Addition och subtraktion generalisering

Transkript

1 Modul: Algebra Del 8: Avslutande reflektion och utvärdering Addition och subtraktion generalisering Håkan Lennerstad, Blekinge Tekniska Högskola & Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet Detta lärandeobjekt handlar om att få elever att samtala om och förstå vad som skiljer addition och subtraktion. Vi ger ett antal exempel som man kan använda för att få syn på vad som skiljer addition och subtraktion. En viktig skillnad är att addition lyder den kommutativa lagen men inte subtraktion man måste vara noga med i vilken ordning man skriver talen i en subtraktion. Följande problem med golvplattor är valt så att man kan se negativa tal på ett konkret sätt som luckor i golvet utan att därmed fördjupa sig i negativa tal. Syftet är att se skillnaden mellan addition och subtraktion, där subtraktioner ibland leder till högar av plattor och ibland till luckor i golvet. Man behöver alltså inte ta upp negativa tal, man kan tala om plattor och luckor. Golvplattor addition och subtraktion Sandra har just flyttat in i ett nybyggt radhusområde. I alla husen lägger man just nu golvplattor i badrummet. Alla husen använder samma typ av sandgula plattor. De är kvadratiska, ganska små och lätta att lägga. De var mest populära bland de inflyttande familjerna när man gjorde valet av plattor för ett halvår sedan. Alla hus har inte fått lika många plattor. Alla familjer har lagt ut plattorna i sina badrumsgolv, men man har inte satt fast dem ännu man kan flytta om dem. I några hus står det en stapel med överblivna plattor vid sidan om dörren. I andra hus fattas det flera plattor på golvet. Så här är det hos Sandra, Aron, Siri, Bertil och Karin: I Sandras hus har de en stapel med 4 överblivna plattor. I Arons hus saknas det fyra plattor på golvet här finns fyra luckor. I Siris hus saknas det 6 plattor på golvet. I Bertils hus finns en stapel med 6 överblivna plattor. Fråga 1: Om Sandras familj ger plattor till Arons så deras golv blir klart, hur många plattor har Sandra kvar? Hur kan beräkningen skrivas upp matematiskt? (4 4 = 0 Fråga 2: I morgon ska Siris mormor komma på besök, och de vill gärna kunna visa ett färdigt badrumsgolv då. Kan Sandra ge 6 plattor till dem, om hon inte tar upp några plattor från golvet? Kan hon göra det om hon får ta upp plattor från golvet? Vilken subtraktion svarar det mot? Hur många plattor eller luckor på golvet har Sandra kvar efteråt? (4 6 = -2, tolkas som att hon har 4, tar bort 6 och får därför 2 luckor 1 (7

