c11 c 12 c 13 c 14 c 21 c 22 c 23 c 24 C = f 11 f 12 f f 1n

Transkript

1 Moment 5.., 5.., 5..3, 5..4 Viktiga exempel 5., 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7 Handräkning , 5.-5., , 5.33 Datorräkning Problem 5 till 4 i detta dokument Matriser Definition. En matris är ett schema med m rader och n kolonner (eller kolumner, som vi kallar dem i datalogin innehållande m n element. a a a 3... a n a a a 3... a n A a 3 a 3 a a 3n... a m a m a m3... a mn I denna kurs kommer matrisens elementen alltid att bestå av reella tal. B b b b 3 b b b 3 b 3 b 3 b 33 C ( c c c 3 c 4 c c c 3 c 4 Matrisen B är kvadratisk har lika många rader som kolonner. En beteckning, som ofta används är B(3 3. Matrisen C betecknas C( 4 och är rektangulär (icke kvadratiska matriser kallas rektangulära. B sägs vara av typ 3 3, C av typ 4 och A av m n. Elementens två index bestäms först av den rad r och sedan av den kolonn k, i vilka elementet befinner sig a rk. D d d d 3... d m F ( f f f 3... f n G ( g Även D(n och F( m är matriser, trots att vi oftare kallar dem kolonnvektor respektive radvektor. Det är möjligt men oftast överdrivet att skriva talet g i form av en matris G(. 3 H 5 5 I 3 Håkan Strömberg KTH Syd

2 Både H och I är kvadratiska matriser den första av ordningen 3 och den andra av ordningen 4. Definition. Nedanstående matris är en så kallad enhetsmatris. En enhetsmatris är alltid kvadratisk och dess element är alla utom på huvuddiagonalen där elementen har värdet E Beteckningen E är reserverad för enhetsmatriser. Definition 3. Nollmatrisen är rätt och slätt en matris där samtliga element är. Nollmatrisen kan vara av vilken typ, m n, som helst. Definition 4. Transponering. A B Efter att ha studerat de två matriserna A och B en stund upptäcker vi att B innehåller samma element som A. Det är bara det att elementen har bytt plats a ik har blivit b ki. B är transponat till A och skrivs A t. Detta leder förstås också till att A övergår från typ 3 4 till A t med typen 4 3. För en kvadratisk matris kan vi säga att elementen speglas i huvuddiagonalen när den transponeras. Som redan framgått betecknar vi matriser med versaler och använder företrädesvis A, B och C. Enkolumniga matriser kallar vi fortsättningsvis vektorer, som vi betecknar med gemener, som till exempel u, v och w. Enradiga matriser betraktar vi som transponat av vektorer och betecknar dem därför u t, v t, och w t Definition 5. Symmetrisk matris En symmetrisk matris är en matris där A A t. Håkan Strömberg KTH Syd

3 Matrisalgebra För matriser finns tre operationer definierade. Detta är en utvidgning av den vanliga algebran och är därför i mångt och mycket lik den. Matrisaddition. Vi skriver additionen av matriserna A och B som A + B. Denna matrisaddition är bara möjlig då matriserna är av samma typ. Det vill säga, endast då m m och n n är additionen A+B definierad för A(m n och B(m n. ( ( 3 ( 3 Additionen av de två matriserna ovan är möjlig därför att de båda är av typen. Multiplikation med skalär. Om λ är ett reellt tal, här kallat skalär och A(m n, en matris så skriver vi a a... a n λa λ a a... a n... a m a m... a mn λa λa... λa n λa λa... λa n... λa m λa m... λa mn Det vill säga varje element a ij i matrisen multipliceras med skalären. A innebär alltså att varje element i A byter tecken. Matrismultiplikation där A multipliceras med B, skrivs AB, är inte lika intuitiv, som addition. Först ett litet exempel med multiplikation av två vektorer, som får visa tekniken. Kalle ska köpa 3 st päronglass, burk Coca-Cola och 4 st salta remmar. Styckpriserna för var och en av de tre varorna är 4.5 kr, 7. kr respektive.5 kr. Vi är nu intresserade av vad Kalle ska betala totalt. Först definierar vi två vektorer a och p A 3 4 p Allt kan uttryckas med en vektormultiplikation, a t p ( Elementen multipliceras parvis och summeras! Så över till matrismultiplikation mellan en 3-matris och en 3 3-matris. ( ( ( Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 I detta exempel har vi sex gånger