1.5 Vad är sannolikheten för att ett slumpvis draget spelkort ska vara femma eller lägre eller knekt, dam, kung eller äss?

Transkript

1 1 ÖVNINGAR I INDUKTIV LOGIK 1.1 En tärning kastas. Ange sannolikheten för att antalet ögon är a) 3 b) inte 3 c) 3 eller 5 d) jämnt e) mindre än 4 f) jämnt och mindre än 4 g) jämnt eller mindre än 4 h) varken 3 eller Man singlar slant två gånger. Ange sannolikheten för att få a) klave båda gångerna b) krona båda gångerna c) krona första gången och klave andra gången d) klave första gången och krona andra gången e) krona en gång och klave en gång 1.3 Man kastar två tärningar. Ange sannolikheten för att summan av antalet ögon är a) åtta b) större än åtta c) mindre än åtta d) högst tre eller minst tio 1.4 Man singlar slant tre gånger. Ange sannolikheten för att få a) klave varje gång b) klave endast när kastet innan givit krona (men det får vara flera krona i rad) c) klave minst två gånger i rad 1.5 Vad är sannolikheten för att ett slumpvis draget spelkort ska vara femma eller lägre eller knekt, dam, kung eller äss? 1.6 Vad är sannolikheten för att ett slumpvis draget spelkort ska vara klöver eller kung? 1.7 Satserna (händelserna) A, B, C och D är oberoende, med Pr(A) = Pr(B) = 0,5 och Pr(C) = Pr(D) = 0,8. Beräkna sannolikheterna för följande satser (händelser): a) A och B b) A och C c) A, B, C och D (dvs. A och B och C och D) d) D men inte A (Tips: använd det faktum att om P och Q är oberoende, så är även P och icke-q oberoende) e) varken B eller C (Tips: använd DeMorgans lag och det faktum att om P och Q är oberoende, så är även icke-p och icke-q oberoende.)

2 2 2.1 En tärning kastas. Ange sannolikheten för att antalet ögon är a) högst 2 b) minst 3 c) minst 2 d) högst 2 och minst 2 e) högst 2 eller minst 3 f) udda g) minst 3 givet udda h) minst 3 och udda. 2.2 Sannolikheterna för att det under en timme ska anlända ett visst antal kunder till ett verktygslager vid ett företag ges av följande tabell. antal anländande kunder > sannolikhet 0,05 0,15 0,22 0,22 0,36 Beräkna sannolikheterna för att det under en timme anländer a) högst två kunder b) minst tre kunder c) åtminstone någon kund d) Hur kan man ha burit sig åt för att komma fram till sannolikheterna i tabellen ovan (t.ex. sannolikheten att det under en timme anländer 2 kunder)? 2.3 I en vanlig kortlek finns det 52 kort, 13 i varje färg. Man drar slumpvis ett kort ur leken. Ange sannolikheterna för följande satser (händelser). a) Man får en spader. b) Man får spader kung (dvs. man får spader och kung). c) Man får en kung. d) Man får inte en kung. e) Man får en kung eller en dam. f) Man får varken en kung eller en dam. g) Man får en kung eller spader. h) Man får varken en kung eller spader.