2 Fråga 3: Om Arons familj får de plattor de behöver från Bertils hus, hur många finns det kvar i Bertils hus efteråt? Kan Bertil ge 4 plattor till Arons familj om han inte tar upp några plattor från golvet? Vilken subtraktion svarar det mot? (6 4 = 2. Fråga 2 och 3 illustrerar att ordningen är viktig i subtraktion, att det är skillnad mellan 6 4 och 4 6. Fråga 4: Sandra kommer till Bertils hus. Hur många plattor blir det tillsammans om hon tar med sig sina plattor till Bertils hus och lägger ovanpå Bertils stapel (6 + 4? Han säger då att han tänkt ta med sina till Sandras hus och lägga ovanpå hennes stapel ( Blir det lika många? Detta illustrerar den kommutativa lagen för addition: om man adderar två tal spelar ordning man gör det i ingen roll för resultatet. Denna mening kan tolkas på olika sätt, men matematiskt svarar det mot a + b = b + a för alla tal a och b. Många praktiska situationer (med olika ordningar för additionen svarar mot samma addition. I så fall är ordningen oviktig. Det är det den kommutativa lagen säger. Att förstå subtraktion och att skriva den För elever är det inte svårt att skilja på att ha 6 objekt och ta bort 4, jämfört med att ha 4 och ta bort 6. Man kan ändå ha svårt med hur en differens skrivs, eftersom läsriktningen från vänster till höger inte alltid är helt etablerad i åk 1-3. Det betyder att 6 4 och 4 6 kan uppfattas som samma sak. Att addition är kommutativt innebär dessutom att läsriktningen i addition är oviktig (6 + 4 = vilket kan spilla över på hur man läser av subtraktion. Denna svårighet understryks av att ordet skillnad i vardagsspråket nästan alltid saknar riktning. Vi talar ofta om skillnad som den positiva skillnaden man förväntar sig då det största talet minus det minsta. Det som i matematiken blir ett tecken är en riktning som klargörs i språket. Om en pinne är 3 cm lång och en annan 5 cm, hur stor är skillnaden? Pinnars längd är aldrig negativa och svaret på frågan är alltid 2 cm. Vill man ha med en riktning i sin jämförelse så frågar man inte efter skillnaden utan efter vilken som är kortare eller längre, till exempel: Hur mycket kortare är den första pinnen (på 3 cm än den andra (på 5 cm? Svaret blir 2 cm. Det är viktigt att eleverna förstår att subtraktion matematiskt betyder skillnad med tecken, a b och b a är inte samma sak (om inte a och b är lika. Det är helt tillåtet och okej att ha en annan tolkning av ordet skillnad i vardagssammanhang, det har både barn och vuxna, men det är viktigt för elevernas fortsatta lärande när de så småningom ska kunna hantera negativa tal att de inte tror att subtraktion alltid måste vara det största talet minus det minsta bara för att man oftast tänker så i vardagssituationer. Den matematiska termen för resultatet av en subtraktion är differens. Kanske vore det lättare för eleverna om ordet differens används lite oftare, så att vardagsassociationer till ordet skillnad inte får för stort inflytande. Subtraktion är antikommutativ Matematiskt kallas subtraktion antikommutativ eftersom a b har ombytt tecken jämfört med b a, alltså a b = (b a gäller alltid. Man kan förstås också säga ickekommutativ. Nedanstående tabell illustrerar olika situationer där subtraktion uppstår, och hur subtraktionen kan tolkas. 2 (7

3 Dynamisk situation Jag har 5 kulor och ger bort 3 till: 5-3=2 Då kommer jag att ha 2 kvar. Jag har 3 kulor och ger bort 5 till: 3-5=-2 Det går inte för det kommer att fattas 2. lätt att se att de inte ger samma resultat, dvs att subtraktion inte är kommutativt. På tallinjen: (tal som punkter och rörelse Jag står på 5 och går 3 steg bakåt och hamnar på 2: 5-3=2 Jag står på 3 och går 5 steg bakåt och hamnar två steg under noll: 3-5=-2 lätt att se att de inte ger samma resultat, dvs att subtraktion inte är kommutativt. Statisk situation Det sitter 5 barn vid ett bord och 3 barn vid ett annat bord. Hur många fler barn är det vid ena bordet än vid det andra? 5 3 = 2 Detta är ett exempel på skillnad som det största minus det minsta talet, det är underförstått att frågan inte avser 3-5= -2. Längder: (tal som sträcka En pinne är 5cm lång och en annan är 3 cm lång. Hur stor är skillnaden? 5-3=2 Här betraktar man subtraktion som skillnad i ett vardagssammanhang och skillnaden beräknas genom att man tar det största minus det minsta talet. I en dynamisk situation sker en förändring, vilket inte sker i en statisk situation. Det ger skilda förutsättningar för att beskriva och förstå subtraktion. Subtraktionens antikommutativitet är i allmänhet lättare att förstå i dynamiska situationer. Alla vardagssituationer där skillnaden alltid beräknas som differensen av det största minus det minsta talet utgör statiska situationer för subtraktion med naturliga tal. Elever behöver få uppleva subtraktioner med en negativ differens. Man kan lätt tro att elever inte möter subtraktioner med en negativ differens under åk 1-3 men så är det inte. Så snart man kommer till subtraktion av flersiffriga tal hamnar man i negativa differenser. Dessa kan hanteras på olika sätt. I en traditionell uppställning av till exempel är den första delen operationen att ta 3 8. Det finns olika sätt att prata om detta, till exempel 3 8 det går inte så vi får växla (låna från tiotalet. 3 8 det fattas 5 som vi tar från ett av tiotalen. Räknar man en algoritm med någon sorts mellanled och tal sorterna för sig så bokför man ofta 3 8 = 5. Om man inte vill införa negativa tal så hamnar man i svårigheter och uttolkar 5 som fem kvar att subtrahera. Massiv forskning inom området subtraktion visar att det allra vanligaste felet elever gör är att bortse från ordningen och lösa 3 8 = 5. Här handlar det om att dels uppmärksamma eleverna på subtraktionens antikommutativitet, men också om att skapa ett språk som eleverna kan använda för att prata om den negativa differensen som uppstår. Addition är kommutativ Nedanstående tabell illustrerar olika situationer där addition uppstår, och hur additionen kan tolkas. I en dynamisk situation sker en förändring, vilket inte sker i en statisk situation. 3 (7

4 Det ger skilda förutsättningar för att beskriva och förstå addition. Additionens kommutativitet är i allmänhet lättare att förstå i statiska situationer. Dynamisk situation Jag har 5 kulor och får 3 till: 5+3=8 Jag har 3 kulor och får 5 till: 3+5=8 inte intuitivt självklart att slutresultatet kommer att vara detsamma. På tallinjen: (tal som punkter och rörelse Jag står på 5 och går 3 steg framåt och hamnar på 8: 5+3=8 Jag står på 3 och går 5 steg framåt och hamnar på 8: 3+5=8 inte intuitivt självklart att slutresultatet kommer att vara detsamma. Statisk situation Det sitter 5 barn vid ett bord och 3 barn vid ett annat bord. Hur många barn finns det tillsammans? 5+3=3+5=8 Här brukar det vara lätt att se att det måste vara lika många barn oavsett vilket bord jag börjar räkna på. Längder: (tal som sträcka En pinne är 5cm lång och en annan är 3 cm lång. Hur långa är de ihop? 5+3=3+5 Här är det lätt att förstå att pinnarna måste vara lika långa tillsammans oavsett vilken jag lägger först. Att upptäcka kommutativitet I ett projekt som hette Hur många av varje? fick eleverna veta att de hade nio grönsaker (Kaput et al., 2008, sid Men grönsakerna var av två olika sorter, morötter och rödbetor, och de skulle ta reda på hur många det kunde vara av vardera. Flera elever upptäckte ganska snabbt att om det var 5 morötter och 4 rödbetor kunde det också vara 4 morötter och 5 rödbetor. De skrev = 9 och = 9, och flera menade att det måste gälla även för större tal. Detta är en början till att förstå additionens kommutativitet. Senare frågades det om = gäller, men då blev svaret Nej, det fungerar inte. Eleverna menade då att 4 morötter och 5 rödbetor inte var samma sak som 5 morötter och 4 rödbetor. För att acceptera kommutativiteten här behöver eleverna inse att den matematiska additionen 4+5=5+4 bara säger något om antalet, och att det man räknar måste kunna ses som samma sak. I båda fallen var antalet grönsaker lika många. Några elever ansåg att inte är samma som eftersom talen står i olika ordning. De har förstås rätt i detta, så därför är det viktigt att elever förstår att likhetstecknet i = säger något som talets värde, och inte om andra skillnader i skrivsätt. Frågan Är och samma? är diffus, vilket den förstås kan vara i en dialog där man har alla möjligheter att förtydliga vid behov. Tänkbara kritiska aspekter och förslag på aktiviteter För att elever ska förstå strukturen i addition och subtraktion är det vissa saker som de behöver upptäcka. Här är förslag på några aspekter som skulle kunna vara kritiska för dem att urskilja. För att eleverna ska få syn på de kritiska aspekterna behöver dessa varieras och kontrasteras på ett systematiskt sätt. De förslag som ges här bygger alla på arbete med tall- 4 (7

