Föreläsningsanteckningar till Matematik D

Transkript

1 Olof Bergvall Föreläsningsanteckningar till Matematik D Matematiska Institutionen Stockholms Universitet, Stockholm [email protected]

2

3 Innehåll 1 Algebra Tal Räkneregler Konjugat- och kvadreringsregeln Polynom Att manipulera algebraiska uttryck Ekvationer Linjära ekvationer Andragradsekvationer Uppdelning i faktorer Polynomdivision (överkurs) Funktioner Grundläggande definitioner Funktioner, ekvationer och geometri Linjära funktioner Kvadratiska funktioner Ekvationssystem Linjära ekvationssystem Icke-linjära ekvationssystem Olikheter Potenser och logaritmer Potenser som inte är heltal Exponentialfunktionen Ekvationer av typen a x = b Logaritmer Byte av bas Historisk tillbakablick Potensekvationer Geometriska summor Rekursion v

4 vi Innehåll 4 Trigonometri Rätvinkliga trianglar Enhetscirkeln Areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen Trigonometriska funktioner Trignometriska formler Konsekvenser av Pythagoras sats De trigonometriska kurvorna Trigonometriska ekvationer Derivata Ändringskvot Derivata Tangent och normal Derivatan av exponentialfunktionen Lösningar Sakregister Referenser

5 Jag ska nu lära er att multiplicera de okända talen, ett med ett annat, om de står ensamma, eller om tal adderas till dem, eller om tal subtraheras från dem, eller om de subtraheras från tal; och även att addera dem ett till ett annat, och att subtrahera ett från ett annat. Muhammad ibn Musa al-khwarizmi 1Algebra Kortfattat är målet med det här kapitlet att lära oss att räkna med bokstäver. Anledningen till att man vill göra detta är att man sedan kan ersätta bokstäverna i de resulterande formlerna med tal. Man kan på så sätt undvika att göra samma beräkning flera gånger. Det kan också vara ett bra sätt att se matematiska och fysikaliska samband som man annars skulle missa eftersom man fokuserar för mycket på speciella tal. Innan vi börjar med bokstavsräkning ska vi dock prata väldigt kort om tal. 1.1 Tal Det finns många olika sorters tal och det är praktiskt att ha namn på dem. Till att börja med finns det positiva heltal. De positiva heltalen är de tal som anger antal. Till exempel kan man använda det positiva heltalet 3 för att tala om att man har tre äpplen. Om vi även vill kunna säga att vi inte har något äpple måste vi inkludera talet 0, och vi får då de icke-negativa heltalen. Ibland pratar man också om naturliga tal. Beroende på vem som använder ordet kan det antingen betyda positiva heltal eller icke-negativa heltal. Oftast spelar det inte så stor roll, och det är antagligen därför man inte orkat komma överens om vad som är rätt. Ibland kan det dock vara bra att hålla koll på vad som menas. Man kan addera icke-negativa heltal till varandra och man kan även subtrahera mindre icke-negativa heltal från större. Exempelvis är ju 7 5 = 2. Vill vi också kunna dra ifrån större icke-negativa heltal från mindre, som 5 7, måste vi introducera negativa heltal. Mängden av alla positiva heltal, negativa heltal och 0 kallas kort och gott heltalen. 1

6 2 1 Algebra Hela tal kan multipliceras med varandra och man kan dela ett heltal med ett annat och få ett heltal, så länge täljaren är en multipel av nämnaren. Man säger då att nämnaren är en delare av täljaren. Vill man dela ett heltal med ett annat heltal som inte är en delare måste vi introducera så kallade rationella tal, såsom 7/5. De rationella talen är fullt tillräckliga för att man ska kunna utföra de fyra räknesätten (addition, subtraktion, multiplikation och division). Däremot räcker de inte till om man vill lösa ekvationen x 2 = 2 eller räkna ut omkretsen av en cirkel med radie 1. För dessa tillämpningar behöver man så kallade irrationella tal. Mängden av alla rationella och irrationella tal kallas de reella talen. Ofta brukar man introducera reella tal som oändliga decimalutvecklingar. Man kan då skilja mellan de rationella talen, som har en decimalutveckling som upprepar sig, exempelvis 1/3 = 0, , och irrationella tal som inte har det, exempelvis π = 3, (Naturligtvis kan man inte se om en oändlig decimalutveckling faktiskt upprepar sig eller inte om man inte tittar på oändligt många decimaler, vilket ju är omöjligt i praktiken). 1.2 Räkneregler I den förra sektionen pratade vi om tal och vi vet såklart sedan tidigare mycket om hur man räknar med dem. Vi ska använda detta som inspiration till de räkneregler vi vill ska gälla när vi börjar räkna med bokstäver och algebraiska uttryck. Algebraiska uttryck är uttryck bildade av bokstäver, siffor och de fyra räknesätten. Vi kommer att illustrera med exempel och introducera räknereglerna allt eftersom. Till att börja med vet vi att = och = Mer allmänt kan vi säga att vi vet att det spelar ingen roll i vilken ordning vi utför addition av reella tal. Ett kortare sätt att säga detta på är att addition kommuterar. Vi vill att detta även ska gälla när vi adderar bokstäver. Vi introducerar därför regeln (Addition kommuterar) a + b = b + a. Här spelar det ingen roll att vi valde just bokstäverna a och b. Vi vill också att det ska gälla för alla andra bokstäver (och symboler, tal och uttryck). Vi tycker alltså att regeln ovan implicerar att x + y = y + x och α + β = β + α. Vi har så klart också att 5 7 = 7 5, 2 3 = 3 2. Mer allmänt gäller: det spelar inte någon roll i vilken ordning vi multiplicerar tal. Alltså säger vi att multiplikation kommuterar. Vi vill även att detta ska gälla när vi räknar med bokstäver: (Multiplikation kommuterar) a b = b a. Till skillnad från addition och multiplikation kommuterar inte subtraktion och division. Vi har ju att 5 7 = 2 och 7 5 = 2 så 5 7 är inte lika med 7 5. Vi har också att 2/3 inte är lika med 3/2. Att något inte kommuterar formulerar vi däremot inte som någon regel.

7 1.2 Räkneregler 3 Nästa observation vi gör är att (3+5)+7 = 8+7 = 15 och 3+(5+7) = 3+12 = 15, så hur vi placerar paranteserna spelar ingen roll. Detta gäller så klart även om vi ersätter 3,5 och 7 med andra tal. Det kortfattade och matematiska sättet att säga detta på är att addition är associativ. Vi indroducerar därför den associtativa lagen: (Addition är associativ) (a + b) + c = a + (b + c). Associativitet gäller även för multplikation, exempelvis är (2 5) 7 = 70 = 2 (5 7). Vi ger detta en egen regel: (Multiplikation är associativ) (a b) c = a (b c). Att undersöka huruvida subtraktion och division är associativ lämnar vi som ett problem till läsaren Är subtraktion associativ? (Ledtråd: Räkna ut (3 5) 7 och 3 (5 7). Spelar det någon roll var paranteserna sitter?) 1.2. Är division associativ? (Ledtråd: Räkna ut (2/3)/4 och 2/(3/4). Spelar det någon roll var paranteserna sitter?) och Nästa steg är att låta räknesätten börja interagera. Vi har ju till exempel 2 (3 + 4) = 2 7 = 14, = = 14. Vi säger att multiplikation är distributiv över addition. Vi formulerar därför regeln: (Distributiva lagen) a (b + c) = a b + a c. Ett viktigt specialfall är då a = 1. Vi har då ( 1)(b + c) = ( 1)b + ( 1)c. Man brukar ju skriva ( 1)b = b och uttrycket blir då (b + c) = b c. Om man tänker igenom ett exempel med tal verkar regeln ovan rimlig. Vi har ju till exempel att (3 + 5) = 8 vilket ju är lika med 3 5. Vi kan nu räkna ut hur man multiplicerar ihop två summor av två bokstäver. Vi har (a + b) (c + d) = (a + b) c + (a + b) d, med hjälp av distributiva lagen. Multiplikation är kommutativ så (a + b) c + (a + b) d = c (a + b) + d (a + b). Om vi använder distributiva lagen en gång till får vi c (a + b) + d (a + b) = c a + c b + d a + d b.

8 4 1 Algebra Vi har nu visat (om vi använder kommutativitet av multiplikation igen) (a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d, vilket du kanske redan visste. Vi kan även betrakta kvoter av uttryck med bokstäver, det vill säga uttryck på formen a/b eller b a. Precis som tidigare fungerar addition och multiplikation som vid addition och multiplikation av kvoter av tal: a b + c d = a d + b c, bd och a b c d = a c b d. Sådana uttryck kallas rationella uttryck. Man kan även subtrahera och dividera rationella uttryck. Reglerna för detta är a b c d = a d b c, bd och ( ab ) ( cd ) = a b d c = a d b c. Om man adderar samma bokstav flera gånger till sig själv, till exempel a +a+a, kan det lätt bli långa uttryck. Det är därför bekvämt att skriva a + a + a = 3 a. På samma sätt skriver man exempelvis a + a + a + a + a = 5 a. Om man istället multiplicerar ett tal med sig självt ett antal gånger kan man skriva om uttrycket på potensform, till exempel a a a = a 3. Vi skriver ned dessa regler mer allmänt: och, a + + a = n a, }{{} ngånger a } {{ a } = a n. ngånger Vi säger att uttrycket a n har bas a och exponent n. Vi har (1) a m a n = a } {{ a } a } {{ a } mgånger ngånger och = a } {{ a } = a m+n, m+ngånger

9 1.2 Räkneregler 5 (2) (a m ) n = a } m {{ a m } = a } {{ a } a } {{ a } = a } {{ a } = a m n. ngånger mgånger } {{ mgånger } m ngånger ngånger Vårt mål är, som bekant, att uträkningar med bokstäver ska vara så lika uträkningar med tal som möjligt. Vi har ju exempelvis 3 4 /3 2 = 3 2 = Vi inför därför regeln (3) a m a n = am n. Notera att om a är ett tal som inte är 0 har vi a n /a n = 1. Men å andra sidan har vi a n /a n = a n n = a 0. Vi definierar därför (4) a 0 = 1, även för bokstäver. Vi får nu att (5) a m = a 0 m = a0 a m = 1 a m. Vi har också reglerna (6) (a b) n = a n b n, och (7) ( a b) n = a n b n. Ekvationerna (1)-(7) ovan brukar gemensamt kallas potenslagarna. Vi lämnar beviset av (6) och (7) till läsaren Kan du visa att (a b) n = a n b n och att ( a b ) n = a n b n med hjälp av de andra räknereglerna? Ett tal som är lite speciellt är 0. Det är inte meningfullt att dela med 0 så vi tillåter inte uttryck på formen a/0. Man kan så klart ta positiva potenser av 0 och vi har då 0 m = 0 där m är ett positivt heltal. Uttrycket 0 0 kan vi inte heller definiera på något vettigt sätt. Man kan argumentera både för att det borde vara 1 och 0, men det bästa är att låta det vara odefinierat Konjugat- och kvadreringsregeln Betrakta (a + b) (a b) = (a + b) (a + ( b)). Vi multiplicerar ut paranteserna och får

10 6 1 Algebra Du kan säkert själv skriva om detta som Vi har alltså a a + a ( b) + b a + b ( b). a 2 b 2. (a + b) (a b) = a 2 b 2. Denna likhet kallas konjugatregeln. Betrakta nu (a + b) 2 = (a + b) (a + b). Vi multiplicerar ut paranteserna och får Vi har alltså likheten som kallas kvadreringsregeln. Exempel. a 2 + a b + b a + b 2 = a 2 + 2a b + b 2. (a + b) 2 = a 2 + 2a b + b 2, Vi ska visa att ( 1) ( 1) = 1. Vi börjar med att notera att 1+( 1) = 0. Distributiva lagen ger ( 1) (1 + ( 1)) = ( 1) 1 + ( 1) ( 1) = 0. Eftersom ( 1) 1 = 1 kan vi skriva om uttrycket ovan som 1 + ( 1) ( 1) = 0. Alltså gäller ( 1) ( 1) = 1. Från och med nu kommer vi ibland att skriva ab istället för a b. 1.3 Polynom En speciell sorts algebraiska uttryck är polynom. Ett polynom i en variabel är ett uttryck på formen p(x) = a n x n + a n 1 n a 1x + a 0, där n är ett icke-negativt heltal och bokstäverna a 0,a 1,...,a n 1,a n är tal. Talen a 0,a 1,...,a n 1,a n kallas polynomets koefficienter. Om a n inte är 0 säger vi att polynomet har grad n och a n kallas polynomets högstagradskoefficient. Talet a 0 kallas polynomets konstantterm. Bokstaven x kallas för variabel. Anledningen till detta är att man ofta ersätter x med olika tal. Alltså varierar x, i motsats till konstanterna som ju just är konstanta. Ett polynom på formen ax n där a inte är 0 kallas ett monom. Man kan alltså säga att ett polynom är en summa av monom. Precis som i vilken summa som helst kallas de saker man adderar för termer (eller summander).