3 3 2.4 Man kastar ett två mynt två gånger. Ange sannolikheten för att a) man får noll klave b) man får en klave c) man får minst en klave d) man får två klave e) man får en krona eller två krona f) man får klave på första kastet och krona på andra kastet. 2.5 Man kastar ett häftstift två gånger. Sannolikheten för att det vid ett kast hamnar med spetsen upp är 7/10 och sannolikheten för att det hamnar med spetsen ned är 3/10. Ange sannolikheten för att man får a) spetsen upp i inget av kasten b) spetsen upp i ett av kasten c) spetsen upp i minst ett av kasten d) spetsen upp i två av kasten e) spetsen upp i ett av kasten eller i två av kasten f) spetsen upp i det första kastet och spetsen ned i det andra kastet. 2.6 Satserna (händelserna) A och B är sådana att Pr(A) = 0.30 och Pr(B) = 0,40. Vidare gäller att Pr(A B) = 0,58. Är A och B a) oförenliga? b) oberoende? 2.7 Man drar ett kort ur en vanlig kortlek utan att lägga tillbaka det, dvs. utan återläggning, och sedan ytterligare ett. Ange sannolikheten för följande satser (händelser). a) Det första kortet är en hjärter och det andra kortet är en hjärter. b) Det andra kortet är en hjärter. c) Det andra kortet är inte en hjärter givet att det första är en hjärter. d) Minst ett av korten är en hjärter. 2.8 Man drar ett kort ur en vanlig kortlek utan att lägga tillbaka det, dvs. utan återläggning, och drar sedan ytterligare ett. Låt A vara satsen (händelsen) Det första kortet är ruter två och låt B vara satsen (händelsen) Det andra kortet är ruter två. Ange de fyra betingade sannolikheterna Pr(B A), Pr(A B), Pr( A B) och Pr(B A).

4 4 2.9 En urna innehåller tre svarta och två vita kulor. Man drar en kula ur urnan och lägger sedan tillbaka kulan och skakar om urnan. Man drar därefter ännu en gång på en kula ur urnan ( dragning med återläggning ). Ange sannolikheten för att a) den första kulan är vit b) den första kulan är svart c) den andra kulan är vit d) den andra kulan är svart e) den andra kulan är vit givet att den första kulan är vit f) den andra kulan är svart givet att den första kulan är vit g) den första kulan är svart och den andra kulan är vit. h) den första kulan är svart eller den andra kulan är vit i) båda kulorna är svarta j) en kula är vit och en kula är svart 2.10 En urna innehåller tre svarta och två vita kulor. Man drar en kula ur urnan utan att lägga tillbaka den och drar sedan ytterligare en kula ur urnan ( dragning utan återläggning ). Ange sannolikheten för att a) den första kulan är vit b) den första kulan är svart c) den andra kulan är vit d) den andra kulan är svart e) den andra kulan är vit givet att den första kulan är vit f) den andra kulan är svart givet att den första kulan är vit g) den första kulan är svart och den andra kulan är vit. h) den första kulan är svart eller den andra kulan är vit i) båda kulorna är svarta j) en kula är vit och en kula är svart 2.11 Man kastar två tärningar, en röd och en svart. a) Ange sannolikheterna för följande satser (händelser). A: Man får en etta på minst en av tärningarna. B: Ögonsumman är 7. C: Ögonsumman är 8. B A B A C A B A C b) Kan man använda additionsregeln för att beräkna Pr(A B)? c) Kan man använda additionsregeln för att beräkna Pr(A C)?

5 Man kastar två tärningar, en röd och en svart. a) Ange sannolikheterna för följande satser (händelser). A: Man får lika många ögon på den röda tärningen som på den svarta. B: Ögonsumman är minst 7. C: Man får minst 4 ögon på den röda tärningen. A A B A C b) Ange Pr(A B). c) Ange Pr(A C). d) Kan man använda multiplikationsregeln för att beräkna Pr(A B)? e) Kan man använda multiplikationsregeln för att beräkna Pr(A C)? 2.13 Man kastar en tärning. a) Ange sannolikheterna för följande satser (händelser). A: Man får minst 3 ögon. B: Man får ett udda antal ögon. A B b) Är slutledningen A B induktivt giltig? c) Är slutledningen B A induktivt giltig? 2.14 Man kastar två tärningar, en röd och en svart. a) Ange sannolikheterna för följande satser (händelser). A: Man får minst 4 ögon på den röda tärningen. B: Ögonsumman är minst 7. C: Ögonsumman är högst 8. b) Är slutledningen A B induktivt giltig? c) Är slutledningen C A induktivt giltig?

