Föreläsning 1, Matematisk statistik för M

Transkript

1 Föreläsning 1, Matematisk statistik för M Erik Lindström 23 mars 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 1/30

2 Tillämpningar Praktiska detaljer Matematisk statistik slumpens matematik Sannolikhetsteori: Hur beskriver man slumpen? Statistikteori: Vilka slutsatser kan man dra av ett datamaterial? Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 2/30

3 Tillämpningar Praktiska detaljer Slumpmässig Variation Kan bero på flera orsaker Dynamiska effekter Inom population Mätosäkerhet Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 3/30

4 Tillämpningar Praktiska detaljer Vad kan vi veta om slumpmässig variation? Inte exakt vad som ska hända, men hur ofta olika saker händer. Vad vi kan säga är hur sannolika olika händelser är. Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 4/30

5 Tillämpningar Praktiska detaljer Tillämpningar för matematisk statistik Miljö Ozonlagret bild Våghöjd bild Ekonomi Aktiedata bild Försäkringar bild Signalbehandling EEG/EKG bild Hitta sprängämnen bild Hitta narkotika bild Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 5/30

6 Tillämpningar Praktiska detaljer Tillämpningar för matematisk statistik (forts) Mobil kommunikation Elmarknad Försäkringar Spel/Lotterier Biologi Geologi osv Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 6/30

7 Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Tilla mpningar Praktiska detaljer Inom maskinteknik (finns pa studiecentrum) Erik Lindstro m - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 7/30

8 Tillämpningar Praktiska detaljer I ett större perspektiv Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 8/30

9 Tillämpningar Praktiska detaljer Statistician best job possible?! Länk Hal Varian, Chief Economist at Google explains why statistician may be the dream job of the 21st century. Länk Hot news (February 18th, 2015) President Obama recently nominated a Chief Data Scientist in his Office This includes an Länk executive order that data should be machine-readable. Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 9/30

10 Tillämpningar Praktiska detaljer Praktiska detaljer Kursen går över 1 läsperioder 2 föreläsning i veckan 2 räkneövning i veckan 5 obligatoriska datorövningar Kurshemsida: Föreläsare: Erik Lindström, MH221 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 10/30

11 Wenn Ex Kolmogorov Frekvens Grundläggande sannolikhetsteori Grundläggande begrepp Utfall resultatet av ett slumpmässigt försök. Bet. w1, w2,... Händelse en samling av ett eller flera utfall. Bet. A, B,... Utfallsrum mängden av möjliga utfall. Bet W Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 11/30

12 Wenn Ex Kolmogorov Frekvens Exempel: Tärningskast Ex. Kasta en tärning. Utfallsrum W = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a, 6:a} En händelse A : Minst 4:a = {4:a, 5:a, 6:a} B : Högst 5:a = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a} C : 3:a = {3:a} Ex. Kasta två tärningar. Ej uppenbart hur man skall välja utfallsrum. T.ex. W = {(1, 1), (1, 2),..., (6, 6)}. Totalt 36 utfall. Om man bara är intresserad av summan: W = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. 11 utfall. Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 12/30

13 Wenn Ex Kolmogorov Frekvens Händelser Wenn-diag. Mängdlära Utfallsrummet Ω Händelsen A; A inträffar Komplementhändelsen. A till A; A inträffar ej Unionhändelsen A B; A eller B eller båda inträffar Snitthändelsen A B = AB; både A och B inträffar A och B oförenliga hndlser; kan ej inträffa samtidigt Grundmängden Delmängden A Komplementet A till A Unionen A B Snittet A B A och B disjunkta Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 13/30

14 Wenn Ex Kolmogorov Frekvens Exempel (kasta en tärning rep, forts) A : Minst 4:a = {4:a, 5:a, 6:a} B : Högst 5:a = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a} C : 3:a = {3:a} Några exempel på snitt och union A B = {4:a, 5:a} A B = W B C = C = {3:a} A C = {} =. Kan inte inträffa, eftersom A och C är oförenliga. Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 14/30

15 Wenn Ex Kolmogorov Frekvens Sannolikhet Sannolikheten att en händelse A skall inträffa bet. P(A) En sannolikhet måste uppfylla följande, Kolmogorovs axiomsystem: 0 P(A) 1 En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 P(W) = 1 Sannolikheten att något skall hända är 1 P(A B) = P(A) + P(B) Om och endast om A och B är oförenliga Härur följer även t.ex. Komplementsatsen P(A ) = 1 P(A). Om det är slh 1/100 att vinna på ett lotteri är slh 99/100 att inte vinna. Additionssatsen P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 15/30