11 1.4 Att manipulera algebraiska uttryck 7 Några exempel på polynom är p 1 (x) = 3x + 5, p 2 (x) = 4x x + 9, p 3 (x) = x 5 + x + 1, p 4 (x) = 3. Om polynomet har grad 1 kallar man det ett förstagradspolynom, om det har grad 2 ett andragradspolynom och så vidare. Till exempel har p 1 grad 1, p 2 har grad 2, p 3 grad 5 och p 4 grad 0. Vi noterar att polynomet 0 inte har någon grad. Förstagradspolynom kallas även linjära, andragradspolynom kallas kvadratiska och tredjegradspolynom kallas kubiska. Om p(x) är ett linjärt polynom utan konstantterm, det vill säga ett polynom på formen p(x) = kx, säger vi att p(x) är proportionellt mot x och vi kallar k polynomets proportionalitetskonstant. Polynom används framför allt till två saker. Dels används de till att beskriva funktioner. Exempelvis, om vi släpper en boll från ett hustak kan vi beskriva bollens position vid tiden t som ett polynom i t. Det andra man ofta gör med polynom är att lösa ekvationer av typen p(x) = 0. I vårt exempel med bollen är vi kanske intresserade av när bollen når marken. Vi får då lösa en ekvation av denna typ. Vi kommer att prata mer om detta senare. 1.4 Att manipulera algebraiska uttryck Det är väldigt bra att kunna skriva om och manipulera algebraiska uttryck så att de får en snyggare form. Här är ligger verkligen skönheten i betraktarens öga, men oftast är man ute efter att få ett så litet och behändigt uttryck som möjligt eller också vill man skriva om ett uttryck på ett sånt sätt att någon viss egenskap blir tydligare, som till exempel när man löser polynomekvationer genom att dela upp polynomet i faktorer. Vi börjar med några enkla exempel: Exempel. Förenkla följande uttryck: (a)5(x + 4), (b)a + 2b (a 3b), (c)(2a + 4b)(3a 3b), (d)(x 2 1)(x 3 + x 2 + x + 1). Lösning:

12 8 1 Algebra (a) 5(x + 4) = 5 x = = 5x (b) a + 2b (a 3b) = a + 2b a + 3b = = 5b. (c) (2a + 4b)(3a 3b) = (2a) (3a) (2a) (3b) + (4b) (3a) (4b) (3b) = = 6a 2 6ab + 12ab 12b 2 = = 6a 2 + 6ab 12b 2. Om man vill kan man skriva om 6a 2 + 6ab 12b 2 = 6(a 2 + ab 2b 2 ). Vilket som är enklast beror på situationen. (d) (x 1)(x 3 + x 2 + x + 1) = x x 3 + x x 2 + x x + x 1 x 3 x 2 x 1 = = x 4 + x 3 + x 2 + x x 3 x 2 x 1 = = x 4 1. Om man vill kan man skriva om x 4 1 = (x 2 +1)(x 2 1) = (x 2 +1)(x +1)(x 1). Exempel. Förenkla följande uttryck: (a)(5a + b)(5a b), (b)(5x + y) 2, (c)(5x 2 y 3 ) 2, Lösning: (a) Vi använder konjugatregeln: (5a + b)(5a b) = (5a) 2 b 2 = 25a 2 b 2. (b) Vi använder kvadreringsregeln: (5x + y) 2 = (5x) (5x) y + y 2 = 25x xy + y 2. (c) Vi använder kvadreringsregeln och potenslagarna: (5x 2 y 3 ) 2 = (5x 2 ) (5x 2 ) ( y 3 ) + ( y 3 ) 2 = 25x 4 10x 2 y 3 + y 6. Det är viktigt att förstå att man kan använda räknereglerna åt båda hållen. Man kan ju till exempel använda konjugatregeln för att skriva om (x + 2)(x 2) som

13 1.4 Att manipulera algebraiska uttryck 9 x 2 4, men man kan också använda den till att skriva om x 2 4 som (x + 2)(x 2). Man använder sig ofta av detta när man faktoriserar algebraiska uttryck. Exempel. Faktorisera följande uttryck så långt som möjligt: (a)36x 2 25, (b)x 2 + 2x + 1, (c)5a a + 20, Lösning: (a) Vi använder konjugatregeln: (b) Vi använder kvadreringsregeln: 36x 2 25 = (6x) = (6x + 5)(6x 5). x 2 + 2x + 1 = (x + 1) 2. (c) Vi noterar att alla koefficienter är multiplar av 5. Alltså kan vi bryta ut en faktor 5, det vill säga skriva om uttrycket på följande sätt: 5a a + 20 = 5 (a 2 + 4a + 4). Vi noterar nu att a 2 +4a+4 = a 2 +2 a Vi kan alltså använda kvadreringsregeln för att göra omskrivningen 5 (a 2 + 4a + 4) = 5 (a + 2) 2. Alltså har vi 5a 2 +20a+20 = 5 (a+2) 2 och uttrycket går inte att faktorisera längre än så. Precis som att man gärna skriver om talet 5/15 som 1/3 kan man skriva om rationella uttryck om täljaren och nämnaren har en gemensam faktor. Detta kallas att förkorta. Exempel. Förkorta följande uttryck så långt som möjligt: (a) 8a7 4a 2, (b) 24z(z 1) 8z 8, (c) x2 +6x+9 2(x+3), (d) a+b x. Lösning:

14 10 1 Algebra (a) Vi använder potenslagarna: 8a 7 4a 2 = 2a7 2 = 2a 5. (b) Vi ser att vi kan bryta ut en faktor 8 i nämnaren: 24z(z 1) 8z 8 = 24z(z 1) 8(z 1) = 3z. (c) Vi kan skriva om täljaren med hjälp av kvadreringsregeln: Vi har nu x 2 + 6x + 9 = (x + 3) 2. x 2 + 6x + 9 2(x + 3) = (x + 3)2 2(x + 3) = x (d) Vi kan inte förkorta uttrycket alls eftersom täljaren och nämnaren inte har några gemensamma faktorer. Vi ska nu titta på hur man utför de fyra räknesätten på rationella uttryck. Det kan kanske tyckas lite konstigt, men det är betydligt lättare att multiplicera och dividera rationella uttryck än att addera och att subtrahera dem men så är det ju även när man räknar med rationella tal. Vi börjar med ett exempel på multiplikation av rationella uttryck. Exempel. Skriv om följande uttryck på gemensamt bråkstreck och förkorta så långt som möjligt: (a) , (b) x+2 2 x x 2, x (c) x+2 x+2 x. Lösning: (a) (b) 2 x + 2 x x 2 = = = x (x + 2) (x 2) = 2x x 2 4. (c) x x + 2 x + 2 x (x + 2) = x (x + 2) x = 1. Vi ska nu se hur man dividerar rationella uttryck.

15 1.4 Att manipulera algebraiska uttryck 11 Exempel. Skriv om följande uttryck på ett enda bråkstreck och förkorta så långt som möjligt: (a) ( 1 3) ( 5 3), x+2) ( x+2), x x+2) ( x+2 (b) ( 2 (c) ( x x ). Lösning: (a) (b) (c) ( x x+2 ( x+2 x ) ( 2 x+2 ( x x+2 ) ( 13 ) ( 53 ) = = = 1 5. ) = 2 x + 2 x + 2 = x ) = x x + 2 x x + 2 = 2 (x + 2) (x + 2) x = 2 x. x2 (x + 2) 2 = x 2 x 2 + 4x + 4. Vi ska nu se några exempel på att addera och subtrahera algebraiska uttryck. Det är väldigt enkelt att addera två uttryck som har samma nämnare, exempelvis a c + b c = a+b c. Det svåra är när de har olika nämnare. Man skriver då om de olika bråken så att de får samma nämnare. Den allmänna regeln, som vi gick igenom tidigare, är a b + d c = a d b d + b d b c = ad+bc bd. Vi säger att vi förlänger de rationella uttrycken så att de får en gemensam nämnare. Exempel. Skriv om följande uttryck på gemensamt bråkstreck och förkorta så långt som möjligt: (a) , (b) , (c) x 2 2 x 2 x, (d) 2 x x + x+2 x. Lösning: (a) Vi vet såklart att 1/3 +5/3 = 6/3 = 2, men vi ska trots det använda den lite mer komplicerade regeln för att öva. Vi har

16 12 1 Algebra = = = = 2. (b) Vi har = = = (c) Eftersom båda termerna har samma nämnare har vi direkt 2 x 2 x x 2 = 2 x x 2 = x + 2 x 2. Vill vi istället använda den lite mer komplicerade regeln blir uträkningen 2 x 2 x x 2 (d) Vi har ( 2) (x 2) x (x 2) ( 2 x)(x 2) = (x 2) 2 = (x 2) 2 = 2 x x 2 = x + 2 x 2. x 2 x + x + 2 x x + (2 x) (x + 2) = = x2 + (2 2 x 2 ) x (2 x) x 2x x 2 = 4 2x x 2. Notera att vi kan se de rationella uttrycken ovan som funktioner genom att ersätta x med tal. Dock måste vi se till att nämnaren inte blir 0. I (d), till exempel, kan vi inte ersätta x med 0 eller 2 eftersom nämnaren är 0 för dessa värden på x. Funktionen 4 2x x 2 är alltså inte definierad för dessa värden på x. 1.5 Ekvationer Vi ska nu använda det vi lärt oss hittills för att lösa ekvationer av typen p(x) = 0, där p(x) är ett polynom. Det kan tyckas vara lite fegt att anta att högerledet är noll. Ett modigare problem skulle kanske vara att lösa ekvationer på formen p(x) = q(x) där både p(x) och q(x) är polynom. Men p(x) q(x) är också ett polynom och p(x) q(x) = 0 precis då p(x) = q(x) så vi förlorar inget på att bara titta på det, till synes, enklare problemet Linjära ekvationer Det enklaste fallet är när p(x) är ett linjärt polynom, det vill säga på formen p(x) = ax + b. Ekvationen kallas då en linjär ekvation. Det första steget för att lösa ax + b = 0 är att flytta över b till andra sidan, det vill säga dra ifrån b från bägge sidor så att vi får ax = b. Om a inte är 0 kan vi nu dividera båda sidor med a. Vi får då x = a b vilket är lösningen.

17 1.5 Ekvationer 13 Exempel. Vi vill åka till Örebro och söker efter en resa. Vi ser att ett tåg går klockan 15:07 från Stockholms Central och kommer fram till Örebro Central, 196 kilmoter därifrån, klockan 17:04. Vi undrar därför, såklart, vilken medelhastighet tåget har (uttryckt i km/h)? Lösning: Vi vill ställa upp en ekvation på formen ax + b = 0 och sedan lösa den. I detta fall är det dock lite lättare att ställa upp en ekvation på formen ax = b, vilket ju i princip är samma sak. Vi kallar därför tågets medelhastighet för x, tiden tåget behöver för att komma fram för a och sträckan det färdas för b. Tåget behöver uppenbarligen 1 timme och 57 minuter på sig för att komma fram. En timme är 60 minuter, så tåget behöver = 117 minuter eller timmar. Sträckan det färdas är helt enkelt 196 kilometer. Vi har alltså ekvationen x = 196. Från vår diskussion ovan ser vi att lösningen är x = 196 ) = ( ( 196 ) ( Vi har att 117 = 3 39 och 60 = 3 20 så = ) = = = Tåget har alltså en medelhastighet på kilometer i timmen. Följande problem kan vara lärorikt att tänka igenom Låt a och b vara (reella) tal. Lös ekvationen ax+b = 0. Måste vi anta något om a och/eller b? Har ekvationen alltid samma antal lösningar? Andragradsekvationer Det näst lättaste fallet är så kallade andragradsekvationer, det vill säga ekvationer på formen ax 2 + bx + c = 0. Den enklaste typen av andragradsekvationer är de av typen x 2 = d, som ju har lösningarna x = ± d. När vi vet detta är det heller inte svårt att lösa ekvationer av typen (x + k) 2 = d. Vi ser först att x + k = ± d och när vi väl vet det ser vi att x = k ± d. Detta är en väldigt viktig observation för att lösa den allmänna ekvationen. Om a skulle vara 0 kan vi skriva ekvationen som bx + c = 0 vilket ju är en linjär ekvation som vi redan vet hur man löser. Vi antar därför att a inte är 0. Första steget

18 14 1 Algebra för att lösa ekvationen är att dela båda led med a vilket ger x 2 + b a x+ a c = 0. Vi döper om b a = p och a=q c så att vi har ekvationen x2 + px + q = 0. Vi skulle vilja ha en ekvation på formen (x + k) 2 = d, för sådana vet vi hur man löser. Vi ska därför använda kvadreringsregeln på ett klurigt sätt för att skriva om ekvationen på denna form. Minns att (x + k) 2 = x 2 + 2kx + k 2. Vi ser att x 2 + px nästan har formen (x + p ( p ) 2 2 )2 = x 2 + px +, 2 skillnaden är bara att det senare uttrycket har en extra term ( p 2 ) 2. Men vi kan ju lägga till 0 = ( p 2 ) 2 ( p 2 ) 2 till x 2 + px utan att förändra det. Vi har alltså ( p ) 2 ( p ) 2 ( x 2 + px = x 2 + px + = x + p ) 2 ( p ) Vi stoppar in detta i ekvationen x 2 + px + q = 0 vilket ger ( x + p ) 2 ( p ) 2 + q = Vi kan nu flytta över konstanttermerna i högerledet och får då ( x + p ) 2 ( p ) 2 = q, 2 2 vilket är en ekvation på formen (x + k) 2 = d som vi ju vet hur man löser. Vi har alltså x = p 2 ± ( p 2 ) 2 q, den så kallade pq-formeln. Uttryckt i a och b är lösningen ( x = b ) b 2 2a ± c 2a a. Notera att vi bara har reella lösningar om ( b 2a ) 2 c a 0 eftersom man ju bara kan dra kvadratroten ur positiva tal (om man inte vill introducera komplexa tal). Tänk på att x 2 = 36 har lösningarna x = ±6 men x 2 = 36 har ingen lösning. Metoden vi använde för att härleda pq-formeln kallas kvadratkomplettering. Många (däribland jag) anser att det ger mer insikt att använda kvadratkomplettering direkt istället för att memorera pq-formeln, men var och en gör så klart som den vill. Kvadratkomplettering är dock en mycket användbar metod att behärska och om man tänkt sig att läsa någon form av matematik vid universitet så kommer man att behöva lära sig den förr eller senare. Exempel. Lös följande ekvationer:

19 1.5 Ekvationer 15 (a)x 2 = 25, (b)(x + 2) 2 = 25, (c)x 2 + 6x + 5 = 0 genom att använda pq-formeln, (d)x 2 + 6x + 5 = 0 genom kvadratkomplettering. Lösning: (a) Man kan direkt se att x = ±5. (b) Vi såg i (a) att x 2 = 25 har lösningarna x = ±5. Alltså är x + 2 = ±5. Vi ser nu att x = 5 och x = 3 är ekvationens lösningar. (c) Vi stoppar in p = 6 och q = 5 i pq-formeln: (6 x = ) ± 5 = 3 ± = 3 ± 9 5 = 3 ± 4 = 3 ± 2. Vi har alltså lösningarna x = 5 och x = 1. (d) Vi har x 2 + 6x + 5 = (x + 3) = (x + 3) 2 4. Vi vill alltså lösa ekvationen (x + 3) 2 4 = 0 eller (x + 3) 2 = 4. Vi ser direkt att x + 3 = ±2 så x = 3 ± 2, det vill säga x = 5 och x 1 är ekvationens lösningar. Precis som att linjära ekvationer har en lösning (åtminstone om koefficenten framför x är nollskilld) så har andragradsekvationer oftast två lösningar. Vad som menas med oftast illustreras kanske bäst med ett exempel. Exempel. Hur många (reella) lösningar har följande ekvationer? (a)x 2 6x + 5 = 0, (b)x 2 4x + 4 = 0, (c)x 2 + 6x + 10 = 0. Lösning: (a) Vi använder kvadratkomplettering för att lösa ekvationen. x 2 6x + 5 = (x 3) 2 ( 3) = (x 3) 2 4. Vi har alltså att (x 3) 2 = 4 eller x = 3±2. Alltså har ekvationen 2 lösningar: x = 1 och x = 5. (b) Vi använder kvadratkomplettering: x 2 4x + 4 = (x 2) 2 ( 2) = (x 2) 2. Vi har alltså (x 2) 2 = 0 så x = 2. Ekvationen har alltså bara en lösning, men med multiplicitet 2. Allmänt så har ett polynom p(x) ett nollställe med multiplicitet n i a om man kan faktorisera p(x) = (x a) n q(x) där q(x) är något polynom.

