FMS012/MASB03: Matematisk statistik 9.0 hp för F+fysiker Föreläsning 1: Sannolikhet

Transkript

1 FMS012/MASB03: Matematisk statistik 9.0 hp för F+fysiker Föreläsning 1: Sannolikhet Anna Lindgren 18 januari 2016 Anna Lindgren FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 1/27

2 Tillämpningar Praktiska detaljer Matematisk statistik slumpens matematik Sannolikhetsteori: Hur beskriver man slumpen? Statistikteori: Vilka slutsatser kan man dra av ett datamaterial? Anna Lindgren FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 2/27

3 Tillämpningar Praktiska detaljer Slumpmässig Variation Inom population Mätosäkerhet Anna Lindgren FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 3/27

4 Tillämpningar Praktiska detaljer Vad kan vi veta om slumpmässig variation? Inte exakt vad som ska hända, men hur ofta olika saker händer. Vad vi kan säga är hur sannolika olika händelser är. Anna Lindgren FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 4/27

5 Tillämpningar Praktiska detaljer Tillämpningar för matematisk statistik Miljö Ozonlagret bild Våghöjd bild Ekonomi Aktiedata bild Försäkringar bild Signalbehandling EEG/EKG bild Hitta sprängämnen bild Hitta narkotika bild Anna Lindgren FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 5/27

6 Tillämpningar Praktiska detaljer Tillämpningar för matematisk statistik (forts) Mobil kommunikation Elmarknad Försäkringar Spel/Lotterier Biologi Geologi osv Anna Lindgren FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 6/27

7 Tillämpningar Praktiska detaljer Praktiska detaljer Kräver 12 hp inom Endim och/eller Flerdim och/eller Linalg. Vi inväntar januaritentorna innan vi kastar ut er från kursen. 1 2 föreläsningar i veckan 1 räkneövning i veckan 5 obligatoriska datorövningar. 1 obligatoriskt färdighetsprov deadline 7 mars kl skriftlig tentamen 1 juni kl Kurshemsida: Föreläsare: Joakim Lübeck Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 7/27

8 Wenn Ex Kolmogorov Frekvens Grundläggande sannolikhetsteori Grundläggande begrepp Utfall resultatet av ett slumpmässigt försök. Bet. w1, w2,... Händelse en samling av ett eller flera utfall. Bet. A, B,... Utfallsrum mängden av möjliga utfall. Bet W Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 8/27

9 Wenn Ex Kolmogorov Frekvens Exempel: Tärningskast Ex. Kasta en tärning. Utfallsrum W = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a, 6:a} En händelse A : Minst 4:a = {4:a, 5:a, 6:a} B : Högst 5:a = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a} C : 3:a = {3:a} Ex. Kasta två tärningar. Ej uppenbart hur man skall välja utfallsrum. T.ex. W = {(1, 1), (1, 2),..., (6, 6)}. Totalt 36 utfall. Om man bara är intresserad av summan: W = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. 11 utfall. Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 9/27

10 Wenn Ex Kolmogorov Frekvens Händelser Wenn-diag. Mängdlära Utfallsrummet Ω Händelsen A; A inträffar Komplementhändelsen. A till A; A inträffar ej Unionhändelsen A B; A eller B eller båda inträffar Snitthändelsen A B = AB; både A och B inträffar A och B oförenliga hndlser; kan ej inträffa samtidigt Grundmängden Delmängden A Komplementet A till A Unionen A B Snittet A B A och B disjunkta Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 10/27

11 Wenn Ex Kolmogorov Frekvens Exempel (kasta en tärning rep, forts) A : Minst 4:a = {4:a, 5:a, 6:a} B : Högst 5:a = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a} C : 3:a = {3:a} Några exempel på snitt och union A B = {4:a, 5:a} A B = W B C = C = {3:a} A C = {} =. Kan inte inträffa, eftersom A och C är oförenliga. Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 11/27

12 Wenn Ex Kolmogorov Frekvens Sannolikhet Sannolikheten att en händelse A skall inträffa bet. P(A) En sannolikhet måste uppfylla följande, Kolmogorovs axiomsystem: 0 P(A) 1 En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 P(W) = 1 Sannolikheten att något skall hända är 1 P(A B) = P(A) + P(B) Om och endast om A och B är oförenliga Härur följer även t.ex. Komplementsatsen P(A ) = 1 P(A). Om det är slh 1/100 att vinna på ett lotteri är slh 99/100 att inte vinna. Additionssatsen P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 12/27