16 Wenn Ex Kolmogorov Frekvens Frekvenstolkning av sannolikhet Upprepa ett slumpmässigt försök n gånger Antal ggr A inträffar n P(A), n Ex Kasta tre tärningar ggr och räkna ut relativa frekvensen treor i varje kast för var och en av tärningarna 1 Relativa frekvensen av antal treor Relativ frekvens Antal tärningskast 1/6? Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 16/30

17 Wenn Ex Kolmogorov Frekvens Den klassiska sannolikhetsdefinitionen Om ett försök kan utfalla på m möjliga sätt som alla är lika sannolika (har vi en likformig sannolikhetsfördelning) och en händelse A inträffar vid g st av dessa gäller P(A) = g m Ex Dra ett kort ur en kortlek. Vad är sannolikheten att det är ett hjärter? Lsg Det finns m = 52 kort varav g = 13 är hjärter så P( ) = 13/52 = 1/4 Ex Dra två. Vad är sannolikheten att båda är hjärter? Lsg Med lite kombinatorik blir det lite mer komplicerat P(båda ) = ( 13 ) Antal sätt att välja två Antal sätt att välja två kort = 2 ) = = 1 17 ( 52 2 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 17/30

18 Bayes Oberoende Flera händelser Betingad sannolikhet Ex. För en tärning har vi P(Etta) = 1/6, men om vi vet att utfallet är udda får vi P(Etta om udda utfall) = 1/3. Def. Den betingade sannolikheten att A skall inträffa om vi vet att B inträffat bet. P(A B) och definieras som P(A B) = P(A B) P(B) Ur detta (och P(B A)) får vi två räkneregler för P(A B) P(A B) = P(A B)P(B) = P(B A)P(A) Ex (igen) Dra två kort. Vad är sannolikheten att båda är hjärter? Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 18/30

19 Bayes Oberoende Flera händelser Betingad risk Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 19/30

20 Bayes Oberoende Flera händelser Satsen om total sannolikhet Om vi har n st händelser H 1,..., H n som är Parvis oförenliga, dvs H i H j =, i j n Tillsammans täcker utfallsrummet, dvs H i = W gäller för varje händelse A i=1 P(A) = n P(A H i )P(H i ) i=1 samt Konsten att vända en betingad sannolikhet eller Bayes sats P(H i A) = P(H i A) P(A) = P(A H i)p(h i ) P(A) Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 20/30

21 Bayes Oberoende Flera händelser Oberoende händelser Om det visar sig att P(A B) = P(A), påverkas inte A av att B inträffat eller ej, de är oberoende. Detta kan med definitionen av betingad sannolikhet skrivas om som P(A B) = P(A)P(B). Def. Händelserna A och B är oberoende av varandra P(A B) = P(A)P(B) Obs. Skilj mellan oberoende och oförenliga. Kan två oberoende händelser vara oförenliga? Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 21/30

22 Bayes Oberoende Flera händelser Exempel: Oberoende Kasta två tärningar och låt A = Första tärningen visar sexa B = Summan är sju C = Summan är åtta Vilka av A, B, A, C och B, C är oberoende av varandra? 6 A B C 5 Tärning Tärning 1 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 22/30

23 Bayes Oberoende Flera händelser Alla, ingen och någon Om vi har n st oberoende händelser A 1,..., A n kan vi räkna ut sannolikheten att alla inträffar P(A 1 A n ) = P(A 1 )... P(A n ) ingen inträffar, dvs alla inträffar inte P(A 1 A n) = P(A 1 )... P(A n) = = [1 P(A 1 )]... [1 P(A n )] någon inträffar, dvs minst en, eller inte ingen P(A 1 A n ) = 1 P(A 1 A n) = = 1 [1 P(A 1 )]... [1 P(A n )] Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 23/30

24 Ozon i Dobson enheter Tillbaka Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 24/30

25 Våghöjd Tillbaka Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 25/30

26 OMXS30 aktieindex Tillbaka OMXS Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 26/30

27 Kostnad stormskador Tillbaka Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 27/30

28 EKG och R-R variation Tillbaka Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 28/30

29 Detektion av sprängämne Tillbaka Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 29/30

30 NQR signal meta-amfetamin Tillbaka Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 30/30