20 16 1 Algebra (c) Vi använder återigen kvadratkomplettering: x 2 + 6x + 10 = (x + 3) = (x 3) Vi vill alltså lösa ekvationen (x 3) = 0 eller (x 3) 2 = 1. Men denna ekvation har ingen lösning Uppdelning i faktorer Om vi kan skriva ett polynom p(x) som en produkt av två andra polynom q(x) och r(x) så vet vi att p(x) är noll precis då antingen q(x) eller r(x) är noll (eller båda). Detta är en väldigt enkel observation, men den är likväl väldigt viktig eftersom det oftast är mycket lättare att hitta nollställen till polynom av lägre grad. Till exempel är det ju mycket lättare att lösa förstagradsekvationer än andragradsekvationer. Omvänt så gäller det att om x = a är ett nollställe till p(x) så delar x a polynomet p(x), det vill säga det finns något polynom q(x) så att p(x) = (x a)q(x). Detta resultat brukar kallas faktorsatsen och kan vara mycket användbart. För tydlighets skull formulerar vi detta som en sats: Sats. Om ett polynom p(x) kan skrivas som p(x) = q(x) r(x) är p(x) = 0 då antingen q(x) = 0 eller r(x) = 0. Omvänt, om p(x) har ett nollställe då x = a kan p(x) faktoriseras som p(x) = (x a) q(x) för något polynom q(x) Polynomdivision (överkurs) För att få ut så mycket som möjligt från faktorsatsen är det viktigt att kunna dividera polynom med varandra. Vi ska illustrera hur detta går till väga med ett exempel. Exempel. Dela x 3 + x 2 x 1 med x 1. Lösning: Vi vill hitta ett polynom q(x) så att (x 1)q(x) = x 3 + x 2 x 1. Första steget i att hitta detta polynom är att multiplicera x 1 med ett lämpligt monom, det vill säga ett polynom på formen ax n, så att ax ( x 1) har samma högstagradsterm som x 3 + x 2 x 1, alltså x 3. Vi ser att det sökta monomet är x 2. Vi kommer ihåg q 1 (x) = x 2 och drar bort x 2 (x 1) = x 3 x 2 från x 3 + x 2 x 1 och får 2x 2 x 1 kvar. Vi vill nu hitta ett monom så att ax m (x 1) har högstagradsterm 2x 2. Det sökta monomet är alltså 2x. Vi lägger till 2x till q 1 (x) = x 2 och får q 2 (x) = x 2 + 2x. Vi drar nu ifrån 2x(x 1) = 2x 2 2x från 2x 2 x 1 och får x 1. Vi vill nu hitta ett monom så att ax m (x 1) = x 1 men det är ju helt enkelt 1. Vi lägger till 1 till

21 1.5 Ekvationer 17 q 2 (x) = x 2 + 2x och får q 3 (x) = x 2 + 2x + 1 och drar sedan ifrån 1(x 1) = x 1 från x 1 och får 0. Eftersom vi inte har något kvar slutar procedured här. Detta lät kanske lite krångligt men det är ganska lätt när man gjort det några gånger. Ett bra sätt att skriva ned vad som händer är följande, som ibland kallas liggande stolen eller långdivision : x 3 + x 2 x 1 = ( x 1 )( x 2 + 2x + 1 ) x 3 + x 2 2x 2 x 2x 2 + 2x x 1 x Vi ska nu se några exempel på hur man kan hitta nollställen till polynom genom faktorisering. Exempel. Lös följande ekvationer (a)(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) = 0, (b)(x 2 2x + 1)(x 2 6x + 5) = 0, (c)x 3 6x x 6 = 0. Lösning: (a) Vänsterledet är ett polynom av grad 5 och det är oftast extremt svårt att hitta nollställen till sådana. Det finns till och med en sats som säger att det går att hitta någon lösningsformel av samma typ som pq-formeln för ekvationer av grad 5 och högre. Här har vi emellertid fått en faktorisering av polynomet så vi ser direkt att lösningarna till ekvationen är x = 1, x = 2, x = 3, x = 4 och x = 5. (b) Polynomet i vänsterledet är en produkt av polynomen x 2 2x + 1 och x 2 6x + 5. Vi kan därför istället lösa de två ekvationerna x 2 2x + 1 = 0 och x 2 6x + 5 = 0. Eftersom x 2 2x + 1 = (x 1) 2 har den första ekvationen lösningen x = 1 (med multiplicitet 2). För att lösa den andra ekvationen använder vi kvadratkomplettering och får x 2 6x + 5 = (x 3) = (x 3) 2 4, så (x 3) 2 = 4 eller x = 3±2. Alltså måste x = 1 eller x = 5. Ekvationen (x 2 2x+ 1)(x 2 6x + 5) = 0 har alltså lösningarna x = 1 (med multiplicitet = 3) och x = 5 (med multiplicitet 1). (c) Här har vi ingen faktorisering, och vi vet inte hur man löser tredjegradsekvationer. Det går däremot att se direkt att x = 1 är en lösning. Vi vill därför dela x 3 6x x 6 med x 1. Vi gör detta och får

22 18 1 Algebra x 3 6x x 6 = ( x 1 )( x 2 5x + 6 ) x 3 + x 2 5x x 5x 2 5x 6x 6 6x Kvoten är alltså x 2 5x+6. Vi vill nu hitta lösningarna till ekvationen x 2 5x+6 = 0. Vi använder vår favoritmetod för att lösa andragradsekvationer och får då att x = 2 och x = 3 är lösningarna. Ekvationen x 3 6x x 6 = 0 har alltså lösningarna x = 1, x = 2 och x = 3.

23 2 Funktioner Målet med detta kapitel är att introducera funktioner och relaterade begrepp såsom definitionsmängd, värdemängd och grafer. Vi kommer även se några exempel på hur man kan använda funktioner för att ställa upp matematiska modeller. 2.1 Grundläggande definitioner Funktionsbegreppet är utan tvekan något av det viktigaste och mest fundamentala inom matematiken. Trots detta är det ett relativt nytt begrepp. Det sägs ofta att Galileo Galilei var den första att använda sig av funktioner, exempelvis för att uttrycka samband som det i citatet ovan. Ordet funktion uppfanns emellertid inte förrän omkring år 1700 av Gottfried Wilhelm von Leibniz, ungefär 100 år efter Galilei. Detta kan jämföras med tal, som fanns i mesopotamien redan 3400 år f.kr., och algebra som fått sitt namn från en arabisk lärobok från 800-talet. Anledningen till detta är antagligen att funktionsbegreppet är betydligt mer abstrakt än tal och formler. En funktion kan vara många, vitt skillda saker. Exempelvis kan en funktion vara ett sätt att få ett tal från ett annat, såsom funktionen som sänder talet x till talet x 2. En annan funktion sänder en bil till dess färg och en tredje sänder en person till sin ålder. Möjligheterna är, bokstavligt talat, oändliga. Vi ska därför, en gång för alla, tala om vad vi menar med ordet funktion. För att kunna göra detta är det bekvämt att känna till ett annat viktigt matematiskt begrepp: mängder. En mängd är, precis som man skulle kunna tro, helt enkelt en samling objekt. Objekten i en mängd brukar kallas för element. Vi kan nu tala om vad en funktion är: 19

24 20 2 Funktioner En funktion är ett sätt att för varje element i en mängd ge ett element i en annan mängd. Om vi kallar funktionen för f så tar alltså f ett element, som vi kan kalla a, i en mängd, som vi kallar A, och ger ett element i en annan mängd, som vi ger namnet B. Elementet som f tilldelar a brukar betecknas f (a). En funktion fungerar alltså lite som en maskin som tillverkar något. Mängden A är då det som man ska stoppa in i maskinen och mängden B är det f tillverkar. Exempel. Vi kan låta A vara mängden av bilar, B vara mängden av färger och f vara funktionen som till varje bil associerar dess färg. Exempel. Vi kan låta A vara mängen av mäniskor, B vara mängden av icke-negativa heltal och f vara funktionen som till varje person associerar hennes ålder (i hela år). Exempel. Vi kan låta A vara de reella talen, B vara de icke-negativa reella talen och f vara funktionen som tar talet a till talet a 2. Mängden vi kallar A i exemplen ovan, det vill säga mängden av saker som vi stoppar in i funktionen f, kallas funktionens definitionsmängd. Mängden B, det vill säga mängden av saker som f kan ge, kallas funktionens värdemängd. Ofta brukar man slarva lite när man specificerar värdemängden och kalla någon mängd som innehåller den egentliga värdemängden för värdemängd. Exempelvis säger man ofta att funktionen som tar talet a till talet a 2 är en funktion från de reella talen till de reella talen, trots att den egentligen bara tar icke-negativa värden. De funktioner vi kommer att titta på kommer att ha olika mängder av tal som definitions- och värdemängder. Dessutom kommer de att ges av formler, det vill säga uttryck med symboler som talar om hur vi kan räkna ut funktionsvärdet från ett givet tal. Detta är ett mycket effektivt och vanligt sätt att ge funktioner. Exempel. När vi talar om funktionen f (x) = x 2 menar vi funktionen som tar ett tal x och ger talet x 2. Vi får alltså reda på hur vi räknar ut funktionsvärdet från talet x: multiplicera x med sig själv. Om man ger en funktion som en formel är det vanligt att man inte är så noga med att tala om definitionsmängd eller värdemängd. Man anser då att definitionsmängden är de tal där formeln fungerar. Värdemängden är helt enkelt de tal man får när man stoppar in olika tal i funktionen. När man gör på detta sätt säger man att definitionsmängden (eller värdemängden) är implicit definierad. Exempel.

25 2.2 Funktioner, ekvationer och geometri 21 1 Vi ska titta på funktionen f (x) = 2(x 1)(x 2). Formeln som definierar f fungerar fint för alla tal där nämnaren inte är noll. Alltså är definitionsmängden alla reella tal utom 1 och 2. Värdemängden är mycket svårare att bestämma, men man kan visa att f antar alla tal som är mindre än eller lika med 2 och alla tal som är större än 0. Du har säkert sett uttryck som y = f (x) och höra att y är en funktion av x. Vi vet nu precis vad detta betyder: för varje värde på x har vi precis ett värde på y. När man skriver på detta sätt ser man även y som en variabel. Dock är ju y sammanlänkad med x genom funktionen f. Därför brukar man kalla y för en beroende variabel, till skillnad från x som är en oberoende variabel. 2.2 Funktioner, ekvationer och geometri Tal, formler och funktioner är förtås väldigt viktiga och intressanta i sig själva, men det kan ofta vara både lättare och mer intuitivt att tänka på dem geometriskt. Nyckeln till att kunna göra detta är det så kallade kartesiska koordinatsystemet. Detta har fått sitt namn av den franske matematikern och filosofen René Descartes som ju annars är mest känd för citatet Je pense, donc je suis. ( Jag tänker, alltså är jag. ). Det Descartes gjorde var att han tänkte sig de reella talen som en lång linje med 0 i mitten, ordnade så att större tal står till höger om mindre tal. Han tog sedan två kopior av den reella linjen och la den ena ovanpå den andra så att de korsade varandra i 0. Han fick på så sätt ett geometriskt sätt att beskriva par av tal, (x,y). För att hitta punkten svarande mot (x,y) letar man först upp x på den fösta reella linjen. Därefter drar man en rät linje paralell med den andra reella linjen och genom x. Sedan letar man upp y på den andra reella linjen och drar en rät linje parallel med den första rella linjen. Vi har nu ritat två linjer som skär varandra i en punkt. Det är denna punkt som svarar mot (x,y). Den första kopian av reella linjen brukar kallas x-axeln och den andra kopian för y-axeln. Vi kan nu tänka på tal och ekvationer geometriskt! Exempelvis, om f är en funktion från de reella talen till de reella talen kan vi till varje reellt tal x associera punkten (x, f (x)). Vi får då grafen till funktionen f. Grafen av en funktion är en kurva i planet. Vi ser två exempel på grafer nedan. Innan vi börjar diskutera kopplingen mellan geometri och nollställen är det viktigt att ha klart för sig vad skillnaden mellan ekvationer och funktioner är. En funktion är, som sagt, en metod att för varje element i någon mängd, tilldela ett element i en annan mängd. En ekvation däremot är ett uttryck på formen f (x) = g(x), där f och g är funktioner. Eftersom h(x) = f (x) g(x) också är en funktion brukar man skriva h(x) = 0 istället. Man kan alltså säga att en ekvation är frågan När är funktionen f lika med 0? Den geometriska tolkningen av vad lösningarna till en ekvation är blir nu enkel: lösningarna är de punkter där grafen till funktionen f skär x-axeln. Lösningarna till ekvationen f (x) = 0 kallas även nollställena till funktionen f.

26 22 2 Funktioner y x Figur 2.1 Grafen av funktionen f (x) = x(x + 1)(x 1) y x Figur 2.2 Grafen av funktionen f (x) = 1 2(x 1)(x 2) 2.3 Linjära funktioner Låt p(x) vara ett polynom i variabeln x. Om vi ersätter x med ett tal och använder räknereglerna vi lärde oss i förra kapitlet får vi ett nytt tal. På detta sätt kan vi alltså se ett polynom som en funktion. Om p(x) är ett polynom av grad 1 brukar man kalla den motsvarande funktionen för en linjär funktion och om p(x) har grad 2 brukar man kalla den motsvarande funktionen kvadratisk. Man kan så klart prata om kubiska och kvartiska funktioner, och så vidare, men vi ska koncentrera oss på de linjära och kvadratiska funktionerna eftersom de är enklast och de som är vanligast i tillämpningar. Ett linjärt polynom har formen p(x) = kx + m. Koefficienten framför x kallas funktionens lutning eller riktningskoefficient. Detta beror på att k talar om hur många steg i y-led man måste ta uppåt om man tar ett steg framåt i x-led. Om k är stort måste man ta många steg uppåt och linjen lutar brant och om k är väldigt litet lutar linjen inte mycket alls. Vi ser exempel på detta i figuren nedan. Om vi stoppar in x = 0 i uttrycket kx + m får vi bara m kvar. Vi kan alltså tolka konstanttermen som den punkt där funktionens graf skär y-axeln. Omvänt kan man vara intresserad av att räkna ut vilken funktion som gett upphov till en viss linje. För detta behöver man kunna räkna ut lutningen (förstagradskoeffi-

