Några kommentarer om optimering under bivillkor Thomas Andrén

Transkript

1 Nåra kommentarer om optimerin under bivillkor Thomas Andrén Ett vanlit optimerinsproblem ber på att man vill inna de variabelvärden som ör att en unktion tar ett så stort eller litet värde som möjlit inom sin värdemänd. enna unktion kallas ota ör målunktion och problemet brukar tecknas på öljande sätt: Ma Här utör vår målunktion och problemet består i att inna och som ör att blir så stor som möjlit. etta är ett eempel på optimerin utan bivillkor. åt oss nu säa att vi vill beränsa deinitionsmänden ör enom att inöra ett villkor ör vilka värden och kan ta. I beskrivninen ovan tänkte vi oss att och kunde ta vilka värden som helst. Vi skulle till eempel kunna tänka oss att öljande villkor skulle älla:. Om vi optimerar vår unktion samtidit som vi inör denna beränsnin ör och så har vi utört en optimerin under bivillkor. en tp av bivillkor som behandlas under kursen avser likhetsvillkor av tpen c. vs. bivillkoret som måste älla avser en unktion beroende av två eller ler variabler som är lika med en viss konstant c. För att lösa denna tp av problem kan vi använda oss av aranes multiplikator metod. enna lösninsmetod består av öljande ste: Ste : Formulera aranes unktion Ste : Bestäm stationära punkter ör denna unktion Ste 3: Klassiicera de stationära punkterna Ett optimerinsproblem under bivillkor ormuleras på öljande sätt: Ma Målunktion u. b. c Bivillkoru.bunder bivillkor aranes unktion sammanör målunktionen och bivillkoret i en emensam unktion. enna emensamma unktion optimeras på vanlit sätt. aranes unktion kan ormuleras på öljande två sätt: c eller c Vilken ormulerin man använder är odtcklit bara man inte blandar ihop dem. I denna ramställnin använder vi uteslutande ormulerin. et speciella med aranes unktion är att den introducerar tterliare en variable som brukar kallas ör aranes multiplikator. Tolkninen av aranes multiplikator kan i vissa ekonomiska sammanhan vara vikti. Vid en stationär punkt tolkas optimalt som marinalörändrinen av optimalt när c ökar med en enhet. Till eempel om vår

2 målunktion utör en nttounktion ör en individ och vårt bivillkor är ett budet villkor som innebär att man inte kan konsumerar ör mer än sin inkomst och där inkomsten kommer att representeras av c. aranes multiplikator kommer då att vara ett mått på hur mcket nttan örändras om inkomsten ökar med enhet. aranes unktion optimeras på vanlit sätt enom att bestämma partialderivatan till samtlia variabler. etta skulle kunna se ut på öljande sätt: 3 c 5 Här har vi ett simultant ekvationssstem som man måste lösa med avseende på och. et vanliaste örarinssättet är dock att ur ekvationerna 3 och härleda en relation mellan och som sedan substitueras in i 5 som då blir en ekvation med en okänd variabel som lätt kan bestämmas. ösninen till ekvationssstemet kommer att utöras av de etersökta stationära punkterna eller punkten. Eempel Finn stationära punkter till öljande problem u. b. Ste : Formulera aranes unktion: Ste : Bestäm stationära punkter: etta ör vi enom att bestämma örsta ordninens villkor ör stationära punkter dvs derivera partiellt med avseende på de inblandade variablerna: och 7 kan vi sammanöra. etta er då som utör vår relation mellan och. enna relation kan vi substituera in i bivillkoret 8. etta er

3 3 då att ± som också innebär att ±. Med hjälp av dessa värden kan vi bestämma motsvarande med hjälp av 6 eller 7. etta er oss öljande stationära punkter: / / / / / / / / Ste 3 innebär att vi måste bestämma vilka punkter som är lokala ma respektive min punkter. För denna uppit behöver vi en besluts reel som tvärr avviker nåot rån den reel som äller vid multivariat optimerin utan bivillkor. Beslutsreeln ser ut på öljande sätt: Utå irån öljande araneunktion: c Bestäm partialderivatan med avseende på och : Bestäm nu andra derivatan och korsderivatan till unktionerna ovan: Slutlien behöver vi bestämma örsta derivatan till bivillkoret och

4 Med hjälp av deriverinarna ovan kan vi ormulera en Hessian som äller vid optimerin under bivillkor. enna hessian kallas ör The Bordered Hessian och ser ut på öljande sätt: H Med hjälp av bordered Hessian H kan vi ormulera uttrcket ör en speciell determinant. et är denna determinant av bordered Hessian som leder oss till svaret om vår stationära punkt är ett lokalt maimum eller ett lokalt minimum. Observera minustecknet ramör determinanten. Stet med detta tecken är att vår beslutsreel skall likna beslutsreeln som äller vid optimerin utan bivillkor. eterminanten av bordered Hessianen ovan ser ut på öljande sätt: som är lika med Vår beslutsreel är baserad på vilket tecken denna determinant tar. Vi har öljande 3 all: BESUTSREGE Om är en stationär punkt och < då är ett lokalt maimum > då är ett lokalt minimum 3 inet beslut

5 åt oss nu återå till vårt eempel och klassiicera de stationära punkterna som vi ick. Vi börjar därör med att bestämma inredienserna till bordered Hessian. essa komponenter er en bordered Hessian uttrckt på determinantormat med öljande utseende: Om vi bestämmer determinanten till denna matris så år vi öljande ekvation: Med hjälp av detta uttrck tar vi öljande beslut: / / / / 3 < okalt maimum / / / / 3 < okalt maimum / / / / 3 > okalt minimum > / / / / 3 okalt minimum 5