KAPITEL 8. Integralekvationer Introduktion
|
|
- Cecilia Falk
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 KAPITEL 8 Integrlekvtioner 8 Introduktion Integrlekvtioner förekommer inom de flest tillämpde områden och är minst lik viktig som differentilekvtioner I de flest fll kn mn även skriv om differentilekvtioner som integrlekvtioner och vice vers Exempel 8 Exempel på integrlekvtioner är: () (b) (c) (d) (e) y(x) = x (x t)y(t)dt y(x) = f (x) + λ k(x t)y(t)dt, där f (x) och k(x) är bestämd funktioner y(x) = λ k(x,t)y(t)dt, där k(x,t) = y(x) = λ ( 3xt)y(t)dt y(x) = f (x) + λ ( 3xt)y(t)dt x( t), x t, t( x), t x En llmän integrlekvtion för en obeknt funktion y(x) kn skrivs som f (x) = (x)y(x) + k(x, t)y(t)dt, där f (x), (x) och k(x, t) är givn funktioner (funktionen f (x) svrr mot en yttre krft) Funktionen k(x, t) klls för kärnn (eng kernel) Det finns olik typer v integrlekvtioner, vi kn klssificeringen en given ekvtion på nednstående sätt Ekvtionen sägs vr v Först sorten om den obeknt funktionen endst förekommer innnför integrltecknet, dvs om (x), och nnrs v Andr sorten Ekvtionen sägs vr en Fredholmekvtion om integrtionsgränsern är konstnt, och en Volterrekvtion om de är vribl Ekvtionen sägs vr homogen om f (x) och nnrs inhomogen Exempel 82 En Fredholmekvtion (Ivr Fredholm): k(x,t)y(t)dt + (x)y(x) = f (x) 67
2 68 8 INTEGRALEKVATIONER Exempel 83 En Volterrekvtion (Vito Volterr): k(x,t)y(t)dt + (x)y(x) = f (x) Exempel 84 Försäljrens kontrollproblem För tt utnyttj sitt lgerutrymme optimlt vill en försäljre håll sitt vrulger konstnt Det visr sig tt för tt klr v dett måste en integrlekvtion löss Antg tt vi hr följnde definitioner: = mängden vror vid tiden t =, k(t) = återstoden v vror (i procent) vid tiden t, u(t) = hstigheten (vror/tidsenhet) med vilken ny vror köps in, u(τ) τ = mängden inköpt vror under tiden τ Den totl mängden vror i ffären vid tiden t blir då: k(t) + Z t k(t τ)u(τ)dτ, och det finns en konstnt mängd vror i ffären om vi hr, för någon konstnt c, tt k(t) + Z t k(t τ)u(τ)dτ = c För tt t red på hur snbbt ny vror måste köps in (dvs u(t)) för tt håll lgret konstnt måste lltså ovnstående Volterrekvtion v först sorten löss Exempel 85 (Potentil) Låt V (x,y,z) vr potentilen i punkten (x,y,z) härrörnde från en mssfördelning ρ(ξ,η,ζ) i Ω (se Fig 8) Då gäller Z Z Z ρ(ξ,η,ζ) V (x,y,z) = G dξdηdζ Ω r Det omvänd problemet tt bestämm ρ från en given potentil V ger upphov till en integrerd ekvtion Dessutom är ρ och V relterde genom Poissons ekvtion 2 V = 4πGρ FIGUR 8 Potentil från en mssfördelning Ω (x,y,z) r (ξ,η,ζ)
3 83 SAMBAND MELLAN DIFFERENTIAL- OCH INTEGRALEKVATIONER (AV FÖRSTA ORDNINGEN) Integrlekvtioner v fltningstyp Vi sk nu betrkt integrlekvtioner v följnde typ: y(x) = f (x) + k(x t)y(t)dt = f (x) + k y(x), där k y(x) är fltningsprodukten v k och y (se sid 45) Den viktigste tekniken när mn rbetr med fltning är Lplcetrnsformen (se vsnitt 62) Exempel 86 Lös ekvtionen y(x) = x (x t)y(t)dt Lösning: Ekvtionen är v fltningstyp med f (x) = x och k(x) = x Vi observerr tt L(x) = s 2 och Lplcetrnsformering v ekvtionen ger L [y] = s L 2 [x y] = s L [x]l 2 [y] = s 2 L [y], dvs s2 L [y] = + s 2, [ ] och lltså är y(x) = L + s 2 = sinx Svr: y(x) = sinx Exempel 87 Lös ekvtionen y(x) = f (x) + λ k(x t)y(t)dt, där f (x) och k(x) är fixerde, givn funktioner Lösning: Ekvtionen är v fltningstyp, och Lplcetrnsformering ger L [y] = L [ f ] + λl [k]l [y], dvs L [ f ] L [y] = λl [k] [ ] Svr: y(x) = L L [ f ] λl [k] Exempel 88 (83) 83 Smbnd melln differentil- och integrlekvtioner (v Först Ordningen) Betrkt differentilekvtionen (begynnelsevärdesproblemet) y (x) = f (x,y), y(x ) = y Genom tt integrer från x till x får vi dvs x y (t)dt = x f (t,y(t))dt, (832) y(x) = y + f (t,y(t))dt x
