Matematik Ten 1:3 T-bas Nya kursen

Transkript

1 Matematik Ten 1: T-bas Nya kursen 1. Förenkla uttrycket a b a b b a så långt som möjligt. (1p). Lös ekvationen + 1 = 0. (p). En rät linje går genom punkterna (1, 5) och (5, 7). Ange a så att även punkten (8, a) ligger på linjen. (p). ( ) = +. Ange f () med hjälp av derivatans definition. (p) f 5. Kurvan y = + 11 har en tangent som är parallell med linjen y = Ange ekvationen för denna tangent. (p) 6. Lös ekvationen e + 1 = 10. Svara eakt. (p) 7. Skuggan av ett träd är meter lång då solen står 0 över horisonten, d v s vinkeln mellan en solstråle och den horisontella marken är 0 o. Trädet får anses stå lodrätt. Hur lång är skuggan då solen står 60 över horisonten? (p) 8. Befolkningen i Sverige var 5,1 miljoner år 1900 och 8,9 miljoner år 000. Vilken årlig genomsnittlig procentuell ökning motsvarar detta? (p) 9. Funktionen y = är definierad i intervallet 1. a) Beräkna funktionens nollställen inom definitionsmängden. (1p) b) Beräkna funktionens minsta och största värde. (p)

2 10. Två lika stora rektangulära tomter ska inhägnas med hjälp av 50 meter staket. Den ena tomten ligger intill ett berg så där behövs inget staket. Hur stor area kan en av tomterna ha som mest? (p) kronor sätts in på ett bankkonto vid varje årsskifte mot, % ränta. a. Ange ett uttryck som visar hur stor behållningen på kontot är efter t år, dvs. efter t+1 insättningar av 1500 kronor. (1p) b. Beräkna hur lång tid det tar, innan behållningen på kontot är kr. (Lös uppgiften med hjälp av en ekvation. Annan lösningsmetod godtages inte.) (p)

3 Matematik Ten 1 T-bas Gamla kursen 1. Förenkla uttrycket a b a b b a så långt som möjligt. (1p). Lös ekvationen + 1 = 0. (p). En rät linje går genom punkterna (1, 5) och (5, 7). Ange a så att även punkten (8, a) ligger på linjen. (p). ( ) = +. Ange f () med hjälp av derivatans definition. (p) f 5. Kurvan y = + 11 har en tangent som är parallell med linjen y = Ange ekvationen för denna tangent. (p) 6. Lös ekvationen e + 1 = 10. Svara eakt. (p) 7. Skuggan av ett träd är meter lång då solen står 0 över horisonten, d v s vinkeln mellan en solstråle och den horisontella marken är 0 o. Trädet får anses stå lodrätt. Hur lång är skuggan då solen står 60 över horisonten? (p) 8. Befolkningen i Sverige var 5,1 miljoner år 1900 och 8,9 miljoner år 000. Vilken årlig genomsnittlig procentuell ökning motsvarar detta? (p) 9. Funktionen y = är definierad i intervallet 1. a) Beräkna funktionens nollställen inom definitionsmängden. (1p) b) Beräkna funktionens minsta och största värde. (p)

4 10. Två lika stora tomter ska inhägnas med hjälp av 50 meter staket. Den ena tomten ligger intill ett berg så där behövs inget staket. Hur stor area kan en av tomterna ha som mest? (p) bt 11. Hos en överförfriskad person avtar alkoholhalten i blodet eponentiellt: y = A e, där y är alkoholhalten i, A och b är konstanter och t är tiden i timmar. Provtagning visar att alkoholhalten från början är,0 och efter,5 timmar 1,0 Bestäm konstanterna A och b och ange hur snabbt alkoholhalten avtar efter,5 timmar, dvs. beräkna y (,5). (p)

