,
Läs merVolymer av n dimensionella klot
252 Volymer av n dimensionella klot Mikael Passare Stockholms universitet Ett klot med radien r är mängden av punkter vars avstånd till en given punkt (medelpunkten) är högst r. Låt oss skriva B 3 (r)
Läs mer24 Integraler av masstyp
Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter
Läs merLathund, procent med bråk, åk 8
Lathund, procent med bråk, åk 8 Procent betyder hundradel, men man kan också säga en av hundra. Ni ska kunna omvandla mellan bråkform, decimalform och procentform. Nedan kan ni se några omvandlingar. Bråkform
Läs merDefinition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)
Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En cirkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given
Läs mer9. Bestämda integraler
77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln
Läs merSnabbslumpade uppgifter från flera moment.
Snabbslumpade uppgifter från flera moment. Uppgift nr Ställ upp och dividera utan hjälp av miniräknare talet 48 med 2 Uppgift nr 2 Skriv talet 3 8 00 med hjälp av decimalkomma. Uppgift nr 3 Uppgift nr
Läs merLäsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS
Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på
Läs mer1. Frekvensfunktionen nedan är given. (3p)
TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF14 TEN 11 kl 1.15-.15 Hjälpmedel: Formler och tabeller i statistik, räknedosa Fullständiga lösningar erfordras till samtliga uppgifter. Lösningarna skall
Läs merLaborativ matematik som bedömningsform. Per Berggren och Maria Lindroth 2016-01-28
Laborativ matematik som bedömningsform Per Berggren och Maria Lindroth 2016-01-28 Kul matematik utan lärobok Vilka förmågor tränas Problemlösning (Förstå frågan i en textuppgift, Använda olika strategier
Läs merMöbiustransformationer.
224 Om Möbiustransformationer Torbjörn Kolsrud KTH En Möbiustransformation är en komplexvärd funktion f av en komplex variabel z på formen f(z) = az + b cz + d. Här är a b c och d komplexa tal. Ofta skriver
Läs merFacit med lösningsförslag kommer att anslås på vår hemsida www.ebersteinska.norrkoping.se. Du kan dessutom få dem via e-post, se nedan.
Detta häfte innehåller uppgifter från fyra olika områden inom matematiken. Meningen är att de ska tjäna som en självtest inför gymnasiet. Klarar du dessa uppgifter så är du väl förberedd inför gymnasiestudier
Läs merDefinition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En irkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given punkt
Läs merPesach Laksman är lärarutbildare i matematik och matematikdidaktik vid Malmö högskola.
111a Geometri med snöre Pesach Laksman är lärarutbildare i matematik och matematikdidaktik vid Malmö högskola. Areabegreppet När elever får frågan vad area betyder ges mestadels svar som antyder hur man
Läs merFöreläsning 7: Trigonometri
ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är
Läs merSEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER
SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER En differentialekvation (DE) av första ordningen sägs vara separabel om den kan skrivas på formen P ( y) Q( ) () Den allmänna lösningen till () erhålles genom att integrera
Läs merÖvningshäfte Algebra, ekvationssystem och geometri
Stockholms Tekniska Gmnasium --9 Övningshäfte Algebra, ekvationssstem och geometri Nivå: rätt svårt Fråga : f är ett polnom. Beräkna värdet av f, f och fπ Fråga : Ingångslönen på företaget Börjes Gurkinläggning
Läs merKryssproblem (redovisningsuppgifter).
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Flervariabelanalys, 5 hp STS, X 2010-03-19 Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Till var och en av de åtta lektionerna hör ett par problem, som kallas
Läs mer23 mars 2006, kl.9.00-13.00 Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 22p. för Väl Godkänd av max. 35p.
HH / Georgi Tchilikov GEOMETRI och LINJÄR ALGEBRA, 5p. 3 mrs 6, kl.9.-3. Ing hjälpmedel, förutom skrivmteriel. Betygsgränser: 5p. för Godkänd, p. för Väl Godkänd v mx. 35p. Om ej nnt säges, gäller tt ll
Läs mer0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.
Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.