4 7 8 INTEGRALEKVATIONER Å ndr sidn, om (832) gäller ser vi tt y(x ) = y, och genom tt deriver ser vi tt y (x) = f (x,y(x)), vilket innebär tt (83) gäller! Alltså är problemen (83) och (832) ekvivlent Det är fktiskt möjligt tt formuler om mång begynnelse- och rndvärdesproblem som integrlekvtioner och vice vers I llmänhet gäller: Picrds metod (Emile Picrd) Begynnelsevärdesproblem Dynmisk system Volterrs ekvtion Rndvärdesproblem Fredholms ekvtion Problem: Lös begynnelsevärdesproblemet y = f (x,y), y(x ) = A, eller ekvivlent, lös integrlekvtionen : y(x) = A + x f (t,y(t))dt Vi sk nu lös denn integrlekvtion genom tt bild successiv pproximtioner till y(x) Välj en först pproximtion, y(x) = y (x), och beräkn sedn en följd: y (x), y 2 (x),,y n (x) genom Förhoppningen är nu tt y (x) = A + y 2 (x) = A + y n (x) = A + x f (t,y (t))dt, x f (t,y (t))dt, y(x) y n (x) x f (t,y n (t))dt Enligt en känd sts (Picrds sts) vet vi tt under viss villkor på f (x,y) så gäller Exempel 89 Lös ekvtionen y(x) = lim n y n (x) y (x) = 2x( + y), y() = Lösning: (Med Picrds metod) Vi hr integrlekvtionen y(x) = 2t( + y(t))dt,
5 84 SAMBAND MELLAN DIFFERENTIALEKVATIONER OCH INTEGRALEKVATIONER (AV ANDRA ORDNINGEN) 7 och den först pproximtionen y (x) Vi får då y (x) = y 2 (x) = y 3 (x) = 2t( + y (t))dt = 2t( + y (t))dt = y n (x) = x 2 + x4 2 + x6 6 Och vi ser tt 2t( + )dt = 2t( +t 2 )dt = 2t( +t t4 )dt = x x4 + x6 6, + + x2n n! lim y n(x) = e x2 n 2tdt = x 2, 2t + 2t 3 dt = x x4, ANMÄRKNING 22 Observer tt y(x) = e x2 är den exkt lösningen till ekvtionen (Vis dett!) ANMÄRKNING 23 Om mn kn giss sig till en llmän formel för y n (x) kn denn oft beviss med exempelvis induktion LEMMA 8 Om f (x) är kontinuerlig för x så gäller: Z s BEVIS Låt F(s) = Z s Z s f (y)dyds = f (y)dy Då ser vi tt: f (y)dyds = f (y)(x y)dy F(s)ds = F(s)ds prtiell integrtion} = [sf(s)] x sf (s)ds = xf(x) F() = x = Z s f (y)dy f (y)(x y)dy Z s s f (s)ds y f (y)dy 84 Smbnd melln differentilekvtioner och integrlekvtioner (v ndr ordningen) Exempel 8 (84) Antg tt vi vill lös begynnelsevärdesproblemet u (x) + u(x)q(x) = f (x), x >, u() = u, u () = u Vi integrerr ekvtionen från till x och får u (x) u = [ f (y) q(y)u(y)]dy,
6 72 8 INTEGRALEKVATIONER och ytterligre en integrtion ger u (s)ds = Och vi Lemm 84 får vi lltså vilket kn skrivs som där u ds + u(x) u = u (x ) + u(x) = u + u (x ) + = F(x) + Z s k(x, y)u(y)dy, [ f (y) q(y)u(y)]dyds [ f (y) q(y)u(y)](x y)dy, f (y)(x y)dy + q(y)(y x)u(y)dy F(x) = u + u (x ) + f (y)(x y)dy, och k(x,y) = q(y)(y x) Dett innebär tt (84) kn skrivs som Volterrekvtionen: u(x) = F(x) + k(x, y)u(y)dy ANMÄRKNING 24 Exempel 8 visr hur en differentilekvtion med begynnelsevärden (ett begynnelsevärdesproblem) kn trnsformers till en integrlekvtion I exempel 82 nedn kommer vi vis tt en integrlekvtion kn trnsformers till en differentilekvtion, men först behöver vi ytterligre ett lemm LEMMA 82 (Leibniz formel) ( Z d b(t) ) u(x, t)dx dt (t) (t) = u t(x,t)dx + u(b(t),t)b (t) u((t),t) (t) (t) BEVIS Låt G(t,,b) = u(x, t)dx, där = (t), b = b(t) Kedjeregeln ger nu Exempel 8 Då blir Låt d dt G = G t(t,,b) + G (t,,b) (t) + G b (t,,b)b (t) = u t(x,t)dx u((t),t) (t) + u(b(t),t)b (t) Z t 2 F(t) = sin(xt)dx t Z t 2 F (t) = cos(xt)xdx + sint 3 2t sint 3 2 t 2 t
7 85 EN ALLMÄN TEKNIK FÖR ATT LÖSA FREDHOLMS INTEGRALEKVATION AV ANDRA SORTEN 73 Exempel 82 Betrkt ekvtionen (*) y(x) = λ där k(x,t) = k(x, t)y(t)dt, x( t), x t t( x), t x Dvs vi hr y(x) = λ t( x)y(t)dt + λ x( t)y(t)dt x Deriverr vi y så får vi (med hjälp v Leibniz formel) y (x) = λ = λ och ytterligre en derivering ger oss ty(t)dt + λx( x)y(x) + λ ty(t)dt + λ ( t)y(t)dt, x y (x) = λxy(x) λ( x)y(x) = λy(x) x ( t)y(t)dt λx( x)y(t) Dessutom ser vi tt y() = y() = Alltså är integrlekvtionen (*) ekvivlent med rndvärdesproblemet y (x) + λy(x) = y() = y() = 85 En llmän teknik för tt lös Fredholms integrlekvtion v ndr sorten Vi betrktr ekvtionen: (85) y(x) = f (x) + λ k(x, ξ)y(ξ)dξ Antg tt kärnn k(x,ξ) är seprbel, vilket betyder tt vi kn skriv den som Sätter vi in dett i (85) får vi (852) k(x,ξ) = y(x) = f (x) + λ = f (x) + λ n j= n j= n j= α j (x)β j (ξ) α j (x) β j (ξ)y(ξ)dξ c j α j (x) Observer tt y(x) som i (852) ger oss lösningen till (85) så fort vi vet koefficientern c i Hur kn vi nu hitt c i? Multiplicerr vi (852) med β i (x) och integrerr så får vi y(x)β i (x)dx = f (x)β i (x)dx + λ n j= c j α j (x)β i (x)dx,
