F3 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT ) För komplementhändelsen A till händelsen A gäller att

Transkript

1 Stat. teori gk, ht 2006, JW F3 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT ) Ordlista till NCT Complement rule Addition rule Conditional probability Multiplication rule Independent Komplementsatsen Additionssatsen Betingad sannolikhet Multiplikationssatsen Oberoende Komplementsatsen För komplementhändelsen A till händelsen A gäller att P( A) P( A) Ex.: Fyra personer skall väljas genom OSU från en population bestående av fem män och tre kvinnor. Vad är slh att minst en kvinna blir vald?

2 Additionssatsen För två händelser A och B gäller att P(A B) P(A) + P(B) P(A B) Specialfall: Om A och B är disjunkta, så är P(A B) P(A) + P(B) Ex.: Vid tillverkning av en produkt kan två slags fel, A och B, uppkomma, ibland båda felen tillsammans. Vi vet att P(A) 0,0, P(B) 0,02 och P(A B) 0,005. a) Vad är slh att en produkt skall ha minst ett av de två felen? b) Vad är slh att en produkt skall vara felfri? c) Vad är slh att en produkt skall ha exakt ett fel? 2

3 Betingad sannolikhet Ibland vill vi veta hur stor sannolikheten är för en händelse B, ifall vi vet att en annan händelse A redan har inträffat. Detta kallas för den betingade sannolikheten för B, givet att A har inträffat. Betecknas P(B A). Den betingade sannolikheten för B, givet A, definieras som: P( B A) P( A B) P( A) (Förutsättning: P(A) > 0) Ex.: För en population av människor gäller att 40% är män och 60% kvinnor. Vidare vet vi att 28% är rökare (8% manliga rökare och 20% kvinnliga rökare). En person väljs slumpmässigt från populationen (dvs. med lika sannolikhet för alla att bli vald). a) Vad är sannolikheten att den valda personen skall vara rökare? 3

4 b) Vad är den betingade sannolikheten att den valda personen skall vara rökare, givet att det är en man? c) Vad är den betingade sannolikheten att den valda personen skall vara rökare, givet att det är en kvinna? d) Vad är den betingade sannolikheten att den valda personen skall vara en kvinna, givet att det är en rökare? e) Vad är sannolikheten att den valda personen skall vara en kvinnlig rökare? Ex.: Skål I innehåller 5 svarta och 5 vita kulor. Skål II innehåller svart och 4 vita kulor. Vi väljer slumpmässigt en skål. Därefter väljer vi slumpmässigt en kula ur den valda skålen. Vad är den betingade sannolikheten att få en svart kula, givet att vi fått skål I? OBS I det senaste exemplet följer den betingade sannolikheten direkt ur förutsättningarna. Illustration: Träddiagram. 4

5 Multiplikationssatsen Från definitionen av betingad sannolikhet följer direkt den s.k. multiplikationssatsen, som säger: För två händelser A och B gäller att P(A B) P(A) P(B A) P(B) P(A B) Kan generaliseras till fler än två händelser: etc. P(A B C) P(A) P(B A) P(C A B) Ex.: I ett parti med 00 enheter finns 5 som är felaktiga. Man väljer en enhet slumpmässigt från de 00, och därefter ytterligare en enhet slumpmässigt från de 99 återstående. Vad är sannolikheten att de valda enheterna båda är felaktiga? Låt A Först valda enheten felaktig Låt B Andra valda enheten felaktig Det frågas efter P(A B). Forts. 5

6 Vi vet här att P(A) 5/00 och P(B A) 4/99 (Om den första var felaktig, så återstår vid andra dragningen 99 enheter, varav 4 är felaktiga.) Multiplikationssatsen ger P(Båda felaktiga) P(A B) P(A) P(B A) Den sökta slh kunde alternativt ha erhållits så här: P(A B) 5 95 ( )( ) ( )

