TATA42: Föreläsning 2 Rotationsarea, tyngdpunkter och Pappos-Guldins formler

Transkript

1 TATA4: Föreläsning Rottionsre, tngdpunkter och Pppos-Guldins formler John Thim 7 mrs 16 1 Rottionsre När vi sk beräkn rottionsre kommer vi tt utför liknnde mnövrr som vi gjorde för rottionsvolmer, men vi kommer så klrt tt betrkt små reelement i stället för små volmselement. 1.1 Rottionsre kring -eln Vi betrktr en funktion f() och låter kurvn D = {(, ) R : = f(), b} roter ett vrv kring -eln, där < b. För vrje värde [, b] uppstår då en cirkel som hr omkrets πf() eftersom rdien för cirkeln ges v funktionsvärdet: r = f() (vståndet till rottionseln). Vi multiplicerr med bågelementet ds för tt få en infinitesiml clinder (höjden är lltså ds) vrs mntelre blir da = πf()ds. Vi summerr dess och erhåller då följnde. Sts. Om f() är kontinuerligt deriverbr och < b så ges ren A som uppstår då kurvn D = {(, ) R : = f(), b} roterr ett vrv kring -eln v A = π f() ds = π f() 1 + (f ()) d. Vi bevisr inte stsen utn nöjer oss med rgumentet ovn. En principskiss visr också hur vi summerr mntelren v dess små clindrr för tt få hel rottionsren. john.thim@liu.se 1

2 ds f() ds da b da πf() f() I den högr figuren hr vi klippt upp bndet som skps när vi roterr ds kring -eln. Vi ser här tt kntlängdern blir precis ds och πf(), så det är rimligt tt re-elementet ges v da = πf() ds. Eempel Beräkn volmen v den kropp som uppstår då kurvn =, 1, roters ett vrv kring -eln. Lösning. Aren kommer tt ges v π ˆ 1 () 1 + d = 4 5π ˆ 1 d = 4 5π. Precis som för rottionsvolmer bör mn se till tt dett uttrck åtminstone är positivt (vrför?). Vidre är det objekt som uppstår en kon i dett fll (med bsrdien och höjden 1) och vi räknr lltså ut mntelren på denn! = 1

3 Rottion kring lr prllell med -eln Vi kn roter kring en linje = c i stället för kring -eln om vi br kräver tt ender f() c eller f() c (tt vi befinner oss på en sidn v rottionseln med ndr ord). Det som ändrs är rdien eftersom det nu är reltivt = c och inte =, så A = π f() c 1 + (f ()) d. 1. Rottionsre för rottioner kring -eln Om vi vill roter kring -eln i stället nvänder vi oss v ett liknnde rgument som i rörformeln för rottionsvolmer. Vi betrktr smm kurv D = {(, ) R : = f(), b} med tillägget tt (så hel kurvn är på en sidn v rottionseln). Däremot måste inte f() längre. Vid ett fit [, b] tänker vi oss ett litet bågelement ds på höjden f(). Dett roters kring -eln och det uppstår då en liten rottionsre da = π ds eftersom omkretsen för cirkeln är π för rdien. Vi summerr dess reelement och erhåller följnde formel. Sts. Låt < b. Aren A som uppstår då kurvn D = {(, ) R : = f(), b} roters ett vrv kring -eln ges v A = π ds = π Vi försöker skiss upp situtionen. 1 + (f ()) d. f( ) f() ds b b Mn kn gör smm sorts uppklippning här som i fllet då vi roterde kring -eln, vilket motiverr formeln da = π ds för reelementet.