Läs merRepetition av cosinus och sinus
Repetition av cosinus och sinus Av Eric Borgqvist, 00-08-6, Lund Syftet med detta dokument är att få en kort och snabb repetition av vissa egenskaper hos de trigonometriska funktionerna sin och cos. Det
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341/LIMAB6, STN2) 2012-01-09 kl 08-13
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341/LIMAB6, STN2) 212-1-9 kl 8-13 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är
Läs merIndividuellt Mjukvaruutvecklingsprojekt
Individuellt Mjukvaruutvecklingsprojekt RPG-spel med JavaScript Författare Robin Bertram Datum 2013 06 10 1 Abstrakt Den här rapporten är en post mortem -rapport som handlar om utvecklandet av ett RPG-spel
Läs mer2005-01-31. Hävarmen. Peter Kock
2005-01-31 Hävarmen Kurs: WT0010 Peter Kock Handledare: Jan Sandberg Sammanfattning Om man slår upp ordet hävarm i ett lexikon så kan man läsa att hävarm är avståndet mellan kraften och vridningspunkten.
Läs merEkvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden
Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 359 Ekvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden - En inledning Ekvationssystem - matrisformulering Vi såg att
Läs mera n = A2 n + B4 n. { 2 = A + B 6 = 2A + 4B, S(5, 2) = S(4, 1) + 2S(4, 2) = 1 + 2(S(3, 1) + 2S(3, 2)) = 3 + 4(S(2, 1) + 2S(2, 2)) = 7 + 8 = 15.
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D och F, SF161 och SF160, den juni 008 kl 08.00-1.00. DEL I 1. (p) Lös rekursionsekvationen
Läs merTillämpning av integraler
CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr
Läs mer6 Greens formel, Stokes sats och lite därtill
6 Greens formel, tokes sts och lite därtill 6.1 Greens formel i låter de två sklärvärd funktionern P (, ) och Q(, ) vr kontinuerligt deriverbr i ett öppet område i -plnet. Området begränss v en positivt
Läs merTräning i bevisföring
KTHs Matematiska Cirkel Träning i bevisföring Andreas Enblom Institutionen för matematik, 2005 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse 1 Mängdlära Här kommer fyra tips på hur man visar
Läs merMat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III
Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))
Läs merKonstruktioner. 1 Att dela en sträcka i två lika delar. I Euklidisk geometri. Johan Wild 2010-01-18. Sträcka AB skall delas i två lika delar.
Konstruktioner I uklidisk geometri Johan Wild 2010-01-18 c Johan Wild johan.wild@europaskolan.se Får gärna användas i undervisning, kontakta i så fall författaren. 1 tt dela en sträcka i två lika delar
Läs merAnalys -Volym. Författarna och Bokförlaget Borken, 2011. Volym - 1
Anlys -Volym Teori Så beräkns volymen v en rottionskropp med snittren A(). Teori Sklmetoden för volymberäkningr.. Modell Sklmetoden för volymberäkningr... Modell Beräkning v volym om inte A() är cirkulär.
Läs merObservera att alla funktioner kan ritas, men endast linjära funktioner blir räta linjer.
1 Matematik som verktyg Antag att vi har en funktion som är en rät linje, y = 1 3x. Eftersom relationen mellan x och y är linjär räcker det med att vi hittar två punkter (två talpar) på linjen för att
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervribelnlys Tentmen 8 juni 11, 8. - 13. Svr och lösningsförslg Del A (1 estäm en ekvtion för tngentplnet till ytn z + y z 3 1 i punkten (, y, (1, 1,. (3p b Punkten (, y, z (1.1,.9, t ligger på
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6
Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter
Läs merPartnerskapsförord. giftorättsgods görs till enskild egendom 1, 2. Parter 3. Partnerskapsförordets innehåll: 4
Partnerskapsförord giftorättsgods görs till enskild egendom 1, 2 Parter 3 Namn Telefon Adress Namn Telefon Adress Partnerskapsförordets innehåll: 4 Vi skall ingå registrerat partnerskap har ingått registrerat
Läs merInstitutionen för matematik Envariabelanalys 1. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej miniräknare)
Umeå universitet Dugga i matematik Institutionen för matematik Envariabelanalys 1 och matematisk statistik IE, ÖI, Stat. och Frist. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN 1998. Tidsbunden del
Nationellt kursprov i Matematik kurs B ht 1998 sida 1 (av 7) Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen
Läs merTATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018
TATA42: Envribelnlys 2 VT 28 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA42: Föreläsning Mclurinutecklingr John Thim 4 mrs 28 Introduktion Tänk er följnde sitution. En snäll funktion f är given, men
Läs merDefinition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.
Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller vbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till någr element i A ordnr högst ett element i B. Att
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 Punktskattning och kondensintervall Innehåll 1 Punktskattning och kondensintervall Population Punktskattning och kondensintervall Vi har en population vars någon mätbar egenskap X vi är intresserade
Läs merÖvningshäfte i matematik för. Kemistuderande BL 05
Övningshäfte i matematik för Kemistuderande BL 05 Detta häfte innehåller några grundläggande övningar i de delar av matematiken som man har användning för i de tidiga kemistudierna. Nivån är gymnasiematematik,
Läs merDOP-matematik Copyright Tord Persson. Bråktal -3-2 -1 0 1 2 3. Läs av vilka tal på tallinjen, som pilarna pekar på. Uppgift nr 10 -3-2 -1 0 1 2 3
Bråktal Uppgift nr En limpa delas i 4 lika stora delar. Hur stor del av limpan blir varje del? Uppgift nr 2 Hur många tiondelar behövs för att det skall räcka till en hel? Uppgift nr Hur läser man ut bråket
Läs merOM KOMPLEXA TAL. 1 Om a är ett positivt reellt tal så betecknar a det positiva reella tal vars kvadrat är a men det är
OM KOMPLEXA TAL Inledning. Vilka olika talområden finns det? Jag gör en snabb genomgång av vad ni tidigare stött på, bl.a. för att repetera standardbeteckningarna för de olika talmängderna. Positiva heltal,
Läs merSANNOLIKHET. Sannolikhet är: Hur stor chans (eller risk) att något inträffar.
SANNOLIKHET Sannolikhet är: Hur stor chans (eller risk) att något inträffar. tomas.persson@edu.uu.se SANNOLIKHET Grundpremisser: Ju fler möjliga händelser, desto mindre sannolikhet att en viss händelse
Läs merMätningar på op-förstärkare. Del 3, växelspänningsförstärkning med balanserad ingång.
Mätningar på op-förstärkare. Del 3, växelspänningsförstärkning med balanserad ingång. Denna gång skall vi titta närmare på en förstärkare med balanserad ingång och obalanserad utgång. Normalt använder
Läs merLathund till Annonsportalen
Lathund till Annonsportalen * För uppdrags-/arbetsgivare * www.gu.se/samverkan/annonsportalen/ Snabbvägar: 1. Klicka på För arbetsgivare 2. Sök efter arbetsgivarens namn i sökrutan. a. Om namnet finns
Läs merNågot om permutationer
105 Något om permutationer Lars Holst KTH, Stockholm 1. Inledning. I många matematiska resonemang måste man räkna antalet fall av olika slag. Den del av matematiken som systematiskt studerar dylikt brukar
Läs merATT KUNNA TILL. MA1050 Matte Grund. 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson
ATT KUNNA TILL MA1050 Matte Grund 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov G1 Kunna ställa upp och beräkna additions-, subtraktions-, multiplikations- och divisuionsuppgifter
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.
GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merUPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION
OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i
Läs merDavid Wessman, Lund, 30 oktober 2014 Statistisk Termodynamik - Kapitel 5. Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik.
Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik. 1 Jämviktsvillkor Om vi har ett stort system som består av ett litet system i kontakt med en värmereservoar. Storheter för det lilla systemet
Läs merEtt förspel till Z -transformen Fibonaccitalen
Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.
Läs merRÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3,
Läs merAvsikt På ett lekfullt sätt färdighetsträna, utveckla elevers känsla för hur vårt talsystem är uppbyggt samt hitta mönster som uppkommer.
Strävorna 4A 100-rutan... förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande.... grundläggande
Läs merKan det vara möjligt att med endast
ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp
Läs merVÄRDERINGSÖVNINGAR. Vad är Svenskt?
VÄRDERINGSÖVNINGAR Vad är Svenskt? Typ av övning: Avstamp till diskussion. Övningen belyser hur svårt det är att säga vad som är svenskt och att normen vad som anses vara svenskt ändras med tiden och utifrån
Läs merSammanfattning på lättläst svenska
Sammanfattning på lättläst svenska Utredningen skulle utreda och lämna förslag i vissa frågor som handlar om svenskt medborgarskap. Svenskt medborgarskap i dag Vissa personer blir svenska medborgare när
Läs mer