13 Wenn Ex Kolmogorov Frekvens Frekvenstolkning av sannolikhet Upprepa ett slumpmässigt försök n gånger Antal ggr A inträffar n P(A), n Ex Kasta tre tärningar ggr och räkna ut relativa frekvensen treor i varje kast för var och en av tärningarna 1 Relativa frekvensen av antal treor Relativ frekvens Antal tärningskast 1/6? Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 13/27

14 Wenn Ex Kolmogorov Frekvens Den klassiska sannolikhetsdefinitionen Om ett försök kan utfalla på m möjliga sätt som alla är lika sannolika (har vi en likformig sannolikhetsfördelning) och en händelse A inträffar vid g st av dessa gäller P(A) = g m Ex Dra ett kort ur en kortlek. Vad är sannolikheten att det är ett hjärter? Lsg Det finns m = 52 kort varav g = 13 är hjärter så P( ) = 13/52 = 1/4 Ex Dra två. Vad är sannolikheten att båda är hjärter? Lsg Med lite kombinatorik blir det lite mer komplicerat P(båda ) = ( 13 ) Antal sätt att välja två Antal sätt att välja två kort = 2 ) = = 1 17 ( 52 2 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 14/27

15 Bayes Oberoende Flera händelser Betingad sannolikhet Ex. För en tärning har vi P(Etta) = 1/6, men om vi vet att utfallet är udda får vi P(Etta om udda utfall) = 1/3. Def. Den betingade sannolikheten att A skall inträffa om vi vet att B inträffat betecknas P(A B) och definieras som P(A B) = P(A B) P(B) Ur detta (och P(B A)) får vi två räkneregler för P(A B) P(A B) = P(A B) P(B) = P(B A) P(A) Ex (igen) Dra två kort. Vad är sannolikheten att båda är hjärter? Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 15/27

16 Bayes Oberoende Flera händelser Betingad risk Anna Lindgren FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 16/27

17 Bayes Oberoende Flera händelser Satsen om total sannolikhet Om vi har n st händelser H 1,..., H n som är Parvis oförenliga, dvs H i H j =, i = j n Tillsammans täcker utfallsrummet, dvs H i = W gäller för varje händelse A i=1 P(A) = n P(A H i ) P(H i ) i=1 samt Konsten att vända en betingad sannolikhet eller Bayes sats P(H i A) = P(H i A) P(A) = P(A H i) P(H i ) P(A) Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 17/27

18 Bayes Oberoende Flera händelser Oberoende händelser Om det visar sig att P(A B) = P(A), påverkas inte A av att B inträffat eller ej, de är oberoende. Detta kan med definitionen av betingad sannolikhet skrivas om som P(A B) = P(A) P(B). Def. Händelserna A och B är oberoende av varandra P(A B) = P(A) P(B) Obs. Skilj mellan oberoende och oförenliga. Kan två oberoende händelser vara oförenliga? Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 18/27

19 Bayes Oberoende Flera händelser Exempel: Oberoende Kasta två tärningar och låt A = Första tärningen visar sexa B = Summan är sju C = Summan är åtta Vilka av händelserna A, B och C är oberoende av varandra? 6 A B C 5 Tärning Tärning 1 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 19/27

20 Bayes Oberoende Flera händelser Alla, ingen och någon Om vi har n st oberoende händelser A 1,..., A n kan vi räkna ut sannolikheten att alla inträffar P(A 1 A n ) = P(A 1 )... P(A n ) ingen inträffar, dvs alla inträffar inte P(A 1 A n) = P(A 1 )... P(A n) = = [1 P(A 1 )]... [1 P(A n )] någon inträffar, dvs minst en, eller inte ingen P(A 1 A n ) = 1 P(A 1 A n) = = 1 [1 P(A 1 )]... [1 P(A n )] Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 20/27

21 Ozon i Dobson enheter Tillbaka Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 21/27

22 Våghöjd Tillbaka Anna Lindgren FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 22/27

23 OMXS30 aktieindex Tillbaka OMXS Anna Lindgren FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 23/27

24 Kostnad stormskador Tillbaka Anna Lindgren FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 24/27

25 EKG och R-R variation Tillbaka Anna Lindgren FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 25/27

26 Detektion av sprängämne Tillbaka Anna Lindgren FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 26/27

27 NQR signal meta-amfetamin Tillbaka Anna Lindgren FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 27/27