Analys -Volym. Författarna och Bokförlaget Borken, Volym - 1

Transkript

1 Anlys -Volym Teori Så beräkns volymen v en rottionskropp med snittren A(). Teori Sklmetoden för volymberäkningr.. Modell Sklmetoden för volymberäkningr... Modell Beräkning v volym om inte A() är cirkulär. Fcit...6 Förfttrn och Bokförlget Borken, Volym -

2 Teori Så beräkns volymen v en rottionskropp med snittren A() Låt oss först se hur volymen v en s k rottionskropp kn definiers. Vi nvänder en rgumentering som klls skivmetoden. Vi låter kurvn y =, som skär -eln i punktern = och =, roter kring -eln. Vi kn tänk oss tt ett först ungefärligt värde på kroppens volym är summn v de fyr cylindrrn med höjdern /. Rdien på dess cylindrr får vi genom tt låt mittpunktern till höjdern definier Volym -

3 cylindrrns rdier:,;,;,;,. Volymen v de fyr cylindrrn =, De fyr cylindrrns syns nedn. Ett ännu bättre värde på rottionskroppens volym (=,7) får vi om vi nvänder 8 cylindrr. Den tredje figuren nedn visr 6 cylindrr med volymen = =,75. Volym -

4 Med cylindrr blir volymen =,798 Med 6 cylindrr blir volymen =,7976 Med 8 cylindrr blir volymen =,7976 Vi kn nu låt ntlet cylindrr gå mot oändligheten, vilket sker om ders höjder går mot noll. Om följden v dett innebär tt vi får ett gränsvärde för summn v volymen för dess cylindrr så är dett gränsvärde rottionskroppens volym. Enligt definitionen på integrl i är integrlen det tl I som ligger melln ll över- och undersummor. Eftersom gränsvärdet för llt fler cylindrr ovn också ligger melln över- och undersummor så är dett gränsvärde lik med I. Vi låter f() vr en kontinuerlig funktion i intervllet b som dels in i lik stor delintervll i. Dess delintervll är höjder i ett ntl skivor. Dess små skivor hr i det speciell fllet (den röd rottionskroppen på sidn ) volymen: V [()] f i i men i det llmänn fllet (den grön tredimensionell kroppen nedn) behöver inte tvärsnittsreorn ( A() i ) vr cirkulär utn kn h vilken form som helst, i figuren rätvinklig tringlr. I dett fll är den lill volymen ( Vi ) som börjr i koordinten i med bredden : V A(). i i i i Volym -

5 I figuren hr vi ritt ll de inskrivn skivorn som täcker området b. Ders totl volym är i det speciell fllet n V [()] f V i n i A() i i och i det llmänn fllet. Vi hr tidigr vist tt sådn summor går mot ett gränsvärde om i går mot noll och f() är kontinuerlig. Dess summor är volymen v vår kroppr i de två fllen. Vi hr vidre vist (Insättningsformeln Modulen Anlys Are, s. ) tt dess summor kn beräkns med hjälp v den primitiv funktionen V(): b V = A()d = V() = V(b) -V() Funder på! Volymen v en godtycklig tredimensionell kropp som roterr kring -eln beräkns med formeln: b b V [()] f d En kurv som roterr runt -eln hr lltid smm volym som om smm kurv roterr kring y-eln. Volym - 5

6 G I figuren här nedn hr kurvn y = + roterts kring -eln. Vi kn tänk oss tt ett värde på rottionskroppens volym är summn v volymern v de fem inskrivn cylindrrn med höjdern,. Ett ännu bättre värde på rottionskroppens volym får vi om ntlet cylindrr fördubbls. Om vi låter ntlet cylindrr gå mot oändligheten, får vi det korrekt värdet på volymen. Beräkn pproimtionen med fem skivor! G Låt den stegvis konstnt funktionen: y = n + där n n roter kring -eln. Beräkn dess volym med tre värdesiffror om n ntr värden till och med 9. G Aren som begränss v kurvn y smt linjern = - och = roterr kring -eln. Beräkn den lstrde rottionskroppens volym med en värdesiffr. Hur mång intervll behövs för dett närmevärde? Använd t e GeoGebr som även på kommndot Undersumm[f(), -,, n] räknr ut bestämd integrler v kontinuerlig funktioner. G Beräkn volymen v de kroppr som bilds då det beskrivn området, O, roterr kring -eln. Ge ekt svr. ) O begränss v + y = och koordintlrn. b) O begränss v y = smt linjern = och = smt. c) O begränss v y = 9 smt linjern = och =. d) O begränss v y = 7 smt linjern = och =. e) O begränss v y = 5 smt linjern = och =. Volym - 6