4 Eempel Beräkn rottionsren som uppstår då kurvn =, roters ett vrv kring -eln. Lösning. Eftersom = erhåller vi ren ˆ A = π 1 + () d = π ˆ d = π [ (1 + 4 ) / 4 ( 17 / 1 ) ( ) π π = =. 6 6 Rimligt svr? Väldigt svårt tt säg, men det är åtminstone positivt! Rottion kring lr prllell med -eln Precis som för rottionsvolmer är det inget mgiskt med -eln, utn rottion kn ske kring vilken linje = c som helst. Det end som ändrs är krvet tt bts ut mot tt c eller c b och tt rdien nu ges v r = c. ] Tngdpunkter Låt oss fokuser på det pln fllet i dimensioner. Generlisering till dimensioner sker nturligt efter det med volm i stället för re (da blir dv och så vidre). I det -dimensionell fllet inkluderr vi även fllet med kurvor och i det fllet behöver da bts ut mot bågelementet ds. Vi tänker oss också tt densiteten är konstnt lik med ett så tt re (eller volm respektive kurvlängd) är det smm som mss. Låt oss fokuser på situtionen där ett område D beskrivs v D = {(, ) R : f() g(), b} där vi ntr tt f() g(). Vidre tänker vi oss tt grvittionen verkr i negtiv -elns riktning. Vi mrkerr ett litet område melln och + i figuren nedn. g() g D f() + b 4

5 Dett område ger upphov till ett vridnde moment kring origo som pproimtivt hr storleker (g() f()). Mssn för motsvrnde område ges v (f() g()) (densiteten är ett) och vi vet från fsiken tt tngdpunkt ges v totlt moment delt på totl mss. Det förefller lltså rimligt tt definier området D:s tngdpunkt t med vseende på -eln genom t = (g() f()) d (g() f()) d = da där da är re-elementet (f() g()) d. Vidre kn vi även nvänd dett element för tt definier D:s tngdpunkt t med vseende på -eln: da t = da. da Oft behöver mn här rbet lite med da för tt uttrck dett i i stället för när vi söker t. För enkl geometrisk objekt är det gnsk enkelt tt se vrt tngdpunkten ligger. I en cirkel är det i mitten och smm sk gäller en rektngel. Hur går det med en tringel? Eempel Betrkt en rätvinklig tringel där hpotenusn ges v = k + kh, h och k >. kh t t h Tngdpunkten t med vseende på -eln ges v 1 A ˆ h ( k + kh)d = kh 6A, där A = ˆ h ( k + kh)d = kh, så t = h. På en tredjedel v höjden lltså. Smm gäller så klrt t (på en tredjedel v höjden i -elns riktning lltså) pg smmetriskäl. Men vi kn räkn ut det också om vi vill. Vi hr t = 1 ˆ kh ( h ) d = = kh A k, där vi skrivit om da = ( h /k ) d med vseende på. 5

6 Pppos-Guldins regler Vi sk nu ställ upp krftfull regler för både rottionsvolmer och rottionsreor där vi utnttjr tngdpunkter. Problemet fltts nu till tt bestämm tngdpunkten i stället för bökig rottionsuppställningr. Därmed hr vi inte sgt tt det lltid är enklre tt räkn ut tngdpunkten, men viss fll förenkls vsevärt med de tekniker vi nu går genom (speciellt kommer vi åt fllen med lutnde rottionslr)..1 Rottionsvolm Vi låter D vr ett plnt område som ligger helt på en sidn v en linje L. Beteckn det vinkelrät vståndet melln tngdpunkten och linjen L med l. Dett är lltså det kortste vståndet melln och linjen L. D l L Om D roters ett vrv kring linjen L uppstår en rottionsvolm. Denn volm kn då beräkns med hjälp v Pppos-Guldins regel som säger tt volmen som uppstår ges v ren för D gånger tngdpunktens väg vid rottionen: V = A(D) πl. Eempel Låt disken + 1 roter ett vrv kring linjen = 4 +. Bestäm rottionsvolmen som uppstår. Lösning. Diskens tngdpunkt ligger i centrumpunkten som i dett fll är origo. Det kortste vståndet från origo till tngdpunkten blir 8 (betrkt tringeln med hörn i ( 4, ), (, 4) och (, )) smt cirkeln). 4 l 4 6

