Innehåll. 1 Linjärt ekvationssystem (ES) 5. 2 Grundläggande algebra 13

Transkript

1 LINJÄR ALGEBRA

2

3 Innehåll Linjärt ekvationssstem (ES) 5 Grundläggande algebra 3 3 Matrisalgebra 5 3 Addition av matriser 5 3 Multiplikation mellan matriser 7 33 Enhetsmatris 34 Invers matris 34 Nollmatris och homogent ES 6 4 Determinant 7 4 Determinanten av en enhetsmatris 7 4 Radoperationer i en determinant 9 3

4 Grundläggande algebra 3

5 4 GRUNDLÄGGANDE ALGEBRA

6 3 Matrisalgebra Nu lever matriser sitt eget liv, fritt från ekvationssstem Men även ekvationsstem kan framställas med matrisalgebra En matris är ett rektangulärt schema av element (tal) a, a, a,n a, a, a,n A : (3) a m, a m, a m,n Definition Två matriser a, a, a,n b, b, b,q a, a, a,n A och B b, b, b,q a m, a m, a m,n b p, a p, b p,q är lika om de är av samma tp dvs m p och n q samt om varje element a j,k b j,k för j,,,m och k,,,n, dvs elmentvis likhet Exempel är lika omm x x Man kan teckna en totalmatris med högerled, som a, a, a,n b a, a, a,n b A B : (3) a m, a m, a m,n b n alltså motsvarande ett ES med n ekvationer och m obekanta/variabler x, x,,x m 3 Addition av matriser Exempel 3 Givet två märken på ckelramar De har vardera tre olika modeller på ramarna Följande matris anger pris utan moms på respektive ram i tusental kronor Rad är märke och rad märke A Märke 9 märke 4 5

7 6 3 MATRISALGEBRA Till dessa ramar har man valt 6 olika tper av hjul, till respektive modell på ramen med priserna (tusentals kronor utan moms) B Priset för en ram med två hjul för de 6 modellerna kan beräknas med matrisoperationer 9 3 A + B (kkr) 3 3 Vi ser att addition (och subtraktion) av två matriser kräver att de är av samma tp Dessutom ser vi att multiplikation med ett reellt tal (en skalär), i detta fall talet innebär att samtliga element multipliceras med, alltså elementvis multiplkation med "skalären" Exempel 33 Med moms (5%) blir priset för ram+två hjul 9 3 5(A + B) kkr alltså elementvis multiplkation med "skalären" 5 Observera att multiplikationen är distributiv 5 (A + B) 5 A + 5 B Allmänt kan alltså en matris A av tp m n skrivas A a a a n a a a n a m a m a mn alltså med element a jk på plats ( j,k) För en matris B, sådan att A + B skall vara möjligt krävs att b b b n b b b n B b m b m b mn dvs av samma tp m n Summan a + b a + b a n + b n a + b a + b a n + b n A + B a m + b m a m + b m a mn + b mn dvs elementet på plats ( j,k) i A + B är a jk + b jk, för j,,,m och k,,,n

8 3 MULTIPLIKATION MELLAN MATRISER 7 3 Multiplikation mellan matriser Först skall vi iakktaga ett samband mellan rader och kkolonner i en matris Exempel 34 Matrisen A vidare att 9 4 har rader och 3 kolonner Vi ser antal rader antal element i en kolonn 3 antal kolonner antal element i en rad och detta är tpiskt för alla matriser Vi börjar med det enkla fallet, då A endast har en rad och B endast har en kolonn Detta ger den allmänna principen att rad i vänster matris "multpliceras" med kolonn ihöger matris Exempel 35 Exvis är med A 3 och a b c A B a + b + 3 c en matris av tp, västentligen ett element eller ett tal(om än med paranteser och ) Vi ser att prodketens tp är tp A 3 och tp B 3 och för produkten A B är alltså tpen 3 3 För produkten A B mellan två matriser är det nödvändigt och tillräckligt att antal kolonner i A är lika med antal rader i B För en (rad-)matris A a a a 3 och en (kolonn-)matris B b b b 3 är antal kolonner i A lika med antal rader i B Då och endast då är multiplikationen A B möjlig Produkten är en matris av ordning 3 3, i princip ett reellt tal, närmare bestämt A B a a a 3 b b b 3 Principen för multiplikation mellan matriser är att ta a b + a b + a 3 b 3 (33) rad i vänster martris gånger kolonn i höger matris som beskrivs i (33) Därför måste antal kolonner i vänster matris antal rader i höger matris Exempel 36 För två matriser av rätt tper kan alltså multiplikation utföras I exempel har vi koefficientmatrisen A : Vi skriver nu variablerna Vi kommer att använda denna tp av multiplikation vid skalär produkt av vektorer

