Lösningsförslag till finaltävlingen den 19 november 2005

Transkript

1 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Lösningsförslg till finltävlingen den 19 novemer Vi utvecklr de åd leden och får ekvtionen vilken efter förenkling kn skrivs x 3 + xy + x 2 y 2 + y 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3, xy(xy 3x 3y + 1) = 0 Vi ser tt ll heltlspr (x, y) där x = 0 och/eller y = 0 löser ekvtionen Ytterligre lösningr får vi genom tt etrkt ekvtionen xy 3x 3y + 1 = 0 Vänsterledet kn skrivs som (x 3)(y 3) 8, vilket ger ekvtionen (x 3)(y 3) = 8 Eftersom 8 = 1 8 = ( 1) ( 8) = 2 4 = ( 2) ( 4), kn tlpret (x 3, y 3) nt värdepren (1, 8), (8, 1), ( 1, 8), ( 8, 1), (2, 4), (4, 2), ( 2, 4), ( 4, 2) Vi får därför ytterligre ått lösningr, nämligen de tlpr (x, y) som är lik med (4, 11), (11, 4), (2, 5), ( 5, 2), (5, 7), (7, 5), (1, 1), ( 1, 1) Svr: All heltlspr (x, y) där x = 0, y = 0 smt pren (4, 11), (11, 4), (2, 5), ( 5, 2), (5, 7), (7, 5), (1, 1), ( 1, 1) 2 Låt oss studer det llmänn prolemet med n könde personer, n 1 Vi etecknr kundern med K 1, K 2,, K n i den ordning de stod i den ursprunglig kön Vi söker S n = ntlet möjlig plceringr i den ny kön För n = 1 är r en plcering möjlig; för n = 2 hr vi två möjligheter, dvs vi hr S 1 = 1 och S 2 = 2 Låt oss nu nt tt n 3 I den ny kön kn K 1 ntingen ställ sig på plts nr 1 eller plts nr 2 Om K 1 ställer sig först, kn de övrig n 1 kundern sedn plcer sig över pltsern 2, 3,, n enligt givn regler, dvs på S n 1 olik sätt Om K 1 ställer sig på ndr plts, är det r K 2 som hr rätt tt ställ sig främst De n 2 övrig kundern K 3, K 4,, K n sk därefter fördel sig över pltsern 3, 4,, n, vilket kn ske på S n 2 olik sätt Vi finner således tt S n = S n 1 +S n 2 för n 3 I uppgiften gällde det tt estämm S 12 Vi nvänder den funn rekursionsformeln och får i tur och ordning: S 3 = S 2 + S 1 = 3, S 4 = = 5, S 5 = 8, S 6 = 13, S 7 = 21, S 8 = 34, S 9 = 55, S 10 = 89, S 11 = 144 och slutligen S 12 = 233 Svr: 233 plceringr 3 Låt tringeln h sidlängdern, och c som figuren visr Enligt isektrisstsen gäller tt isektrisen till vinkeln A delr sidn BC så tt BD Det etyder tt sträckn CD hr längden +c CD = c Motsvrnde gäller för isektrisen till vinkeln C

2 Den delr sidn AB så tt AE + c BE =, vilket inneär tt sträckn AE hr längden A B c E D C Vi sk sålund vis tt vilket är ekvivlent med tt eller (1) + c + c + <, + c + c + < 1, c + c c + c < 1 Men enligt cosinusstsen är 2 = 2 + c 2 2c cos B > 2 + c 2 c, eftersom vinkeln B är > 60 (och < 180 ), dvs cos B < 1 2 Men dett inneär tt vänsterledet i (1) ökr om vi i dess nämnre ersätter 2 med 2 + c 2 c, dvs c + c c + c < c + c c 2 + c, men det senre ledet är ju är lik med 1 Följktligen måste vänsterledet i (1) vr < 1 och olikheten är visd 4 Nollställen ligger symmetriskt kring + 3d 2 = m, säg Låt g(x) = f(x + m) Då hr polynomet g nollställen 3d 2, d 2, d 2, 3d 2, och kn enligt fktorstsen skrivs för något tl c 0 Nu är g(x) = c(x + 3d 2 )(x + d 2 )(x d 2 )(x 3d 2 ) g( x) = c( x + 3d 2 )( x + d 2 )( x d 2 )( x 3d 2 ) = c(x 3d 2 )(x d 2 )(x + d 2 )(x + 3d 2 ) = g(x),

