Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander)

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander)"

Sandra Karlsson
för 7 år sedan
Visningar:

1 Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander) Böiers 5.3 Relationer. Vi har definierat en funktion f: A B som en regel som kopplar ihop ett element a A, med ett element b B. Vi skrev f(a) = b. Elementet b var entydigt bestämt. Detta betyder att det inte finns två olika element b, c B sådana att f(a) = b och samtidigt f(a) = c Cartesisk produkt Vi skall nu införa en generellare typ av matematiska objekt än funktionerna genom att släppa kravet på entydighet. Den nya typen av matematiska objekt kallar vi relationer. Mängden av funktionerna kommer att vara en delmängd av mängden av relationer (ungefär som mängden av kvadrater är en delmängd av mängden av rektanglar). Vi upprepar först (och utvidgar) definitionen av Cartesisk produkt (som behövs vid definitionen av relationerna ) Med Cartesiska produkten av två mängder A och B, skrives A B, menas mängden av ordade par där första komponenten hämtas från A och den andra komponenten från mängden B d.v.s. A B={(a,b) ; a A, b B}. Observera att A B B A eftersom vi har ordnade par. A = {1, 2, 3}, B = {a, b}. A B = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)} 1(5)

2 R R = R 2, R = {reella tal}, Då, R R = R 2 = {(x,y) ; x, y R} Relationer: Diverse definitioner En relation r: A B är en delmängd av A B d.v.s. r A B. Speciellt, då A = B talar man om en binär relation på A = {(x, y) ; x, y reella tal, x y} är en relation från R till R (och en binär relation på R) A = B = P ({1,2,3}) = {, {1}, {2}, {3},{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} (= Potensmängden av {1, 2, 3}) = {(X, Y) A A; X Y} är en binär relation på A = P ({1,2,3}) Om för två mängder A och B gäller A = 3, B = 2 så finns det = 2 = 64 olika relationer från A till B. Detta eftersom A B = A B = 3 2 = 6 och P (A B) = 2 A B = 2 6 = 64. Liksom för funktionerna inför man för relationerna namn på speciella typer av relationer som man funnit särskilt intressanta och användbara. Låt r vara en binär relation på A d.v.s. r A A. Då, i) r kallas reflexiv om a A; (a,a) r. (Alternativt skrives (infix notation), a r a.) 2(5)

3 ii) r kallas symmetrisk om a, b A; (a, b) r (b, a) r. (Alternativt skrives (infix notation), a, b A; a r b b r a.) iii) iv) r kallas antisymmetrisk om a, b A; (a, b) r (b, a) r a = b r kallas transitiv om a, b, c A; (a, b) r (b, c) r (a, c) r. (Alternativt skrives (infix notation), a, b, c A; a r b b r c a r c ) på R = {reella tal} reflexiv ty x R; x x antisymmetrisk ty x, y R; x y y x x = y transitiv ty x, y, z R; x y y z x z A = {alla riktade sträckor (pilar) i R 3 }. Relationen ρ på A genom x, y A; x ρ y om och endast om x och y är lika långa och har samma riktning. Då tämligen enkelt att inse att ρ är reflexiv, symmetrisk och transitiv. En relation ρ på A kallas en partiell ordning om ρ är reflexiv, antisymmetrisk och transitiv. A = P ({1,2,3}) = {, {1}, {2}, {3},{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}, ρ =. Då, ρ är en partiell ordning på A 3(5)

4 på R = {reella tal}. är en partiell ordning (enligt tidigare exempel). < på R = {reella tal}. < är inte en partiell ordning (ty ej reflexiv). Ej Partiella ordningsrelationer (d.v.s. Ej Hassediagram, Topologisk sortering) Ekvivalensrelationer En relation ρ på A kallas en ekvivalensrelation om ρ är reflexiv, symmetrisk och transitiv. A = {alla riktade sträckor (pilar) i R 3 }. Relationen ρ på A genom x, y A; x ρ y om och endast om x och y är lika långa och har samma riktning. Då, ρ ekvivalensrelation (enligt tidigare exempel) Relationen ρ på Z = {hela (reella) tal} genom x, y Z; x ρ y precis då x och y ger samma principala rest vid division med 5. Då, ρ ekvivalensrelation Ekvivalensklasser Låt ρ vara en ekvivalensrelation på mängden A. Då, för x A definierar vi ekvivalensklassen [x] till x som [x] = {y A; x ρ y} (Beteckningen C x för [x] är också vanlig) Relationen ρ på Z = {hela (reella) tal} genom x, y Z; x ρ y precis då x och y ger samma principala rest vid division med 5 (se exempel strax ovan). Då, [0] = {0, ±5, ±10, ±15, ±20, } = {5k; k Z} [1] = {1, ±5+1, ±10+1, ±15+1, } = {5k + 1 ; k Z} [2] = {2, ±5+2, ±10+2, ±15+2, } = {5k + 2 ; k Z} [3] = {3, ±5+3, ±10+3, ±15+3, } = {5k + 3 ; k Z} [4] = {4, ±5+4, ±10+4, ±15+4, } = {5k + 4 ; k Z} Vi konstaterar, Precis 5 ekvivalensklasser (ty 0, 1, 2, 3, 4 är alla möjliga principala resterna vid division med 5). Vi ser att [0], [1], [2], [3], [4] är parvis disjunkta (d.v.s. t.ex. [2] [4] = ) och att [0]»[1]» [2]»[3]»[4] = Z (ty varje heltal ger ju någon principal rest vid division med 5) 4(5)

5 A 1, A 2, A 3, är en följd av delmängder till mängden A och i) A 1» A 2» A 3» = U A k = A (eventuellt är alla utom ändligt k=1 många av delmängderna tomma d.v.s. vi har i praktiken då endast ändligt många mängder). ii) A 1, A 2, A 3, är parvis disjunkta (d.v.s. t.ex. A 1 A 3 = ) Då säges { A 1, A 2, A 3, } utgöra en partition av mängden A (, se även figuren strax nedan). Sats (sid. 124, Boken) Följdsats (sid. 124, Boken) Låt ρ vara en ekvivalensrelation på mängden A. Då, i) x A, x [x] ii) x, y A; x ρ y [x] = [y] ii) x, y A; [x] [y] [x] [y] = För varje ekvivalensrelation på mängden A utgör dess ekvivalensklasser en partition av A. A = mängden av riktade sträckor (pilar) i planet. ρ är relationen på A där för x, y A, x ρ y precis då x och y är lika riktade och lika långa. Då, ρ är en ekvivalensrelation på A (som nämnts i tidigare exempel i R 3 ). Ekvivalensklasserna till ρ utgör det som normalt kallas vektorer. För dessa kan operationer som addition, subtraktion, skalär multiplikation, vektoriell multiplikation, väldefinieras. Slut! 5(5)

Relevanta dokument

Relationer. 1. Relationer. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin. Specialkursen HT07 23 oktober 2007

Relationer. 1. Relationer. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin. Specialkursen HT07 23 oktober 2007 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 23 oktober 2007 Relationer Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen är