Slumpförsök för åk 1-3

Transkript

1 Modul: Sannolikhet och statistik Del 3: Att utmana elevers resonemang om slump Slumpförsök för åk 1-3 Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet Andreas Eckert, Linnéuniversitetet I följande text beskrivs ett antal slumpförsök lämpliga för åk 1-3. Försöken är ordnade i stigande svårighetsgrad med avseende på elevernas förkunskaper om slump och sannolikhet. Olika aspekter av slump blir mer eller mindre framträdande i de olika försöken. Om detta är ett nytt område för eleverna bör ni börja med det första försöket. Hur mycket tid varje experiment tar beror helt på klassens vana vid den här sortens lektioner och elevernas förkunskaper om sannolikhet. Kanske hinner ni göra flera försök under en lektion. De slumpförsök som beskrivs syftar till att eleverna: blir bekanta med begreppet slump och får bearbeta vad det innebär; samt formulerar frågor och påståenden om sannolikhet i slumpsituationer och utvecklar förmågan att argumentera för dessa påståenden på ett matematiskt hållbart sätt Till varje försök finns förslag på frågor som läraren kan ställa för att initiera och utmana elevers resonemang. Frågorna ska ses som exempel. De kan varieras och användas i engagerande, återfokuserande, klargörande eller utmanande syfte. För att kunna genomföra försöken behöver man generera utfall som inte är helt förutsägbara, dvs. utfallen ska vara slumpmässiga. Sådana utfall kan generas med vad vi kallar en slumpgenerator. Processen att kasta en tärning är ett klassiskt exempel på en slumpgenerator. Tänk bara på att det inte bara är tärningen i sig som genererar (skapar) slump. Tärningen är bara en del av hela processen. Till exempel, svårigheten med att exakta styra och förutsäga betydelsen av hårdheten och höjden i kastet och av tärningens möte med underlag bidrar i allra högsta grad till att det är omöjligt att helt förutsäga vad tärningen kommer att visa. Så, även om vi hänvisar till t.ex. mynt och tärningar som slumpgeneratorer så tänker vi att dessa ingår i en process som skapar slumpmässiga utfall. Med elever i skolans tidiga åldrar är det av två särskilda skäl att föredra att använda en slumpgenerator som de kan hantera rent fysiskt framför en digital slumpgenerator. Dels finns ingen möjlighet att avgöra om det som visas på skärmen är ett slumpmässigt utfall eller om det är förprogrammerat, utan eleven har bara lärarens ord på att det är slumpmässigt. Dels är det inte helt sant att det är slumpmässigt eftersom slumpen också är förprogrammerad i ett dataprogram. Den diskussionen kan vara fruktbar att ha med äldre elever men behöver bygga på en konkret upplevelse av skillnaden mellan slumpmässiga utfall och utfall som är helt förutsägbara. 1 (8)

2 Det är vanligt att läromedel föreslår användning av tärningar för att få fram slumpmässiga utfall i experiment och spel. Tärningar har den fördelen att de ofta finns tillgängliga och att de är liksidigt symmetriska och alltså ger lika sannolikhet för varje sida att komma upp. Det gör att det både går att utforska den relativa frekvensen i en experimentell situation och att beräkna den teoretiska sannolikheten av ett visst utfall. Det är dock viktigt att påpeka att vi inte uteslutande ska använda oss av tärningar för att arbeta med slump. Diskussionen som förs i klassen bör vidga begreppet slump till andra situationer än bara sexsidiga symmetriska tärningar. För den som vill ha ett alternativ till tärningar för att skapa en slumpgenerator finns en bilaga med beskrivningar på hur man enkelt tillverkar: - lyckohjul - påsar eller flaska med färgade kulor - brickor som kastas i luften Sannolikhet kan anges i termer av lika eller olika och i relativa termer av mer eller mindre troligt eller sannolikt. För skolans tidigaste årskurser kan detta räcka. På en något mer avancerad nivå anges sannolikheten med ett numeriskt värde mellan 0 och 1. Lika sannolikhet för två möjliga utfall såsom en av två sidor av ett mynt är då ½ på varje. För elever i skolans tidigaste år är det jämförelsen av olika sannolikheter som ska vara i fokus, för att senare utvecklas till numeriska beskrivningar av sannolikhet. Ett sätt att uttrycka olika sannolikheter är att rita upp en skala från omöjlig (sannolikhet 0) till säker (sannolikhet 1). Olika händelser kan sedan placeras ut på skalan såsom mer eller mindre sannolika. En händelse som placeras precis i mitten har då sannolikheten ½ och det är precis lika sannolikt att den inträffar som att den inte inträffar. omöjligt säkert Sannolikheten att få krona när jag singlar slant. omöjligt säkert Sannolikheten att vinna stjärnvinsten på lyckohjulet Beroende på hur mycket klassen har arbetat tidigare med sannolikhet kan du välja vilka ord som ska användas i frågeformuleringarna. Orden chans och risk kan användas men bör så 2 (8)

