Kvadratrötter. Lösningarna till andragradsekvationen ax 2 2x +1=0, där a betraktas som känd, ges som bekant av. 1. Pettersson: övn.

Transkript

1 Kvadratrötter 1. Pettersson: övn En konstruktör beräknade att en bro kommer att klara den maximala lasten 500(198 a ) ton Han satte =1.4 och valde a så att maximala lasten blev 1000 ton. (a) Vilket a-värde fick han? (b) Bron brast för en lastbil å bara 0 ton. Varför?. Om vi i en summa/differens av två termer, där åtminstone den ena är en kvadratrot, t.ex. a + b x x +1 x byter ut +/ mot res. + a b x x +1+x så kallar vi det nya uttrycket för konjugatkvantiteten (konjugatet) till det ursrungliga. Visa, genom att förlänga med nämnarens konjugatkvantitet att 1+x + 1 x 1+x 1 x x när x 0 4. Datorer räknar med ett fixt antal siffror. I de flesta fall är antalet tillräckligt, men ifall man subtraherar två ungefär lika stora tal, så innebär det att resultatet kommer att ha betydligt färre värdesiffror än indata. Antag, t.ex. att vi räknar endast med 4 värdesiffror: = Båda termerna känner vi med 4 värdesiffror, men differensen med endast 1! Lösningarna till andragradsekvationen ax x +1=0, där a betraktas som känd, ges som bekant av s 1 x = 1 a ± 1 a a = [Om a>0] = 1 ± 1 a a Om a 0, så blir 1 a 1 och man förlorar många värdesiffror när man subtraherar 1 1 a (I forts. intresserar vi oss endast för den roten.) (a) Testa med a =0.01 och a = Antag att du kan räkna med värdesiffror enbart: efter varje deluträkning avrundar du ditt resultat till värdesiffror. (b) Förläng med täljarens konjugatkvantitet och se hur många värdesiffror dufår,omdu återigen räknar med endast värdesiffror, men sätter in a = i det nya uttrycket i stället! 5. Försök att med rationella a och b. uttrycka 5 4 å formen a b 6. Som föregående för ± 7. Visa att, om a b 0, så är det alltid möjligt att skriva om a ± b å formen x ± y (Tecknen ± hör iho: har man + i det ena uttrycket, så skall man ha + också i det andra, och likadant för.) Vad blir x och y för givna a och b? 1

2 Pythagoras sats 8. Pettersson: övn I en rätvinklig triangel är hyotenusan 1 cm och en katet 1 cm. Den andra katetens längd får man, som bekant, med Pythagoras, till cm =5cm. Kalle räknar emellertid så här i stället: cm =5cm. Ger Kalles metod korrekt resultat för alla rätvinkliga trianglar? Om inte, för vilka rätvinkliga trianglar råkar den ge korrekt resultat? Rotekvationer Pettersson, teorirutan å sid.18: Jag skulle formulerat mig så här: a = b = a = b men a = b = a = b eller a = b 10. Lös ekvationerna (a) Allmänna otenser 11. Pettersson: övn Förenkla Förenkla 1+ x 1 x 1 1 x x Visa att för alla x och alla a>0 är a x ++a x + a x +a x x ln a = ex 15. Vad skall det stå å frågetecknets lats? =? 16. Verifiera (d.v.s. kontrollera) att = (b) x 1= 4x +5 x 1+ x +1= 17. Visa att Ãr r! 1/ r r r = (c) x 1x +6=6 x Glöm inte möjligheten att kontrollera rötter genom insättning! 18. Matematik000CD: Matematik000CD: 4810, 4811

3 Exonentialfunktionen 0. Låt f (x) =e x Vilka likheter är sanna för alla tal a : f (a) = f (a) f (a) = (f (a)) f (a) = f () f (a) f ( + a) = f () f (a) f ( a) = f (a) f ( a) = (f (a)) 1 1. Varje funktion av formen ufyller f (x) = ax + a x f (x + y)+f (x y) =f (x) f (y) för alla x, y Sant eller falskt?. Man säger att vattnets kokunkt är 100 C, men detta stämmer endast då man befinner sig vid havsytans nivå! I Alerna, å höjden 4.8 km över havet, börjar vatten koka redan vid 84 C. Teori och exeriment tyder å kokunkten K avtar exonentiellt med höjden över havet h, d.v.s. K = ae bh för några konstanter a och b. 4. Funktionerna e x + e x och ex e x har fått särskilda namn: cosh res. sinh, uttalas cosinus-hyerbolikus res. sinushyerbolikus. Alltså cosh x = ex + e x sinh x = ex e x kallas: de hyerboliska funktionerna Namnen antyder att de skulle ha något med cos och sin att göra. Så är verkligen fallet! Följande identiteter för de trigonometriska funktionerna (med D cos x, etc. betecknas derivatan av cos x, etc.) D cos x = sin x D sin x = sinx cos x +sin x = 1 cos (x + y) = cosx cos y sin x sin y sin (x + y) = sinx cos y +cosxsin y cos x = cos x sin x sin x = cosx sin x har faktiskt alliho sin motsvarighet för de hyerboliska: man behöver byta ut cos mot cosh, sin mot sinh, samt ändra de tre minustecknen till lus. Visa detta! (a) Vilket värde å kokunkten å 8800 m höjd över havet fås med hjäl av ovanstående information? (b) För vilka höjder ligger kokunkten under 76 C?. En ko med varm choklad får svalna. Två modeller för T = temeraturen i C som funktion av tiden t i minuter föreslås: T = t T = t Är båda modellerna rimliga?

4 Logaritmer 5. Pettersson: övn Pettersson, Ö-6.[4],[5],[6] har ett väsentligt drag gemensamt med rotekvationerna i 10 vilket? (Hur löste du 6.[4],[5],[6] egentligen?) 7. Pettersson, sid.7, skriver: Ur otenslagarna kan man härleda följande logaritmlagar... Hur går de härledningarna till? 8. För alla ositiva a och b gäller Sant eller falskt? a ln b = b ln a 5. Låtsas att din miniräknare endast klarar av de fyra räknesätten. Förklara varför 7 17 < < log Beräkna utan miniräknare log 10 log Beräkna utan miniräknare log log 5 log 5 8. Utnyttja att log till att få fram ett närmevärde å log 5 9. Förenkla så långt som möjligt ln (1 + 1) + ln ln ln ln ln Lös ekvationerna (a) (b) (ln x) =lnx ln x =ln x 0. Förenkla ln x + x + a +ln x x + a 1. Lös ekvationen (c) ln x +lnx +lnx +lnx 4 +lnx 5 =5 lnx =1+lnx. För varje reellt tal a, lös ekvationen ln (a + x) =a +lnx. Avgör, med motivering, om följande åstående är sant eller falskt: e (ln x) =(lnx) för alla x>0 4. Visa att för alla x gäller ln e x +1 1 ln ex =ln e x + e x 40. Lös ekvationssystemet (Med lg betecknas 10- logaritmer.) lg x lg y +lgz = lgx lg z =1 lg 4 (x + y) =lgz (Tis: Ettsättärattbörjamedattskrivaom ekvationerna utan logaritmer.) 41. Lös ekvationen (lg betecknar 10-logaritmen) x lg x+lg x + = 1 1 x+1 x+1+1 4

5 4. Visa att, om a + b =7ab 6= 0 så a + b log = 1 (log a +log b ) oberoende av vilken bas man logaritmerar med avseende å. Varför behövs absolutbelostecknen? Kan du ge ett konkret exemel å tal a och b sådana att a + b = 7ab men log a + b 6= 1 (log a +logb)? 5