3 dvs g är en jämn funktion Då följer tt dess derivt, g, är en udd funktion Eftersom g är ett tredjegrdspolynom, är dess nollställen därför, 0,, för något tl Men då f (x) = g (x m), följer tt nollställen till f också ildr en ritmetisk följd Låt oss som tillägg t red på hur nollställen till f förhåller sig till nollställen till f Vi multiplicerr fktorern i g(x) och får enligt konjugtregeln Polynomets derivt är g(x) = c(x 2 ( d 2 )2 )(x 2 ( 3d 2 )2 ) = c(x 4 5d2 2 x2 + 9d4 16 ) g (x) = c(4x 3 2 5d2 5d 5d x) = 4cx(x 2 2 )(x + 2 ), vilket etyder tt röttern till g är 5d 2, 0, 5d 2, medn röttern till f är m 5d 2, m, m + 5d 2 5 Låt oss i rutnätet etrkt ll möjlig delkvdrter estående v fyr rutor Vi noterr då tt vrje hörnrut ingår i exkt en delkvdrt (i figuren ingår rut i den heldrgn kvdrten), vrje kntrut som inte är en hörnrut ingår i exkt två delkvdrter (rut ingår i såväl den heldrgn som i den streckde kvdrten), och vrje inre rut, dvs som inte ligger längs en knt, ingår i exkt fyr delkvdrter Rutorn i figuren nedn är mrkerde med ntlet delkvdrter som de ingår i Vi hr totlt M = olik delkvdrter, dvs M är ett jämnt tl Låt oss nu räkn ntlet svrt rutor i vr och en v de M delkvdrtern Svrt inre rutor lir därvid räknde 4 gånger, svrt kntrutor lir räknde 2 gånger och svrt hörnrutor lir räknde 1 gång Eftersom vrje delkvdrt innehåller ett udd ntl svrt rutor, smtidigt som M är ett jämnt tl, måste totl ntlet räknde svrt rutor vr jämnt Låt nu H vr ntlet svrt hörnrutor, K ntlet svrt kntrutor och I ntlet svrt inre rutor Totl ntlet räknde svrt rutor är då H + 2K + 4I Men eftersom 2K + 4I är ett jämnt tl, följer tt H måste vr ett jämnt tl Det måste lltså finns ett jämnt ntl svrt hörnrutor För eräkning v ntlet möjlig färgläggningr inser vi tt mönstret entydigt estäms v hur rutorn i den först rden och den först kolumnen är målde Om exempelvis två v rutorn, och d i figuren nedn är svrt, följer tt rutn e måste vr svrt, eftersom ntlet svrt i den heldrgn delkvdrten sk vr ett udd tl Om ll tre rutorn är svrt följer v smm skäl tt rutn e måste vr vit Färgfördelningen

4 i den heldrgn delkvdrten är lltså entydigt estämd v färgern hos rutorn, och d Vi kn fortsätt resonemnget på smm sätt med den streckde delkvdrten och konstter tt färgen i rut f är entydigt estämd v färgern hos rutorn, c och e Vi inser tt färgen på vr och en v rutorn i den ndr rden kn estämms stegvis från vänster till höger Om vi fortsätter på dett sätt rd för rd kommer smtlig rutor h färgestämts entydigt v målningen i rd 1 och kolumn 1 Hur vi än färgsätter den först rden och den först kolumnen är det lltid möjligt tt ordn så tt vrje delkvdrt i rutnätet innehåller ett udd ntl svrt rutor Då vrje rut kn måls på två sätt och då smmnlgd ntlet rutor i den först rden och den först kolumnen är = 4009, finns det följktligen sätt tt färglägg rutnätet c d e f Svr: Rutnätet kn måls på sätt 6 Låt oss först estämm den störst möjlig ren Vi inser tt ilden v tetrdedern ntingen är en tringel eller en fyrhörning När ilden är en tringel, måste denn vr en projektion v en v tetrederns sidor Den mximl ren v ilden är lik med ren v tetrederns sid, eller 3/4 (höjden mot vrje tringelsid är 3/2) Om ilden är en fyrhörning är fyrhörningens digonler projektioner v två v tetrederns knter Vrje digonl kn därför mximlt h högst längden 1, vilket gör tt fyrhörningens re är högst lik med 1/2 Denn re nts om och endst om åd digonlern hr längden 1 och ildr rät vinkel med vrndr Men dett kn åstdkomms om vi låter de ktuell kntern hos tetredern vr prllell med projektionsplnet Vi får då en re som är större än den mximl tringelren, nämligen 1/2 Låt oss nu estämm den minst möjlig ren Låt hörnen i tetredern vr A, B, C, D och ntg tt ders projektioner i plnet är resp A, B, C, D

5 A D B C I figuren är punkten D en inre punkt i tringeln A B C, men den kn eventuellt smmnfll med något v tringelhörnen eller ligg på någon v tringelsidorn Låt linjesegmentet P Q vr den invers ilden v D Det inneär tt om P utgör hörnet D i tetredern så är Q den punkt på tetredersidn ABC som är sådn tt vrje punkt på P Q projicers i D Tetredern ABCD kn då dels upp i tre deltetredrr, P QAB, P QAC och P QBC Volymen v P QAB hr smm volym som en tetreder med sytn A B D och höjden P Q Motsvrnde gäller för de åd övrig deltetredrrn, dvs volymen v tetredern ABCD är lik med volymen hos en tetreder med sytn A B C och höjden P Q Eftersom P Q 1 (vståndet melln två punkter på tetrederns yt kn högst vr en kntlängd) och då tetrederns volym är given, lir ren v ilden som minst när P Q är som störst Dett inträffr när P Q smmnfller med en v kntern, t ex när punkten D smmnfller med A Linjesegmentet P Q smmnfller då med knten DA som är ortogonl mot projektionsplnet Volymen v en regelunden tetreder med kntlängden är h, där är sytns re och h höjden mot 3 = densmm Med kntlängden 1 lir, dvs den miniml ildren, lik med 2 4 Resonemnget när ilden är en fyrhörning är likrtt Vi etecknr digonlerns skärningspunkt med P och låter linjesegmentet P Q vr den invers ilden v P Här ligger P och Q på vr sin knt Tetredern ABCD kn denn gång dels upp i fyr deltetredrr, P QAB, P QBC, P QCD och P QDA Den förstnämnd hr smm volym som en pyrmid med sytn A B C D och höjden P Q Det gäller tt P Q 1 med likhet om och endst om P Q smmnfller med en v kntern, vilket inneär tt den projicerde fyrhörningen övergår i en tringel Vi hr därmed kommit tillk till föregående fll Svr: Störst möjlig re är 1/2, minst möjlig re är 2/4