7 Tngdpunktens väg blir lltså π 8 = 4π. Pppos-Guldin ger nu tt den eftersökt volmen blir V = π 4π = 4π.. Rottionsre Vi låter Γ vr en pln kurv som ligger helt på en sidn v en linje L. Beteckn det vinkelrät vståndet melln tngdpunkten för den pln kurvn och linjen L med l. Precis som tidigre är dett det kortste vståndet melln och linjen L. l Γ L Om Γ roters ett vrv kring linjen L uppstår en rottionsre. Denn re kn beräkns med hjälp v Pppos-Guldins regel som säger tt ren som uppstår ges v kurvlängden s för Γ gånger tngdpunktens väg vid rottionen: A = s πl. Observer tt tngdpunkten i llmänhet inte hmnr på tråden (den behöver inte hmn inne i området i det två-dimensionell fllet heller).. Pppos-Guldin loklt och bklänges Fktum är tt vi kn nvänd Pppos-Guldins regler bklänges för tt hitt tngdpunkten för en kurv eller ett område i plnet. Vi illustrerr med ett eempel. Pppos-Guldin för tt hitt Hitt tngdpunkten för en hlvdisk + R,. Lösning. Tngdpunkten med vseende på -eln ligger så klrt i t =. Hur hittr vi tngdpunkten t med vseende på -eln? Vi skissr upp lösningen och grfiskt borde t ligg lite lägre än mittpunkten på -eln. R R 7

8 Vi ser tt ren v det pln området ges v A = πr smt tt om dett område roters kring -eln uppstår en rottionsvolm V = 4πR eftersom dett är ett klot. Tngdpunktens väg under rottionen är helt enkelt π t. Pppos-Guldins regel implicerr nu tt πr π t = 4πR t = 4R π. Tngdpunkt för område givet som funktionsgrf Eemplet ovn är ett specilfll v en mer generell sitution då ett område ges som ren melln en funktionskurv = f(), -eln, = och = b (förutstt tt f ). Mn kn då vis tt tngdpunkten t ges v t = f() d. f() d Dett följer från Pppos-Guldin. En principfigur kn se ut enligt nedn. t b Aren ges då v A = f() d och om vi roterr området ett vrv kring -eln uppstår en rottionsvolm som v skivformeln beräkns till V = π f() d. Enligt Pppos-Guldins regler följer nu tt A π t = V ur vilket smbndet ovn kn löss ut. Vd skulle händ med motsvrnde klkl för tngdpunkten t och rottion kring -eln? Använd clinderformeln och se vd som trillr ut. Beknt? Pppos-Guldins regler kn även med fördel nvänds loklt. Med dett menr vi tt de små re- och volmelement vi tidigre betrktt vid rottion kn nvänds tillsmmns med de tper v summtionsrgument vi ägnt oss åt. Speciellt är dett lämpligt när mn roterr kring lutnde lr. Vi illustrerr med ett eempel. 8

9 Lutnde rottionsel Räkn ut rottionsvolmen som uppstår när det begränsde området melln = och = roterr ett vrv kring =. Lösning. Rottionseln är inte prllell med vre sig - eller -eln, men vi kn komm åt problemet med hjälp v Pppos-Guldin. Kurvorn skär vrndr i = och = så det är området,, som sk roter kring =. Vi skissr upp problemet. v l + d Tngdpunkten för det mörkre skuggde reelementet ligger pproimtivt i t = och t som mitt melln = och =. Låt l vr hlv lodrät vståndet melln = och =, dvs l =. Dett är lltså det lodrät vståndet melln = och tngdpunkten. Vi söker dock det vinkelrät vståndet för tt kunn nvänd Pppos-Guldins formler (det är dett vstånd som ger sträckn tngdpunkten förflttr sig vid rottion). Lite geometri visr tt vinkeln v kn uttrcks som v = rctn 1 om lutningen för linjen är k >. k l Därmed blir det vinkelrät vståndet l sin v =. Pppos-Guldins formel medför nu 1 + k tt rottionselementet dv kn ställs upp enligt dv = πl da = πl ( )d = π( ) d 1 + k = π( ) d 1 eftersom k = i vårt fll. Vi summerr vår dv och erhåller då volmen v rottionskroppen: V = ˆ dv = π ˆ ( ) d = 81π = 81π