9 8 3 MATRISALGEBRA x och högerledet som matriser, X : och B : Med multiplikationen A X menas att rad j i A multipliceras "skalärt", med kolonn k i X som i (33) tp A och tp X Antal kolonner i A är alltså lika med antal rader i X Produkten A X blir då en matris av tp Elementen i produkten A X är x A X x alltså vänster led i ekvationen i exempel Detta ekvationsstem kan alltså skrivas A X B Det ligger nu nära till hands att få fram X i exemplet ovan genom att dividera bort A i vänster led Vi skall se på detta i nästa avsnitt, men först definiera multiplikation mellan två matriser Vi börjar med en rad gånger en kolonn För en rad A a a a n och en kolonn b b av tp n respektive n är A B a b + a b + + a n b n a a a p a a a p För matriser A av tp m p och B a m a m a mp av tp q n är multiplikation definierad omm p q, dvs b n b b b n b b a n b q b q b qm omm antalet kolonner i vänster matris A, antal rader i höger matris B Produkten A B : C är då en matris av tp m n med elementet c jk a j b k + a j b jk + + a jp b pk på plats ( j,k) för j,,m och k,,,n Exempel 37 Vi skall göra en liknande beräkning av priset som i exempel 3 men bara för märke Vi bildar matrisen med rampriset i första kolonn och hjulpriset i andra kolonn 9 5 C : 35 5 Priset för ram+två hjul fås genom att multiplicera C med : F från höger (enda möjligheten) Detta ger C F {Blir en matris av tp 3 } 9 3

10 3 MULTIPLIKATION MELLAN MATRISER 9 Multiplikation mellan reella (komplexa) tal a, b och c uppfller a (b c) (a b) c (Associativa lagen) a b b a (Kommutativa lagen) a b + a c a (b + c) (Distributiva lagen) (34) Matrismultiplikation uppfller den första och sista lagen, om matriserna är av Associativa lagen för multiplikation gäller: Exempel 38 Matriserna a, a A, a,3 a, a, a,3, B b, b, b 3, och C c, c, är av tp 3, 3 och Alltså är produkterna (A B) C och A (B C) definierade och ger en matris av tp 3 3 Båda produkterna blir lika: a, b, c, + a, b, c, + a,3 b 3, c, a, b, c, + a, b, c, + a,3 b 3, c, a, b, c, + a, b, c, + a,3 b 3, c, a, b, c, + a, b, c, + a,3 b 3, c, rätta tper, men inte kommutativitet 3 Exempel 39 Givet matriserna A a b c, B d e f och C Eftersom B och C är av tp 3, kan de adderas men inte multipliceras Däremot kan man multiplicera med A från vänster på både B och C Vi verifierar att A (B +C) och A B + A C ger samma matris (av tp 3) a 3d + 7 b 3e + 3 c 3 f A (B +C) a d + 3 b e + c f Pss är a 3d b 3e c 3 f A B + A C a d b e c f och ví ser att likhet gäller Exempel 3 Givet matrisen A B A, dvs kommuterar med A? 3 Vilka matriser B uppfller A B

