MÖNSTER OCH TALFÖLJDER

Transkript

1 MÖNSTER OCH TALFÖLJDER

2 FÖRELÄSNINGENS INNEHÅLL OCH SYFTE Genomgång av viktiga matematiska begrepp, uttryck och symboler med anknytning till mönster och talföljder. Skälet till att välja detta innehåll är att de matematiska begreppen, uttrycken och symbolerna är användbara när vi planerar och undersöker undervisning och lärande. Genomgång av vad undervisningen om mönster och tal handlar om i förskolan och skolan. 2

3 MÖNSTER OCH TALFÖLJDER Mönster = regelbundenhet, återkommande drag hos något Talföljd = en mängd med tal som följer på varandra Exempelvis, 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 2, 4, 6, 8, 10 3, 8, 7, 23, 19, 4, 2 Talföljder kan vara ändliga som i exemplen ovan. Talföljder kan också vara oändliga, vilket markeras med Exempelvis 0, 2, 4, 6, 8, 10, 3

4 MÖNSTER OCH TALFÖLJDER Grundläggande notation. Den första positionen i en talföljd betecknas ofta a 0 (ibland a 1 ). Den andra positionen betecknas a 1, den tredje a 2 o s v.. a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a Två intressanta typer av talföljder som är relevanta för skolan är aritmetiska och geometriska talföljder. Hos dessa kan vi urskilja mönster. 4

5 ARITMETISK TALFÖLJD Aritmetisk talföljd. En följd av tal där differensen mellan ett tal i följden och det närmast föregående alltid är lika stor. Exempel 1 0, 1, 2, 3, 4, 5 Exempel 2 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 Aritmetiska talföljder kan beskrivas med formeln a n = a 0 + n d d = differensen mellan talen Talföljden i Exempel 2 kan beskrivas med formeln a n = 1 + n 3 d = 3, a 0 = 1 5

6 GEOMETRISK TALFÖLJD Geometrisk talföljd. En följd av tal där kvoten mellan ett tal i följden och det närmast föregående alltid är lika stor. Exempel 1 1, 2, 4, 8, 16, 32 Exempel 2 1, 1/3, 1/9, 1/27, 1/81 Geometriska talföljder kan beskrivas med formeln a n = a 0 k n k = kvoten mellan talen Talföljden i Exempel 1 kan beskrivas med formeln a n = 1 2 n k = 2, a 0 = 1 6

7 GENERELLA OCH REKURSIVA FORMLER Talföljder kan beskrivas med två typer av formler: generella formler och rekursiva formler. Den rekursiva formeln beskriver sambandet mellan ett tal och de föregående talen. Det kan vara flera föregående tal, men också bara det närmast föregående talet. Den allmänna formeln beskriver samtliga n stycken tal i en talföljd. 7

8 GENERELLA OCH REKURSIVA FORMLER Exempel 1 5, 10, 15, 20, 25 Rekursiv formel a n = a (n-1) + 5 a 1 =5 Allmän formel a n = n Exempel 2 3, 9, 27, 81, 243 Rekursiv formel a n = 3 a (n-1) a 1 =3 Allmän formel a n = 3 n Observera att dessa samband kan uttryckas på ett mer retoriskt eller muntligt vis, vilket ju är att föredra i de tidiga skolåren. 8

9 ÖVNING: FORMULERA EN REKURSIV FORMEL OCH EN ALLMÄN FORMEL 9

10 ÖVNING: FORMULERA EN REKURSIV FORMEL OCH EN ALLMÄN FORMEL 10

11 FRÅGOR OM TALFÖLJDER Är alla talföljder aritmetiska eller geometriska? Nej, många av de talföljder vi stöter på i t ex läroböcker är varken eller. Kan alla talföljder beskrivas med en allmän formel eller en rekursiv formel? Nej, i vissa fall går det inte. I vissa fall är det svårt att bestämma dem. Detta måste du som lärare vara medveten om när du konstruerar egna uppgifter. 11

12 EKVIVALENTA UTTRYCK Vissa ekvationer eller formler ser olika ut, men likheten gäller (är sann) för samma värden på de ingående variablerna. Ekvationerna eller formlerna är då ekvivalenta. Exempel a n = 3n + 6 a n = (2+n) 3 Ekvivalens kan även gälla muntliga uttryck. Exempel Tänk på ett tal. Multiplicera med tre. Addera med sex. Tänk på ett tal. Addera med två. Multiplicera med tre. 12

13 EKVIVALENTA UTTRYCK Observera att det är enklare att undersöka ekvivalens när samband uttrycks i algebraisk form än när de uttrycks i muntlig eller retorisk form. Exempel a n = 3n + 6 a n = (2+n) 3 Exempel Tänk på ett tal. Multiplicera med tre. Addera med sex. Tänk på ett tal. Addera med två. Multiplicera med tre. Varför är det så? 13

14 TALFÖLJDER I FÖRSKOLAN OCH SKOLAN Vad innebär det då att studera talföljder och mönster i förskolan och skolan? Suggate m fl (2010) ger exempel på olika typer av övningar. Fortsätta talföljder som följer ett visst mönster, både uppåt och neråt på tallinjen Formulera en regel eller ett samband mellan två följder av tal Konstruera magiska gåtor, s k THOANS Tänk på ett tal. Multiplicera med två. Addera med sex. Multiplicera med två. Dividera med fyra. Dra bort det tal du tänkte på. Svaret är då tre. 14

15 PROBLEMSTÄLLNINGAR OCH LÖSNINGSSTRATEGIER På s. 158 i Suggate (2010) beskrivs olika steg i undersökningen av talföljder och mönster. De kan också ses som exempel på olika problemställningar och lösningsstrategier. Vi kan alltså utifrån de olika stegen anpassa en uppgift till olika elever genom att formulera olika typer av problem. Vi undersöker vad Suggates olika steg motsvarar i följande uppgift. 15

16 EXEMPEL PÅ OLIKA PROBLEM OCH LÖSNINGAR 16

17 EN ANVÄNDBAR STRATEGI En strategi som ofta är användbar, men som inte nämns så tydligt i Suggate (2010), är att undersöka skillnaderna mellan talen i en talföljd. Här kan man hitta intressanta mönster, vilka ibland leder vidare till en lösning. Det gäller till exempel lösningen av följande uppgift. 17

18 EXEMPEL PÅ OLIKA PROBLEM OCH LÖSNINGAR 18