Relationer. 1. Relationer. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin. Specialkursen HT07 23 oktober 2007

Transkript

1 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 23 oktober 2007 Relationer Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen är inte fullständig utan måste kompletteras med egna anteckningar och problemlösningar. 1. Relationer Vi repeterar kort begreppet relation. En relation, R mellan elementen i två mängder A och B är en delmängd av A B. Vi skriver att arb om (a, b) R. Om A = B talar man om en relation på A. Ett exempel på en relation är = på mängden A. Formellt har vi = = {(x, x); x A}. Ett annat exempel är på N, n = {(m, n)} = {(0, 0), (0, 1), (1, 1), (0, 2), (1, 2), (2, 2), (0, 3)... }. n=0 m=0 Detta sätt att skriva upp en relation är naturligtvis ganska osmidigt. Andra viktiga exempel på relationer är ordningsrelationer på talmängder. På R och Q har vi strikt (<) och icke-strikt ( ) olikhet. Dessa har ganska olika egenskaper. På Z och N är < och väsentligen samma sak, m n m < n + 1. Vad beror skillnaden mellan R och Z på? För att läsaren inte ska tro att relationsbegreppet är begränsat till de mest vanliga relationerna ger vi ytterligare några exempel. Exempel 1. Låt f och g vara två funktioner i R R. Vi säger att f g om f(x) g(x) för alla x R. Det är lätt att se att vi varken har sin cos eller cos sin. Exempel 2. Låt A vara en godtycklig mängd. Vanlig mängdinklusion är en relation på P(A). Hur då? Exempel 3. Man kan naturligtvis hitta på hur knasiga relationer som helst. T.ex. K på R R där fkg om f(x) + g(x) x för alla x och f(n)g(n) är ett primtal för alla heltal n > 10. Helknasigt och förmodligen ganska (säkerligen helt) ointressant. 1

2 1.1. Relationer med struktur Användbara relationer bör inte vara hur vilda som helst. Därför behövs en uppsättning axiom man kan kräva att relationen ska uppfylla. Beroende på vilka axiom man kräver ska vara uppfyllda får man olika typer av relationer. Vi har tidigare sett vad som krävs för att en relation ska vara en funktion. Låt X vara en mängd och R en relation på X. 1. Reflexivitet En relation är reflexiv om xrx för alla x X. Exempel på reflexiva relationer är = och på R. Relationen < på R är inte reflexiv. 2. Irreflexivitet En relation är irreflexiv om xrx inte gäller för något x. Strikt olikhet är irreflexiv. Relationen xny om och endast om x = y på R är varken reflexiv eller irreflexiv, ty 0N0 men inte 1N1. 3. Symmetri En relation är symmetrisk om xry gäller om och endast om yrx. Likhet är symmetrisk liksom relationen skild från ( ). Olikhet är inte symmetrisk. 4. Antisymmetri En relation är antisymmetrisk om xry och yrx medför x = y för alla x och y. Olikhet på R är antisymmetrisk, så även relationen mellan kardinaltal (Detta är Cantor-Bernsteins sats.). 5. Transitivitet En relation är transitiv om xry och yrz medför att xrz för alla x, y, z. Likhet, olikhet och strikt olikhet är alla transitiva. Relationen ( ) är det inte. Det finns fler viktiga egenskaper som relationer kan ha, men vi nöjer oss med dessa för tillfället. Låt oss istället kombinera dem på olika sätt och se vad vi får. Övning 1: Hur många relationer finns det på en mängd med 3 element? Hur många reflexiva relationer finns det? Vad kan du säga i det allmänna fallet, om antalet relationer och reflexiva relationer på en mängd med n element. Övning 2: Hur många symmetriska relationer finns det på en mängd med 3 element? Hur många antisymmetriska relationer finns det? Vad kan du säga om fallet med n element? Övning 3: Upprepa föregående övning med den skillnaden att du dessutom kräver att relationerna är reflexiva. Övning 4: Hur många transitiva relationer finns det på en mängd med 2 element? b) Det tycks inte vara känt om det finns någon enkel formel för antalet transitiva relationer på en mängd. Skriv ett datorprogram som räknar antalet 2

