Diagnostiskt test för Lp03

Transkript

1 Diagnostiskt test för Lp --6, kl. 9.5 Inga miniräknare/formelsamlingar. Redovisa dina resonemang/räkningar.. Skriv namn, vilket år du senast läste matematik, vilken kurs det var, vilket betyg du fick.. Förenkla x + x +. Förenkla µ /. Förenkla a a a µ /. Förenkla p x +x + 5. Skriv utan rottecken i nämnaren x + x 6. Ange ekvationen för den räta linjen genom punkterna (, ) och (9, 8). 7. Förklara varför mängden av punkter vars koordinater (x, y) uppfyller x + y +6x y 5 bildar en cirkel samt ange cirkelns medelpunkt och radie.. Lös ekvationen x +7x. Lös olikheten. Ange a och b så att blir ekvivalent med. Lös ekvationen. Visa att för alla x> x x + < x + x x a <b <x<5 (ln x) ln x lg x ln x ln 8. Härled den allmänna lösningsformeln för andragradsekvationer. 9. Lös ekvationen x x x + V.G.V.

2 5. Härled summationsformeln för n 6. Uttryck med summatecken 7. Beräkna lim n n µ n 8. Svenska bilregistreringsskyltar har tre bokstäver och tre siffror. I,Q,V,Å,Ä, och Ö får inte användas därmed återstår bokstäver och inte heller sifferkombinationen. Hur många skyltar räcker systemet till? 9. En student får helt fritt välja kurser av 8. Hur många olika valkombinationer är möjliga?. Skriv x 5x +7x + x x + på formen k (x)+ r (x) q (x) där k (x),r(x) och q (x) är polynom och där grad r (x) < grad q (x). Skissa grafen. Är (a) summan (b) produkten y x x + av två växande funktioner alltid också växande?. Är funktionen f (x) e x e x jämn, udda eller ingendera?. Undersök om funktionen f (x) x x +, x 6 har en invers. Omja,angeenformelförinversen. 5. Det finns ett tal a sådant att för alla tillräckligt stora x är x +e x +ln(x) 5x + e x a Visa detta (d.v.s. övertyga läsaren att det är sant) och ange talet a. SLUT! Vissa trebokstaviga ord som DUM och FAN undviks också, men det bortser vi ifrån nu.

3 HH / GT Diagnostiskt test, --6 LÖSNINGAR. Definitionen av kvadratrot: x + x x + + x + p x + x +. Utnyttja att : µ / Ã µ! / µ µ / Alltså är den andra potensen faktiskt lika stor som den första och de tar ut varandra. Svar :. Konjugatregeln baklänges a (a ) (a +) a a a ( a) a + a. Kvadreringsregeln baklänges x +x + x + p x +x + x + 5. Förläng med nämnarens konjugatuttryck x x : x + x x x x + x x x x x x (x ) x p x 6. Om (x,y ) är en punkt på linjen och k är linjens riktningskoefficient, så har linjen ekv. y y k (x x ) I vårt fall är k och en punkt är (, ), så vi får 7. Kvadratkomplettera 8. y (x ) y x + 5 x +6x (x +) 9 y y (y ) Sätt in detta i ekv. och flytta konstanterna över till höger sida: (x +) 9+(y ) 5 (x +) +(y ) 5 (x ( )) +(y ) q 5 (x ( )) +(y ) 5 Enligt Pythagoras sats är vänsterledet avståndet från (x, y) till (, ). Ekv. säger att detta avstånd skall vara 5. Punkterna som uppfyller detta bildar cirkeln med medelpunkt i (, ) och radie 5. x + px + q x + p p + q x + p p q x + p r p ± q x p ± r p q 9. Sätt x t : t (t ) (t +) t 7t 8 t 8 eller x eller

4 . x +7 x. ln x är definierat endast för x>, för x> är ln x lnx :. x +7 (x ) x +7 x 8x +6 x x +9 x eller 9 Insättning i den ursprungliga ekv. visar att endast x 9är lösning (x är lösning till x +7 (x ), som vi inte kan skilja från vår efter kvadreringen.) Svar: Svar : x 9 x + x x x + (x +) (x ) (x +)(x ) x (x +)(x ) > > > x HL + + x> eller <x<. Olikheten säger att avståndet längs tallinjen mellan punkterna svarande mot x resp. a skall vara <b. Lösning finns endast då b>. Olikheten är då ekvivalent med kraven b <x a och x a<b vilka i sin tur kan formuleras a b<xoch x<a+ b (ln x) lnx ln x eller ln x x eller x e Resonemanget är: Om ln x, står det, som är sant. Om ln x 6, kan ekvationens båda led divideras med ln x och fvi år ln x.. Definitionen: lg x x Skrivombådaledenmedbase : e ln lg x e ln x Potenslagarna: e (ln ) lg x e ln x Är två potenser med samma bas lika, så måste exponenterna också vara lika Alltså : (ln ) lg x lnx lg x ln x ln 5. Summera talen i tabellen... n n n n n... på två olika sätt: radvis : ( n) kolonnvis : n (n +) Resultaten måste vara lika. Alltså n n (n +) Alltså skall ½ a + b 5 a b ½ a b 6. nx k k

5 µ + µ n µ n. "Enkel" polynomdivision: x x + x + x + x + Starta med y x : är en geometrisk summa med kvot y n+ à µ! n+ Då n, så - - x µ n+ - och därmed à µ! n+ 8. Multiplikationsprincipen är tillämplig: 9. µ Polynomdivision. Svar: x 5x +7x + x x + x + x + x x + Spegla i x-axeln, så fås - y x y x Parallellförflytta stegix-led åt vänster så fås y x + Parallellförflytta stegiy-led uppåt så fås y x+ y x -5 - y x+ 5

6 . a) Ja, eftersom a < b då f och g är växande f (a) f (b) g (a) g (b) f (a)+g(a) f (b)+g(b) b) Nej, eftersom f (a) f (b) g (a) g (b) ger ingen garanti för att f (a) g (a) f (b) g (b) T.ex. är 5. Dividera täljare och nämnare med e x x e x Enligt satser i teorin ++ 5 x e x + ln x e x x e x, när x ln x e x, när x ochdärmedäven ln x e x ln + ln x e x ln e x + ln x e x Så för tillräckligt stora x är kvoten < < men ( ) ( ) > Av den anledningen är t.ex. f (x) x växande g (x) x växande men f (x) g (x) x är ej växande för x<. Udda, eftersom f ( x) e x e ( x) e x e x f ( x). Försök lösa ut x ur f (x) y : x x + y x (x +)y x ( y) +y x +y då y 6 y För varje y i värdemängden finns inte mer än en lösning x, alltså existerar en invers f (x) +x x, x 6 6