7 G5 Beräkn ekt värden på volymern när följnde kurvor roters kring y-eln melln de givn gränsern. Skiss gärn den uppkomn kroppen ) y från y = till y =, b) y från y = till y =, c) y från y = till y =, d) y ln från y = till y =. G6 Aren som begränss v kurvn y = e -, lrn och linjen = roterr kring -eln. Beräkn den genererde volymen ekt och med tre värdesiffror. G7 G8 Aren under en båge v sinuskurvn roterr kring -eln. Vilken är den lstrde volymen? Ange svret ekt och med tre värdesiffror. Aren som begränss v kurvn y = / smt linjern = och = roterr kring -eln. Beräkn den lstrde rottions-kroppens volym. G9 Aren som begränss v kurvn y = smt linjern = och = roterr kring -eln. Beräkn den lstrde rottions-kroppens volym? G Låt området som begränss v kurvn y R, y-eln och -eln roter kring både -el och y-el. Beräkn volymer-n v de rottionskroppr som uppkommer. Den rottionskropp som uppkommer vid rottion kring -eln(yeln) är ett hlvt klot med rdien R. Vilken formel gäller lltså för klotets volym? G Skiss kurvn y sin i intervllet. Det område som begränss v den ovn ngivn kurvbågen och - eln får roter ett vrv kring -eln. Beräkn den volym som då lstrs. Volym - 7

8 V Formeln för konens volym är V r h, där r är konens rdie och h dess höjd. Bevis formeln på följnde sätt: Låt det område som begränss v en linje genom origo och punkten (h, r), linjen h och -eln få roter kring -eln. (Tips: Beräkn först ekvtionen för den rät linjen genom origo och punkten (h, r).) V Från punkten (, ) drs linjer som går genom punktern (, ) och (, e) på kurvn y = e. Eponentilkurvn och de båd linjern begränsr ett område. Beräkn, med tre gällnde siffror, volymen v den kropp som lstrs då dett område roterr kring -eln. V En skål tillverks på så sätt tt skålens inre buktig yt generers v tt den del v kurvn y ln, som ligger melln y = och y = h, får roter kring y-eln. Hur stor skll höjden h vr för tt skålen sk rymm, dm? V5 Kurvn y =, > och linjen y =, >, och y-eln bildr tillsm-mns ett begränst om-råde. När dett roterr ett vrv kring y-eln lstrsen kropp med volymen 65 8v.e. Bestäm konstnten. V6 En rottionskropp hr lstrts genom tt kurvn y = 6 ( < < ) hr rotert ett vrv kring y-eln. Idennrottionskropp inskrivs en kon med spetsen i origo. Vilken rdie hr konen när den inskrivn konen hr miml volym? Volym - 8

9 V7 I figuren här bredvid är linjen y = ritd. Den utritde rektngeln i figuren får roter kring -eln. Bestäm den miml rottions-volymen då. V8 Vilken vttenbehållre, i form v en rk cirkulär cylinder, där den totl begränsningsytns re är lik med 5 m hr miml volym? V9 Vilken volym blir störst v följnde två lterntiv: () y = 5/ som roterr kring -eln eller (b) smm kurv om den roterr kring y-el. I bägge fllen beräkns volymen i området och y. Du knske kn förstå vilken utn beräkningr? V V Beräkn volymen v det till dett vsnitt inlednde eempel, om vi ntr tt denn kurv y = roterr kring y-eln. Låt Agnesis hä: y( + ) =, roter kring y-eln. Sätt upp integrlen för volymen melln y = /e och y =. Sätt =. (Mri Agnesi vr en mtemtiker från Milno på 7- tlet.) Volym - 9

10 V En vcker höstkväll tänker surströmmingsälskren Anders vnjut innehållet i en burk som hn köpt förr sommren. Under vintern hr burkens botten och lock börjt bukt ut eftersom innehållet jäser. Det som från börjn kunde beskrivs som en rk cirkulär cylinder, med dimetern, cm och höjden 5, cm är nu en kropp som från sidn ser ut som på bilden nedn., cm 5, cm, cm, cm Anders observerr tt lockets, och även bottnens, profil gnsk ekt kn beskrivs med grfen till en ndrgrdsfunktion v typen y b c. Beräkn volymsökningen i procent, när burken svällt så tt den buktr ut, cm på vrje sid smtidigt som dimeter och knthöjd är oförändrde. (Np E ht 97) V Beräkn den volym som lstrs då Neiles kubisk prbel, y, roters kring - eln. Låt rottionskroppen vgränss v linjern = och =. Volym -

11 Teori Sklmetoden för volymberäkningr Låt oss nt tt kurvn y = f() för vilken det gäller tt f för värden b roterr kring y-eln. Vi undersöker nu den sml rektngeln med bsen och höjden f(). När denn rektngel roterr kring y-eln uppstår ett cylindriskt skl (se figuren) med rdiern och och höjden f() och volymen V. V () f () V f V f V f f Vi bortser från som är försumbr i jämförelse med. V f Alltså är: b V lim y yd b Funder på! Skivmetoden och sklmetoden ger smm värden om föremålet för undersökningen är smm kurv och hr smm gränser. Är dett snt? Volym -