8 74 8 INTEGRALEKVATIONER eller ekvivlent c i = f i + λ n j= c j i j Vi hr lltså ett linjärt system med n okänd vribler: c,,c n, och n stycken ekvtioner c i = f i + λ n j= c j i j, i n På mtrisform kn vi skriv dett som (I λa) c = f, där A = n, f = f, och c = c n nn f n c n Någr välkänd fkt från linjär lgebr: Antg tt vi hr ett linjärt ekvtionssystem (*) B x = b Beroende på om högerledet b är nollvektorn eller inte får vi följnde lterntiv Om b = så gäller: ) detb x =, b) detb = (*) hr ett oändligt ntl lösningr x 2 Om b så gäller: c) detb (*) hr en unik lösning x, d) detb = (*) hr ingen lösning eller ett oändligt ntl lösningr Den berömd Fredholms lterntivsts är br en omformulering v ovnstående fkt! Exempel 83 Betrkt ekvtionen (*) y(x) = λ ( 3xξ)y(ξ)dξ Här hr vi dvs Vi får då A = Z k(x,ξ) = 3xξ = α (x)β (ξ) + α 2 (x)β 2 (ξ), β (x)α (x)dx β 2 (x)α (x)dx α (x) =, α 2 (x) = 3x, β (ξ) =, β 2 (ξ) = ξ Z β (x)α 2 (x)dx 3 = 2 β 2 (x)α 2 (x)dx 2,
9 85 EN ALLMÄN TEKNIK FÖR ATT LÖSA FREDHOLMS INTEGRALEKVATION AV ANDRA SORTEN 75 och λ λ 3 det(i λa) = det 2 λ + λ 2 λ = ±2 Fredholms lterntivsts säger tt vi hr följnde lterntiv: = λ2 4 = λ ±2 λ = 2 λ = 2 då hr (*) enbrt den trivil lösningen y(x) =,och då ser systemet (I λa) c = ut som c + 3c 2 =, c + 3c 2 =, vilket hr ett oändligt ntl lösningr: c 2 = och c 3 = 3, för en godtycklig konstnt Från (852) ser vi nu tt lösningrn y(x) blir y(x) = + 2(3 + ( 3x)) = 6( x) = b( x) Vi drr slutstsen tt vrje funktion y(x) = b( x) är en lösning till (*) Då ser systemet (I λa) c = ut som 3c 3c 2 =, c c 2 =, vilket hr ett oändligt ntl lösningr c = c 2 = för en godtycklig konstnt Från (852) ser vi åter igen tt lösningrn y(x) blir y(x) = 2( + ( 3x)) = 2( 3x) = b( 3x), och vi ser tt vrje funktion y(x) på formen y(x) = b( 3x) är en lösning till (*) Som lltid när mn löser differentil eller integrlekvtioner bör mn kontroller lösningrn genom tt sätt in i dem i ekvtionen, och sätter vi in y(x) = x och y(x) = 3x i (*) får vi bekräftt tt de är lösningr svrnde mot λ = 2 respektive 2 Exempel 84 Betrkt ekvtionen (*) y(x) = f (x) + λ ( 3xξ)y(ξ)dξ Observer tt bsfunktionern α j och β j och därmed även mtrisen A är desmm som i föregående exempel och därmed får vi också det(i λa) = λ = ±2 Fredholms lterntivsts ger oss följnde möjligheter: f (x) dx eller f (x) xdx och λ ±2 Då hr ( ) en unik lösning y(x) = f (x) + λ 2 i= c i α i (x) = f (x) + λc 3λc 2 x,
10 76 8 INTEGRALEKVATIONER 2 där c och c 2 är (den unik) lösningen till systemet ( λ)c λc 2 = f (x)dx, f (x) dx eller 2 λc + ( + λ)c 2 = Z x f (x)dx f (x) xdx och λ = 2 Då får vi systemet 3c 3c 2 = c c 2 = Z f (x)dx, x f (x)dx, och eftersom vänsterledet för den övre ekvtionen är en multipel v vänsterledet för den undre så finns det ingen lösning om f (x)dx, och det finns oändligt ntl lösningr om x f (x)dx = 3 f (x)dx,vilket ger lösningrn Z x f (x)dx 3 f (x)dx Vi kn låt 3c 2 =, och då blir 3c = + y(x) = f (x) 2[c α (x) + c 2 α 2 (x)] [( = f (x) ) f (x)dx + 3 ] 3 ( 3x) = f (x) 2 ( ) 2 f (x)dx 3 3 2x 3 f (x) dx eller f (x) xdx och λ = 2 Då får vi systemet 4 c + 3c 2 = c + 3c 2 = Z f (x)dx, x f (x)dx Eftersom vänsterleden här är identisk så skns lösningr om och nnrs hr vi oändligt mång lösningr Låt c 2 =, c = 3 lösningen x f (x)dx = 5 x f (x)dx = [ y(x) = f (x) Z ] f (x)dx + ( 3x) = f (x) 2 f (x)dx + 6( x) x f (x)dx f (x)dx =, λ ±2 Då är y(x) = f (x) den unik lösningen f (x)dx =, λ = 2 Då får vi systemet 3c 3c 2 =, c c 2 =, c = c 2 =, f (x)dx, f (x)dx, då får vi
