Teorifra gor kap

Transkript

1 Teorira gor kap Repetition ) Härled ormeln ör partiell integration ur nedanstående samband: d F x g x = x g x + F x g x dx ) Vilken typ av elementär unktion brukar man otast välja att derivera alltså välja som g x nedan vid partiell integration? x g x dx = F x g x F x g x dx 3) Ibland är det praktiskt att inöra aktorn vid partiell integration. I vilka all? 4) Hur löser man integraler som har nämnarens derivata i täljaren, t.ex. hos: sin x tan x dx = cos x dx = Integrationsmetoder variabelsubstitution och hantering av rationella uttryck 5) edjeregeln baklänges med hjälp av substitution Vi ska bestämma cos x x dx Låt oss kalla y = g x = x ör den inre unktionen, g 5 x = x ör den inre unktionens derivata och g x = y = cos y ör den yttre unktionen Variabelbyte är i detta all en smart lösningstaktik, då den inre unktionens derivata återinns som en aktor intill den yttre unktionen. Eter variabelskite y = x = x dy = x dx år man betydligt enklare: cos y dy Hitta på ytterligare några exempel som lämpar sig särskilt bra att lösa med hjälp av variabelbyte.

2 6) Vid partialbråksuppdelning skriver man om rationella uttryck, till lera men enklare sådana, vilka örhoppningsvis är enklare att inna primitiv unktion till. Eter lämplig ansats inns i huvudsak två standardmetoder ör att inna partialbråken. Vilka två? 7) Nedanstående ansats kan skrivas om enligt: x + x + 4 = A x + + B x + 4 A som ri term B som ri term x + 4 x + = A + B x + x + 4 = A x + 4 x + + B Om man på ett smart sätt väljer värde på x så kan A respektive B bestämmas. Hur? 8) När man bestämmer primitiv unktion till en integrand som är ett rationellt uttryck kan partialbråksuppdelning eller polynomdivision vara en lämplig start. Para ihop integrand (a j) med örslag på start (I X): a) b) c) d) e) ) g) h) i) j) >8? 8? 8?> 8? 8?> A8BC 8 D? 8? 8?E 8? D 8?> 8 D?F 8? 8?> 8 D?A8?> 8 D? 8? D G 8?> 8?> 8 D?E8?E 8?> EH D?G8?H 8?> >8BA 8 D?E8?E 8 D?GJ8?> I. Ansats: 8?L 8 D? + M 8? + N 8? D II. III. IV. Ansats: Ansats: Ansats: V. Ansats: VI. VII. VIII. IX. Ansats: + M 8? 8? D 8?> + M 8? 8? D 8?> 8? 8?> + M + N 8? 8? D 8?> + M + N 8? 8? D 8?> Ansats: 8?L 8 D? + M 8? + M + N 8? 8? D 8?> 8?> D Polynomdivision örst X. Polynomdivision örst

3 9) Nedanstående två omskrivningar kan kännas långsökta men är ändå intressanta. Varör? a) b) x + 9 dx = 6 x dx = 9 x dx = x 6 dx = 4 x 3 dx + x 4 dx Integration av trigonometriska uttryck och rottuttryck 0) Snarlika integrander som innehåller trigonometriska uttryck kan kräva väldigt olika taktik när man vill inna deras primitiva unktioner. Para ihop (a h) med en lämplig taktik (I VIII): I. Taktik: Förlängning med cos x, trigettan, a) cos x dx b) cos x dx c) cos A x dx d) cos E x dx e) cos > x dx ) g) h) G STU 8 dx G STU D 8 dx G 8 dx variabelbyte och partialbråksuppdelning II. Taktik: Direkt primitiv unktion III. Taktik: Trigormel dubbla vinkeln IV. Taktik: Trigettan och variabelbyte V. Taktik: Trigormel dubbla vinkeln två ggr eller Eulers ormel + de Moivres ormel VI. Taktik: Trigettan och variabelbyte VII. Taktik: Förlängning med cos x, trigettan, variabelbyte och partialbråksuppdelning VIII. Taktik: Direkt primitiv unktion E ) I uppgit Ö6.4 (b) ska man beräkna dx. >?E UVW 8 Till hjälp inner man exempel 5.35 på sid 65 i läroboken, med det till synes långsökta variabelbytet y = tan 8. Undersök hur variabelbytet dessutom ger: a) 67 G?7 GB7D 7 D = dx b) cos x = D c) sin x = G?7 G?7 D