27 2.3 Linjära funktioner 23 y y = 3x + 1. y = 1 3 x x Figur 2.3 Graferna till funtionerna 3x + 1 och 1 3 x. cienten) och konstanttermen. Lutningen är, som sagt, antalet steg man ska ta i y-led för varje steg i x-led. Om vi har två punkter (x 0,y 0 ) och (x 1,y 1 ) kan vi få fram lutningen genom Lutningen k = Antal steg i y-led mellan y 0 och y 1 Antal steg i x-led mellan x 0 och x 1 = y 1 y 0 x 1 x 0. Polynomet som gav upphoov till linjen, p(x) = kx + m, antar ju värdet y 0 då x = x 0. Alltså har vi kx 0 + m = y 0. Men vi har ju räknat ut k och x 0 och y 0 är två givna tal. Alltså kan vi räkna ut m som m = y 0 kx 0. Vi ska illustrera detta med ett konkret exempel. Exempel. Bestäm det polynom som ger upphov till en rät linje som går genom punkterna (x 0,y 0 ) = (1,1) och (x 1,y 1 ) = (2,3). Lösning: Vi vill bestämma lutningen, k, och konstanttermen, m. Vi börjar genom att bestämma lutningen: k = y 1 y 0 = 3 1 x 1 x = 2 1 = 2. Vi vet nu att polynomet har formen p(x) = 2x + m. Vi vet också att p(1) = 1. Alltså har vi p(1) = m = 1. Om vi löser denna ekvation får vi att m = 1. Alltså är polynomet vi söker p(x) = 2x 1. Som vi har pratat om tidigare, skriver man ibland y = f (x) och kallar y för en beroende variabel. Om f (x) är en linjär funktion brukar man kalla sambandet y = kx + m för räta linjens ekvation. Detta verkar motsäga den distinktion mellan funktioner och ekvationer vi gjorde tidigare, och det är helt riktigt om man faktiskt betraktar y som en funktion av x. Anledningen till att uttrycket y = kx + m fått sitt

28 24 2 Funktioner namn är att man inte ser y som en funktion av x utan uttrycket y = kx+m som en ekvation i två variabler. Denna ekvation har dock inte en unik lösning, utan en lösning för varje värde på x (eller y). Mängden av alla lösningar till ekvationen y = kx + m (eller, ekvivalent, y kx m = 0) är en linje i planet. Detta förklarar varför inte namnet är så opassande som man först skulle kunna tycka. Antag att vi har fått ekvationen för en linje given, y = kx + m, och att vi vet att punkten (x 0,y 0 ) ligger på linjen. Alltså gäller y 0 = kx 0 + m och därmed y y 0 = kx + m (kx 0 + m) = kx kx 0 = k(x x 0 ). Vi har alltså y y 0 = k(x x 0 ). Detta uttryck kallas enpunktsformen av räta linjens ekvation. 2.4 Kvadratiska funktioner Om p(x) är ett polynom av andra graden kallas den motsvarande funktionen för kvadratisk. Grafen till en kvadratisk funktion kallas en parabel. Vi ser några exempel på parabler nedan. y y = x 2. x y = x 2 + 2x 1 Figur 2.4 Graferna till funtionerna f (x) = x 2 och f (x) = x 2 + 2x 1. Vi ser i figuren ovan att en parabel har en så kallad maximi- eller minimipunkt. En maximipunkt är en punkt sådan att till vänster om punkten är grafen växande och till höger är den avtagande. En minimipunkt definieras på det motsatta sättet: en punkt sådan att till vänster är funtionen avtagande och till höger är den växande. I figuren ovan har y = x 2 en minimipunkt i (0,0) medan y = x 2 +2x 1 har en maximipunkt i (1, 0). Anledningen till att man kallar maximipukter för just maximipunkter är att en kvadratisk funktion antar sitt största värde i den punkten. Självklart har namnet minimipunkter en liknande förklaring. Om x 2 termen har en positiv koef-

29 2.4 Kvadratiska funktioner 25 ficient så har funktionen ett minimivärde och om koefficienten framför x 2 är negativ har funktionen en maximipunkt. Man kan även se att parabler är symmetriska kring sina maximi- respektive minimipunkter. Med symmetriska menas att om man drar en lodrät linje (d.v.s. en linje paralell med y-axeln) och speglar ena halvan av grafen i linjen så får man andra halvan. Man kan tänka på en spegling som att man lägger en spegel i linjen och tittar på grafens spegelbild. Kommentar Man kan göra samma definitioner av maximi- och minimipunkter för funktioner som inte nödvändigtvis är kvadratiska. Då gäller dock inte att dessa punkter är störst, respektive minst. Däremot är de störst, respektive minst, i ett litet område omkring punkten. Man kallar dem därför istället för lokala maximi- resp. minipunkter. Orden maximi- resp. minimivärde är reserverade för de allra största resp. minsta värdena funtionen tar. Problem av typen Hitta det x som gör att f (x) är så stort som möjligt kallas maximeringsproblem. På samma sätt kallas problem av typen Hitta det x som gör att f (x) är så litet som möjligt för minimeringsproblem. Maximierings- och minimeringsproblem har samlingsnamnet optimeringsproblem. Vi kommer att prata mycket mer om optimeringsproblem när vi kommer till kapitlet om derivata men vi kan redan nu lösa optimeringsproblem om funktionen vi vill optimera är ett kvadratiskt polynom. Om f är en kvadratisk funktion finns det åtminstone 4 olika sätt att hitta f :s maximi- eller minimivärden. Det första är derivering, och det ska vi prata om senare. De andra tre ska vi titta på nu. Exempel (Optimering med hjälp av kvadratkomplettering). Har f (x) = 2x 2 + 2x + 2 ett maximi- eller minimivärde? Vilket, och för vilket värde på x antas det? Lösning: Koefficienten framför x 2 är 2 så f har ett minimivärde. Vi skriver om f som f (x) = 2(x 2 + x + 1). Vi kvadratkompletterar uttrycket i parantesen: ( x 2 + x + 1 = x + 2) 1 2 ( ) 1 2 ( + 1 = x + 1 ) Eftersom en kvadrat aldrig kan vara negativ antar uttrycket sitt minsta värde då ( x ) 2 = 0, d.v.s för x = 1 2. Då är uttrycket 3 4. Funktionen f har alltså 2 34 = 3 2 som sitt minsta värde. Exempel (Optimering med hjälp av symmetri). Har f (x) = x 2 + 6x + 2 ett maximi- eller minimivärde? Vilket, och för vilket värde på x antas det?

30 26 2 Funktioner Lösning: Koefficienten framför x 2 är 1 så f har ett minimivärde. Vi gör nu följande observation: Anta att vi har två olika värden x 0 och x 1 sådana att f (x 0 ) = f (x 1 ). Eftersom f är symmetrisk måste minimivärdet ligga mittemellan x 0 och x 1. Alltså är antas f :s minimivärde i x 0+x 1 2 och är f ( x 0 +x 1 ) 2. Vi provar med x = 2 och x = 4. Vi får f (2) = ( 2) ( 2) + 2 = 6 och f ( 4) = ( 4) 2 6 ( 4)+2 = 6. Alltså antas minimat i x = ( 2)+( 4) 2 = 3 och är f ( 3) = ( 3) ( 3) + 2 = 7. Exempel (Optimering med hjälp av graf). Har f (x) = 3x 2 + 6x + 2 ett maximi- eller minimivärde? Vilket, och för vilket värde på x antas det? Lösning: Vi ritar grafen: Vi ser att funktionen har maximivärdet 4 som antas då x = 1. y x y = 2x 2 + 4x + 2 Figur 2.5 Graferna till funtionerna f (x) = x 2 och f (x) = x 2 + 2x 1. Exemplen ovan kan lätt lura en att tro att det är betydligt lättare att lösa optimeringsproblem med hjälp av graf än med hjälp av symmetri, vilket i sin tur är mycket lättare än kvadratkomplettering. Detta är inte sant. För att kunna rita grafen behöver man egentligen lösa optimeringsproblemet så detta är egentligen ingen lösning. Det vi gör i praktiken är egentligen att låta en dator eller miniräknare lösa problemet åt oss. Det kan naturligtvis vara praktiskt, men om man har en miniräknare eller dator finns det bättre sätt än att läsa ut maximivärdet ur en graf. I exemplet där vi utnyttjade symmetri behövde vi hitta två värden på x där funktionen antog samma värde. Detta åstadkom vi genom att chansa. Man kan så klart vara ganska duktig på att chansa, men oftast finns det inget som garanterar att man någonsin hittar två x som uppfyller vårt krav. Däremot, om man direkt ser två sådana är så klart den här metoden väldigt effektiv. Den enda metoden vi kan just nu som alltid fungerar är kvadratkomplettering. När vi lärt oss derivera kommer vi att kunna en till.

31 2.5 Ekvationssystem Ekvationssystem Om man vill att flera ekvationer samtidigt ska vara uppfyllda får man ett så kallat ekvationssystem. Att lösa ekvationssystemet f (x) = 0 och g(x) = 0 betyder geometriskt att hitta skärningen mellan grafen av f och grafen av g Linjära ekvationssystem Den enklaste typen av ekvationssystem är de där alla ekvationer är linjära ekvationer, d.v.s. då man vill hitta skärningen mellan linjer. Sådana ekvationssystem kallas linjära ekvationssystem. Vi ska lära oss två metoder för att lösa linjära ekvationssystem: substutitionsmetoden och additionsmetoden. Exempel (Substutitionsmetoden)). Bestäm skärningen mellan linjerna y = 3x + 2 och y = 5x + 3. Lösning: Vi byter ut y mot 5x+3 i ekvationen y = 3x+2. Vi får då ekvationen 5x+3 = 3x+2. Vi förenklar ekvationen till 2x = 1 och får därmed att x = 1 2. Vi stoppar in x = 2 1 i uttrycket y = 3x+2 och får att y = = 1 2. Alltså skär linjen y = 3x+2 linjen y = 5x + 3 i punkten ( 1 2, 1 2 ). y y = 5x + 3 y = 3x + 2 x Figur 2.6 Linjen y = 3x + 2 skär linjen y = 5x + 3 i punkten ( 1 2, 1 2 ). Vi ska nu få se ett exempel med additionsmetoden. Många brukar tycka att additionsmetoden verkar lite krångligare än substitutionsmetoden, men när man blivit van vid att använda är den oftast enklare än substitutionsmetoden och uträkningarna blir tydligare. Exempel (Additionsmetoden). För vilka x och y gäller y = x + 1 och 2y = 3x + 1.

32 28 2 Funktioner Lösning: Vi börjar med att multiplicera ekvationen y = x+1 med 2 för att koefficienten framför y ska vara samma i båda ekvationerna. Vi får då 2y = 2(x + 1) = 2x + 2. Vi vill alltså lösa ekvationerna 2y = 2x + 2 och 2y = 3x + 1. Vi drar nu ifrån den första av dessa ekvationer från den andra: 0 = 3x + 1 (2x + 2) = x 1. Vi vill nu lösa ekvationen x 1 = 0 som ju har lösningen x = 1. Vi sätter in detta värde på x i uttrycket y = x + 1 och får y = 2. Båda ekvationerna är alltså uppfyllda då x = 1 och y = 2. y 2y = 3x + 1 y = x + 1 x Figur 2.7 Linjen y = x + 1 skär linjen 2y = 3x + 1 i punkten (1,2) Icke-linjära ekvationssystem Om minst en av ekvationerna i ett ekvationssystem inte är linjär kallas ekvationssystemet icke-linjärt. Icke-linjära ekvationssystem är oftast mycket svårare än linjära ekvationssystem. Ofta är de till och med så svåra att man inte kan lösa dem alls. Då får man använda något som kallas numeriska metoder och en dator eller miniräknare för att få fram en approximativ lösning. Ett exempel på en sådan metod är när du ritar upp två kurvor i din miniräknare och ser när de skär varandra. Det finns dock betydligt effektivare metoder som man får lära sig om man läser lite mer matematik.

33 2.5 Ekvationssystem 29 Ibland är det dock möjligt att lösa systemet utan hjälp av datorer. Man säger då att man löser systemet exakt. Exempel. Lös ekvationssystemet { y x 2 + 2x 1 = 0, 2y 3x 2 = 0. Lösning: Vi löser först ut y från ekvationen 2y 3x 2 = 0. Vi får då y = 3 2 x + 1. Vi sätter nu in detta i ekvationen y x 2 + 2x 1 = 0 vilket ger oss ekvationen x x = 0. Vi ser nu att x = 0 är en lösning. Vi delar därför uttrycket med x och får ekvationen x = 0. Alltså är den andra lösningen x = 2 7. Om x = 0 är y = 1 och om x = 7 2 så är y = = Från ett geometriskt perspektiv har vi räknat ut skärningen mellan parabeln y = x 2 2x + 1 och linjen y = 2 3x + 1. y y = x 2 2x + 1 y = 3 2 x + 1 x Figur 2.8 Linjen y = 3 2 x + 1 skär parabeln y = x2 2x + 1 i punkterna (0,1) och ( 7 2, 25 4 ).

34 30 2 Funktioner 2.6 Olikheter Det är väldigt bekvämt att kunna skriva 5 2 = 3 istället för att behöva skriva det mer omständiga 5 2 är lika mycket som 3. På samma sätt är det bekvämt att införa symboler för meningar som är mindre än 4. Vi gör därför detta : x < y betyder x är mindre än y, x > y betyder x är större än y, x y betyder x är mindre än, eller möjligtvis lika med, y, x y betyder x är större än, eller möjligtvis lika med, y. Uttryck som innehåller någon av symbolerna <, >, eller kallas, av förklarliga skäl, för olikheter. Olikheter är väldigt praktiska när man ska beskriva delmängder av de reella talen. Exempelvis, istället för att säga alla reella tal x som både är mindre än eller lika med 10 och större än eller lika med 0 kan man helt enkelt skriva alla rella tal x som uppfyller 0 x 10. Grafiskt kan denna mängd represtenteras som i figuren nedan. Figur 2.9 Mängden av reella tal x som uppfyller olikheten 0 x 10. x En mängd tal som består av alla tal mellan två givna tal, som i figuren ovan, kallas för ett intervall. Med längden av intervallet definierat av olikheten a x b menar man talet b a. Ibland kallar man även mängder av tal som definieras av olikheter av typen x a eller a x för intervall. Intervall av denna typ kallas obegränsade eftersom det inte går att definiera någon längd för dem (de är oändligt långa). Intervall av den andra typen, d.v.s. de som definieras av en olikhet av typ a x b, kallas begränsade eftersom längden är en gräns för hur stora de är. En fråga av typen För vilka x gäller f (x) = 0? kallas som bekant för en ekvation och vi vet redan en del hur man svarar på denna typ av frågor. Man kan använda liknande metoder för att svara på frågor av typen För vilka x gäller f (x) < 0? och man kan i stort sett behandla olikhetstecken som likhetstecken. Det finns dock ett par saker man bör ha i åtanke. För det första, om x = y gäller ju även x = y. Men betrakta nu olikheten 3 < 4. Vi har nu 3 > 4. Detta gäller mer allmänt: om x < y så gäller x > y. Uttryckt i ord säger detta att om man mulitplicerar en olikhet med 1 så vänds olikhetstecknet. På ett liknande sätt har vi ju att x = y ger att 1 x = 1 y. Däremot gäller ju 3 < 4 men 1 3 > 4 1. Mer allmänt har vi att x < y ger att 1 x > 1 y. Kommentar, överkurs. Låt x vara ett litet, positivt tal. Då gäller 0 < x. Om x är väldigt litet är 1/x väldigt stort. Om vi för en stund låtsas att 1/0 betyder något skulle resonemanget ovan ge

