Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 1, 4p 12 november 2005, kl

Transkript

1 Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 1, 4p 1 november 005, kl Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamling (skall returneras) samt miniräknare. Ansvarig lärare: Leif Ruckman, Övrigt: Varje uppgift kan ge max 10p. Lösningarna skall utan svårighet kunna följas. Införda beteckningar skall förklaras. För betyget Godkänd krävs minst 30 p och för Väl godkänd krävs 45 p. Tentan beräknas vara färdigrättad senast Uppgift postförsändelser (brev/vykort) från ett företag har vägts. Resultatet redovisas i följande tabell; Klassgränser (gram) Frekvens 0 x <x <x <x 0 0 0<x <x 30 0 a) Illustrera materialet i ett lämpligt diagram. b) Beräkna medelvärdet. Beräkna standardavvikelsen. d) På vilken datanivå mäts ovanstående data? e) Är variabeln kvantitativ eller kvalitativ? f) Är variabeln diskret eller kontinuerlig? Uppgift a) Illustrera ovanstående data i ett stam-blad-diagram.

2 b) Beräkna medianen. Beräkna kvartilavståndet. d) Illustrera materialet i ett lådagram (boxplot). Uppgift 3. Vid en inkomstundersökning fann man att x 4000 :- och s 300:- Bilda med hjälp av Chebyshevs olikhet ett intervall observationerna återfinns inom intervallet. x ± k s så att åtminstone 80% av Uppgift 4. a) För två oberoende händelser A och B gäller att P(A)0.05 och P(B)0.10. Beräkna P(A eller B). b) Två händelser C och D har sannolikheter skilda från 0. C och D är disjunkta (ömsesidigt uteslutande). Kan C och D vara oberoende? Motivera! Händelserna E och F är oberoende. F är dubbelt så sannolik som E och (E eller F)utfallsrummet. (Alltså P(E eller F)1). Beräkna P(. Uppgift 5. En spelare kastar en tärning efter att ha satsat 1 krona på var och en av följande tre händelser: Audda resultat, Bresultatet högst lika med 3, Cresultatet högst lika med två. A ger 3 kronor i vinst om den inträffar medan B ger kronor och C ger 1 krona i vinst. Betrakta spelarens nettovinst (vinst insats) som en slumpvariabel X. a) Bestäm sannolikhetsfördelningen för X. b) Beräkna P(- < X < 7) Vem tjänar på detta spel i långa loppet, spelaren eller arrangören? Motivera. Uppgift 6. Vid ett monteringsband på en verkstad finns 13 arbetare. De använder under 0% av arbetstiden en handborrmaskin. Händelserna att olika arbetare i ett visst ögonblick använder sin handborrmaskin antas vara oberoende. a) Bestäm sannolikhetsfördelningen till antalet arbetare som i ett visst ögonblick använder sin handborrmaskin. b) Vad är väntevärdet för antalet arbetare som i ett visst ögonblick använder sin handborrmaskin? Vad är sannolikaste antalet arbetare som i ett visst ögonblick använder sin handborrmaskin?

3 Lösningar till tentamen i statistik, STAA13, deltentamen 1, Uppgift 1 a) Frequency ,0 5,0 10,0 15,0 0,0 5,0 Mean 10,5 Std. Dev. 5,3695 N 00 Vikt Cases weighted by Frekvens Klass Klassmitt x Frekvens f fx fxx 0 x 5, < x 10 7, ,5 10 < x 15 1, < x 0 17, < x 5, ,5 Summa Företaget skickar säkert mer än 00 försändelser. Vi kan då se detta som ett stickprov och beräkna x och s. Å andra sidan kanske vi vill beskriva just dessa 00 försändelser och inga andra och i så fall är detta en population och µ respektive σ skall beräknas. Båda svaren accepteras här.

4 b) fx x n gram 00 s ( ) fx fx n n s s 5.37 gram σ σ 5.36 gram d) Vikt är en kvantitativ variabel. e) Vikt är en kontinuerlig variabel, den kan anta alla värden i ett givet intervall av positiva värden. Uppgift a) b) Ordningsnummer för median (n+1)/ 5/ 1.5. Alltså är medianen lika med medelvärdet av observation 1 och 13. (84+85)/ 84.5 Position för Q1 (n+1)5/ Q (74-73) 73.5

5 Position för Q3 (n+1)75/ Q ( ) Kvartilavstånd : Q3 Q d) 1.5Q Extremvärden mindre än Q1 1.5Q Det finns ett värde mindre än detta tal i materialet. Extremvärden större än Q Q Det finns inga observerade värden som är så stora i detta datamaterial. Lådagram X Uppgift k 5 k 5 k k Intervallet x ± 5 s innehåller minst 80% av alla observationer. Sökt intervall: 4000 ± [16845, 31155]

6 Uppgift 4 a) A och B är oberoende. P(A)0.05, P(B)0.10 P(A eller B) [additionssatsen] P(A) + P(B) P(A och B) [oberoende] P(A) + P(B) P(A). P(B) b) Disjunkta händelser är alltid beroende. Om de är oberoende gäller t.ex. att P(C D) P(C), men vid disjunkta händelser gäller P(C D)0. De kan alltså inte vara oberoende eftersom P(C) 0 enligt uppgift. E och F oberoende. P(F)P(. P(E eller F)1 P(E eller F) P( + P(F) P(E och F) P( + P( P(. P( 3P ( P( 3P( 3 P( + Lösning 1 ( ) 1 ( P( ) 1 ( P( ) 3 9 P( ± P( ± 4 4 Lösning1 0.5 Svar: P( 0.5 Uppgift Orimlig 0 0 Ett tärningskast. Audda, Bhögst lika med 3, Chögst lika med Utfall Medför A, B och B och C A och B Ingen A Ingen C Insats 1 krona per händelse Vinst: A ger 3 kronor, B ger kronor och C ger 1 krona Utfall Nettovinst

7 a) X P(X) -3 /6 0 /6 1/6 3 1/6 b) P(- < X < 7) 1 /6 /3 E(X) Σxp(x) -3. /6+0. /6+. 1/6+3. 1/6-1/6 Spelarens förväntade vinst är negativ vilket betyder att han kommer att gå med förlust i långa loppet. Arrangören tjänar på spelet. Uppgift 6 13 arbetare n. 0% av tiden används handborrmaskin, p0.. Oberoende. a) X Antal arbetare som använder sin handborrmaskin i ett visst ögonblick. X är bin(n13, π0.) b) E(X) nπ arbetare. Enligt bin-tabellen är det X som har den största sannolikheten.