6 Av de bananstockar som importeras till ett visst land kommer 40% från Honduras och 60% från Guatemala. Av de bananstockar som kommer från Honduras innehåller 3% en tarantula (en stor, långhårig och giftig spindel), och av de bananstockar som kommer från Guatemala innehåller 6% en tarantula. En bananstock väljas slumpmässigt bland de importerade bananstockarna. Använd Bayes regel för att avgöra om följande slutledning är induktivt giltig. Bananstocken innehåller en tarantula. Bananstocken kommer från Guatemala. Använd följande förkortningar: H: Bananstocken kommer från Honduras. G: Bananstocken kommer från Guatemala. T: Bananstocken innehåller en tarantula. Notera att det av informationen ovan följer att H G För en tillverkningsprocess finns två maskiner som vi kallar maskin 1 och maskin 2. Av de enheter som tillverkas vid maskin 1 är 3% defekta och av de som tillverkas vid maskin 2 är 5% defekta. Av tillverkningen står maskin 1 för 80% av produktionen och maskin 2 för de återstående 20%. En enhet väljs slumpmässigt bland de producerade enheterna. Använd Bayes regel för att avgöra om följande slutledning är induktivt giltig. Enheten är defekt. Enheten är tillverkad vid maskin 1. Använd följande förkortningar: M 1 : Enheten är tillverkad vid maskin 1. M 2 : Enheten är tillverkad vid maskin 2. D: Enheten är defekt. Notera att det av informationen ovan följer att M 2 M En person är orolig för att ha en allvarlig sjukdom och bestämmer sig för att ta ett test för sjukdomen. Sjukdomen är sällsynt och drabbar endast en tiondels promille av alla människor, dvs. 1 på Testet har emellertid mycket hög pålitlighet. Av dem som har sjukdomen testar 99% positivt (dvs. testet indikerar att de har sjukdomen), och av dem som inte har sjukdomen testar 99% negativt (dvs. testet indikerar att de inte har sjukdomen). Antag att personen får beskedet att testet är positivt. Är det då förnuftigt att dra slutsatsen att personen troligen har sjukdomen? Använd Bayes regel för att besvara frågan. Använd följande förkortningar. P: Personen har testat positivt. S: Personen har sjukdomen. Notera att förutsatt att testet alltid utfaller antingen positivt eller negativt (vilket vi förutsätter), så är att 99% av dem som inte har sjukdomen testar negativt logiskt ekvivalent med att 1% av dem som inte har sjukdomen testar positivt En person är orolig för att ha en allvarlig sjukdom och bestämmer sig för att ta ett test för sjukdomen. Sjukdomen är sällsynt och drabbar endast en promille av alla människor, dvs. 1 på Testet har emellertid hög pålitlighet. Av dem som har sjukdomen testar 95% positivt (dvs. testet indikerar

7 7 att de har sjukdomen), och av dem som inte har sjukdomen testar 100% negativt (dvs. testet indikerar att de inte har sjukdomen). Antag att personen får beskedet att testet är positivt. Är det då förnuftigt att dra slutsatsen att personen troligen har sjukdomen? Använd Bayes regel för att besvara frågan. Använd följande förkortningar. P: Personen har testat positivt. S: Personen har sjukdomen. Notera att förutsatt att testet alltid utfaller antingen positivt eller negativt (vilket vi förutsätter), så är att 100% av dem som inte har sjukdomen testar negativt logiskt ekvivalent med att 0% av dem som inte har sjukdomen testar positivt. Försök förklara skillnaden i resultat jämfört med 2.17.

8 8

9 9 SVAR TILL ÖVNINGAR I INDUKTIV LOGIK 1.1 a) 1/6 b) 5/6 c) 1/3 d) 1/2 e) 1/2 f) 1/6 g) 1/2 + 1/2 1/6 = 5/6 h) 2/3 1.2 a) 1/4 b) 1/4 c) 1/4 d) 1/4 e) 1/2 1.3 a) 5/36 b) 10/36 = 5/18 c) 21/36 = 7/12 e) 9/36 = 1/4 1.4 a) (1/2) 3 = 1/8 b) 3/8 (Tillåtna utfall är krona-krona-krona, krona-krona-klave, krona-klavekrona.) c) 3/ / /4 + 1/13 1/52 = 16/52 = 4/13 1,7 a) 0,25 b) 0,4 c) 0,16 d) 0,4 e) 0,1 2.1 a) 1/3 b) 2/3 c) 5/6 d) 1/6 e) 1 f) 1/2 g) 2/3 h) 1/3 2.2 a) Pr(högst två kunder) = 0,42. b) Pr(minst tre kunder) = 0,58. c) Pr(åtminstone någon kund) = 0,95.