12 Modell Sklmetoden för volymberäkningr Eempel Beräkn volymen v en rottionskropp som vi fått genom tt roter y kring y-eln för intervllet. 5 Lösning 6 V lim y d d 5 5 V Beräkn volymen v en prbolisk sockerkk med sklmetoden. Vi vill beräkn den volym som uppkommer om den grå ren, y =,75 får roter kring y-eln. V5 Kurvorn y = och y = innesluter tillsmmns en re. Låt denn roter kring y-eln och beräkn dess volym med sklmetoden V6 En rk, cirkulär kon hr sidn cm. För vilken höjd blir volymen miml och hur stor är denn volym? V7 En cylindrisk behållre med rdien cm är fylld med vtten. Behållren roters och så länge rottionshstigheten ökr rinner vtten över behållrens knt. Vid en viss rottionshstighet blir vttennivån i behållrens mitt lik med noll, se figur. I dett läge gäller smbndet y ',, där y' är vttenytns lutning på vståndet cm från rottionseln. Volym -

13 ) Bestäm y som funktion v b) Hur mycket vtten hr runnit ut sedn rottionen strtde? c) Rottionshstigheten öks så tt ett cirkelområde med rdien, cm blir torrlgt i mitten v cylindern. I smbndet y ' k, får k då ett nytt värde. Det vtten som finns kvr i cylindern kommer fortfrnde tt nå upp till knten. Teckn ett uttryck för volymen v det vtten som nu finns kvr. (Np E vt 98) Modell Beräkning v volym om inte A() är cirkulär b Vi vet tt V = A ()() d V V ()() b V Eempel Beräkn volymen v en godtycklig kon och speciellt en godtycklig pyrmid med bsren B och höjden h. Lösning Vi lägger en -el genom pyrmidens spets, origo, och låter denn el vr vinkelrät mot bsen. Vi lägger dessutom ett rörligt pln som är prllellt med bsen och som ligger på vståndet från origo. Dett pln hr ren A(). Eftersom den mindre pyrmiden är likformig med den större så är reskln lik med kvdrten på A () längdskln vilket ger B h eller A() B. Dett innebär h h h B B Bh V d h h b Volym -

14 V8 En högst märklig geometrisk kropp hr refunktionen A() =e. Vilken blir dess volym om den inneslutes v plnen genom = och =? V9 Byggnden Turning Torso i Mlmö är 9 m hög med femhörnig våningspln på m. Byggnden vrider sig 9 från bottenvåningen till tket. Motiver din beräk-ningr vid uträknndet v dess ungefärlig volym. V Ftim hr tillverkt ett föremål vrs bottenyt hr formen v en cirkel y. Dessutom är vrje genomskärning v föremålet vinkelrät mot y-plnet en kvdrt, t e det gul plnet i figuren. Vilken är föremålets volym. (Tips: Tänk dig tt volymen är summn v ll skivor med bredden som fyller cirkeln melln = och =, dess-utom prllell med det gul plnet. Volym -

15 V Ftims mtemtisk skulpturer hr nu blivit så efterfrågde tt hon tillverkr tre stycken vrs volymer med en del eftertnke b kn löss med A () d när mn väl upptäckt uttrycket för re-funktionen, A(). Beräkn de tre volymern i figurern nedn. ) b) Denn kropp hr bsren: dm dm smthögst höjd dm. Tvärsektionern, som är vinkelrät mot bsen, är likbent tringlr vrs höjder är lik med ders vstånd från kroppens kortste sid (=). c) Denn kropp ligger på en cirkel med rdien 6cm. Tvärsektion-ern, som är vinkelrät mot bsen, är liksidig tringlr. I dett fll är bsen en cirkel. Den färdig skulpturen är cm i dimeter och lik hög. Tvärsektionern, som är vinkel-rät mot bsen, är kvdrter. Volym - 5

16 Fcit G Rdien på cylindrrn får vi genom tt nvänd y-värden ;,9;,8;,6 och,6. Alltså blir volymen = ( +,9 +,8 +,6 +,6 ), = =,6 v.e. 9 G ( n ) = 6, v.e. n G. G ) () d 6 / 6 / G5 b) c) d) e) ) b) d 6 96 (9) d 8 8 [(88(8 )( 8( ))] ) d 896(. v.) e 7 = ( 5 -. d.) v e ln5 = ln5 y y ()( y dy (..) y y e ()()( y dy..) y e y c) y dy 6(..) e från y = till y =, y y d) e dy e e (. e.) G6 e d,5 e = -,5(e -6 - ),57v.e. cos sin sin d d,5 G7 (,5 ),5(..) v e,9(..) v e Volym - 6