35 2.6 Olikheter 31 att 1/0 > 1/x. Eftersom detta skulle gälla för vilket positivt x skulle detta betyda att 1/0 är oändligt stort - det är ju större än vilket tal som helst! Å andra sidan kan vi låta x vara ett negativt tal som bara är pyttelite mindre än 0. Då gäller ju x < 0 så vi borde ha 1/x > 1/0. Men 1/x är ju väldigt negativt. Om vi väljer x tillräkligt nära 0 kan 1/x bli hur negativt som helst. Alltså borde 1/x även vara oändligt negativt eftersom det är mindre än varje negativt tal. När man förstått detta är det inte svårt att förstå varför man inte så gärna vill definiera uttrycket 1/0. Lite svårare att förstå är att det faktiskt går att definiera uttrycket 1/0 på ett vettigt sätt! Detta beror på att plus oändligheten och minus oändligheten, i en viss mening, är samma sak. Detta är en av de grundläggande insikterna i så kallad projektiv geometri, ett ämne man får lära sig mycket mer om om man läser lite mer matematik! Exempel. För vilka x gäller olikheten x 2 4x + 3 < 0? Lösning: Vi kvadratkompletterar uttrycket x 2 4x + 3 = (x 2) 2 1. Vi vill alltså veta när (x 2) 2 1 < 0. För att detta ska gälla måste vi ha att (x 2) 2 < 1. Om vi kvadrerar ett tal som är väldigt stort får vi något väldigt stort och om vi kvadrerar ett tal som är väldigt negativt får vi något väldigt stort, så våra lösningar ligger nära x 2 = 0. Drar vi roten ur olikheten (x 2) 2 < 1 får vi olikheterna x 2 > 1 och x 2 < 1 som vi kan sammanfatta i olikheten 1 < x < 3. y y = x 2 4x + 3 x Figur 2.10 Linjen y = x + 1 skär linjen 2y = 3x + 1 i punkten (1,2). Exempel. För vilka x gäller olikheten 2 1 x < 2? Lösning:

36 32 2 Funktioner Vi skulle vilja multiplicera hela uttrycket med 1 x. Dock vet vi inte om 1 x är större eller mindre än 0. Vi får därför 2 fall. 2 Om 1 x > 0 gäller 1 x < 2 precis då 2 < 2(1 x) vilket i sin tur gäller precis då 0 < 2x. Alltså gäller olikheten då x < 0 och 1 x > 0. Men om x < 0 gäller 2 automatiskt 1 x > 0 så vi har att 1 x < 2 då x < 0. 2 Om 1 x < 0 gäller 1 x < 2 precis då 2 > 2(1 x) vilket i sin tur gäller precis då 0 > 2x. Detta gäller i sin tur då x > 0. Men vi måste ju även ha 1 x < 0 så i själva verket måste x > 1. Vi har nu undersökt alla möjligheter och visat att olikheten 1 x 2 < 2 gäller då x < 0 eller x > 1. y x Figur 2.11 Grafen av y = 2 1 x.

37 Genom att minska den tid som spenderas på beräkningar från några månader till några dagar, har uppfinnandet av logaritmer, så att säga, dubblat astronomens livslängd. Pierre-Simon Laplace 3 Potenser och logaritmer Logaritmer uppfanns i början av 1600-talet av den brittiske matematikern och fysikern John Napier. Ordet logaritm kommer från grekiskans logos, som i detta sammanhang betyder proportion, och arithmos, som kort och gott betyder tal. Efter detta kapitel har du förhoppningsvis en viss känsla för varför detta är ett passande namn. Logaritmer var länge ett mycket viktigt verktyg vid beräkningar. Faktum är att logaritmtabeller var ett av de viktigaste hjälpmedlen vid beräkningar ända fram till att datorn uppfanns. Även om logaritmer inte är lika viktiga ur beräkningssynpunkt idag är de fortfarande mycket viktiga att behärska. Anledningen till att man införde rotutdragning var ju att man ville lösa ekvationer av typen x n = a. En lösning till denna ekvation är ju x = n a. På samma sätt ger logaritmer lösningen till ekvationer av typen a x = b. Lösningen till denna ekvation är x = log a (b). Detta är faktiskt definitionen av a-logaritmen. Många tycker att logaritmer är lite krångliga. Vi ska därför spara dem till lite senare så att vi är varma i kläderna när vi väl kommer dit. 3.1 Potenser som inte är heltal I detta avsnitt kommer m och n att vara positiva heltal och talet a antas vara positivt. I det första kapitlet definierade vi den n:te potensen av ett tal a som det tal man får om man multiplicerar a med sig självt n gånger. Vi definierade även a 0 = 1 och a n = 1 a n (åtminstone då a inte är noll). Vi ska nu definera potenser även med andra exponenter än heltal. 33

38 34 3 Potenser och logaritmer En av potenslagarna säger att (a n ) m = a mn. Om vi nu låter exponenten vara det rationella talet, 1/m borde vi ha (a 1/m ) m = a m/m = a 1 = a. Men vi har ju redan att ( m a) m = a så vi definierar a 1/m = m a. Nu kan vi definiera potenser med andra rationella tal som exponenter: a m n = a 1 n m = (a 1 n ) m = n a m. Enligt ett liknande resonemang borde vi även ha Vi definierar därför Precis som tidigare definierar vi även a m n = a m 1n = (a m ) 1 n = n a m. a m n = n a m = n a m. a m n = 1 a m. n Överkurs: Irrationella exponenter Vad händer om vi vill använda exponenter som inte är rationella? Det man utnyttjar då är att man kan approximera ett irrationellt tal godtyckligt väl med ett rationellt tal. Med detta menar man att om r är ett irrationellt tal så finns det rationella tal q n sådana att skillnaden r q n är mindre än 1/n. Om vi väljer n väldigt stort, exempelvis 10000, är 1/n väldigt litet och skillnaden mellan r och q n är alltså mycket liten. Man kan alltså tycka att vad a r än är så borde skillnaden mellan a r och a q n vara väldigt liten när n är stort. Vi får en sekvens av tal a q n som konvergerar mot ett tal. Detta tal kallas a r. Det är absolut inte meningen att du ska förstå allt det här, du behöver inte ens förstå alla orden som används här. Om du läser lite mer matte kommer du däremot förstå detta utan och innan och du kommer även att kunna visa att potenslagarna gäller för alla rella exponenter.

39 3.3 Ekvationer av typen a x = b Exponentialfunktionen I förra avsnittet såg vi att vi kan definiera uttycket a r för positiva tal a som helst och vilka reella tal r som helst. Nästa steg är att fixera a och låta r variera, det vill säga vi stoppar in olika värden på r. Vi får då en funktion som tar talet r till talet a r. Definitionsmängden för vår funktion är alltså alla rella tal. Vilken är värdemängden? Det beror lite på talet a. Om 0 < a < 1 och r > 0 är a r = 1 a r > 0. Man kan se att för väldigt stora r är a r väldigt stort och a r väldigt litet. Om a > 1 är situationen omvänd, a r är väldigt litet och a r är stort om r är ett stort tal. Om a = 1 gäller ju 1 r = 1, oavsett vad r är. Vi ser funktionen f (x) = a x för några olika värden på a nedan. Vi ser att om a inte är 1 är värdemängden alla positiva reella tal och oavsett om a är 1 eller inte så skär grafen punkten (0,1) eftersom a 0 = 1 för viket a som helst. Dessutom kan vi se att f (x) = a x är avtagande, det vill säga f (c) < f (b) om c > b, om a < 1 och f (x) = a x är växande, d.v.s. f (b) < f (c) om b < c, om a > 1. Om a = 1 är f (x) = a x en konstant funktion, f (b) = f (c) för alla tal b och c. y a > 1 a x < 1 Figur 3.1 Grafen av funktionen f (x) = a x för a < 1 och a > 1. Eftersom funktionen f (x) = a x tar ett tal x och använder det som exponent i a x kallas funktioner av denna typ för exponentialfunktioner. Vi kommer om en stund att se att alla exponentialfunktioner kan fås ur en enda exponentialfunktion. Denna exponentialfunktion brukar kallas exponentialfunktionen i bestämd form och definieras som f (x) = e x där e = är ett irrationellt tal som vi för en stund framåt kommer att låta vara lite mystiskt. Ibland skriver man exp(x) istället för e x. Detta kan tyckas vara lite dumt, men det är faktiskt väldigt belvämt om man ska ersätta x med ett stort uttryck. 3.3 Ekvationer av typen a x = b I detta avsnitt ska vi titta på några exempel på ekvationer av typen a x = b. Exempel.

40 36 3 Potenser och logaritmer Lös ekvationen 2 x = 16. Lösning: Vi ska alltså besvara är frågan: Vad ska vi höja upp 2 till för att få 16? Men detta är ju enkelt eftersom vi ju vet att 2 4 = 16. Alltså är x = 4. Exempel. Lös ekvationen 3 x = 27. Lösning: Vi vet att 3 3 = 27 så x = 3. Exempel. Lös ekvationen 5 x = 625. Lösning: Vi gör lite beräkningar: Alltså är 5 4 = 625 så x = 4. Exempel. Lös ekvationen 25 x = 5. Lösning: 5 1 = 5, 5 2 = 25, 5 3 = = 5 25 = 125, 5 4 = = = 625. Vi vet att 5 2 = 25 och att (5 2 ) 1/2 = 5 1 = 5. Alltså gäller 25 1/2 = 5 så x = Logaritmer För att lösa ekvationer av typen x n = a införde vi rotutdragning. På samma sätt ska vi nu införa logaritmer för att kunna lösa ekvationer av typen a x = b. a-logaritmen av ett tal b är det tal som löser ekvationen a x = b. Alltså gäller a log a (b) = b. Alltså var det vi gjorde i förra avsnittet att beräkna logaritmer. I exemplen såg vi bland annat att log 25 (5) = 1 2. Exempel.

41 3.4 Logaritmer 37 Beräkna (a) log 3 (81), (b) log 64 (4). Lösning: (a) Vi har att 81 = 9 9 = = 3 4. Alltså gäller log 3 (81) = 4. (b) Eftersom 64 = 4 3 har vi att 4 = 64 1/3. Alltså gäller log 64 (4) = 1 3. Två baser har fått egna symboler i samband med logaritmer: 10 och det mystiska talet e. Lösningen till ekvationen 10 x = b brukar skrivas lg(b) istället för log 10 (b). På ett liknande sätt kallar man lösningen till e x = b för ln(b) istället för log e (b). Man kan såklart skriva så om man vill, men eftersom 10 och e är de klart vanligaste baserna och man har därför valt att ge dem förenklade symboler. Det kan vara bra att veta att ln(b) brukar kallas den naturliga logaritmen av b. Varför den fått detta namn ska vi låta vara ett mysterium fram till kapitlet om derivata. Eftersom logaritmering och exponentiering är inversa operationer ger potenslagarna upphov till motsvarande räkneregler för logaritmer, de så kallade logaritmlagarna. Vi ska nu härleda dem. Antag att vi har att a x = b och a y = c, det vill säga log a (b) = x och log a (c) = y. Då gäller a x a y = a x+y = bc. Alltså är z = x + y det tal som löser ekvationen a z = bc. Vi har alltså log a (bc) = log a (b) + log a (c). Potenslagarna ger också att a x y = a x a y = ax a y = b c. Detta ger oss att ( ) b log a = log c a (b) log a (c). Slutlligen har vi att om p är vilket reellt tal som helst så gäller (a x ) p = a px = b p. Alltså gäller det att log a (b p ) = p log a (b). Observera att det är väldigt viktigt att hålla koll på var paranteserna sitter. Som ett varnande exempel har vi att log 2 (8) 4 = log 2 (2 3 ) 4 = 3 4 = 12, medan log 2 (8 4) = log 2 (2 5 ) = 5. Exempel. Visa att log 6 (2) + log 6 (3) = 1. Lösning:

42 38 3 Potenser och logaritmer Logaritmlagarna ger att log 6 (2) + log 6 (3) = log 6 (2 3) = log 6 (6). Vi vill alltså lösa ekvationen 6 x = 6 som ju har lösningen x = 1. Alltså är log 6 (2) + log 6 (3) = 1. Exempel. Lös ekvationen log 5 (x) + log 5 (3) = log 5 (6). Lösning: Vi flyttar över log 5 (3) till högerledet och får då Alltså gäller att x = 2. Exempel. log 5 (x) = log 5 (6) log 5 (3) = log 5 ( 6 3 Vilka av följande påståenden är sanna? (a) (b) (c) (d) Lösning: ln(a + b) = ln(a) + ln(b), ln(a b) = ln(a) ln(b), ln(ab) = ln(a) ln(b), ln ( ) a b = ln(a) ln(b). ) = log 5 (2). Enligt logaritmlagarna gäller ln(ab) = ln(a) + ln(b). Eftersom ab a + b för de flesta val av a och b gäller inte (a) och (c). Man kan använda ett liknante resonemang för att visa (b) och (d) men vi väljer att göra på ett annat sätt. Låt a och b vara lika med 1. Vi har a b = 0 och ln(0) är inte definierat. (Vad ska man höja upp e till för att få 0? Nej, just det!) Däremot är ln(1) = 0 så ln(a) ln(b) = 0 medan ln(a b) inte är definierat. På ett liknande sätt har vi att ln(a/b) = ln(1) = 0 medan ln(a)(ln(b) = 0/0 som ju inte är definierat. Alltså gäller inte något av påståendena! Byte av bas Antag att vi är intresserade av exponentialfunktionen f (x) = a kx+m. Vi kan med hjälp av potenslagarna skriva om den som f (x) = a kx+m = a m a kx = a m (a k ) x.