10 10 d) Man kan tänka sig att man under en längre tid för varje timme då lagret har varit öppet noterat hur många kunder som kommer under denna timme. För att uppskatta sannolikheten för att det ska komma två kunder under en timme då lagret är öppet har man dividerat antalet timmar under vilka man noterat att det kommit två kunder med det totala antalet timmar man undersökt. 2.3 a) 1/4 b) 1/52 c) 1/13 d) 12/13 e) 2/13 f) 11/13 g) 4/13 h) 9/ a) 1/4 b) 1/2 c) 3/4 d) 1/4 e) 3/4 f) 1/4 2.5 a) 0,09 b) 0,42 c) 0,91 d) 0,49 e) 0,91 f) 0, a) Nej. Eftersom Pr(A B) = 0,58 0,70 = Pr(A) + Pr(B), så är A och B inte oförenliga. b) Ja. Eftersom Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) Pr(A B), så Pr(A B) = 0,70 0,58 = 0,12. Vi får att Pr(A B) = Pr(A B)/Pr(B) = 0,12/0,4 = 0,3 = Pr(A), dvs. A är oberoende av B.

11 a) 1/17 b) 1/4 c) 13/17 d) 15/ Pr(B A) = 0. Pr(A B) = 0. Pr( A B) = 1. Pr(B A) = 1/ a) 2/5 b) 3/5 c) 2/5 d) 3/5 e) 2/5 f) 3/5 g) 6/25 h) 19/25 i) 9/25 j) 12/ a) 2/5 b) 3/5 c) 2/5 d) 3/5 e) 1/4 f) 3/4 g) 3/10 h) 7/10 i) 3/10 j) 3/ a) Pr(A) = 11/36.. Pr(B) = 1/6. Pr(C) = 5/36. Pr( B) = 5/6. Pr(A B) = 1/18. Pr(A C) = 0. Pr(A B) = 5/12. Pr(A C) = 4/9. b) Nej, eftersom A och B inte är oförenliga. c) Ja, eftersom A och C är oförenliga.

12 a) Pr(A) = 1/6. Pr(B) = 7/12. Pr(C) = 1/2. Pr( A) = 5/6. Pr(A B) = 1/12. Pr(A C) = 1/12. b) Pr(A B) = 1/7. c) Pr(A C) = 1/6. d) Nej, eftersom A och B inte är oberoende, dvs. Pr(A) Pr(A B). e) Ja, eftersom A och C är oberoende, dvs. Pr(A) = Pr(A C) a) Pr(A) = 2/3. Pr(B) = 1/2. Pr(A B) = 1/3. b) Pr(B A) = 1/2. Slutledningen är ej induktivt giltig. c) Pr(A B) = 2/3. Slutledningen är induktivt giltig a) Pr(A) = 1/2. Pr(B) = 7/12. Pr(C) = 13/18. b) Pr(B A) = 5/6. Slutledningen är induktivt giltig. c) Pr(A C) = 9/26. Slutledningen är ej induktivt giltig Pr(G T) = 3/4. Slutledningen är induktivt giltig Pr(M 1 D) = 12/17 0,71. Slutledningen är induktivt giltig Pr(S P) = 99/ %. (Slutledningen P S är ej induktivt giltig.) Om man inte vet att man tillhör en grupp med förhöjd risk, så är det inte förnuftigt att på basen av blott ett positivt testresultat dra slutsatsen att man troligen har sjukdomen Pr(S P) = 1. (Slutledningen P S är induktivt giltig.) Av att alla som inte har sjukdomen testar negativt (dvs. ej positivt) följer logiskt (dvs. deduktivt) att alla som testar positivt har sjukdomen. Lägg märke till att det är förenligt med att 5% av dem som har sjukdomen testar negativt.