5 Addition Grundskola åk 1-3 linjen, där talen kan ses antingen som punkter, rörelser, eller sträckor. Exemplen som givits i texten (plattor, fotbollsmatch osv. går givetvis också att använda. 1: När vi skriver additioner och subtraktioner skapar vi likheter där antalet (det numeriska värdet är lika, inte andra saker. Till exempel är 4 bilar och 5 bussar lika många som 5 bilar och 4 bussar, även om det är olika sorter. Detta behandlades i texten om likhetstecknet i del 5. 2: Addition är kommutativ. Ordningen i addition spelar ingen roll. För att förstå detta behöver eleven få uppleva statiska additionssituationer. Detta innehåll blir synlig i statiska situationer där tal illustreras som sträckor eller rörelser på tallinjen, men inte som punkt och rörelse. Rita upp en tallinje och be sedan eleven rita additioner antingen genom två sträckor eller genom två hopp. Illustrationen och resonemanget bör landa på att de olika additionerna illustrerar samma totala sträcka/rörelse. Förslag på additioner att illustrera på tallinjen: och och och och och ! låt sedan eleverna hitta på. 3: Subtraktion är antikommutativ. I subtraktion spelar ordningen roll. Här är det viktigt att befästa läsordningen från vänster till höger och veta att den är viktig i subtraktion, liksom att eleverna får uppleva dynamiska subtraktionssituationer. Detta innehåll blir synligt om du arbetar med dynamiska situationer där talen är punkter på tallinjen och en subtraktion av ett tal illustreras med en rörelse åt vänster på tallinjen. Kontrastera två subtraktioner med samma ingående tal. Notera att du nu måste utöka talområdet till vänster om talet 0 på tallinjen. Det finns något där. Det är en bra början för eleverna att förstå negativa tal som tal till vänster om talet 0 eller som något som fattas. Då har de något att bygga på den dag de ska börja operera med negativa tal. Historiskt sätt var det den enda förståelsen man hade av negativa tal under flera tusen år. 5 (7

6 Grundskola åk 1-3 Tallinjersubtraktion och och 6 3 Förslag på subtraktioner att illustrera på tallinjen: 0 10 och och och : Vardagsspråkets skillnad och subtraktionens differens är inte samma sak. När vi i vardagssituationer frågar efter skillnaden menar vi alltid det större taket minus det mindre, men i subtraktion är det inte alltid så. I subtraktion kan det mindre talet komma först och då blir differensen negativ. Detta kan bara bli synlig genom det sätt subtraktion pratas om i klassrummet. 5: Addition och subtraktion hänger ihop, de är varandras motsatta (inversa operationer. Subtraktion är omvändningen till addition, och tvärtom. Det kan skrivas matematiskt som att a + b = c är ekvivalent med c a = b. Det är en ekvivalens där man kan gå åt båda hållen. Det ena hållet är subtraktionen som additionens omvändning, det andra är tvärtom. Exempel: Sandra adderade de sex plattor som hon fick av Bertil till de hon redan hade, och hon hade då tio. Men hon har råkat glömma hur många hon hade från början. Kan hon ta reda på det? Hur ska hon tänka, och hur kan hon skriva upp det? Hon kan tänka i bilder, eller med en subtraktion (det finns säkert flera sätt. Med 10 6 = 4 får hon då tillbaka antalet från additionen = 10 hon gjorde tidigare. Exempel: Eva saknade tre plattor, så Sandra gav tre till henne, och hon har nu en enda kvar. Även nu har Sandra glömt hur många hon hade från början. Kan hon räkna ut det? Hur ska hon tänka, och skriva upp det? 6 (7

7 Ja, genom att addera tre till den enda: = 4. Det var fyra. Med en addition kan hon rekonstruera den tidigare subtraktionen 4 3 = 1. Konstruera andra exempel, gärna med något svårare siffror, där eleverna behöver addera för att återskapa en del av en subtraktion, och tvärtom. Referenser Kaput, J., Carraher, D., & Blanton, M. (Eds.. (2008. Algebra in the early grades. New York: Routledge. 7 (7