7 Oberoende händelser Ordet oberoende kan betyda olika saker. Vi skall här tala om sannolikhetsteoretiskt oberoende mellan händelser: Två händelser, A och B, sägs vara oberoende (i sannolikhetsteoretisk mening), om det gäller att P(A B) P(A) P(B) Oberoende innebär bl.a. att P(A B) P(A B ) P(A). Intuitivt: Slh att A skall inträffa påverkas inte av om B har inträffat eller ej. Ex.: Två kast med en tärning. Vi anser att vad som sker i andra kastet inte påverkas av vad som skett i första kastet. Låt A Sexa i första kastet och B Sexa i andra kastet. A och B antas här oberoende. Då blir P(Sexa i båda kasten) P(A B) P(A) P(B) (/6)(/6) /36 7

8 OBS Om A och B är oberoende, så gäller också oberoende mellan A och B, mellan A och B och mellan A och B. Ex.: Vad är slh att inte få någon sexa vid två kast med en tärning? P( AI B ) P( A ) P(B ) (5/6)(5/6) 25/36 Begreppet oberoende händelser kan generaliseras till fler än två händelser. Vi nöjer oss med att säga: Om A, A 2,, A k är oberoende, så gäller att P(A A 2 A k ) P(A ) P(A 2 ) P(A k ) [OBS Bokens definition på sid. 02 är felaktig.] Ex.: Tio kast med en tärning. Vad som sker i ett kast antas inte påverka övriga kast. P(Tio sexor) (/6) 0 P(Ingen sexa) (5/6) 0 P(Minst en sexa) P(Ingen sexa) (5/6) 0 8

9 Ex.: Vi vet att P(A) 0,5 och P(B) 0,2. Vad är P(A B), ifall A och B antas vara (a) varandra uteslutande; (b) oberoende? a) När A och B är varandra uteslutande, är P(A B) Pr( ) 0, b) När A och B är oberoende, är P(A B) P(A) P(B) 0,5 0,2 0, Ex.: (forts.) Vi vet fortfarande att P(A) 0,5 och P(B) 0,2. Vad är P(A B), ifall A och B antas vara (a) varandra uteslutande, (b) oberoende? a) Enl. additionssatsen gäller generellt att P(A B) P(A) + P(B) P(A B) När A och B är varandra uteslutande blir P ( A B ) { P ( A ) + { P ( B ) 0,5 0,2 ( ) P 4243 A B 0 0,7 b) När A och B är oberoende, blir P ( AU B ) { P ( A ) + P { ( B ) 0,5 0,2 ( ) P 4243 AI B 0, 0,6 9

10 Satsen om total sannolikhet I vissa problem känner vi den betingade sannolikheten för en händelse B, givet att en annan händelse A har resp. inte har inträffat. Vi kan då få den obetingade sannolikheten för B på följande sätt: För två händelser A och B gäller alltid att P ( B) P( A) P( B A) + P( A) P( B A) Illustrationer: Venn-diagram, träddiagram och tabell (liknande bokens Table 4.). Ex: Skål I innehåller 5 svarta och 5 vita kulor. Skål II innehåller svart och 4 vita kulor. Vi väljer slumpmässigt en skål. Därefter väljer vi slumpmässigt en kula ur den valda skålen. Vad är sannolikheten att få en svart kula? P(Svart kula) P(Skål I) P(Svart kula Skål I) + P(Skål II) P(Svart kula Skål II) (/2)(5/0) + (/2)(/5) 7/20 0,35 0

11 Satsen om total sannolikhet: Låt A, A 2,, A k vara parvis disjunkta händelser, som dessutom är uttömmande (dvs. deras union är lika med hela utfallsrummet). Då är P( B) P( A ) P( B k i i A i Illustrationer: Venn-diagram, träddiagram och tabell. Ex: Tre skolklasser. Den första med 0 pojkar och 0 flickor. Den andra med 8 pojkar och 2 flickor. Den tredje med 6 pojkar och 4 flickor. Först väljs en klass slumpmässigt. Sedan väljs ett barn slumpmässigt från den erhållna klassen. Vad är slh att det valda barnet är en flicka? P(Flicka) P(Klass ) P(Flicka Klass ) ) + P(Klass 2) P(Flicka Klass 2) + P(Klass 3) P(Flicka Klass 3) ,6

12 Kommentarer: Läs själva om odds på sid. 3-4 Hoppa över avsnittet om overinvolvement ratios. 2