3 småningom ersättas med det värdeneutrala matematiska ordet sannolikhet. Läraren kan gärna använda begreppet sannolikhet parallellt med begreppen chans och risk redan från början så kommer elevernas förståelse för ordet att successivt övergå från det passiva till aktiva ordförrådet. Troligt är att eleverna till en början uttrycker i sig i termer av chans eller risk. Inledande aktivitet Innan ni börjar med det första försöket är det bra att försöka skapa en gemensam språklig bas för slumpbegreppen så att lektionen kan bygga vidare på det eleverna redan kan. Börja med att fråga vad eleverna vet om begreppet slump. Känner de till ordet? Vad associerar de ordet till? När används det? Kan de ge exempel? Kan de ge exempel på något som inte är slumpmässigt? Tillvägagångssätt Alla försök genomförs på samma sätt: 1) Presentera och visa hur försöket går till. Ställ frågor om vad eleverna tror och försök fånga upp alla olika uppfattningar som eleverna ger uttryck för utan att värdera dem. Frågorna som finns föreslagna är formulerade utifrån försöket med tärningar men kan enkelt anpassas till andra utfallsrum. Be gärna eleverna förklara varför de tänker som de gör, be dem ge ett argument. 2) Låt eleverna utföra försöket på egen hand, enskilt eller i par eller grupp. Ofta är det enklast för eleverna att arbeta parvis med den här typen av experiment. Låt dem först göra två eller tre försök, avbryt och be dem nu fundera över vad de tror, och om de kanske vill ändra vad de trodde först och i så fall varför. 3) Låt eleverna göra många försök och bokföra sina resultat i en tabell. Samtala även om hur resultaten ska bokföras. Ett tips är att låta varje försöksomgång vara 10 försök eftersom sammanställningen då görs i jämna tiotal. 4) Sammanställ allas resultat på tavlan och för ett samtal kring de frågor som finns föreslagna till varje försök. Spara gärna bokföringen så att era resultat kan användas i modulens senare del som handlar om statistik. Första försöket: Två möjliga händelser med lika sannolikhet Här ges eleven möjlighet att utforska händelser där slumpen avgör utfallet i en situation där sannolikheten för att de två olika händelserna ska inträffa är lika stor. Välj en slumpgenerator och undersök ett av följande utfallsrum: - En vanlig tärning där vi tittar på händelserna udda eller jämna tal. 3 (8)

4 - En omärkt tärning där tre av sidorna ges ett värde och tre att annat. - Lyckohjul med två olika färger som täcker halva ytan vardera (se bilaga). - En påse med kulor av två färger, lika många av varje. En kula dras ur påsen vid varje försök (se bilaga). - En bricka med två olika sidor (se bilaga). Förslag på frågor i början: - Hur stor är sannolikheten att få ett jämnt tal? - Är det lika troligt att jag får ett jämnt eller ett udda tal eller är den ena mer troligt än det andra? - Om jag gör försöket en gång till, tror du då att jag får samma resultat som första gången? - Om jag gör försöket tio eller hundra gånger, hur många gånger kommer jag då att få jämna tal och hur många gånger kommer jag att få udda tal? Varför tror du det? Förslag på frågor i slutet: - Titta på resultatet: Blev det som vi trodde? Varför blev det så här? - Vad är det som avgör om vi får ett udda eller ett jämnt tal? - Hur skulle vi kunna ändra på försöket så att det inte blir slumpen som avgör resultaten? (exempelvis lägga ner tärningen istället för att kasta den) - Hur skulle vi kunna ändra försöket så att det inte blir lika stor sannolikhet att få jämna tal som udda tal? (exempelvis göra en tärning där det finns fler udda än jämna tal: om eleverna har förslag här så fånga upp dem och ta dem som utgångspunkt för att testa om det stämmer, om eleverna inte har några förslag här så avstå från att ge dem själv och gå istället vidare till andra försöket) Andra försöket: Två möjliga händelser med olika sannolikhet. I det här försöket får eleverna utforska sannolikheten i en situation där de olika händelserna har olika sannolikhet. Begreppen möjliga, omöjliga och troliga utfall kan behöva införas. Att händelserna har olika sannolikhet kan antingen bero på att en händelse är resultatet av flera olika utfall och därför kommer att inträffa oftare än en annan händelse eller att föremålet inte är symmetriskt. Undersök ett av följande utfallsrum: - En vanlig tärning där vi tittar på sannolikheten för de två händelserna: en sexa eller inte en sexa. 4 (8)

5 - Två vanliga tärningar där vi tittat på sannolikheten att få samma tal på det två tärningarna, eller olika tal. - En omärkt tärning där en eller två av de sex sidorna ges ett värde och övriga sidor ges att annat. - Lyckohjul med två olika färger som täcker olika stor del av den totala ytan (se bilaga). - En påse med kulor av två färger, olika fördelning av de två färgerna till exempel 2 gula och 4 röda. En kula dras ur påsen vid varje försök (se bilaga). - Två brickor kastas. Vi tittar på händelsen att båda landar med en viss sida upp, till exempel båda med blå sidan upp, ställt mot alla andra möjliga utfall. - Kast med en toalettpappersrulle för att se hur den landar. Vi tittar på de två händelserna att den lägger sig eller att den ställer sig på högkant. 5 (8)