3 transitiva relationer på en mängd med n element. Gör en lista över resultatet då n = 3, 4, Ordningar En relation som är reflexiv, antisymmetrisk och transitiv kallas för en ordning eller en partiell ordning och en mängd som utrustats med en ordning kallas för en (partiellt) ordnad mängd. Om mängden heter X kan man kalla ordningen X och den ordnade mängden (X, X ). Övning 5: Om (X, X ) är en ordnad mängd och Y är en delmängd till X, visa att en ordning på Y kan defineras genom y 1 Y y 2 om y 1 X y 2 (I det senare fallet betraktas elementen som medlemmar i X). Övning 6: Om är en ordning på X, visa att, definierad genom x y om och endast om y x, också är en ordning på X. Den vanliga ordningsrelationen på R är en ordning. Om X är vilken mängd som helst finns en naturlig ordning på P(X) nämligen inklusion. Övning 7: Visa att relationen är en ordning på P(X), d.v.s. att relationen A är en delmängd av B är reflexiv, antisymmetrisk och transitiv. (Kom ihåg att två mängder är lika om de har samma element.) Övning 8: Visa att relationen i Exempel 1 ovan är en ordning. En ordning på X kallas linjär eller total om det för alla x, y X gäller att x y eller y x. Den vanliga ordningen på R är linjär. Mängdinklusion är inte en linjär. (Varför?) Övning 9: Låt (X, X ) och (Y, Y ) vara två ordnade mängder. Visa mängden X Y kan ordnas genom att deklarera att (x 1, y 1 ) X Y (x 2, y 2 ) om x 1 X x 2 men x 1 x 2 eller om x 1 = x 2 och y 1 Y y 2. Visa att den definierade ordningen är linjär om de ingående ordningarna är linjära. Den ordning som infördes i föregående uppgift brukar kallas lexikografisk ordning. Den kan generaliseras på ett uppenbart sätt till en ordning på X n om X är ordnad. Hur då? Varför kallas den lexikografisk? Övning 10: Om vi har en ordning på en mängd kan vi införa en strikt ordning genom att definiera a < b om a b och a b. (d.v.s. inte a = b). Visa att den strikta ordningen är asymmetrisk, d.v.s. a < b medför att inte b < a gäller: a, b: a < b = (b a) Övning 11: Vad menas med en välordning? Sök på nätet! Vad har det med urvalsaxiomet att göra? 3

4 1.3. Ekvivalensrelationer En relation som är reflexiv, symmetrisk, och transitiv kallas för en ekvivalensrelation. Många viktiga relationer är ekvivalensrelationer, och likhet kanske är den viktigaste. (För övrigt är likhet den enda relation som både är en ordning och en ekvivalensrelation.) Vi ger några fler exempel. 1. Låt A vara mängden av räta linjer i planet. Då är xp y om x och y är parallella (eller sammanfaller) en ekvivalensrelation. 2. Låt D vara mängden av rätvinkliga trianglar i planet. Då är xly om x och y är likformiga en ekvivalensrelation. 3. Låt n vara ett fixt positivt heltal. Definiera relationen K på Z genom xky om n (x y), d.v.s. om n delar x y. Den här relationen har ett eget skrivsätt: man skriver x y (mod n) då xky och säger att x är kongruent med y modulo n. T.ex. har vi 1 6 (mod 5) eftersom 1 6 = 5 är delbart med 5. Naturligtvis är också 1 4 (mod 5) medan 1 6 (mod 2). Om ett heltal a vid division med 5 ger kvoten q och resten r, så betyder det att a = 5q + r och a r (mod 5). Varje heltal är därför kongruent med något av talen 0, 1, 2,..., n 1 (mod n). Verifiera att exemplen verkligen är ekvivalensrelationer. Låt vara en ekvivalensrelation på en mängd X. Låt x vara ett element. Vi kan nu bilda mängden A x genom A x = {y X; x y}. Mängden A x kallas en ekvivalensklass. Vi ser att A x inte är tom eftersom x A x (reflexivitet). Om y A x så är A y = A x på grund av symmetri och transitivitet: z A x = z x = z y [eftersom x y] = z A y. och omvänt. Man inser att vi har följande Sats 1. En mängd X med en ekvivalensrelation delas upp i ett antal parvis disjunkta delmängder (ekvivalensklasser), som tillsammans täcker hela X. Man säger att X partitioneras av ekvivalensrelationen. Vi kan också gå åt andra hållet. Låt X vara en mängd och P = {A 1, A 2, A 3,... } = {A j } j J Om A j är icke-tomma, parvis disjunkta och täcker hela X kallas P en partition av X. I symboler kan vi skriva (i tur och ordning) dessa villkor som A j för alla j J, A i A j = om j i och j J A j = X. 4