11 86 INTEGRALEKVATIONER MED SYMMETRISKA KÄRNOR 77 6 för en godtycklig konstnt Vi hr lltså oändligt mång lösningr på formen y(x) = f (x) 2[ + ( 3x)] = f (x) 2( 3x) x f (x)dx = f (x)dx =, λ = 2 Då får vi systemet c + 3c 2 =, c + 3c 2 =, c 2 =, c = 3, för en godtycklig konstnt Vi hr lltså oändligt mång lösningr på formen y(x) = f (x) + 2[3 + ( 3x)] = f (x) + 6( x) Betrkt ekvtionen (*) y(x) = λ där 86 Integrlekvtioner med symmetrisk kärnor k(x, ξ)y(ξ)dξ, k(x,ξ) = k(ξ,x) är reell och kontinuerlig Vi sk nu se hur vi kn npss teorin från föregående vsnitt till det fllet tt k(x,ξ) inte är seprbel men symmetrisk Om λ och y(x) uppfyller ekvtionen (*) säger vi tt λ är ett egenvärde och y(x) är en tillhörnde egenfunktion Vi hr följnde sts SATS 83 Följnde gäller för egenvärden och egenfunktioner till (*): (i) Om λ m och λ n är ett egenvärden med tillhörnde egenfunktioner y m (x) och y n (x) så gäller: λ n λ m y m (x)y n (x)dx =, dvs egenfunktioner tillhörnde olik egenvärden är ortogonl (y m (x) y n (x)) (ii) Egenvärden λ är reell (iii) Om kärnn k inte är seprbel så finns det oändligt mång egenvärden λ,λ 2,,λ n, med < λ λ 2 och lim λ n = n (iv) Till vrje egenvärde hör det som mest ett ändligt ntl linjärt oberoende egenfunktioner BEVIS (i) Vi hr y m (x) = λ m k(x,ξ)y m (ξ)dξ, och y n (x) = λ n k(x,ξ)y n (ξ)dξ,
12 78 8 INTEGRALEKVATIONER vilket ger Vi drr slutstsen tt y m (x)y n (x)dx = λ m y n (x) k(x,ξ)y m (ξ)dξdx ( ) = λ m y n (x)k(k,ξ)dx y m (ξ)dξ ( ) [k(x,ξ) = k(ξ,x)] = λ m k(ξ,x)y n (x)dx y m (ξ)dξ ( ) = λ m y n (ξ) y m (ξ)dξ λ n = λ m λ n och om λ m λ n måste lltså y m (x)y n (x)dx = y m (ξ)y n (ξ)dξ ( λ ) m y m (x)y n (x)dx =, λ n Exempel 85 där Lös ekvtionen y(x) = λ k(x, ξ)y(ξ)dξ, k(x,ξ) = x( ξ), x t, ξ( x), ξ x Från Exempel 82 vet vi tt integrlekvtionen är ekvivlent med y (x) + λy(x) = y() = y() = Om λ > hr vi lösningrn y(x) = c cos λx + c 2 sin λx, y() = c = och y() = c 2 sin λ =, vilket ger tt ntingen är c 2 = (vilket endst ger den trivil lösningen y ) eller så är λ = nπ för något heltl n, dvs λ = n 2 π 2 Egenvärden är lltså och de motsvrnde egenfunktionern är Observer tt om m n så gäller tt λ n = n 2 π 2, y n (x) = sin(nπx) sin(nπx) sin(mπx)dx =
13 87 HILBERT-SCHMIDTTEORI FÖR ATT LÖSA FREDHOLMEKVATIONEN Hilbert-Schmidtteori för tt lös Fredholmekvtionen Vi sk nu beskriv ett tillväggångssätt för tt lös en Fredholmekvtion v typen: (*) y(x) = f (x) + λ k(x, t)y(t)dt LEMMA 84 (Hilbert-Schmidths lemm) Antg tt det finns en kontinuerlig funktion g(x) sådn tt F(x) = k(x, t)g(t)dt, där k är symmetrisk (dvs k(x,t) = k(t,x)) Då kn F(x) utveckls i en Fourierserie som F(x) = n= c n y n (x), där y n (x) är de normerde egenfunktionern till ekvtionen (Se sts 83) y(x) = λ k(x, t)y(t)dt SATS 85 (Hilbert-Schmidts sts) Antg tt λ inte är ett egenvärde till (*) och tt y(x) är lösningen till (*) Då gäller y(x) = f (x) + λ n= f n λ n λ y n(x), där λ n och y n (x) är egenvärden och egenfunktioner till den motsvrnde homogen ekvtionen (dvs (*) med f ) och f n = f (x)y n (x)dx BEVIS Från (*) ser vi direkt tt y(x) f (x) = λ k(x, ξ)y(ξ)dξ, och enligt H-S lemm (84) kn vi utveckl y(x) f (x) i en Fourierserie: där Alltså hr vi c n = y(x) f (x) = n= c n y n (x), (y(x) f (x))y n (x)dx = y(x)y n (x)dx f n y(x)y n (x)dx = f n + (y(x) f (x))y n (x)dx ( ) = f n + λ k(x, ξ)y(ξ)dξ y n (x)dx ( ) k(x,ξ) = k(ξ,x)} = f n + λ k(ξ,x)y n (x)dx y(ξ)dξ = f n + λ y n (ξ)y(ξ)dξ λ n
14 8 8 INTEGRALEKVATIONER Alltså gäller och vi drr slutstsen tt dvs vi kn skriv y(x) som y(x)y n (x)dx = f n λ λ n = λ n f n λ n λ, c n = λ n f n λ n λ f n = λ f n λ n λ, y(x) = f (x) + λ n= f n λ n λ y n(x) Exempel 86 Lös ekvtionen där λ n 2 π 2, n =,2,, och y(x) = x + λ k(x, ξ)y(ξ)dξ, k(x,ξ) = x( ξ), x ξ, ξ( x), ξ x Lösning: Från Exempel 85 vet vi tt de normliserde egenfunktionern till den homogen ekvtionen y(x) = λ k(x, ξ)y(x)dξ är y n (x) = 2sin(nπx), svrnde mot egenvärden λ n = n 2 π 2, n =,2, Dessutom ser vi tt Vilket ger f n = f (x)y n (x)dx = x 2sin(nπx)dx = ( )n+ 2 nπ y(x) = x + 2λ π n= ( ) n+ n(n 2 π 2 λ) sin(nπx), λ n2 π 2 Slutligen observerr vi tt genom tt nvänd i stort sett smm idéer som tidigre kn vi också vis följnde sts (se även (7, pp )) SATS 86 Låt f och k vr kontinuerlig funktioner och definier opertorn K gernde på funktionen y(x) som Ky(x) = k(x, ξ)y(ξ)dξ, och definier sedn positiv potenser v K som K m y(x) = K(K m y)(x), m = 2,3,