11 3 MATRISALGEBRA Lösning: Först undersöker vi vilken tp B har Pga A B existerar, måste B ha rader och pga B A existerar, måste B ha kolonner, dvs tp B, alltså a b samma tp som A Vi ansätter B Sambandet A B B A ger då 4 c d ekvationer a 3c a + b a 3c b 3d a + b 3a b b 3d 3a b A B B A a c b d c + d 3c d a c c + d b d 3c d Detta reduceras till att c (b/3),d a + bdvs B a b/3 b a + b Kommentarer I exemplet utgick vi från en kvadratisk matris A För att två matriser A och B skall kommutera, måste de vara kvadratiska av samma ordning (Övning: Visa det!) 33 Enhetsmatris För multiplikation med vanliga, dvs reella (eller komplexa) tal finns talet, ett "neutralt element" Vi vet ju att x x x för varje reellt (komplext) tal x Motsvarande tal bland matriser är enhetsmatrisen av en given ordning, alltså en kvadratisk matris Av ordning är den E : (35) Exempel 3 Matrisen C är av tp 3 Alltså är multiplikationen E C möjlig och ger en 3 matris Man ser 3 att E C 3 3 C För att multiplicera med en enhetsmatris från höger på C krävs det att den är av ordning 3 Denna matris är E (36) Exempel 3 Vi prövar och finner att C E C, där C är samma matris som i föregående exempel och E är matrisen i (36)

12 34 INVERS MATRIS 34 Invers matris För varje reellt (komplext) tal x finns ett inverterat tal/värde, exvis till talet /3 är det inverterade talet 3 (/3) 3/ För vissa kvadratiska matriser finns en invers matris Exempel 33 Givet matrisen A i kapitel sidan 6, exempel sidan kan skrivas x A X B där A, X och B Inversmatrisen till A skrivs A, om den existerar, vilket den faktiskt gör i detta exempel Den är A Man observerar att både A A E och A A E, vilket man lätt kan kontrollera Vi använder inversmatrisen för att lösa detta ES VL HL {}}{{}}{ AX B A (A X) (A A) X E X X A B Vi får alltså lösningen X A B Med siffror x X A B dvs samma lösning som i exempel 3, Kommentarer Eftersom inversmatrisen till koefficientmatrisen existerar, så får vi har en lösning detta exempel (som i ) I exempel 3 och 4 har vi respektive med lösningar Dessa ES har samma koefficientmatris Tdligen är det dess utseende som avgör om det finns (en) lösning eller inte Detta hänger ihop med om inversmatrisen existerar eller inte Givet den kvadratiska matrisen av ordning a b A c d Ett "konditionstal" för en sådan matris är dess determinant Det är a b deta det c d a b c d ad bc Omm detta tal existerar inversmatrisen till A och den är A d b (37) ad bc c a

13 3 MATRISALGEBRA För matrisen A är deta ( ) ( ) Alltså existerar inversmatrisen, som är (Jämför med exemplet ovan) A I exempel 5 är koefficientmatrisen inte kvadratisk och kan därför inte ha en inversmatris Exempel 34 Beräkna determinanten av matrisen i exempel 3 Lösning: deta 4 ( ) ( 4) Exempel 35 Kofficientmatrisen i exempel 7 A 3 är kvadratisk och ES har en lösning Man kan misstänka att dess determinant och dess invers(-matris) existerar I själva verket är dess determinant och (således) existerar inversen Den är A 4 3 Vi multiplicerar ihop denna matris med A: A A E Pss är A A E Exempel 36 Vi löser ES i exempel 7 men denna gång mha inversmatrisen i föregående exempel Vi får att detta ES kan skrivas med matrismultiplikation, som x x A A z z Hur determinant och invers matris beräknas för matriser av ordning 3 och högre undersöker vi längre fram

14 34 INVERS MATRIS 3 Teorem Givet en kvadratisk matris A och två matriser B och C, sådana att B A A C E Då är B C Satsen säger att om det finns en vänsterinvers och en högerinvers, B respektive C, så är dessa lika Bevis: B B E B (AC) (B A) C E C C Exempel 37 ES i exempel 5 har koefficientmatrisen A 3 Man kan lätt visa att A v : 3 3 är vänsterinvers till A, dvs A v A E men A A v E, dvs A v är inte högerinvers Vi vet att ES i exempel 5 saknar lösning Vad händer om vi löser detta ES med A x A 3 3 v? ) A x v A ) x E 3 x A v Uppenbarligen är denna lösning falsk eftersom detta ES saknar lösning Var ligger "felet"? jo, vi har bara en implikation " " vid *) För att få implikationen måset vi multiplicera med A från vänster i likheten **) Detta ger A 3 3 A A v A 3 A v 3 men A A v E, enligt ovan, dvs A v är inte högerinvers Vi kan slutligen verifiera att lösningen är falsk genom att sätta in lösningen i den urprungliga ekvationen: A 3 5 4,

15 4 3 MATRISALGEBRA Kommentarer Vissa matriser A av tp m n, med m > n har vänsterinvers A v matris kan inte vara högerinvers till A men denna Användningen av en sådan vänsterinvers begränsar sig alltså till att man antingen vet att det finns en lösning eller till att ta fram en lösning och sedan kontrollera om den är sann eller falsk i den ursprungliga matrisekvationen x Exempel 38 Lös ekvationssstemet x 7 3x + 9 föregående exempel med samma metod som i Lösning: A x v A x A v 7 9 Vi sätter in denna lösning i den ursprungliga matrisekvationen A och alltså är lösningen 4 3 x Invers matris med Jacobis metod Exempel 39 Matrisen A Högerled är B : 3 vi bestämma A Vi ser A X( är koefficientmatris i exempel 7 Vi skall lösa detta ES mha invers matris Alltså skall x x x 3 x x x 3 x 3 x 3 x 33 ) som en okänd matris av tp 3 3 (ordning 3) X skall uppflla AX E Detta skriver vi som en totalmatris, som vi sedan överför på radreducerad form 3 Denna sista totalmatris betder 3 E X 3 {alltså} X A

16 34 INVERS MATRIS 5 Alltså kan vi lösa matrisekvationen x z A x z B : A B Matrisekvation Exempel 3 Vi skall nu lösa matrisekvationen (dvs bestämma matrisen X) där A A X X + B och B 3 Lösning: Vi skriver om ekvationen som B A X X A X E X (A E) X X (A E) B, om inversmatrisen (A E) existerar Nu är A E 3 Alltså existerar inversen, som är (A E) det 3 3 Matrisekvationen hr alltså lösningen X (A E) B Transponatmatris Vi transponerar först en matris av tp 3 Givet matrisen a, a A, a,3 a, a, a,3 Dess transponat är matrisen A T a, a, a, a, a,3 a,3

17 6 3 MATRISALGEBRA Definition Givet matrisen A (a j,k ) av tp m n Transponatmatrisen är då A T (a k, j ) av tp n m Exempel 3 Givet ES i exempel Det kan skrivas som en matrisekvation A X B x där A, X och B Vi skall "vända" på samtliga matriser och ändå få samma ES samtliga matriser: A T Vi ser att matrisekvationen kan skrivas, X T x och B T X T A T B T, om vi multiplicerar ihop matriserna i VL och sätter produkten lika med HL Utraäknat blir ju detta X T A T x x B T som är det ursprungliga ES Observera att tp X T och tp A T, så att martrisprodukten i V L existerar och är av tp HL:s matris är också av tp Allmänt gäller att B T A T (A B) T (38) Bevis: HL: Element på plats (k,i) i (A B) T är detsamma som element på plats (i,k) i A B Detta element är produkten av rad i i A och kolonn k i B VL: Element på plats (k,i) i B T A T är produkten av rad k i B T och kolonn i i A T, dvs produkten av kolonn k i B och rad i i A 34 Nollmatris och homogent ES En nollmatris är en matris med alla element B är nollmatrisen av tp 3 Ett homogent ES har ett HL, som matris är ren nollmatris Exempel 3 Följande ES skrivet som en matrisekvation är ett homogent ES (Samma koefficientmatris som i exempel 5) A X,

18 34 INVERS MATRIS 7 där A 3, X x och (därmed) Man ser att x z är lösning Detta är tpiskt för ett homogent ES På matrisform 3 Vi ser att rangen för koefficient- och totalmatris är lika Detta är också tpiskt för ett sådant ES Antal lösningar är i detta fall Allmänt har ett homogent ES eller med lösningar Exempel 33 Följande ES har samma koefficienmatris som i exempel 6 men homogent sådant är följande { x x + z och som matrisekvation x + z z På radrecuderad form Alltså en fri variabel z och således med lösningar Vi ser att rangen för koefficientoch totalmatris är lika<antal variabler 3 Svar: x t t, t R z t