5 Lösningar till Matematik Ten 1:1 T-bas Nya och gamla kursen b + a a b = ab = b + a = a + b = 1. a b a b a b ( a + b)( a b) a b b a ab. ( ) + = + = 1 1 ( ) ( 1) = ± = ± = ±. = 6 = (En kvadratrot kan inte ha ett negativt värde.) ; = = 9 Prövning: VL = = = 0 = HL Svar: = 9. k = 7 5 = 1. Alltså är y = 1 + m. (1, 5) ligger på linjen 5 1 Alltså är linjens ekvation y = (8, a) är en punkt på linjen. a = = = 1 1+ m m = 9.. f ( ) = +. f ( + h) f () ( + h) + + h ( + ) h( + h + 1) = = = + h = 5 h h h då h 0. Svar: f ( ) = 5 5. y 11 y = + =. y 1 17 = + har k-värdet = =. Tangeringspunktens y-koordinat är = Antag tangentens ekvation är y = 1 + m. (1, 1) ligger på tangenten 1 = 1 1+ m m =. Alltså är tangentens ekvation y = e = 10 ; ln e = ln10 ; ( + 1)ln e = ln10 ; + = ln10 = ln10 ; = (ln10 ) ; = ln10

6 7.) h 0 o 60 o m h = tan 0 o h = tan 0 o. h tan 60 h tan 0 7, = = tan 60 = o o tan 60 o o m Svar: 7, m 8. Antag förändringsfaktorn är. Då gäller ,9 100 = ; = ( ) 1, ,9 5,1 5,1 Procentuell ökning: 100, =0,558 8,9 = 5,1 100 Svar: 0,56% 9a. y = = ( ) = ( )( + ) ger nollställena = = ; inom definitionsmängden. 1 0 = = tillhör inte definitionsmängden Svar: = 0 eller = 9b. y = = (1 ) = (1 )(1 + ) Derivatans nollställen samt intervallets ändpunkter kontrolleras beträffande funktionsvärden. = 1 ger y = 1 = 0 ger y = 0 = 1 ger y = 1 = ger y = 8 Svar: Minsta värde = 8, Största värde = 1

7 10. y y y Staketets längd är + y = 50 ; + y = 180 ; y = 180 Arean av en rektangel är A = y = (180 ) = 180 A = 180 ; A = 0 för = 90 A = < 0 ; maimum A ma = 90(180 90) = 8100 Svar: 8100 m 11 Nya kursen 11a.) År Behållning 1 t 1500 kronor , kronor , , kronor , , , kronor , , K +1, kronor t b.) t , , K +1, = t+ 1 1, 0 1 t (1, 0 1) 1500 = , 0 = + 1 1, (1, 0 1) Logaritmering av båda leden ger ( t + 1) ln 1,0 = ln (1, 0 1) ( ) ln t + 1 = 7,0 t 6, 0. Svar: 6,0 år ln1, 0

8 11 Gamla kursen bt y = A e. (0;,0) och (,5; 1,0) ligger på kurvan. b 0,0 = A e ln 0,5 A,0 b b,5 = =. 1,0 = A e,5 ln 0,5 t,5 Alltså: y =,0 e. ln0,5 t,5 ln 0,5 y =,0 e.,5 ln 0,5,5,5 ln 0,5 ln 0,5 y (,5) =, 0 e =, 0 0,5 0,15 /h,5,5 (Minustecknet anger att promillehalten avtar.) Svar: 0,15 /h

9 Rättningsmall Matematik TEN 1: Kommer till = sedan fel -1p Förkastar inte eller kommenterar inte = -1p Prövning saknas inget avdrag. Rätt ekvation på linjen, sedan fel -1p Kommit till + = ln10 eller likvärdigt uttryck, sedan fel -1p 7. Fel trigonometrisk funktion och rimligt svar, <m -1p Fel trigonometrisk funktion och orimligt svar, >m -p 8. Räknar linjärt -p 9a. Svarar även med = -1p 9b Har rätt areafunktion i en variabel, sedan fel -p Visar inte att maimum råder -1p 11a b. Har fel antal termer från a-uppgiften, f. ö. rätt, följdfel inget avdrag