15 87 HILBERT-SCHMIDTTEORI FÖR ATT LÖSA FREDHOLMEKVATIONEN 8 Då gäller tt ekvtionen hr lösningen y(x) = f (x) + λ k(x, ξ)y(ξ)dξ y(x) = f (x) + n= Denn typ v serieutveckling klls för en Neumnn serie Exempel 87 Lös ekvtionen Lösning: (vi Neumnn serier): vilket ger K(x) = K 2 (x) = K n (x) = y(x) = x + λ n K n ( f ) y(x) = x + λ (x ξ)y(ξ)dξ n= (x ξ)ξdξ = x3 3! (x ξ) ξ3 x5 dξ = 3! 5! ξ 2n x2n+ (x ξ) dξ = (2n )! (2n + )!, λ n K n (x) = x + λ x3 x5 + λ2 3! 5! + + x 2n+ λn (2n + )! + Lösning (vi Lplcetrnsformen): Vi ser tt opertorn K = (x ξ)y(ξ)dξ är en fltning v funktionen y med identitetsfunktionen x x, dvs K(x) = (t t y)(x), vilket innebär tt L[K(x)] = L[x]L[y], och eftersom y(x) = x + λk(x) får vi och inverterr vi trnsformen får vi L (y) = L (x) + λl (x)l (y) = s 2 + λ s L 2 (y) L (y) = s 2 λ = ( 2 λ s λ ) s +, λ y(x) = 2 λ ( e λx e λx ) Observer tt vi får smm lösning ovsett metod Dett inses enklst genom tt titt på Tylorutvecklingen v den ndr lösningen Mer precist så hr vi e λx = λx + ( ) 2 ( ) 3 λx λx +, 2 3! e λx = + λx + ( ) 2 ( ) 3 λx + λx +, 2 3!
16 82 8 INTEGRALEKVATIONER dvs y(x) = = ( ) 2 e λx e λx λ ( 2 2 λx + 2 ( ) 3 2 ( ) 5 λx + λx + ) λ 3! 5! = x + λ x3 x5 + λ2 3! 5! + 88 Övningsuppgifter 8 [S] Skriv om följnde ndr ordningens begynnelsevärdesproblem som en integrlekvtion u (x) + p(x)u (x) + q(x)u(x) = f (x), x >, u() = u, u () = u 82 Betrkt begynnelsevärdesproblem u (x) + ω 2 u(x) = f (x), x >, u() =, u () = ) Skriv om denn ekvtion som en integrlekvtion b) Använd Lplcetrnsformen för tt nge lösningen för en llmän f (x) med Lplcetrnsform F(s) c) Ange lösningen u(x) för f (x) = sint med R, ω 83 [S] Skriv om begynnelsevärdesproblemet y (x) + ω 2 y =, x, y() =, y () = som en integrlekvtion v Volterrtyp smt nge de lösningr som dessutom uppfyller y() = 84 Skriv om rndvärdesproblemet y (x) + λp(x)y = q(x), x b, y() = y(b) = som en integrlekvtion v Fredholmtyp (Ledtråd: Använd y(b) = för tt bestämm y ()) 85 [S] Låt α och betrkt snnolikheten tt ett slumpvis vlt heltl melln och x hr sin störst primfktor x α Då x går denn fördelning mot en fördelning med fördelningsfunktionen F(α), den sk Dickmnfunktionen (observer tt F(α) = för α ) Funktionen F(α) är lösning till följnde integrlekvtion Z α ( ) t F(α) = F dt, α t t Beräkn F(α) för 2 α
17 88 ÖVNINGSUPPGIFTER Betrkt Volterrekvtionen u(x) = x + µ (x y)u(y)dy ) Beräkn de först tre nollskild termern i Neumnnserien för lösningen b) Ange lösningen till ekvtionen (tex genom tt nvänd ) för tt få frm en gissning och sedn verifier denn) 87 [S] Lös: x = e x ξ y(ξ)dξ 88 Använd Lplcetrnsformen för tt lös: ) y(x) = f (x) + λ b) y(x) = + e x ξ y(ξ)dξ e x ξ y(ξ)dξ 89 [S] Skriv ned en Neumnnserie för integrlekvtionen u(x) = f (x) + λ u(t)dt, smt nge lösningen till ekvtionen för f (x) = e x e och λ = 2 8 * Lös ) y(x) = x 2 + b) y(x) = x 2 + λ ( 3xξ)y(ξ)dξ, ( 3xξ)y(ξ)dξ för ll värden på λ 8 [S] Lös följnde integrlekvtion då ) f (x) =, b) f (x) = sinx, c) f (x) = sin2x u(x) = f (x) + λ Z π sin(x) sin(2y) u(x)dy 82 Betrkt ekvtionen u(x) = f (x) + λ u(t)dt, x ) Vis tt för f (x) hr ekvtionen endst den trivil lösningen i C 2 [,] b) Ange en funktion f (x) sådn tt ekvtionen hr en icke-trivil lösning för ll värden på λ smt beräkn denn