6 Förslag på frågor i början: - Vilka utfall är möjliga att få? När detta är utrett är det viktigt att klargöra vilka två händelser som ska jämföras: sexa eller inte sexa. - Hur stor är sannolikheten att få en sexa? Är det lika troligt att jag får en sexa som att jag inte får en sexa, eller är den ena mer troligt än det andra? Varför? - Om jag gör försöket en gång till, hur stor är sannolikheten då att jag får samma som första gången? Har det någon betydelse för andra försöket om jag fick en sexa första gången? Varför? - Om jag gör försöket tio eller hundra gånger, ungefär hur många gånger kommer jag då att få en sexa? Varför tror du det? Förslag på frågor i slutet: - Titta på resultatet: Hur blev det? Blev det som vi trodde? Varför blev det så här? - Vad är det som avgör om vi får en sexa? Är det slumpen eller beror det på något annat? - Om jag gör försöket många gånger, kan det då bli så att jag får en sexa fyra gånger i rad? Varför? Kan jag få en sexa tio gånger i rad? Tredje försöket: Tre möjliga händelser med olika sannolikhet. I det här försöket görs utfallsrummet mer komplext och mindre överskådligt. Begreppen möjliga, omöjliga och troliga utfall blir nu nödvändiga. Välj en slumpgenerator och undersök ett av följande utfallsrum: - Två vanliga 6-sidiga tärningar där vi tittar på sannolikheten att få summan 7, en summa som är lägre än 7 eller en summa som är högre än 7. - En omärkt tärning med tre olika värden: ett värde finns på en sida, nästa värde finns på två sidor och det tredje värdet finns på tre sidor. - Lyckohjul med tre olika färger som täcker olika stor del av den totala ytan. - En påse med 12 kulor av tre färger, olika fördelning av de tre färgerna (2, 4, 6). En kula dras ur påsen vid varje försök och läggs sedan tillbaka. Vi tittar på sannolikheten att 6 (8)

7 få en viss färg. - En påse med 12 kulor av tre olika färger och 4 av varje färg (exempelvis gula, blå och röda). Två kulor dras ur påsen vid varje försök och läggs sedan tillbaka. Vi tittar på sannolikheten att få olika kombinationer med gul: ingen gul, en gul eller två gula. - Fyra brickor kastas. Vi tittar på händelserna att alla landar med samma sida uppåt, att det blir två av varje eller att det blir en med den ena sidan och tre med den andra sidan. Frågor i början: - Vilka utfall är möjliga att få? - Vilka utfall är troliga att få? - Vilka händelser undersöker vi? - Hur stor är sannolikheten för de olika händelserna? - Vilken händelse är mest sannolik? Vilken är minst sannolik? Varför? Frågor i slutet: - Titta på resultatet: Hur blev det? Blev det som vi trodde? Varför blev det så här? - Vad är det som avgör utfallet? Är det slumpen eller beror det på något annat? - Vad skulle hända om vi istället. Fler försök: Många möjliga händelser med olika sannolikhet Det finns ingen gräns för hur svåra experiment vi kan göra. Låt gärna eleverna vara kreativa och hitta på ett eget utfallsrum att undersöka. Om utfallsrummet är komplext är det extra viktigt att börja experimentet med att fundera på vilka utfall som är möjliga och omöjliga. Här är förslag på några lite mer komplexa utfallsrum: - Två vanliga 6-sidiga tärningar där vi tittar på sannolikheten att få alla de olika summor som är möjliga: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 och (8)

8 - En påse med 12 kulor av tre olika färger och olika antal av varje färg, exempelvis 2 gula, 4 blå, 6 röda. Två kulor dras ur påsen vid varje försök. Vi tittar på sannolikheten att få olika kombinationer: två gula, två blå, två röda, gul & blå, gul & röd, blå & röd. - Kast med ett oliksidigt objekt, till exempel en oliksidig legobit eller träkloss eller ett monopolhus som kan landa på golvet, taket, långsidan eller gaveln. Planera aktivitet Välj ett av försöken som är lämpligt att arbeta med i era klasser. Sammanställ gemensamt en lista på de olika uppfattningarna om slump som ni tror att ni kommer att kunna se i era elevers resonemang. Spara listan för att använda i moment C. När ni sedan genomför aktiviteten ska ni fokusera på följande: vilka uppfattningar om slump som eleverna ger uttryck för vilka argument som eleverna bygger sina resonemang på hur ni formar undervisningen genom de uppgifter ni använder hur ni formar undervisningen utifrån de didaktiska strategierna ni fick med er från del 2. Matematiska begrepp som är centrala i den här aktiviteten Slump vi kallar en händelse som vi inte kan förutsäga för slumpmässig. Slumpgenerator ett redskap som skapar olika utfall på ett slumpmässigt sätt. Utfall och Händelse en händelse kan vara säker, möjlig eller omöjlig. Sannolikhet ett mått på hur troligt det är att en viss händelse inträffar. Mer vardagligt uttryckt som hur stor chans eller risk det är att det inträffar. Uttrycks som ett tal mellan 0 och 1 eller i procent. 8 (8)