Finansiell statistik, vt-05. Bayes sats. Bayes sats; forts. F3 Sannolikhetsteori. Exempel: antag att vi har tre skålar P( ) = 0 P( ) = 2/5 P( ) = 4/5

Transkript

1 Johan Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt- F Sannolikhetsteori Bayes sats Exempel: antag att vi har tre skålar / 4/ och någon väljer skål m slh: / /6 / Bayes sats; forts marginalsannolikheten, slh dra grön marker enligt lagen om total sannolikhet + + P /

2 Bayes sats; forts antag vi drar vilken skål har vi dragit ur? sannolikheten att vi dragit från? : betingning : enligt multiplikationsregeln : vi har beräknat så... 4 Bayes sats; forts enligt : 6 P 7 7 Vad vi gjort är att vända på betingningen P Bayes sats: Om,,, är disjunkta händelser så att och vi känner,,, och,,, ges för varje 6

3 Elementär kombinatorik För att kunna forma sannolikheter oavsett subjektiv, klassisk eller frekventistisk måste vi veta hur många utfall vi kan få uppenbart i t.ex. tärningsspelande 7 Elementär kombinatorik Samsonite med treställigt kodlås: hur många kombinationer? Antag mitten trasig, går bara till 8 Svar: lika många som alla tal mellan och 999 inklusive och hur många kombinationer? 8 Med mitten trasig Multiplikationsregeln X X X kan väljas på sätt kan väljas på 9 sätt för varje val på första finns 9 val för andra kan väljas på sätt för varje val på andra finns val för tredje träddiagram 9

4 Multiplikationsregeln Antal möjliga sätt att utföra operationer där operationerna kan utföras på,,, olika sätt ges av Permutationer Exempel: en expert skall rangordna företagen a, b, c och d utifrån kvalitén på deras FOU Hur många randordningar kan han göra? abcd abc ac d b a c c rankad :a :a :a 4:a Permutationer: exempel ranking Schematiskt kan experten ranka på 4 ggr ggr ggr enl multiplikationsregeln xxxx xxx xx x rankad :a :a :a 4:a 4

5 Permutationer Generellt: antal permutationer av objekt och där möjligheter plats Permutationer av obj valda ngr i taget Antag vi inte skall permutera alla objekten endast av dem. Av valbara styrelsemedlemmar skall vi utse ordförande, :e vice ordförande samt :e vice ordförande Hur många konfigurationer? 4 Perm: styrelseledning alt 9 alt 8 alt xxxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx ordf. :e vice :e vice Svar:

6 Permutationer av obj valda ngr i taget Antal permutationer av objekten valda i taget + möjligheter + + plats 6 Val utan avseende på ordning Får man det här är man glad Exempel: hur många pokerhänder kan man få kort? Om ordningen de kommer upp i räknas Val utan avseende på ordning Men då har vi räknat t.ex. 4 ggr t.ex. etc... hämtat från 8 6

7 7-4- Johan Koskinen, Department of Statistics 9 Val utan avseende på ordning Eftersom detta gäller för alla kombinationer av kort: / Antalet pokerhänder är alltså runt och en halv miljon. -4- Johan Koskinen, Department of Statistics Val utan avseende på ordning Generellt när vi skall välja objekten av totalt utan avseende på ordning: + Betecknas vanligtvis: Och kallas för binomialkoefficienten -4- Johan Koskinen, Department of Statistics Val utan avseende på ordning; div Rekursion: + +

8 Val utan ordning; Pascals triangel Val utan avseende på ordning; SCB I SCB s Företagsdatabas nov fanns 46 9 företag med -4 anställda på hur många sätt kan SCB välja ut 779 företag med -4 anställda? så stora tal att vi måste approximera Val utan avseende på ordning; Binomial koeff. Om man utvecklar + får man + + men hur många termer finns det i +? Alt. formulering: på hur många sätt kan man välja ut tre faktorer ur ?

9 Inte alla element distinkta Exempel: MASSASAUGA är en nordamerikansk skallerorm På hur många sätt kan man felstava ormens namn givet att man kommer ihåg alla och hur många bokstäver det skall vara? Vi kan skriva M A S S A S A U G A 4 så antalet permutationer Bryr oss ej om ordningen på ex M A S S A S A U G A 4 M A S S A S A U G A 4 etc Inte alla element distinkta Svaret ges av: antalet permutationer M A S S A S A U G A 4 delat med antalet permutationer M gånger A A A A 4 gånger S S S 4 gånger U gånger GJohan Koskinen, Department of Statistics -4-6 Några sammanfattande formler Antal sätt ta element av : Med hänsyn till ordning med återläggning utan återläggning utan hänsyn till ordning + 7 9