4 ) Vid integration med unktioner innehållande trigonometriska uttryck, kan man med ördel leta eter inre unktioner och särskilt inre derivator. Detta ör att man, med ett väl valt variabelbyte, ska erhålla en integral som är enklare att lösa. Studera öljande: e UVWD 8 sin x cos x dx Ovan kan man med ördel välja variabelbytet y = sin x baserat på den inre unktionen. Fullölj variabelbytet genom att bl.a. bestämma den inre derivatan 67 och upptäck att man erhåller klart enklare: e 7 dy 68 3) Repetera standardprimitiverna (g k) i sats 5. på sid 39 i läroboken. 4) Studera de två lösningarna nedan, ör beräkning av behärska. 8 GB8 D dx. Båda metoderna är viktiga att a) Lösningsmetod hämtad rån öreläsning : x x dx = y = x dy dx = x dy = x dx = y + C = x + C y dy b) Lösningsmetod hämtad öreläsning : x = sin y x x dx = dx sin y cos y = cos y = dy sin y dy dx = cos y dy sin y cos y = dy = sin y dy = cos y + C cos y Bestämda integraler = sin y + C = x + C 5) Förklara begreppen: a) Undertrappa b) Övertrappa c) Undersumma d) Översumma

5 6) Låt unktionen vara deinierad på intervallet a, b. Vad gäller ör dierensen mellan undersumma och översumma om skall vara integrerbar på detta intervall? 7) Om x är integrerbar då x a, b så inns det exakt ett tal A sådant att öljande olikhet alltid gäller: e e undersumman = Φ d x dx A Ψ d x dx = översumman Vad kallas talet A och hur betecknas det? Se sats 6.. 8) Repetera räknelagarna (a- e) i sats 6.. k 9) Sats 6.3 räcker ej ör att visa att integralen sin x dx existerar; unktionen är ej monoton J inom detta intervall. Vilken räknelag ur sats 6. måste sats 6.3 kompletteras med? Samband mellan integraler och derivator 0) Nämn en tillräcklig egenskap hos en unktion ör att den ska vara integrerbar på intervallet a, b se sats 6.4. ) omplettera Medelvärdessatsen ör integraler (sats 6.5) med en örtydligande igur och visa även med igur hur diskontinuerliga unktioner ej är tillämpbara på denna sats. ) Studera igur 6.9 tillhörande Analysens huvudsats (sats 6.7). Var i iguren inner man S x + h respektive S x? Enbart dierensen S x + h S x är markerad i iguren.

6 3) Det vackra beviset av Analysens huvudsats (Sats 6.7) innehåller hänvisningar till olika satser och deinitioner vilka tidigare tagits upp. Slå upp dessa i läroboken och kontrollera att du örstår varje mellanled i denna del av beviset: S 5 x = Enligt derivatans deinition Deinition 4. y J S x + h S x h y J h S x + h S x = Enligt deinitionen av S x i inledningen av aktuell sats y J h 8?y t dt 8 t dt = Enligt räknelag 6. e ör integraler y J h 8 t dt + 8?y t 8 dt 8 t dt y J h 8?y t 8 dt = Enligt medelvärdessatsen ör integraler ξ x + h x ξ h y J h y J h y J ξ = Tack vare instängning av ξ mellan x och x + h 8 ξ = Tack vare att är kontinuerlig i x = x

7 4) Vilka är örutsättningarna ör att insättningsormeln (sats 6.8) ska gälla? 5) rzysztos ormel kallar vi denna ormel d dx ƒ 8 8 t dt = ψ x ψ x φ x φ x med den kontinuerliga unktionen t samt deriverbara unktionerna ψ x och φ x som integrationsgränser. Denna ormel är utörligare än ormeln i Analysens huvudsats. På vilket sätt är denna ormel extra kratull? 6) På vilket sätt skiljer sig örutsättningarna i sats 6.9 (Partiell integration) rån tidigare sats 5.4? 7) Varör är integrationsgränserna a och b istället ör a och b i högerledet i sats 6.0? Generaliserade integraler 8) Sats 6.4 säger om en unktion är kontinuerlig på ett slutet intervall så är den integrerbar på detta intervall ; kontinuitet är ett tillräckligt villkor ör integrerbarhet. På vilka två sätt utvidgas detta genom inörandet av generaliserade integraler i deinition 6.6 och 6.7? 9) En integrationsgräns eller kan ej hanteras som ett tal med hjälp av Insättningsormeln. Hur kringgår man detta? 30) I vilka all sägs en generaliserad integral vara divergent? 3) Ibland måste en generaliserad integral delas upp i två eller lera integraler ör att lösas, såsom i Exempel 6. och 6.3. Varör? 3) I Exempel 6. löses bara en av de två erhållna integralerna. Varör? 33) I Exempel 6.3 löses bara två av de yra erhållna integralerna, trots konvergens. Varör? 34) På vilket sätt använder man vanligtvis sats 0.?

