Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer)

Transkript

1 Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har hittat ett nollställe till ett polynom p (x), så kan man faktorisera polynomet p (x) = x nollstället {z man hittat } polynom av ett steg lägre gradtal {z } x 1 q(x) Skulle man vilja veta alla nollställen till p (x), så återstår det att bestämma nollställena till q (x), och eftersom q (x) har lägre grad, så kan man hoppas att man nu står inför en enklare uppgift. I varje fall, så är man i hamn, om p (x) har gradtalet och därmed q (x) har gradtalet 2, för då är det bara att tillämpa lösningsformeln. Att pröva sig fram till nollställen, så som Pettersson tycks rekommendera, fungerar knappast annat än i tillrättalagda skolexempel, så Ö-47, 48 och 50 är i första hand övningar på faktorisering / polynomdivision. Man kan visserligen genom systematisk prövning ta fram alla rationella nollställen till ett polynom med heltalskoefficienter se nedan haken är bara den att det i allmänhet inte finns några skäl att tro att nollställena skulle vara rationella (t.ex.): x 2 4x + = 0har heltalsrötter: x 1 =1,x 2 = MEN x 2 4x +2 = 0har irrationella rötter: x 1,2 =2± 2 Glöm inte att ett annat alternativ för högregradsekvationer, än att pröva rötter, är att försöka kombinera ihop termerna på ett sådant sätt att man kan bryta ut en gemensam faktor: (Duger bra på t.ex. övningar 47.[2], 50.[1] och 50.[]) 2. Matematik2000CD: Pettersson: övn Det kan också inträffa att man direkt ur problemformuleringen kan avläsa en rot : 4. Tänk dig att du har en liksidig triangel given. Finns det andra likbenta trianglar som har såväl lika stor area som lika stor omkrets som den givna? 1

2 Anmärkn. till Pettersson, avsnitt 1.8 Petterssons Ett tredjegradspolynom har alltid tre rötter (lika eller olika) borde formulerats Ett polynom som t.ex. säger vi har Ett tredjegradspolynom har alltid tre rötter, om man inbegriper komplexa tal och räknar med multiplicitet. p (x) = x 6 1x 5 +7x 4 +29x 22x 2 20x +8 som kan faktoriseras = (x 1) (x +1) 2 (x 2) nollstället x =1/ med multiplicitet 1 (enkelt nollställe) x = 1 2 (dubbelt nollställe) x =2 Att räkna nollställen med multiplicitet betyder att vi tänker oss x = 2 som tre nollställen som sammanfaller och likaså x = 1 som två nollställen som sammanfaller, så att det totala antalet nollställen skulle vara =1+2+=6=polynomets gradtal. Gör man så, och dessutom räknar med komplexa tal, så har man Ett polynom av grad n har n komplexa nollställen, om man räknar med multiplicitet. (Tänk dig nollställena som punkter på tallinjen / i komplexa talplanet / som rör sig när man ändrar på polynomets koefficienter; gradtalet n hålls dock fixt. För de flesta val av koefficienter har man n olika punkter, men i exceptionella fall kommer vissa punkter att sammanfalla.) 5. Titta tillbaka på faktoriseringen x n 1=(x 1) (något polynom) i avsnittet om geometriska summor. Hur kunde man, utan att räkna, insett att en sådan faktorisering existerar för alla heltal n? 6. Du kan själv inse att a 2 + b 2, a 4 + b 4, a 6 + b 6, etc. inte kan ha någon faktorisering av typ µ Kortare skrivsätt: a 2n + b 2n, n =1, 2,,... (a + b)(...) eller (a b)(...) Tänk dig nämligen att du sätter in a och b sådana att b = a eller b = a i en identitet av formen a 2n + b 2n =(a ± b)(...) Vilken motsägelse får man då? 7. Matematik2000CD:

3 Rationella rötter till polynom med heltalskoefficienter Idén med delbarhet. Betrakta Petterssons exempel: x 11x 2 +2x +5=0 Det är klart att x =0inte är rot, så ekvationen är ekvivalent med x 11x 2 +2x +5 x = 0 x 2 11x +2 = 5 x Av det här syns att, om denna likhet skulle vara uppfylld för ett heltal x, så måste detta heltal dela 5 : vänsterledet blir ju ett heltal, om x är heltal, och då måste även högerledet vara ett heltal, d.v.s. 5 måste vara jämnt delbart med x. Alltså är de enda tänkbara kandidaterna till heltalsrötter ±1, ±5, ±7, ±5 (Heltalsrötterna, som Pettersson får, tillhör mycket riktigt den här mängden!) Det är nu bara fråga om tid och tålamod att sätta in dessa 8 värden i ekvationen och kontrollera om de är rötter eller inte! Delbarhetsresonemanget kan ge även alla rationella rötter. Betrakta som exempel 9x 6x 2 +15x 10 = 0 Om nu denna likhet skulle vara uppfylld för ett rationellt x, d.v.s. ett x som är = kvoten mellan två heltal, säg x = 7 5, så skulle det gälla µ 7 µ =0? Multiplicera denna likhet med 5, så får du Flytta över sista termen till högra sidan: ? = ? = ? =5 Vänsterledet är jämnt delbart med 7, men det är inte högerledet det går inte ihop! Flytta nu i stället alla termer utom första till högra sidan: 9 7? = Högerledet här är jämnt delbart med 5, men det är inte vänsterledet det går inte heller ihop! En rationell rot, skriven med täljare och nämnare utan gemensamma faktorer, kanhasom täljare: endast delare till den konstanta termen 10, d.v.s. ±1, ±2, ±5, ±10 nämnare: endast delare till högstagradskoefficienten 9, d.v.s. ±1, ±, ±9

4 De enda rationella kandidaterna till rötter är således ±1, ±2, ±5, ±10, ± 1, ±2, ±5, ±10, ±1 9, ±2 9, ±5 9, ±10 9 Återigen: det är nu endast rutinjobb att sätta in dessa och kontrollera, men kom ihåg: icke-rationella rötter kommer man inte åt på detta sätt! Resonemanget i föregående stycke kan tillämpas på alla polynom, så i matematikböcker hittar man: Sats. Låt f (x) =a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 vara ett polynom med heltalskoefficienter. Rationella talet p/q, där heltalen p och q saknar gemensamma faktorer (andra än ±1) kan vara rot till ekvationen f (x) =0endast om Bevis. Antag att f (p/q) =0, d.v.s. p är en faktor i a 0, och q är en faktor i a n p n a n q n + a p n 1 p n a 1 q n 1 q + a 0 =0 Multiplikation med q n och överflyttning av den sita termen till högra sidan ger a n p n + a n 1 p n 1 q a 1 pq n 1 = a 0 q n Iochmedattp är en faktor i var och en av termerna i vänsterledet, och därmed i hela vänsterledet, så måste p ocksåvaraenfaktori a 0 q n. Men enligt förutsättningen saknar p och q gemensamma faktorer. Alltså måste p vara en faktor i a 0. På motsvarande sätt visas att q är en faktor i a n. Därmed är beviset klart, vilket i böckerna brukar markeras med någon symbol som,, # eller dylikt: 4

5 Sambanden mellan rötter och koefficienter I Matematik2000CD, sid.1, visas, genom att sätta in lösningsformelns uttryck för rötterna, att ½ x 1,x 2 rötter till x 2 x1 + x + px + q =0= 2 = p x 1 x 2 = q Med faktorsatsen kan vi generalisera dessa samband till alla polynom, även om vi inte har formler för rötterna! Antag att tredjegradspolynomet x + px 2 + qx + r =0har nollställena a, b, c (ev. komplexa). Upprepad tillämpning av faktorsatsen ger att x + px 2 + qx + r =(x a)(x b)(x c) i den meningen att, om vi skriver om högerledet på standardformen för polynom, så skall vi ha samma koefficienter som i vänsterledet. Utveckling av parenteserna ger (x a)(x b)(x c) =x (a + b + c) x 2 +(ab + ac + bc) x abc Alltså måste det gälla a + b + c = p ab + ac + bc = q abc = r Vi kan kontrollera på exemplet i Pettersson: 1+5+7= ( 11) x 11x 2 +2x+5 = 0 har rötterna 1, 5 och 7: ( 1) 5+( 1) 7+5 7=2 ( 1) 5 7= 5 5