17 G8 G9 G G d = ( v. e.) / (..) ( / ) d = v e R R () R [( d / ]( R / ) R R R π/ Eftersom det är en cirkel som roterr blir volymen lik stor i R bägge fllen. Klotets volym är ( sin) d [ cos ]( cos cos ) V Linjen genom origo och punkten (h, r) hr ekvtionen y = r/h. h Konens volym ( /) / h r h V r h d [ r h ] V Linjen genom punktern (, ) och (, ) hr ekvtionen y = +. Alltså är e V ((( e)) e) d [ d ] (e / e / ),9 v. e. V y ln medför tt = e y. Skålens volym är h h h y y y (e ) dy e dy e / e h / / sk rymm, dm medför e h / / vilket ger e h /. Alltså är h =,5ln(/ π + ), (dm). Skålen Volym - 7

18 V5 Eftersom y = får vi y / = 5/ 5/ / ) / y 65 ( y dy y dy 5/ vilket medför 5/ Alltså är = = 5 7 V6 Rdien för miml inskriven volym är (-/). V7 Antg tt rektngelns hörn på linjen y = är (h, h). Alltså är rektngeln rottionsvolym V = ( ) h h (6h 6h ) h. V = (6 h ) h. V = för h = eller h = /. Teckenstudium ger miml rottionsvolym 8π/7 för h = / V8 Antg tt cylinderns höjd respektive rdie är h och r m. Alltså πr 5 r + πrh = 5 vilket ger h =. V = πr (5 πr ) r / πr = r(7 πr ) = 7r πr. V = 7 πr vrs nollställe inom definitionsmängden är r = /. Eftersom V = 6πr < får vi miml volym för r = / och h = V9 I först fllet är volymen: ()() d d / / 5/ /. I det ndr /5 /5 8/5 5 fllet är volymen: ()() y dy dy / 5. Alltså är volymen störst i det senre fllet. Volym - 8

19 V y = ger lösningrn,,5,5 y. Dett innebär V tt,5 y.,5,5 y () dy(,5) (,5 y dy y,5,5 (,5),5 Vi sätter = och beräknr rottionskroppens y volym.,5 ( y )(ln)(ln dy )(ln(/ y y e) / e) / e / e ( /) e e V Den nedre prbeln kn ses som funktionen V volym är y. Dess 6 6ydy 9. Från börjn är burkens volym 6 5. Efter jäsning är burkens totl volym = ,. Alltså hr burkens volym ökt med % () d 6,(..) v e 7 7 V Välj ett -värde melln,5 och,5. Rit en rektngel med höjden f() och bredden i punkten och roter denn runt y-eln. Volym - 9

20 Vi får då en mycket tunn cylinder med omkretsen, höjden f() och tjockleken. Alltså är dess volym V () f. Om vi nu delr in sträckn melln =,5 ch =,5 i n delr så blir summn v ll cylindrrn V () f. Låter vi nu ntlet cylindrr vä över ll gränser så blir sockerkkns volym =,5,5 n () f d = (..) v e V5 Volymen melln kurvorn och gränsern = och = är: 5 [()()] f g d[ ] d 5 (/ / 5)(..) v e V6 Antg tt höjden och rdien är h resp. r cm. Alltså gäller r h. Dett innebär tt r h. Alltså blir konens r h ()() h h h h volym V ( ) h V ' vilket ger V = för h = 8 6,9. Eftersom V ' h får vi miml volym för höjden 8 6,9. Volymen blir då 8( 8) V cm. V7 ) ( y, ), b) y dy eller (,, ) d, ) =, (liter) Volym -

21 V8 8, V d V y dy 75 5 Godtgbrt tecknd funktion för vttenytns höjd y, 7, 96 c) t.e. eller, 9,75,96 e e e d 9,6( v. e.) V9 A()= ger: V 9 V Antg tt en skiv med bredden från y-eln. Dess volym är d 9 7,6(m). befinner sig på vståndet V ( ) (). Alltså är V () d ( / ) 7(..) v e V )En tvärsektion på vståndet från origo, längst frm, hr höjden och bsen och lltså ren /. V d () dm. b) Cirkelns ekvtion är y 6. Vi lägger origo mitt i bsytn och -eln vinkelrät mot tvärsektionern. Antg tt en godtycklig tvärsektion hr vståndet från origo. Om bssidn är s så är höjden s och ren v sektionen s och dess (6). Alltså är hel kroppens volym: volym 6 (6) d 6 [ ] (cm) c) Vi lägger origo enligt smm principer som i b. Rdien är 6 cm. Alltså är hel kroppens volym: (6) d 6 [6 6 ] 5 69(cm),6(dm) 6 Volym -

22 Volym -