43 3.4 Logaritmer 39 Om vi inför beteckningarna C = a m och b = a k har vi nu att f (x) = Cb x, vilket kan vara ett behändigare uttryck att arbeta med. Dessutom har ofta konstanterna C och b trevliga tolkningar av olika slag. Vi säger att vi gjort ett basbyte från basen a till basen b. Exempel. Antag att du köper en bil värd kr idag. Bilens värde minskar sedan kontinuerligt med 15 % per år. Bilens värde efter x år kan beskrivas med exponentialfunktionen f (x) = (0,85) x. Vi ser här att konstanten C kan tolkas som bilens ursprungliga värde och konstanten b kan tolkas som den procentuella förändringen per tidsenhet. Skriver vi istället om funktionen på formen f (x) = 10 kx+m får vi uttrycket f (x) 10 0,071x+5, Dessa tal är ju betydligt svårare att få något vettigt ur, vilket ju inte är så konstigt eftersom de ju är mycket mindre naturliga än de tidigare talen. Exempel. När fysiker beskriver hur en radioaktiv substans sönderfaller brukar de använda funktioner av typen f (t) = N 0 e λ t, där N 0 är antalet atomer när mätningen påbörjades och f (t) är antalet atomer efter t sekunder. Konstanten λ kallas ämnets sönderfallskonstant och är lika med 1 genom atomernas medellivslängd, τ. Anledningen till att man infört symbolen λ är antagligen att man vill slippa skriva τ 1 hela tiden. Ett annat tal som brukar användas är halveringstiden, T 1/2, d.v.s. den tid det tar innan hälften av atomerna sönderfallit. Halveringstiden är lika med T 1/2 = ln(2) λ. Exempel. Kol-14 är en radioaktiv kolisotop som bildas i jordens atmosfär. Den har en halveringstid på ungefär 5730 år. Andelen kol-14 i levande organismer är i stort sett konstant eftersom de hela tiden tillför samma mängd som hinner sönderfalla genom bl.a. föda. När de dör slutar de så klart med detta och man får på så sätt möjlighet att avgöra hur länge sedan det var en organism levde. Som ett exempel för att kontrollera att vår metod fungerar kan vi beräkna regalskeppet Vasas ålder. Vi vet att det sjönk på sin jungfrufärd 1628 så träet det är tillverkat av borde vara lite drygt 384 år gammalt. Träet i Vasa innehåller ungefär 95,4% av den halt kol-14 levande organismer innehåller. Vi har alltså ekvationen N 0 e ln(2) 5730 t = e ln(2) 5730 t = 0,9543. N 0

44 40 3 Potenser och logaritmer Vi logaritmerar båda sidor och får då att så ln(2) t = ln(0,9543), 5730 ln(0,9543) 5730 t = 387. ln(2) Detta är ju precis vad vi väntade oss. Faktum är att skeppet beställdes 1625 så vi har fått fram på året rätt svar! Historisk tillbakablick Som vi sett är logaritmer väldigt viktiga och mycket behändiga. Logaritmerna har emellertid förlorat en stor del av sin betydelse efter datorernas intåg. Innan datorerna uppfannas använde man sig nämligen av gigantiska logaritmtabeller när man skulle utföra beräkningar. Istället för miniräknare hade man räknestickor som är ett finurligt sätt att presentera en liten logaritmtabell. Precis som att många nuförtiden använder miniräknare till det mesta använde många förr i tiden logaritmer till i stort sett allt. Vi ska nu se ett exempel på hur detta går till. Exempel. Beräkna 2. Lösning: Vi använder naturliga logaritmer. Logaritmlagarna ger oss att ln( 2) = ln(2 1/2 ) = 1 2 ln(2). Vi kan nu slå upp ln(2) i en logaritmtabell och få att ln(2) 0, Alltså är ln( 2) 0, = 0, Jag råkar ha en ganska dålig logaritmtabell, så 0,34657 finns inte med i den. Men 0,33647 och 0, ,34657 = 0,0101 finns med. Vi har 0, = ln(1, 4) och 0, 0101 = ln(0, 99). Alltså gäller ln( ( ) 1,4 2) = 0,34657 = 0,33647 ( 0,0101) = ln(1,4) ln(0,99) = ln. 0,99 Alltså är 2 1,4 0,99 = Skämt: Nu kan du antagligen tillräckligt mycket om logaritmer för att uppskatta detta fantastiskt roliga skämt, som tyvärr inte verkar kunna översättas till svenska:

45 3.5 Potensekvationer 41 When the ark lands after The Flood, Noah lets all the animals out and says: Go forth and multiply. Several months pass and Noah decides to check up on the animals. All are doing fine except a pair of snakes. What s the problem? says Noah. Cut down some trees and let us live there, say the snakes. Noah follows their advice and several more weeks pass. Noah then checks on the snakes again and there are small snakes everywhere and everyone is happy. Noah asks: Do you want to tell me how the trees helped?. The snakes reply Certainly! We re adders, and we need logs to multiply. 3.5 Potensekvationer Ekvationer av typen x n = a kallas potensekvationer. Enligt potenslagarna gäller (a 1/n ) n = a n/n = a, så a 1/n är en lösning. Vi tittar på ett par exempel. Exempel. Lös potensekvationen x 3 = 8. Lösning: Vi vet att 2 3 = 8 så x = 2 är lösningen. Exempel. En aktie som i förrgår kostade 10 kr kostar idag 14 kr och 40 öre. Med hur många procent har dess värde ökat per dag? Lösning: Vi vill lösa ekvationen 10 x 2 = 14,4. Vi multiplicerar båda sidor med 10. Vi får då (10x) 2 = 144. Eftersom 144 = 12 2 ser vi att 10x = 12. Alltså gäller x = 1,2 så aktiens värde ökade med 20 % per dag. Exempel. En kub har volymen 8 m 3. Vilken area har den? Lösning: Vi vill först räkna ut vilken sida kuben har. Om vi betecknar sidan med s vet vi alltså att s 3 = 8. Vi kan nu se att s = 2. Kubens sidor har alltså area 2 2 = 4 m 2 och kuben har 6 sidor. Alltså är dess area 6 4 = 24 m 2.

46 42 3 Potenser och logaritmer 3.6 Geometriska summor Det första vi ska göra med potenser är att lägga ihop dem. Det är naturligtvis inte någon skillnad på detta och att addera vanliga tal, men i vissa fall kan man vara lite smart så att man inte behöver jobba lika mycket. Betrakta summan Vi kan se att kvoten mellan två på varandra följande termer är 3: 3 = 3 1 = 9 3 = 27 9 = På samma sätt är kvoten mellan två på varandra följande termer i summan lika med 1 2 : 1 2 = = = Summor som har denna egenskap, d.v.s. att kvoten mellan två på varandra följande termer alltid är den samma, kallas geometriska summor. Om vi kallar första termen i summan för a kvoten av två på varandra följande termer för k kan vi skriva en godtycklig geometrisk summa med n termer på formen a + a k + a k 2 + a k a k n 1. Vi kallar summan ovan för S och vårt mål är att beräkna den. Om vi multiplicerar summan med k får vi k S = a k + a k 2 + a k 3 + a k a k n. Vi kan nu se att S och k S har precis samma termer så när som på att S har en term, a, som k S inte har och k S har en term, a k n, som S inte har. Alltså är skillnaden k S S = a k n a = a (k n 1). Alltså gäller S (k 1) = a (k n 1). Om k inte är 1 kan vi nu lösa ut S och får då S = a kn 1 k 1. Vad händer om k = 1? Då är ju den ursprungliga summan bara a+a+a+a+ +a, d.v.s. vi vill summera a n gånger. Denna summa är ju helt enkelt n a. Kommentar. Om vi slutar tänka för ett ögonblick och stoppar in k = 1 i uttrycket ovan ser vi nu att vi borde ha a 00 = n a. Alltså borde 0 0 = n för vilket värde vi än väljer på n. Detta är ett ypperligt exempel på varför man inte vill definiera 0 0. Exempel..

47 3.7 Rekursion 43 Anta att du varje år sätter in 1000 kr på ett sparkonto med 2% ränta. Hur mycket pengar finns på kontot vid den tionde insättningen? Lösning: Det vi vill räkna ut är den geometriska summan S = , , ,02 9. Formeln för geometriska summor ger S = , , Alltså har du tjänat omkring 950 kr på att sätta in pegnarna på konto jämfört med att ha dem i en madrass. 3.7 Rekursion Ponera att man inte bara vill veta värdet av en geometrisk summa av n termer utan även alla delsummor. Alltså, förutom summan vill man veta summorna S n = a + a k + a k a k n 1, S 1 = a, S 2 = a + a k, S 3 = a + a k + a k 2,. S n = a + a k + + a k n 1. Anledningen till att vilja detta skulle till exempel kunna vara att man ska göra en tabell. Man kan naturligtvis använda sig av formeln för geometriska summor, eller helt enkelt räkna ut summorna var och en för sig. Detta är dock väldigt ineffektivt. Man kan få beräkningarna att gå mycket snabbare om man observerar att S l = a + l S l 1 = S 1 + l S l 1. Alltså, för att räkna ut den l:te summan behöver vi bara veta den första termen och den föregående summan, och den föregående summan hade vi ju tänkt räkna ut ändå. Detta är ett exempel på rekursion. Exempel.

48 44 3 Potenser och logaritmer Anta att du varje år sätter in 1000 kr på ett sparkonto med 2% ränta. Hur mycket pengar finns på kontot efter första, andra och tredje insättningen? Lösning: Vi använder rekursion. Efter första insättningen finns 1000 kr på kontot. Efter andra insättningen finns det , = 2020 kr på kontot och efter tredje insättningen finns det , kr på kontot.

49 4 Trigonometri 4.1 Rätvinkliga trianglar I detta avsnitt ska vi repetera lite grundläggande definitioner och resultat som du antagligen sett förut. En rätvinklig triangel, är en triangel där en av vinklarna är rät, det vill säga 90. Man brukar ofta markera att en triangel är rät genom att rita en liten kvadrat i det räta hörnet som i fiuren nedan. Relativt vinkeln v i figuren kallas sidan a c a v b Figur 4.1 En rätvinklig triangel. för den motstående kateten och sidan b för den närliggande kateten. Sidan c kallas triangelns hypotenusa. En rätvinklig triangel kan ses som en rektangel som blivit delad längs diagonalen. Rektangelns diagonal blir på så sätt triangelns hypotenusa. Arean, A, av triangeln i figuren är därför A = a b 2. 45

50 46 4 Trigonometri Ett annat grundläggande resultat inom trignometri är Pythagoras sats. Sats 4.1. I en rätvinklig triangel med kateter av längd a och b och en hypotenusa av längd c gäller a 2 + b 2 = c 2. Bevis. Vi ritar fyra kopior av en rätvinklig triangel med kateter av längd a och b och hypotenusa c i en och samma figur: b a a c c b b c c a a b Figur 4.2 En rätvinklig triangel. Figurens yttre sidor har alla längd a + b och hörnen har vinkel 90. Alltså är detta en kvadrat. De inre sidorna har samtliga längd c. Vinklarna är även där 90. (Kan du visa det? Det är ganska lätt om man vet att vinkelsumman i en triangel är 180.) Alltså är även den inre figuren en kvadrat. Vi ska nu räkna ut arean, A, av den yttre kvadraten på två sätt. Dels har vi ju att A = (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2. Å andra sidan består ju den stora kvadraten av fyra trianglar som vardera har area a b 2, samt en mindre kvadrat som har area c 2. Alltså har vi också A = 4 a b 2 + c2 = 2ab + c 2 De två uttrycken för arean måste vara lika så vi måste ha a 2 + 2ab + b 2 = 2ab + c 2,

51 4.1 Rätvinkliga trianglar 47 så om vi drar ifrån 2ab från båda sidor ser vi att a 2 + b 2 = c 2. Vi ska nu titta lite mer på Figur 4.1. Förhållandet mellan de olika sidorna i en c a v b Figur 4.3 En rätvinklig triangel. rätvinklig triangel har fått olika namn. De viktigaste av dessa är sinus, cosinus och tangens: sin(v) = a c cos(v) = b c tan(v) = a b motstående katet =, hypotenusa närliggande katet =, hypotenusa motstående katet = närliggande katet. Vi kan observera att vinkeln mellan sidan a och c (d.v.s. den vinkel som inte är v eller rät) är v = 90 v. Relativt denna vinkel är a närliggande och b motstående. Alltså gäller sin(90 motstående katet v) = = b hypotenusa c = cos(v), cos(90 närliggande katet v) = = a hypotenusa c = sin(v), tan(90 motstående katet v) = närliggande katet = b a = 1 tan(v). Exempel 4.1. Vi ska nu beräkna sinus, cosinus och tangens för vinklarna 0, 30, 45 circ, 60 samt 90. Dessa vinklar kallas ofta för standardvinklarna. Vi börjar med 0. Om vinkeln v i Figur 4.1 är 0 är a = 0 och b = c. Alltså är sin(0 ) = a c = 0, cos(0 ) = b c = 1 och tan(0 ) = a b = 0. Vi kan nu använda sambanden ovan för att få sin(90 0 ) = sin(90 ) = cos(0 ) = 1, cos(90 0 ) = cos(90 ) = sin(0 ) = 0, tan(90 0 ) = tan(90 ) = 1 tan(0 ) = 1 = ej definierat. 0

52 48 4 Trigonometri Vi fortsätter med 30 och 60. Vi ritar upp en liksidig triangel med sida 2: Pythagoras sats ger oss att 2 30 h 60 Figur 4.4 En liksidig triangel med sida 2. 1 så h 2 = 3. Alltså gäller h = 3 och vi får 2 2 = h , 3 sin(60 ) = 2, sin(30 ) = 2 1, cos(60 ) = 1 2, cos(30 ) = tan(60 ) = 3, tan(30 ) = 1 3. Det som återstår är 45. För att beräkna detta ritar vi upp en kvadrat med sida , d Figur 4.5 En kvadrat med sidan 1. Pythagoras sats ger att Alltså är d = 2 så d 2 = = 2. sin(45 ) = cos(45 ) = 1 2, tan(45 ) = 1.

53 4.2 Enhetscirkeln 49 Vi ställer upp det vi kommit fram till i en tabell: sin cos tan ej def. 4.2 Enhetscirkeln Cirkeln med radie 1 och centrum i origo kallas enhetscirkeln. Enhetscirkeln är intimt sammankopplad med de sinus och cosinus. y (0,1) P = (a,b) b ( 1, 0) v (1, 0) a x (0, 1) Figur 4.6 Enhetscirkeln. Som figuren ovan visar ger varje punkt på enhetscirkeln upphov till en rätvinklig triangel. Så länge som P ligger i första kvadranten ger våra gamla definitioner att a = cos(v), b = sin(v), tan(v) = a b = sin(v) cos(v). Vad händer om P ligger i en annan kvadrant? Då blir ju v > 90 och vi har inte definierat sinus, cosinus och tangens för sådana värden. Däremot kan man ju

54 50 4 Trigonometri definiera en punkt P = (a,b) på enhetscirkeln med hjälp av v: vi låter helt enkelt P vara den punkt där en stråle med början i origo och som bildar vinkeln v med x-axeln skär enhetscirkeln. Vi kan nu definiera cos(v) = a, sin(v) = b, tan(v) = a b = sin(v) cos(v). Observera att vi inte kan definiera tan(v) om b = 0. Precis som tidigare gäller sin(90 v) = cos(v), cos(90 v) = sin(v), tan(90 v) = 1 tan(v). Betrakta nu följande figur. y (0,1) Q = ( a,b) P = (a,b) 180 v ( 1, 0) (1, 0) v x (0, 1) Ur denna figur ser vi att cos(180 v) = cos(v), sin(180 v) = sin(v). En liknande figur (kan du komma på vilken?) illustrerar att cos(360 v) = cos(v), sin(360 v) = sin(v).