5 Mängden J ovan brukar kallas indexmängd och används för att lista (eller indexera) alla mängder i P. J kan ha vilket kardinaltal som helst; egentligen är det ju bara kardinaltalet som spelar roll. Låt P vara en partition av X och definiera x y om x och y tillhör samma mängd i P (d.v.s. x, y A j för något A j P.) Det är lätt att visa att är en ekvivalensrelation. Vi kan nu formulera följande skärpning av Sats 1 ovan. Sats 2. Mängden av ekvivalensrelationer på X står i ett naturligt ett-till-ettförhållande till mängden av partitioner av X. Låt oss beskriva ekvivalensklasserna till exemplen ovan 1. Låt A vara mängden av räta linjer i planet. Låt ω θ = (cos(θ), sin(θ)), θ [0, π[ vara en uppsättning riktningsvektorer i planet. En ekvivalensklass är då A θ = {{(x, y) + tω θ ; t R}; (x, y) R 2 }. och P = {A θ ; θ [0, π[}. Observera att den inre mängden i A θ är en linje; den linje med riktning θ som går genom punkten (x, y). Den yttre mängden är en samling linjer med samma riktning. P är en mängd av mängder med linjer (som ju i sig är mängder av punkter). Vilken hierarki! 2. En ekvivalensklass kan beskrivas av ett tal p ]0, 1] som beskriver den kortaste kateten delat på den längsta. 3. Vi har xky på Z om n (x y). Det är klart att en ekvivalensklass består av alla tal som är delbara ned n, K 0 = {0, ±n, ±2n,... } = {qn; q Z}. Lite eftertanke ger att det finns precis n ekvivalensklasser, och dessa ges av K r = {qn + r; q Z}, där r = 0, 1,..., n 1. Vi ser alltså att ekvivalensklasserna beskrivs av talen 0, 1, 2,..., n 1, d.v.s. P = {K 0, K 1,... K n 1 } Med dessa förberedelser kan vi nu beskriva vad som menas med Z n : Z n består av talen 0, 1,..., n 1 där addition och multiplikation definieras på följande sätt: a + b = det unika tal r Z n så att den vanliga summan a + b K r. ab = det unika tal r Z n så att den vanliga produkten ab K r. Exempelvis är = 2 och 3 6 = 4 i Z 7 eftersom 9 2 (mod 7) och 18 4 (mod 7). 5

6 Om a och b är två (vanliga) tal och a + b = 0 så kallas b en additiv invers till a; vi har b = a. Det är klart att varje tal a Z n har en additiv invers, nämligen talet n a. En multiplikativ invers till ett tal a är ett tal b så att ab = 1, b = a 1. Om vi har att göra med rationella tal har varje tal utom 0 en multiplikativ invers, nämligen 1 genom talet. Kan vi hitta en entydig lösning till ekvationen ax = b för alla a 0 och alla b, så kan vi alltid bestämma en invers till a genom att sätta b = 1. Om n = pq där p och q är heltal större än 1, så är pq = 0 i Z n, så ekvationen px = 0 saknar entydig lösning. Följande övning går ut på att visa existens av en entydig lösning av ax = b i Z p om p är ett primtal. Övning 12: Låt a 0. Visa att (i Z p ) gäller: a) ax = 0 = x = 0. b) ax = ay = x = y. c) För varje b Z p har ekvationen ax = b en unik lösning. [Ledning: Betrakta de p talen a 0, a 1,..., a (p 1). Vad kan sägas om dessa i ljuset av b)?] Det följer naturligtvis speciellt att ekvationen ax = 1 har en unik lösning, som per definition är den multiplikativa inversen, a 1. Huvudproblemet är löst, men övningen fortsätter. d) Bevisa att i Z p gäller x 2 = x x = 1 x = 1 eller x = p 1. Detta betyder att a 1 = a a = 1 eller a = p 1. e) Beräkna (p 1)! i Z p då p = 2, 3, 5 och 7. Gör därefter en kvalificerad gissning av vad (p 1)! är i Z p för godtyckliga primtal p. Bevisa att din gissning är korrekt! [Ledning: Utnyttja resultaten i d) för att para ihop faktorerna i produkten (p 1)! = (p 1) på ett listigt sätt.] Övning 13: Lös följande ekvationer i Z 5 : 3x 2 + 2x = 1, 3x 2 + 2x = 2 och 3x 2 + 2x = 3. Övning 14: Hur många ekvivalensrelationer finns det på en mängd med 1 element? Med två element? Med tre, fyra och fem? Vad kan du säga om antalet ekvivalensrelationer på en mängd med n element? Övning 15: Betrakta relationen A på R där xay om x y Q. Visa att A är en ekvivalensrelation. Kan du beskriva ekvivalensklasserna (kanske någon ekvivalensklass!)? Vilket kardinaltal har en ekvivalensklass? Vilket kardinaltal har mängden av ekvivalensklasser? 6