18 84 8 INTEGRALEKVATIONER 83 [S] Låt > och betrkt integrlekvtionen u(x) = + λ θ(x y + )(x y)u(y)dy, x Använd Lplcetrnsformen för tt bestämm egenvärden och de tillhörnde egenfunktionern till denn ekvtion 84 * Strömmen i en LRC-krets med L = 3, R = 2, C = 2 (SI-enheter) och där vi pplicerr en spänning vid tiden t = 3 uppfyller följnde integrlekvtion I(t) = 6θ(t )(t ) + 2t + 3 Bestäm I(t) med hjälp v Lplcetrnsformen Z t (2 + 5(t y))i(y)dy 85 [S] Betrkt återigen försäljrens kontrollproblem (Exempel 84) Antg tt du vid tiden t = hr ntl vror i lger smt tt vrorn säljs med konstnt hstighet så tt ll vror säljs slut på tiden T Låt nu u(t) vr den hstighet (vror/tidsenhet) med vilken vi måste köp in ny vror för tt konstnt h stycken vror i lger ) Skriv ut integrlekvtionen som beskriver u(t) b) Lös denn och beräkn u(t) b) u(t) = T et/t 86 * ) Skriv integrlekvtionen (*) y(x) = λ k(x, ξ)y(ξ)dξ, där x( ξ), x ξ, k(x,ξ) = ξ( x), ξ x, som ett rndvärdesproblem b) Hitt egenvärden och de normerde egenvektorern till (*) Lös ekvtionen y(x) = f (x) + λ k(x, ξ)y(ξ)dξ, där k(x,ξ) är som i ) och λ n 2 π 2 för c) f (x) = sin(πkx), k Z, och d) f (x) = x 2 87 [S] Betrkt Fredholmekvtionen u(x) = f (x) + λ Z 2π cos(x +t)u(t)dt Bestäm lösningr för ll värden på λ smt nge eventuell villkor som krävs på f (x) för tt lösningr sk exister 88 Vis tt ekvtionen sknr icke-trivil lösningr Z π g(s) = λ (sinssin2t)g(t)dt
19 88 ÖVNINGSUPPGIFTER [S] Lös integrlekvtionen sins = π Z u(t) t s dt, där Z innebär tt vi betrktr principlvärdet v integrlen (eftersom integrnden hr en singulritet i t = s) (Ledtråd: Använd residuestsen på integrlen Z e it s t dt) 82 Ange Lplcetrnsformen till den icke-trivil lösningen för följnde integrlekvtion Z s ( g(s) = s 2 t 2) g(t)dt Ledtråd: Skriv om kärnn på fltningsform och nvänd deriveringsregeln
RÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell
Läs merEGENVÄRDEN och EGENVEKTORER
EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER Definition. (Linjär vbildning) En funktion T från R n (n-dimensionell vektorer) till R m (m-dimensionell vektorer) säges vr en linjär vbildning ( linjär funktion eller linjär
Läs mer19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3
Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017
KTH, Mtemtik Mri Sprkin Lösningsförslg till tentmen i SF683 och SF629 (del ) 23 oktober 207 Tentmen består v sex uppgifter där vrder uppgift ger mximlt fr poäng. Preliminär betgsgränser: A 2 poäng, B 9,
Läs mer1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1
UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs
Läs merInför tentamen i Analys I och II, TNA008
Inför tentmen i Anlys I och II, TNA008. Gränsvärden () Definition v gränsvärde då x ± ; se Definition.2 och.29 i F.A. (b) Definition v gränsvärde då x. Höger och vänster gränsvärde. Se Definition.9,.2
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen
Läs merPreliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer
Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel
Läs mery > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1
Lösningsförslg till tentmensskrivning i Diff & Trns I, 5B12 och Diff & Trns I för LV, 5B122 Fredgen den 2 ugusti 24, kl 14-19 DEL1: 1 Betrkt differentilekvtionen y y (y -1)(y - 3), där y y(t) och t nger
Läs merÏ x: 0 Æ 1 Ì [ ] y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1
Tentmensskrivning i Mtemtik IV, 5B2 Fredgen den 2 ugusti 24, kl 4-9 Hjälmedel: BETA, Mthemtics Hndook Redovis lösningrn å ett sådnt sätt tt eräkningr och resonemng är lätt tt följ Svren skll ges å reell
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En
Läs merGeneraliserade integraler
Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst
Läs merVilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?
Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.
Läs merSF1625 Envariabelanalys
SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen T Erlndsson TENTAMEN 5--4 Anlys MN SVAR OCH ANVISNINGAR FRÅGOR... 4. 5. x-xeln 6. y = x + x + 7. y = sin x + 8. y = xe x + 9. y = e x. y = x +.. + x. x = 4. 5.
