Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 1, 4p 27 mars 2004, kl

Transkript

1 Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 1, 4p 7 mars 004, kl Tillåtna hjälpmedel: Ansvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel- och tabellsamling (skall returneras) samt miniräknare. Leif Ruckman Varje uppgift kan ge max 10p. Lösningar skall utan svårighet kunna följas. Införda beteckningar skall förklaras. För betyget Godkänd krävs minst 30 p och för Väl godkänd krävs 45 p. Uppgift 1. En TV-tillverkare har skickat ut en enkät till 50 slumpmässigt valda köpare av deras senaste modell. Bland annat hade köparna fått ange hur många TV-apparater de tidigare haft av samma fabrikat. Resultatet framgår av tabellen nedan Antal tidigare TV-apparater av märket Antal personer a Redovisa materialet i ett lämpligt diagram. 1b Beräkna medelvärdet. 1c Beräkna standardavvikelsen. Uppgift. Beräkna P( X µ+σ) i följande tre fall a) X är bin(n=6, π=0.3) b) X är hyp(n=0, n=6, S=6) c) X är Po(µ=5) 1

2 Uppgift a) Illustrera ovanstående data i ett stam-blad-diagram. b) Beräkna medianen. c) Beräkna kvartilavståndet d) Illustrera materialet i ett lådagram (boxplot). Uppgift 4. Göran tar 5 lotter i ett lotteri. Lotteriet har totalt 0 lotter varav 4 stycken är vinstlotter. Ulf tar 5 lotter från ett annat lotteri som totalt har 000 lotter varav 400 är vinstlotter. Vem av de båda har störst chans att få åtminstone två stycken vinster? Motivera noga! Uppgift 5. En diskret slumpvariabel har följande sannolikhetsfördelning x p(x) a) Beräkna väntevärdet E(X) = µ b) Beräkna σ, standardavvikelsen för X. c) Beräkna P(.7 < X < 5.1 ) Uppgift 6. Nisse jobbar som produktkontrollant på en avdelning för kvalitetskontroll. 99% av de defekta produkterna upptäcker Nisse och rapporterar som defekta. Men ibland ser Nisse fel och 0.5% av det felfria produkterna rapporteras som defekta. Av alla produkter som Nisse kontrollerar så är det 0.9% som är defekta.

3 a) Av alla produkter som Nisse inspekterat så väljs en slumpmässigt. Vad är sannolikheten att den är rapporterad som defekt. b) Av alla produkter som Nisse klassificerat som felfria så väljs en slumpmässigt. Vad är sannolikheten att den faktiskt är felfri? 3

4 Lösningar till tentamen i statistik, STA A13, Uppgift 1. a) Materialet är diskret så rätt diagramtyp är stolpdiagram. 70 Antal tidigare TV-apparater av samma märke Antal personer Antal TV-apparater 5 6 b) Descriptive Statistics Antal TV-apparater N Mean Std. Deviation 50 1,9960 1,6930 fx x = = = = apparater n c) s ( ) fx fx = n n 1 = = = 1.69 apparater 4

5 Uppgift. a) X är bin(n=6, π=0.3) E(X) = µ = nπ = = 1.8 σ = nπ(1-p) = = 1.6 σ = 1.6 = 1.1 P(X µ+σ) = P(X ) = P(X.9) = [X är diskret] = P(X 3) = 1 P(X ) = [tabell] = = b) X är hyp(n=0, n=6, S=6) π = S/N = 6/0 = 0.3 E(X) = µ = nπ = = 1.8 N n 0 6 σ = nπ 1 π = = 0. N σ = 0.98 = 0.96 ( ) 98 P(X µ+σ) = P(X ) = P(X.76) = [X är diskret] = P(X 3) = 1 P(X ) C0 14 C6 6C1 14 C5 6C 14 C = 1 = = C C C c) X är Po(µ=5) σ = µ = 5 σ = 5 =.4 P(X µ+σ) = P(X 5 +.4) = P(X 7.4) = [X är diskret] = P(X 8) = 1 P(X 7) = =[tabell] = = Uppgift 3. a) Stem-and-Leaf Plot Frequency Stem & Leaf 6, , , , , , ,00 Extremes (>=98) 5

6 b) Vid 4 observationer är medianen lika medelvärdet av observation 1 och 13 efter rangordning, dvs. (64+67)/=65.5 c) Ordningsnummer för Q 1 = (n+1)/4 = 5/4 = 6.5 Q 1 = (56-53) = Ordningsnummer för Q 3 = (n+1). 3/4 = = Både observation 18 och 19 efter rangordning har värdet 71, så Q 3 = 71. Kvartilavståndet blir Q= = 17.5 Statistics VAR00003 N Median Minimum Maximum Percentiles Valid , ,00 98,00 53, , ,0000 d) Observationer som är större än Q Q eller mindre än Q 1-1.5Q är extremvärden. I detta material är observationen 98 större än =97 Största värde som ej är att betrakta som extremvärde är i detta material N = 4 X 6

7 Uppgift 4. Andelen vinstlotter är lika i de båda lotterierna men antalet lotter skiljer sig kraftigt åt. Låt X vara antalet vinstlotter Göran erhåller. X är hyp(n=0, n=5, S=4) P(X ) = 1 P(X 1) = 1 p(0) p(1) C0 16 C5 4C1 16 C P ( X ) = 1 = 1 = C C = Låt Y vara antalet vinstlotter Ulf erhåller. Y är hyp(n=000, n=5, S=400) Beräkningen blir besvärlig. Är approximation tillåten? n/n = 5/000 = < Approximation till bin tillåten. Y är approximativt bin(n=5, π=s/n=400/000=0.) P(Y ) = 1 P(Y 1) = = 0.67 (Överkurs: Räknar vi ut sannolikheten exakt (hyp), t.ex. med hjälp av dator så blir den 0.66) Ulf har lite större chans att få åtminstone vinstlotter. Uppgift 5. x p(x) a) E(X) = µ = Σx. p(x) = = 3.9 b) σ = Σx. p(x) - µ = = 3.09 σ = 1.76 c) X kan endast anta värden, 3, 5 och 8. Ska X vara större än.7 och minde än 5.1 så måste X alltså vara 3 eller 5. P(.7 < X < 5.1) = p(3) + p(5) = 0.7 7

8 Uppgift 6. D = Defekt produkt R = Rapporterad som defekt P(R D) = 0.99 P(R ~D) = P(D) = a) P(R) = P(D och R) + P(~D och R) = P(D). P(R D) + P(~D). P(R ~D) = = = b) P(~D ~R) = P(~D och ~R)/P(~R) = P(~D). P(~R ~D)/(1-P(R)) = =( )( )/( ) =