10 4 Rottionsvolm och rottionsre i polär koordinter Låt = r cos ϕ och = r sin ϕ som vnligt när vi nvänder polär koordinter. 4.1 Rottionsvolm Betrkt ett område D = {(, ) R : r h(ϕ), α ϕ β} där h(ϕ) är någon kontinuerlig funktion. Vi skissr upp hur situtionen ser ut. Det mörkre området är en mindre del för en liten vinkel dϕ vid någon vinkel ϕ. dϕ α β ϕ Aren för dett re-element ges pproimtivt v πh(ϕ) dϕ π = h(ϕ) dϕ, och eftersom vi kn betrkt det lill området som en tringel finns tngdpunkten på / v sträckn från origo. Alltså blir det vinkelrät vståndet från -eln till pproimtivt h(ϕ) sin ϕ och den väg tngdpunkten förflttr sig blir således 4π h(ϕ) sin ϕ. Volmselementet dv som uppstår ges lltså v Pppos-Guldins formel enligt dv = 4π h(ϕ) h(ϕ) sin ϕ dϕ och vi kn summer för tt erhåll följnde uttrck. Rottionsvolm på polär form Sts. Om området D roters ett vrv kring -eln ges rottionsvolmen v V (D) = π ˆ β α h(ϕ) sin ϕ dϕ. Det är inte direkt meningen tt ni sk memorer formlern här utn mer kunn upprep principen. Låt oss betrkt ett eempel. 1

11 Eempel Området r cos t, t π/, roters ett vrv kring linjen = 1. Bestäm volmen för kroppen som uppstår. Lösning. Sträckn från tngdpunkten för ett litet vinkelområde vid vinkel t till -eln ges som h(t) cos t = cos t och således blir sträckn som tngdpunkten förflttr sig vid rottion ( ) π cos t + 1 Vi kn nu ställ upp ett volmselement enligt Pppos-Guldins formel: ( ) dv = π cos t + 1 cos t dt. Här hr vi utnttjt tt ett litet reelement i polär koordinter kn skrivs da = h(t) dt. Eftersom ( ) ( ) cos t + 1 cos t cos t = (1 + cos t) + 1 = cos t + 1 cos 4t 4 följer det tt ˆ π/ dv = π ˆ π/ Låt oss även rit upp situtionen. ( cos t + 1 ) cos 4t dt = π En liten nmärkning. Området ser cirkulärt ut eller hur? Om h(t) = cos t, = h(t) cos t smt = h(t) sin t, ser vi tt + = cos 4 t + cos t sin t = cos t ( cos t + sin t ) = cos t =, så ( + = 1 ) + = 1 4. Alltså en cirkel med rdie 1/ och centrum i (1/, ). Då vet vi tt ren v området är π/8 (hlv disken) och tt tngdpunkten ligger vid t = 1/. Alltså kn vi nvänd Pppos- Guldin på hel området direkt: ( V = π ) π 8 = π 8. 11

12 4. Rottionsre En kurv Γ ges v r = h(ϕ) där α ϕ β och h(ϕ) är någon kontinuerligt deriverbr funktion roters kring -eln. Det uppstår en rottionsre och vi försöker skiss upp vd som händer. Γ ds α β ϕ dϕ Det lill bågelementet ds ges som beknt v ds = h(ϕ) + h (ϕ) dϕ och eftersom tngdpunkten pproimtivt ligger vid r = h(ϕ), så erhåller vi tt tngdpunktens väg vid rottion kring -eln blir πh(ϕ) sin ϕ (jämför med rottionsvolmsfllet ovn). Aren som uppstår ges lltså v Pppos-Guldins formel: Rottionsre på polär form Sts. Om kurvn Γ roters ett vrv kring -eln uppstår rottionsren ˆ β A(D) = π h(ϕ) sin ϕ h(ϕ) + h (ϕ) dϕ. α Eempel Vis tt ren för ett klot med rdie R ges v den beknt formeln A = 4πR. Lösning. Vi kn tänk oss kurvn som ges v h(ϕ) = R för ϕ π och låt den roter ett vrv kring -eln. Rottionsren som uppstår ges då enligt ovn v π ˆ π eftersom R = R då R >. R sin ϕ R + dϕ = πr R ˆ π sin ϕ dϕ = 4πR, 1