Läs merTATA42: Tips inför tentan
TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så
Läs merLäsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS
Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3,
Läs mer14. MINSTAKVADRATMETODEN
4 MINTAKADRATMETODEN Nu sk vi gå igenom någr olik sätt tt lös ekvtionssystemet Ax Om A är m n mtris med m n så sägs systemet vr överestämt och det sknr då i llmänhet lösningr Istället söker mn en pproximtiv
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del II
Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs mer9. Bestämda integraler
77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.
GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ± V Funktionen f () är egränsd i intervllet
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.
GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merMatris invers, invers linjär transformation.
Mtris invers, invers linjär trnsformtion. Påminnelse om mtris beräkningr: ddition, multipliktion med sklärer och mtrisprodukt Algebrisk egenskper hos mtrisddition och multipliktion med ett tl (Ly Sts..,
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning 6-7, 00: Genomgånget på föreläsningrn 6-0. Här gick vi inte igenom något nytt mteril, utn räknde igenom Blndde
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om
Läs merKOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015
KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och
Läs merIntegraler och statistik
Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik
Läs merKontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: 2 maj
Kontrollskrivning 3 till Diskret Mtemtik SF60, för CINTE, vt 209 Emintor: Armin Hlilovic Dtum: 2 mj Version B Resultt: Σ p P/F Etr Bonus Ing hjälpmedel tillåtn Minst 8 poäng ger godkänt Godkänd KS nr n
Läs merSats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b
Sts 3: Egenskper () f(x) dx = 0 (b) f(x) dx = b f(x) dx (c) (Af(x) + Bg(x))dx = A f(x) dx + B g(x) dx (d) f(x) dx + c c f(x) dx = b f(x) dx (e) Om b och f(x) g(x) f(x) dx g(x) dx (f) Tringelolikheten:
Läs merDiskreta stokastiska variabler
Definitioner: Diskret stokstisk vribler Utfllet i ett slumpmässigt försök i form v ett reellt tl, betrktt innn försöket utförts, klls för stokstisk vribel eller slumpvribel (oft betecknd ξ, η ) Ett resultt
Läs mer13 Generaliserade dubbelintegraler
Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll
Läs merVolum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3
Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.
Läs merEnhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt
Vektorddition u v u + v u + v = + = u 2 v 2 u 2 + v 2 u v u + v u + v = u 2 + v 2 = u 2 + v 2 u 3 v 3 u 3 + v 3 Multipliktion med sklär u α u α u = α = u 2 α u 2 u α u α u = α u 2 = α u 2 u 3 α u 3 Längden
Läs merTeorifrå gor kåp. 5.2 9.3
Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså
Läs mer9. Vektorrum (linjära rum)
9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,
Läs merTrigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...
Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 5-7.
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KndM, MtemA -9-6 Smmnfttning v föreläsningrn 5-7. Föreläsningrn 5 7, 7/9 6/9 : Det kommer, liksom i lärooken, inte tt finns utrymme för
Läs merKvalificeringstävling den 2 oktober 2007
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v
Läs merSIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH
SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr
Läs merMat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III
Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))
Läs merVolym och dubbelintegraler över en rektangel
Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =
Läs merFinaltävling den 20 november 2010
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning
Läs merFEM2: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i flera variabler
MVE255 Mtemtisk nlys i fler vribler M FEM2: Rndvärdesproblem och finit elementmetoden i fler vribler 1 1.1 Prtiell integrtion Kom ihåg tt finit elementmetoden bygger på den svg formuleringen v rndvärdesproblemet
Läs merSvar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.
Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)
Läs merUppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1
Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00
Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs merAnalys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013
Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två
Läs merf(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur.
Föreläsning. Integrl En förenkl efinition Antg tt f(x) å x b och tt f(x) är kontinuerlig är. Den bestäm integrlen b f(x)x efiniers som ren v ytn som begränss v y = f(t), y =, t = och t = b, se figur. Insättningsformeln
Läs merNågra integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1
F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så
Läs merStokastiska variabler
Kpitel 4 Stokstisk vribler Ett utfll v ett slumpmässigt försök är oft sådnt som inte direkt kn mäts. T.ex. försöket Kst med ett symmetriskt mynt hr utfllsrummet {kron, klve}. För tt kvntittivt nlyser försök
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervribelnlys Tentmen 8 juni 11, 8. - 13. Svr och lösningsförslg Del A (1 estäm en ekvtion för tngentplnet till ytn z + y z 3 1 i punkten (, y, (1, 1,. (3p b Punkten (, y, z (1.1,.9, t ligger på
Läs mer6 Greens formel, Stokes sats och lite därtill
6 Greens formel, tokes sts och lite därtill 6.1 Greens formel i låter de två sklärvärd funktionern P (, ) och Q(, ) vr kontinuerligt deriverbr i ett öppet område i -plnet. Området begränss v en positivt
Läs merKontinuerliga variabler
Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte
Läs merSammanfattning, Dag 9
Smmnfttning, Dg 9 Idg studerde vi begrepp sklärprudokt (eller innerprodukt), norm och ortogonlitet på ett llmänt vektorrum. Vi börjde med en kort repetition på smm begrep för vektorrummet R 3. I rummet
Läs merDel I. Modul 1. Betrakta differentialekvationen
Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 24 oktober 2016 kl 8:00-13:00 För godkänt (betyg E) krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För
Läs mer= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att
Läs merTentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 25/8 2015
Tentmen i ETE5 Ellär och elektronik, 5/8 05 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. Bestäm Thévenin-ekvivlenten
Läs merSamling av bevis som krävs på tentan MVE465, 2018
Smling v bevis som krävs på tentn MVE5, 8 Meelväresstsen för integrler. Det är Theorem, på si. i Ams. Lecture, si. -8 Om f är en kontinuerlig funktion på intervllet [; b], så nns et en punkt c [; b] sån
Läs merPASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL
PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).
Läs merTillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.
TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys
Läs mer= y(0) 3. e t =Ce t, y = =±C 1. 4 e t.
Löningförlg till tentmenkrivning i SF16 Differentilekvtioner I Tidgen den 8 jnuri 1, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mthemtic Hndbook Redovi löningrn på ett ådnt ätt tt beräkningr och reonemng är lätt tt följ
Läs merTMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013
TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment
Läs merSidor i boken
Sidor i boken -5 Vi räknr en KS För tt ni sk få en uppfttning om hur en KS kn se ut räknr vi här igenom den end KS som givits i denn kurs! Totlt kn mn få poäng. Om mn lycks skrp ihop 7 poäng eller mer
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del III
Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del III G. Gripenberg TKK 2 december 2010 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del III 2 december 2010 1 / 59 Vribelbyte b F (g(x))g (x) dx = b d F (g(x))
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010:
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/ 00: Genomgånget på föreläsningrn - 5. Generliserde integrler. Vi hr vist tt den bestämd integrlen I b f
Läs merAnalys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53
Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen
Läs mer24 Integraler av masstyp
Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter
Läs merSfärisk trigonometri
Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller
Läs merTavelpresentation grupp 5E
Tvelpresenttion grupp 5E Elis Elmquist, Mtild Hnes, Isk Pettersson, Juli Wennerblom, John Jxing, Boel Brndström, Edvin Cllisen, Cjs Hjolmn 19 februri 2017 1 Multipelintegrler Frmställningen för definitionen
Läs merORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM LÄNGDEN AV EN VEKTOR AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER MITTPUNKT TYNGDPUNKT SFÄR OCH KLOT INLEDNING För tt bild
Läs merLösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00. Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Bonus
Läs merNumerisk Integration En inledning för Z1
Numerisk Integrtion En inledning för Z1 Jörgen Löfström Reviderd v TG 1 Olik typer v fel 1.1 Avrundningsfel och trunkeringsfel Vid ll numerisk beräkning förekommer två huvudtyper v fel, vrundningsfel och
Läs merPolynominterpolation av kontinuerliga
Polynominterpoltion v kontinuerlig funktioner Smmnfttning Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com I det här dokumentet diskuterr vi lite kring hur mn kn pproximer kontinuerlig funktioner med
Läs merNågra partiella differentialekvationer med
Anlys 360 En webbserd nlyskurs Differentilklkyl Någr prtiell differentilekvtioner med våglösningr Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Någr prtiell differentilekvtioner med våglösningr
Läs merORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,
Läs merAssociativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.
Rtionell tl Låt oss skiss hur mn definierr de rtionell tlen utifrån heltlen. Förutom tt det ger en inblick i hur mtemtiken är uppbyggd, är dett är ett br exempel på ekvivlensreltioner och ekvivlensklsser.
Läs merLösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl
KTH Matematik Bengt Ek och Olle Stormark. Lösning till tentamen i SF633 Differentialekvationer I för BD, M och P, 008 0 6, kl. 4.00 9.00. Hjälpmedel: BETA. Uppgifterna 5 motsvarar kursens fem moduler.
Läs merAnalys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH
Anlys 360 En webbserd nlyskurs Grundbok Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Integrlklkyl (3) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn
Läs merUPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION
OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i
Läs merLösningsförslag envariabelanalys
Lösningsförslag envariabelanalys 09-06-05. Ekvationen är linjär och har det karakteristiska polynomet pr) = r 4 + r 3 + 5r = r r + r + 5) = r r + i)r + + i). Således ges lösningarna till den homogena ekvationen
Läs merENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT
ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som
Läs merFöreläsning 7: Trigonometri
ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)
Lösningsskiss för tentmen Vektorfält och klssisk fysik (FFM34 och FFM3) Tid och plts: Måndgen den 3 oktober 07 klockn 4.00-8.00 i Mskinslrn. Lösningsskiss: Christin Forssén Dett är enbrt en skiss v den
Läs merInduktion LCB 2000/2001
Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n
Läs merBEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM
BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM Större delen av de rekommenderade uppgifterna i boken är beräkningsuppgifter. Det är emellertid även viktigt att utveckla en begreppsmässig förståelse för materialet. Syftet med
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggnde mtemtisk sttistik Diskret och kontinuerlig slumpvribler Uwe Menzel, 208 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@mtstt.de www.mtstt.de Diskret och kontinuerlig slumpvribler Slumpvribel (s.v.): vribel
Läs mer8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM
94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.
Läs merIntegraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper
CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det
Läs merTillämpning av integraler
CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr
Läs merVeckans teman. Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3
Veckans teman Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3 Ekvationstyper Första ordningen Separabla Högre ordning System Autonoma Linjära med konstanta koefficienter
Läs merLösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl.
Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 juni 2, kl. 8: 3: Uppgift (av 8 (5 poäng. i. sant, ii. falskt, iii. falskt, iv. sant, v.
Läs mer4 Signaler och system i frekvensplanet Övningar
Signler och system i frevensplnet Övningr. Bestäm fourierserieoefficientern för de periodis signlern ) 7 δ [ n ] N = b) { δ [ n ] δ [ n 6] } N = c) { δ [ n + ] δ [ n ] } N =. T frm fourierserieoefficientern
Läs merTentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 4/1 2017
Tentmen i ETE5 Ellär och elektronik, 4/ 07 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. v 0 i 0 Beräkn
Läs mer