55 4.3 Areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen Areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen Vi har redan visat att en rätvinklig triangel med kateter a och b har arean A = a b 2. Betrakta nu en mer godtycklig triangel (exempelvis den i figuren nedan). Välj en sida och kalla den basen, b, av triangeln. Det linjesegment som börjar i hörnet motstående b och som skär b (eller b s förlänglining) vinkelrätt kallas höjden av triangeln och betecknas med h. Vi ska nu visa att en mer allmän triangel med bas b och höjd h har arean A = b h 2. Observera att om triangeln vore vinkelrät så skulle vi kunna välja en av kateterna till bas. Då skulle den andra kateten vara höjden. Alltså är denna formel betydligt mer generell än vår gamla formel för arean av rätvinkliga trianglar. h b Sats 4.2. En triangel med bas b och höjd h har area A = b h 2. Bevis. Notera att höjden delar triangeln i två rätvinkliga trianglar och basen i två linjesegment. Om det ena linjesegmentets längd är c och det andras d gäller c +d = b. Dessutom är ju den första triangelns area och den andras Alltså är triangelns totala area c h 2, d h 2.

56 52 4 Trigonometri vilket är det vi ville visa. c h 2 + d h 2 = (c + d)h 2 = b h 2, Låt nu a och b vara två sidor i en triangel och låt v vara vinkeln mellan dem som i figuren nedan: Om v är spetsig, d.v.s. om v < 90, så gäller a h v b sin(v) = h a, så h = a sin(v). Vi kombinerar detta med formeln för triangelns area och får A = b h 2 = a b sin(v). 2 Om v skulle vara trubbig (d.v.s. v > 90 ) får vi h genom (rita en figur!) sin(180 v) = h a. Men vi vet ju att sin(180 v) = sin(v) så formeln ovan gäller fortfarande. Om v = 90 är a och b kateter i en rätvinklig triangel och sin(90 ) = 1 så formeln gäller nu med. Vi har alltså visat följande resultat, som brukar kallas areasatsen : Sats 4.3. Låt a och b vara två sidor i en triangel och låt v vara vinkeln mellan dem. Då är triangelns area A = a b sin(v). 2 Vi ska nu göra en viktig observation. Betrakta figuren nedan. Vi har tre olika möjligheter att välja två sidor och en mellanliggande vinkel. Enligt areasatsen har vi alltså att triangelns area är A = a b sin(γ) 2 = a c sin(β) 2 = b c sin(α). 2 Om vi delar detta uttryck med abc/2 får vi ett resultat som brukar kallas sinussatsen.

57 4.3 Areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen 53 a β c γ b α Sats 4.4. För en triangel med sidorna a, b och c och vinkeln γ mellan a och b, β mellan a och c och α mellan b och c gäller sin(α) a = sin(β) b = sin(γ). c En naturlig fråga man kan ställa sig är om det finns någon motsvarighet till Pythagoras sats för trianglar som inte är rätvinkliga. Svaret är ja: den så kallade cosinussatsen. Sats 4.5. För en triangel med sidorna a, b och c och vinkeln γ mellan a och b gäller c 2 = a 2 + b 2 2abcos(γ). Innan vi bevisar denna sats noterar vi att om vi har en rätvinklig triangel och a och b är dess kateter så är γ = 90 och därför är cos(γ) = 0. Alltså blir uttrycket ovan bara c 2 = a + b 2 vilket ju helt enkelt är Pythagoras sats. Bevis. Vi ritar en figur: Vi delar alltså upp triangeln i två rätvinkliga trianglar, den a h c γ x b b x ena med kateter x och h och hypotenusa a, och den andra med kateter b x och h och hypotenusa c. Pythagoras sats ger oss och x 2 + h 2 = a 2,

58 54 4 Trigonometri (b x) 2 + h 2 = c 2. Ur den första ekvationen får vi att h 2 = a 2 x 2. Sätter vi in detta i den andra ekvationen får vi c 2 = (b x) 2 + a 2 x 2 = b 2 2bx + a 2. Men vi kan beräkna x genom så x = a cos(γ) och vi får vilket var vad vi ville ha. cos(γ) = x a, c 2 == b 2 2bx + a 2 = a 2 + b 2 2abcos(γ),

59 5 Trigonometriska funktioner I detta kapitel ska vi prata mer om de trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens. 5.1 Trignometriska formler Redan i förra kapitlet definierade vi sinus, cosinus och tangens för godtyckliga vinklar mellan 0 och 360 grader. Detta gjorde vi med hjälp av enhetscirkeln. Vi kan faktiskt utvidga denna definition till vilka reella tal som helst. För att göra detta noterar vi följande: att gå 360 grader i en och samma riktining på enhetscirkeln tar oss tillbaka till samma punkt, som i figuren nedan. Går vi sedan ytterligare ett varv kommer vi såklart tillbaka igen. För att definiera sinus och cosinus för vinklar större än 360 grader eller mindre än 0 grader behöver vi alltså bara lägga till eller dra ifrån en lämplig multipel av 360 så att vi hamnar i intervallet 0 v 360 och sedan beräkna sinus och cosinus för denna vinkel. Vi har alltså (1) (2) sin(v + n 360 ) = sin(v), cos(v + n 360 ) = cos(v),. där n är ett heltal. Man säger att sinus och cosinus är periodiska funktioner eftersom de upprepar sig efter 360 grader. Förra lektionen visade vi följande samband 55

60 56 5 Trigonometriska funktioner y (0,1) P = (a,b) v ( 1, 0) (1, 0) v x (0, 1) (3) (4) sin(90 v) = cos(v), cos(90 v) = sin(v). Vi visade även sambanden (5) (6) sin(180 v) = sin(v) cos(180 v) = cos(v), samt (7) (8) sin(360 v) = sin(v), cos(360 v) = cos(v). Vi kan nu använda oss av sinus- och cosinusfunktionernas periodicitet för att få fram ännu fler samband. Exempelvis, om vi drar ifrån 360 i ekvation (7) och (8) ovan får vi (9) (10) sin((360 v) 360 ) = sin( v) = sin(v), cos((360 v) 360 ) = cos( v) = cos(v). Exempel 5.1. Kan du använda liknande trick för att visa följande samband?

61 5.1 Trignometriska formler 57 (11) (12) (13) (14) sin(v ) = sin(v), cos(v ) = cos(v), sin(v + 90 ) = cos(v), cos(v + 90 ) = sin(v). Det är egentligen inte nödvändigt att memorera alla dessa formler: så länge man minns definitionen av sinus och cosinus och minns att det finns formler av den här typen kan man härleda dem snabbt. Antingen memorerar man några stycken och härleder resten från dem eller så kan man härleda alla ur lämpliga figurer. Eftersom tan(v) = sin(v) cos(v) ger ekvation (11) och (12) att (15) tan(v ) = sin(v ) cos(v ) = sin(v) cos(v) = sin(v) cos(v) = tan(v). Tangens är alltså också periodisk, men har period 180, d.v.s. tan(v+180 ) = tan(v). Det finns såklart en del samband av den typ vi tagit fram ovan även för tangens. Exempelvis gäller (16) tan(v ± 90 ) = 1 tan(v). Varför får kan du antagligen lista ut själv! (Annars är ekvation (13) och (14) ett bra ställe att börja titta på) Konsekvenser av Pythagoras sats Du minns kanske den så kallade avståndsformeln: om P = (x 1,y 1 ) och Q = (x 2,y 2 ) är två punkter uppfyller avståndet mellan dem d 2 = (x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2. Detta är helt enkelt en variant av Pythagoras sats, men en mycket användbar sådan. En annan variant som du kanske inte sett tidigare är följande. Vi har ju definierat sinus och cosinus genom punkter på enhetscirkeln. Per definition gäller därmed att om v är en vinkel så ligger (cos(v),sin(v)) på enhetscirkeln. Men alla punkter på enhetscirkeln har avstånd 1 från origo. Om vi stoppar in detta i avståndsformeln får vi 1 2 = (cos(v) 0) 2 + (sin(v) 0) 2, vilket vi kan skriva om som (17) sin 2 (v) + cos 2 (v) = 1. Detta samband brukar kallas den trigonometriska ettan och är otroligt användbart. En lite svårare konsekvens är följande. Sats 5.1. cos(u v) = cos(u) cos(v) + sin(u) sin(v).

62 58 5 Trigonometriska funktioner Bevis. Betrakta figuren nedan: Avståndsformeln ger att avståndet d mellan P och Q y (0,1) Q = (cos(u),sin(u)) d P = (cos(v),sin(v)) u ( 1, 0) (1, 0) v x (0, 1) är d 2 = (cos(u) cos(v)) 2 + (sin(u) sin(v)) 2 = = cos 2 (u) 2cos(u) cos(v) + cos 2 (v) + sin 2 (u) 2sin(u) sin(v) + sin 2 (v). Trigonometriska ettan ger att cos 2 (u)+sin 2 (u) = 1 och cos 2 (v)+sin 2 (v) = 1. Sätter vi in detta i uttrycket ovan får vi d 2 = cos 2 (u) 2cos(u) cos(v) + cos 2 (v) + sin 2 (u) 2sin(u) sin(v) + sin 2 (v) = = ( cos 2 (u) + sin 2 (u) ) + ( cos 2 (v) + sin 2 (v) ) 2cos(u) cos(v) 2sin(u) sin(v) = = cos(u) cos(v) 2sin(u) sin(v) = = 2 2cos(u) cos(v) 2sin(u) sin(v). Vi kan även tillämpa cosinussatsen på triangeln i mittan av figuren för att beräkna d: Alltså gäller d 2 = cos(u v) = = 2 2cos(u v).

63 5.1 Trignometriska formler cos(u) cos(v) 2sin(u) sin(v) = 2 2cos(u v), vilket i sin tur ger att cos(u v) = cos(u) cos(v) + sin(u) sin(v), vilket var det vi ville visa. vi Använder vi att cos( v) = cos(v) och sin( v) = sin(v) i sambandet ovan får cos(u+v) = cos(u ( v)) = cos(u) cos( v)+sin(u) sin( v) = cos(u) cos(v) sin(u) sin(v). På liknande sätt kan vi ersätta u med 90 u för att få sin(u + v) = sin(u) cos(v) + cos(u) sin(v). Ersätter vi v med v i denna formel får vi Sammanfattningsvis har vi visat att (18) (19) sin(u v) = sin(u) cos(v) cos(u) sin(v). (20) sin(u v) = sin(u) cos(v) cos(u) sin(v), (21) sin(u + v) = sin(u) cos(v) + cos(u) sin(v). cos(u v) = cos(u) cos(v) + sin(u) sin(v), cos(u + v) = cos(u) cos(v) sin(u) sin(v), Dessa formler brukar gemensamt kallas additions- och subtraktionsformlerna för sinus och cosinus. Exempel 5.2. Om vi väljer v = u i ekvation (19) ovan får vi cos(2u) = cos 2 (u) sin 2 (u). Vi har ju även trigonometriska ettan som säger 1 = cos 2 (u) + sin 2 (u). Om vi vet vad cos(2u) är kan vi ur dessa ekvationer (plus lite resonerande om tecken) räkna ut cos(u) och sin(u). Vi tar ett exempel. Låt 2u = 30 så att u = 15. Vi vet att cos(30 ) = 3 2 och trigonometriska ettan ger att sin 2 (u) = 1 cos 2 (u). Detta ger att 3 2 = cos2 (u) (1 cos 2 (u)) = 2cos 2 (u) 1,

64 60 5 Trigonometriska funktioner så cos 2 (u) = Alltså är sin 2 (u) = 1 cos 2 (u) = Vi har därmed att cos(15 ) =, sin(15 ) = De trigonometriska kurvorna Vi vet nu hur man beräknar sinus och cosinus för väldigt många vinklar. Därmed vet vi även hur man beräknar tangens för dessa vinklar, eftersom ju tan(v) = sin(v) cos(v). Vi ska nu föra in dessa värden i en graf och på så sätt få fram de så kallade trigonometriska kurvorna. Vi börjar med att räkna ut några värden (OBS! Fel i boken!): v sin(v) cos(v) tan(v) Vi kan nu rita kurvorna Trigonometriska ekvationer Lös eknvationerna (a)cos(x) = 1, (b)sin(3x) = 1 2, Lösning (a) Vi vet att cos(0 ) = 1. Alltså är x = 0 en lösning. Men vi vet även att cosinus är periodisk med period 360. Alltså är samtliga lösningar x = n 360 där n är ett heltal. (b) Vi vet att sin(30 ) = sin(150 ) = 2 1 samt att sinus är periodisk med period 360. Vi har alltså ekvationerna 3x = 30 + n 360,3x = n 360, där n är ett heltal. Delar vi bägge sidor med 3 får vi

65 5.3 Trigonometriska ekvationer 61 x = 10 + n 120,x = 50 + n 120.

66 62 5 Trigonometriska funktioner

67 Vänd er bort med rädsla och skräck från denna förskräckliga farsot av kontinuerliga funktioner utan derivata! Charles Hermite 6Derivata 6.1 Ändringskvot Om man vill berätta hur snabbt en storhet förändras brukar man beräkna något som kallas för ändringskvoten. Mer precist, om f är en funktion så sådan att f (a) = b och f (a + h) = c brukar man kalla kvoten f f (a + h) f (a) = = x (x + h) x för ändringskvoten av f mellan a och a + h. f (a + h) f (a), h Exempel 6.1. En bil startar klockan 12:00. Klockan 13:30 har bilen åkt 120 km. Ändringskvoten för bilens färdade sträcka mellan 12:00 och 13:30, eller medelhastigheten som det oftare kallas, är därför ,5 12 = = 120 = = 80 km/h Exempel 6.2. Antag att du kommer fram till en stuga klockan 16:00. Temperaturen i stugan är då 10 C. Du slår på ett element och klockan 21:00 är temperaturen 20 C. Temperaturen har därför ökat i genomsnitt = 10 5 = 2 grader per timme mellan 16:00 och 21:00. 63

68 64 6 Derivata 6.2 Derivata Exemplen ovan är på något sätt lite bakvända. Det är ju egentligen troligare att man skulle vilja veta en ungefärlig medelhastighet innan man börjar åka för att kunna uppskatta när man kommer fram snarare än tvärtom. På samma sätt vill man antagligen hellre veta när stugan kan tänkas vara varm nog att vistas i än den genomsnittliga temperaturförändringen per timme. Det är bland annat detta vi kommer att använda derivata till. Ett annat problem med ändringskvoter är att de kan vara missvisande. I exemplet ovan kan vi ju tänka oss att vi klockan 21:00 stänger av elementet igen och sedan vaknar upp klockan 10:00 i ett hus som har tempertuen 10. Tar vi ändringskvoten får vi 0 C/h och man kan lätt luras att dra slutsatsen att temperaturen varit konstant hela tiden. Detta problem beror på att vi glömt bort det mesta som hänt mellan 16:00 och 10:00. Detta problem har dock inte derivatan. Derivatan av en funktion kan ses som en ändringskvot av funktionen över ett mycket kort intervall. Exempel 6.3. Tänk dig att vi sitter i en bil och noterar dess position med jämna tidsintervall, t. Om tidsintervallen är stora, kanske 1 timme, kan det ha hänt mycket mellan två mätningar, vi kan ju tillexempel tagit en paus och fikat. Ändringskvoten bör drför ses som medelhastighet. Men om tidsintervallen är små, kanske några sekunder, har det antagligen inte hänt så mycket och ändringskvoten är därför antagligen ungefär lika med bilens hastighet. Vi ska nu definiera derivatan av en funktion f i en punkt a. Vi gör det genom att betrakta ändringskvoten f (a + h) f (a). h Om vi låter h gå mot noll, d.v.s. bli mycket litet, går uttrycket ovan mot derivatan av f i a, f (a). Vi kan skriva detta som eller f (a + h) f (a) h f (a) då a 0, f f (a + h) f (a) (a) = lim. h 0 h Derivatan av en funktion f (x) brukar betecknas med något av följande uttryck f (x), d f dx, D f (x). Om man ser y som en beroende variabel, d.v.s. y = f (x) händer det ibland att man skriver y eller dy dx. Derivatan har en väldigt tydlig geometrisk tolkning. Om f är en funktion och (a, f (a)) är en punkt på funktionens graf är f (a) lutningen av grafens tangent i

69 6.2 Derivata 65 denna punkt. Tangenten till en kurva i en punkt är den linje som precis nuddar kurvan i denna punkt. Exempel 6.4. Låt f (x) = x 2. Vi ska beräkna f (1). Vi har Alltså är f (1) = 2. f f (1 + h) f (1) (1) = lim = h 0 h (1 + h) = lim = h 0 h h + h 2 1 = lim = h 0 h 2h + h 2 = lim = h 0 h = lim 2 = h 0 = 2. Exempel 6.5. Man kan även beräkna derivatan för alla punkter av en funktion samtidigt. Vi kan göra detta för f (x) = x 2. Vi har f f (x + h) f (x) (x) = lim = h 0 h (x + h) 2 x 2 = lim = h 0 h x 2 + 2xh + h 2 x 2 = lim = h 0 h 2xh + h 2 = lim = h 0 h = lim 2x + h = h 0 = 2x. Alltså är f (x) = 2x. Om vi sätter in x = 1 i detta uttryck får vi f (1) = 2 1 = 2 vilket stämmer med det vi räknat ut tidigare. Mer allmänt kan man räkna ut derivatan av f (x) = x n. Vi har (x + h) n = x n + n h x n 1 + h 2 g Där g är ett polynom av grad n 2 i x och h. Vi har alltså

70 66 6 Derivata f f (x + h) f (x) (x) = lim = h 0 h x n + n h x n 1 + h 2 g x n = lim = h 0 h n h x n 1 + h 2 g = lim = h 0 h = lim n x n 1 + h g = h 0 = c x n 1. Alltså har vi att derivatan av x n är n x n 1. Vi kan även räkna ut derivatan av en konstant funktion, f (x) = c. f f (x + h) f (x) c c (x) = lim = lim = lim 0 = 0. h 0 h h 0 h h 0 Alltså är derivatan av en konstant lika med 0. Om en funktion f är en summa av två andra funktioner g och h och vi vet derivatorna för g och h så kan vi även räkna ut derivatan för f : f f (x + h) f (x) (x) = lim = h 0 h (g(x + h) + h(x + h)) (g(x) + h(x)) = lim = h 0 h g(x + h) g(x) h(x + h) h(x) = lim + lim = h 0 h h 0 h = g (x) + h (x). Alltså har vi att f (x) = g (x) + h (x). På samma sätt har vi att om f = g h så gäller f (x) = g (x) h (x). Slutligen kan man på ett sätt liknande de ovan visa att om f (x) = c x n så har vi att f (x) = c n x n 1. Vi kan nu börja räkna på några exempel. Exempel 6.6. Vi ska nu beräkna derivatan av följande funktioner: (a) f (x) = x 2 + 2x + 1, (b) f (x) = 3x 2 + 6x, (c) f (x) = 4x 5 + 3x 3 + 7x 2 + 9x + 6, (d) f (x) = 4. (a) f (x) = 2x x = 2x + 2. Derivatan av en betecknas ofta som f (x) (b) f (x) = 2 3x x 1 1 = 6x + 6. (c) f (x) = 5 4x x x + 9 = 20x 4 + 9x x + 9. (d) f (x) = 0. Exempel 6.7. Om man släpper ett föremål och låter det falla fritt kommer det efter t sekunder att ha fallit s(t) meter. Sträckan s(t) ges av formeln

71 6.3 Tangent och normal 67 s(t) = 1 2 g t2, där g är en konstant som är ungefär lika med 9,8 (m/s 2 ). Derivatan av sträckan är hastigheten. Alltså har föremålet efter t sekunder hastigheten s (t) = 2 1 g t = g t (m/s). 2 För att konkretisera vad vi räknat ut kan vi låta föremålet vara oss själva som hoppar ned i vatten. Hoppar vi från höjden h meter kommer det ta oss t = 2hg sekunder att nå vattenytan och det kan tyckas vara mycket intressant att veta med vilken hastighet vi gör det. Om h = 1 meter tar det 2 1/9 0,47 sekunder att nå vattnet. Vi har då en hastighet på omkring 9, 8 0, 47 4, 6 m/s, eller omkring 16 km/h. Om h = 3 meter tar det 2 3/9 0,81 sekunder att nå vattnet. Vi har då en hastighet på omkring 9,8 0,81 8m/s, eller omkring 29 km/h. Om h = 10 meter tar det 2 10/9 1,49 sekunder att nå vattnet. Vi har då en hastighet på omkring 9, 8 1, 49 14, 6 m/s, eller omkring 53 km/h. Världsrekordet i klippdykning ligger på drygt 50 meter. Den som satte detta rekord föll i 2 50/9 3,3 sekunder och mötte vattnet med en hastighet på 9,8 3,3 32m/s eller nästan 118 km/h. 6.3 Tangent och normal Som vi tidigare nämn har derivatan mycket med tangenten till grafen av en funktion att göra. Närmare bestämt, om tangenten till grafen av funktionen f i punkten (a, f (a)) ges av kx + m, kan vi beräkna riktingskoefficienten k som k = f (a). Konstanten m fås sedan genom att se till att linjen går genom (a, f (a)). En annan linje man associerar till en punkt i en graf är dess normal. Detta är den linje som är vinkelrät mot tangenten. Alltså kan man säga att det är den linje som är mest vinkelrät mot grafen i den givna punkten. Tänk dig att vi har två vinkelräta linjer som går genom origo. Välj två punkter med avstånd ett från origo. Då kommer den ena punkten ha koordinater (cos(ϕ), sin(ϕ)), för någon vinkel ϕ, medan den andra kommer att ha koordinater (cos(ϕ +90 ),sin(ϕ + 90 )) = ( sin(ϕ),cos(ϕ)) eftersom linjerna var vinkelräta. Om vi räknar ut riktningskoefficienten, k 1, för den första linjen får vi

72 68 6 Derivata k 1 = sin(ϕ) 0 cos(ϕ) 0 = sin(ϕ) cos(ϕ). (Nu kanske du kan lista ut varför vi kallar tangens för just tangens!). Riktningskoefficienten, k 2, för den andra linjen blir istället Alltså har vi att k 1 = cos(ϕ) 0 sin(ϕ) 0 = sin(ϕ) cos(ϕ). k 1 k 2 = 1. Eftersom tangentens riktningskoefficient i punkte (a, f (a)) är k = f (a) så vet vi nu att normalens riktinigskoefficient k är k = 1 f (a). 6.4 Derivatan av exponentialfunktionen Vi vill nu bestämma derivatan av funktionen f (x) = a x. Vi har f (x + h) f (x) h = ax+h a x h = ax a h a x h För att bestämma derivatan måste vi alltså bestämma a h 1 k a = lim. h 0 h = a x ah 1. h Detta är inte helt enkelt och inget vi ska gå igenom i detalj i denna kurs. Vi kan däremot se att det vore trevligt om vi kunde välja a så att k a = 1. Vi ska nu motivera hur man kan göra ett sådant val. Eftersom vi ser h som ett mycket litet tal kan vi välja h = 1 n för något stort heltal n. Vi borde då ha a h 1 k a = lim = lim h 0 h n a 1 n 1. Vi sätter nu k a till 1 och försöker se vilket a vi ska välja för att detta ska gälla. På vägen kommer vi att göra en del manipulationer som vi nuläget inte riktigt vet gäller, men de går att rättfärdiga. Vi har Multiplicerar vi båda sidor med n 1 får vi a 1 n 1 lim = 1. n 1 n 1 n

73 6.4 Derivatan av exponentialfunktionen 69 lim a 1 1 n 1 = lim n n n. Vi lägger nu till 1 till båda sidor vilket ger lim a 1 1 n = lim n n n + 1. Vi höjer nu båda sidor till n vilket ger ( ) 1 n a = lim n n + 1. Detta tal kallas e. Vi kan räkna ut några approximationer av e med hjälp av uttrycket ovan. n e = 2, , , , , , , , ,718 Om man fortsätter på detta sätt kan man visa att e = 2, Man kan även visa att e, liksom π, är ett irrationellt tal. För funktionen f (x) = e x gäller alltså Funktionen e kx har derivatan f (x) = e x. f (x) = k e kx, och funktionen f (x) = C e kx har derivatan f (x) = k C e kx. Exempel 6.8. Antalet bakterier i en bakteriekultur fördubblas en gång i timmen. Från början fanns det 1000 bakterier och efter t timmar är alltså antalet bakterier N(t) = t stycken. Vi kan använda logaritmlagarna för att skriva om detta som t = 1000 (e ln(2) ) t = 1000 e ln(2) t. Om vi deriverar detta uttryck får vi N (t) = ln(2) 1000 e n(2) t.

74 70 6 Derivata Sätter vi exempelvis in t = 12 får vi N (12) 2, Alltså: efter 12 timmar ökar antalet bakterier med nästan 3 miljoner per timme. Exempel 6.9. För att en fissionsprocess ska hållas levande behövs en viss mängd fria neutroner. Det vanligaste sättet neutroner frigörs på är vid sönderfall av en raioaktiv atom, exempelvis uran-235. Uran-235 sönderfaller enligt formeln N(t) = N 0 e T 1/2 ln(2) t, där N(t) är antalet atomer efter t sekunder, N 0 det ursprungliga antalet och T 1/2 halveringstiden som i detta fall är omkring 700 miljoner år. Om man skulle vara intresserad av att hålla processen vid liv kan det vara viktigt att känna till N (t), d.v.s N (t) = N 0T 1/2 ln(2) T 1/2 e ln(2) t.

75 Lösningar Kapitel Vi har (3 5) 7 = 9 och 3 (5 7) = 5 så parantesernas placering spelar roll. Subtraktion är alltså inte associativ. 1.2 Vi har (2/3)/4 = 1/6 och 2/(3/4) = 8/3 så parantesernas placering spelar roll. Division är alltså inte associativ. 1.3 Vi har (a b) n = (a b) (a b). }{{} ngånger Genom att upprepade gånger använda kommutativitet av multiplikation får vi att (a b) (a b) = a }{{}} {{ a } b } {{ b } = a n b n. ngånger ngånger ngånger Man kan visa att ( ) a n b = a n b n på ett liknande sätt, men man kan också använda det vi gjorde alldeles nyss. Vi har ( ( a n = a b) 1 ) n = (a b 1 ) n = a n (b 1 ) n = a n b n = a n 1 b b n = an b n. 1.4 Ekvationens lösning är helt enkelt x = b/a. Eftersom att vi vill dela med a måste vi anta att a inte är 0. Om a skulle vara 0 måste också b vara 0 för att ekvationen ska ha någon lösning och ekvationen får då oändligt många lösningar (alla tal uppfyller ju ekvationen 0 = 0). Om a inte är 0 har ekvationen precis en lösning. 71

76

77 Sakregister <, 30 >, 30, 30, 30 ändringskvot, 63 additionsformlerna, 59 additionsmetoden, 27 algebra, 1 algebraiska uttryck, 2 andragradsekvationer, 13 areasatsen, 52 associativitet, 3 avtagande funktion, 35 bas, 4 basbyte, 39 begränsade intervall, 30 beroende variabel, 21 bryta ut faktor, 9 cosinussatsen, 53 definitionsmängd, 20 den naturliga logaritmen, 37 den trigonometriska ettan, 57 Derivata, 63 derivata, 64 distributiv, 3 ekvationssystem, 27 element, 19 enhetscirkeln, 49 exakt lösning, 29 exponent, 4 exponentialfunktionen, 35 förkorta, 9 förlänga rationella uttryck, 11 faktor, 9 faktorisering av algbraiska uttryck, 9 faktorsatsen, 16 formler, 20 funktioner, 19 gemensam nämnare, 11 geometrisk summa, 42 grad, 6 graf, 21 högstagradskoefficient, 6 heltal, 1 icke-linjärt ekvationssystem, 28 icke-negativa heltal, 1 implicit definierad mängd, 20 intervall, 30 irrationella tal, 2 kartesiskt koordinatsystem, 21 koefficient, 6 kommutativitet, 2 konjugatregeln, 6 konstantterm, 6 kvadratisk funktion, 22, 24 kvadratkomplettering, 14 kvadreringsregeln, 6 längd av intervall, 30 långdivision, 17 liggande stolen, 17 linjär ekvation, 12 linjär funktion, 22 linjära ekvationssystem, 27 logaritmer, 36 logaritmlagarna, 37 lokal maximipunkt, 25 lokal minimipunkt, 25 lutning, 22 mängd, 19 maximeringsproblem, 25 maximipunkt, 24 minimeringsproblem, 25 73

78 74 Sakregister minimipunkt, 24 monom, 6, 16 multiplicitet, 15 naturliga tal, 1 negativa heltal, 1 nollställen, 21 obegränsade intervall, 30 oberoende variabel, 21 olikheter, 30 optimeringsproblem, 25 parabel, 24 periodiska funktioner, 55 polynom, 6 polynomdivision, 16 positiva heltal, 1 potensekvationer, 41 Potenser och Logaritmer, 33 potensform, 4 potenslagarna, 5 pq-formeln, 14 proportionalitetskonstant, 7 räta linjens ekvation, 23 räta linjens ekvation, enpunktsform, 24 rätvinklig triangel, 45 rationella tal, 2 rationella uttryck, 4 rekursion, 43 rella linjen, 21 rella tal, 2 riktningskoefficient, 22 standardvinklarna, 47 substutitionsmetoden, 27 subtraktionsformlerna, 59 term, 6 Trigonometri, 45 Trigonometriska funktioner, 55 värdemängd, 20 växande, 35 variabel, 6 x-axeln, 21 y-axeln, 21

79 Referenser 1. al-khwarizmi, M., Al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-gabr wa l-muqabala, omkr. år 820, (egenligen F. Rosens översättning The algebra of Mohammed ben Musa från 1831, London : Oriental Translation Fund). 2. Galiei, G., De motu antiquiora,