8 Area och kurvlängd 35) Visa med en igur och Pythagoras sats att ör en unktion y x gäller att delsträckan ds = + y 5 x dx samt ange hur hela kurvlängden s beräknas. 36) a) Visa att längden av kurvan y = x G då x 0, ges av + 4x dx J b) Visa att längden av kurvan y = ln cos x då x 0, k ges av G Š E J dx STU 8 c) Visa att längden av kurvan y = x E + G då x, ges av A8 D 4xA + G G dx 37) Visa med en igur och Pythagoras sats att ör parameterunktioner x t y t gäller att delsträckan ds = x 5 t + y 5 t dt samt ange hur hela kurvlängden s beräknas. 38) Visa med en igur och Pythagoras sats att ör en unktion polär unktion r φ gäller att delsträckan ds = r φ + r φ dφ samt ange hur hela kurvlängden s beräknas. 39) Visa med hjälp av arean av en cirkelsektor och en igur och att ör en polär unktion r φ gäller att delarean da = Œ D dφ samt ange hur hela arean A beräknas. 40) I vilket sammanhang talas det om tak och golv vi areaberäkning med hjälp av integraler? Rotationskroppar 4) Låt en kon ha höjden h och radien r. Tag med hjälp av rotationskroppar ram ormler ör konens volym och mantelytans area. 4) Låt ett klot ha radien r. Tag med hjälp av rotationskroppar ram ormler ör klotets volym och klotytans area. Intergraler och statistik 43) Vad är en täthetsunktion (även kallad rekvensunktion eller eng. density- unction)? (se deinition )

9 44) En ördelningsunktion är alltid växande. Mellan vilka unktionsvärden och varör? (se deinition 5, sats 6-7) 45) Varör använder man vanligtvis lilla x i beräkningarna när man har valt stora X ör att beteckna en kontinuerlig stokastisk variabel? 46) Vad är en kvantil? (se deinition 0) 47) Vad är övre, mellersta respektive nedre kvartilen? (se deinition ) 48) Ange någon likhet respektive skillnad mellan väntevärde och median. 49) Ange hur man utirån en täthetsunktion beräknar median respektive väntevärde ör en kontinuerlig stokastisk variabel. (se deinition 0 + samt 4) 50) Vad är variansen ett mått på och hur beräknar man den ör en kontinuerlig stokastisk variabel? (se deinition 8 och sats 0) 5) Vad kallar man kvadratroten av variansen? (se 0 a) 5) Vi vet att E X = B x x dx E X = x x dx B V X = B x μ x dx Visa att: V X = E X E X Maclaurin- och Taylorutveckling 53) Nämn några användningsområden ör Maclaurin- och Taylorutvecklingar. 54) Vad skiljer Maclaurin- och Taylorutvecklingar? 55) Skissa kurvor ör Maclaurin- polynom av grad 0,, och 3 ör x = sin x. Iakttagelser? 56) Skissa kurvor ör Maclaurin- polynom av grad 0, och 4 ör x = cos x. Iakttagelser? Dierentialekvationer av ordning 57) Vad kännetecknar en dierentialekvation? 58) Vad är ordningen av en dierentialekvation?

10 59) Vad är lösningen av en dierentialekvation? 60) Vad är ett riktningsält? 6) Hur tar man ram en integrerande aktor? 6) På vilken orm kan en :a ordningens linjär dierentialekvation alltid skrivas? (9.4 sid 38) 63) På vilken orm kan en :a ordningens separabel dierentialekvation alltid skrivas? (sid 387) Dierentialekvationer av ordning 64) Bland :a ordningens dierentialekvationer tar vi inom kursen bara upp de med konstant koeicienter. Vad innebär det? 65) Sats 9. säger att om man har unnit en lösning y till en dierentialekvation :a ordningens dierentialekvation med konstanta koeicienter alltså en ekvation av typen y 55 + ay 5 + by = x så inner man samtliga lösningar genom att lägga till de man erhåller då man löser den?. 66) Om man testar en ansats y = Ce Œ8 (med åtöljande y = Cre Œ8 och y = Cr e Œ8 ) i en homogen :a ordningens dierentialekvation med konstanta koeicienter i detta all y y 5 + 3y = 0 så kan man identiiera den s.k. karaktäristiska ekvationen som ger värden på r. Visa med hjälp av ansatsen att den i detta all blir r + 4r + 3 = 0.