genomfört den rutin, som vi utförde endast en gång i förra exemplet. Alla raderna i den första matrisen har kombinerats med samtliga kolumner i den andra. Ett krav för att matrismultiplikationen AB, A(m n och B(p q ska vara möjlig är att n p. Det vill säga att det finns lika många kolonner i A, som det finns rader i B. Om nu AB är möjlig betyder inte det att BA är möjlig eftersom detta i så fall kräver att q m. Då AB beräknas där A(m n och B(n p blir resultatet av typen (m p. Vi avslutar detta avsnitt med ett generellt uttryck som bestämmer c ik, ett godtyckligt element i C AB, där A(m n och B(n q. För att bestämma elementet i rad i och kolonn k i C, kombineras alltså rad i i A med kolonn k i B. Båda innehåller n tal. c ik a i b k +a i b k +...+a in b nk Det är frestande att skriva detta uttryck med hjälp av summasymbolen. c ik n a is b sk s Definition 6. En diagonalmatris är en kvadratisk matris där elementen utanför huvuddiagonalen är. a... a a mm För element a ij på huvuddiagonalen gäller i j. Dessa element kallas diagonalelement. En enhetsmatris E är ett specialfall av en diagonalmatris. Definition 7. En kvadratisk matris där alla element ovanför huvuddiagonalen är kallas undertriangulär matris. A a... a a... a 3 a 3 a a m a m a m3... a mm Följdaktligen kallas en kvadratisk matris där alla element under huvuddiagonalen är för övertriangulär matris. a a a 3... a m a a 3... a m A a a 3m a mm Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 Definition 8. Trace. Summan av diagonalelementen i en kvadratisk matris kallas trace och betecknas tr. Ibland används på svenska ordet spår. A Vi skriver tra a +a +a 33 +a 44 a a a 3 a 4 a a a 3 a 4 a 3 a 3 a 33 a 34 a 4 a 4 a 43 a 44 Invers matris Ekvationen ax b är en linjär ekvation där a och b är givna reella tal. Om a har ekvationen en entydig lösning, x a b. Om a och b saknar ekvationen lösning. Om däremot både a och b finns det oändligt många lösningar eftersom alla reella tal x löser ekvationen. Det är möjligt att tänka sig en liknande ekvation uttryckt med matriser och vektorer. A x b Där A(n n, x(n och b(n. Med detta kan vi till exempel mena, för n 3 a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 där vektorn x innehåller de tre obekanta och resten av elementen är kända reella tal. Genom att utföra multiplikationen i vänsterledet ser vi tydligt att matrisekvationen inte är något annat än ett ekvationssystem. x x x 3 a x +a x +a 3 x 3 b a x +a x +a 3 x 3 b a 3 x +a 3 x +a 33 x 3 b 3 Lösningen till matrisekvationen (eller ekvationssystemet skrivs x A b I den inledande ekvationen multiplicerade vi båda leden med a. I vänstra ledet leder a a. I den senare ekvationen multiplicerar vi båda leden med A där A A E. Vi är alltså på jakt efter en matris A α α α 3 α α α 3 α 3 α 3 α 33 sådan att A A E. Om vi finner denna matris har vi också lösningen till matrisekvationen eftersom x A b x α b +α b +α 3 b 3 x α b +α b +α 3 b 3 x 3 α 3 b +α 3 b +α 33 b 3 b b b 3 Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 Det reella talet i första ekvationen motsvarar alltså enhetsmatrisen E(n n i den andra. Matrisen A till A kommer framöver att visa sig spela en viktig roll i matrisalgebran. Från början hade vi tre obekanta nu har vi 9. Det är därför rimligt att fråga sig vad det är för vits med detta! Vi återkommer senare med ett helt kapitel om linjära ekvationssystem, där vi på liknande sätt som ovan kommer att diskutera antalet lösningar. Just nu koncentrerar oss i stället bara på att A (n n är en matris sådan att och fastslår AA A A E Definition 9. Den kvadratiska matrisen A sägs vara inverterbar om det finns en matris A sådan att A A AA E Matrisen A sägs vara invers till A. Matrisen A( har inversen A eftersom A A AA E. ( ( A A 3 ( ( ( ( ( ( Att för hand finna A till en given matris A är ofta ett mödosamt arbete som vi med varm hand överlämnar åt Mathematica. Det finns ett antal mer eller mindre effektiva metoder för detta arbete, där vårt program är utrustat med god kunskap. Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 Determinanten till en matris I detta kapitel definierar vi determinanten till en kvadratisk matris endast som ett tal och återkommer i senare kapitel med en geometrisk tolkning av detta tal Definition. Determinanten för en matris av typ är det tal som definieras av ( a a det A det a a a a a a a a a a Definition. Determinanten för en matris av typ 3 3 är det tal som definieras av a a a 3 a a a 3 det A det a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 a 3 a 3 a 33 a a a 33 +a a 3 a 3 +a 3 a a 3 a a 3 a 3 a a a 33 a 3 a a 3 När vi nu ska definiera determinanten för en matris A(n n måste vi först införa begreppet permutation. Definition. En permutation av heltalen {,, 3,... n} är en uppräkning av dessa n tal i någon ordning utan att repetera eller utelämna något tal. Talen {,, 3} kan räknas upp på 6 olika sätt och talen {,, 3, 4} på 4. Kanske känner du till att n olika element kan ordnas på n! olika sätt. En permutation av heltal kan ha en defekt. Om vi betraktar två av talen, vilka som helst, i permutationen och finner att det vänstra talet är större än det högra har vi upptäckt en defekt. Permutationen {3, 4,, } har 4 defekter. 3 > 3 > 4 > 4 > Betraktar vi definitionerna av determinanten för matriser av ordning och 3, ser vi att i varje term finns exakt ett element från varje rad och kolumn de n! termerna består var och en av n faktorer. Framför hälften av de n! termerna finns ett minustecken och framför den andra häften ett plustecken. Det är här defekterna kommer in i bilden! Definition 3. En permutation kallas jämn om den har ett jämnt antal defekter och udda om den har ett udda antal defekter. En term i utvecklingen av en determinant a p a p a 3p3...a npn kan alltid ordnas i stigande radindex. Det finns ju exakt ett element från varje rad i termen. Genom att efter det betrakta termens kolonnindex kan vi avgöra om permutationen av dessa är udda eller jämn. En udda permutation leder till ett minustecken och en jämn permutation till ett plustecken. Definition 4. Determinanten till en matris A(n n betecknas det A och innehåller n! termer a p a p a 3p3...a npn där kolonnindex genomlöper samtliga n! permutationer. Tecknet för varje term beror på om permutationen är udda eller jämn. Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 Att bestämma determinanten till A( innebär, så långt vi vet, att bestämma värdet hos! termer. Varje term innehåller i sin tur 9 multiplikationer. Totalt behövs operationer, inklusive additionerna, för att fullfölja beräkningarna. Att matematiker jagat metoder att förenkla detta arbete är lätt att förstå. Dessa metoder bryr vi oss dock inte om här eftersom vi har en dator som kan göra jobbet och ett program som känner till effektiva metoder. Vilken roll determinanten spelar i den linjära algebran kommer du själv att upptäcka längre fram. Problem. Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkterna (,,, (,3, och (,,4. Svara på parameterfri form (normalform. Svar. Vi bildar först två vektorer v P P (,3, och u P P 3 (,,4. Sedan använder vi, för att variera oss, formeln: Med punkten P (x,y,z och riktningsvektorerna r (a,b,c och r (a,b,c får man ekvationen med hjälp av följande determinant x x y y z z a b c a b c I vår uppgift x y z (x ( 4y ( 3z x 4+8y+6z Svar: x+8y+6z 4 eller något enklare 6x+4y+3z Problem. Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkterna (,,, (,3, och (,,4. Svara på parameterform. Svar. En betydligt enklare uppgift, speciellt om vi använder v och u från uppgiften ovan. Vi kan då direkt skriva x s t y +3s+t z +s+4t x s t y 3s z 4t Problem 3. Bestäm avståndet från origo till planet 6x+4y+3z. Svar 3. Åter ska vi använda en rak formel som snabbt leder till svaret Med punkten P (x,y,z och planets ekvation Ax+By+Cz+d kan avståndet direkt bestämmas med hjälp av följande formel: d Ax +By +Cz +D A +B +C Det ger i vår uppgift d Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 Problem 4. Ange på parameterfri form ekvationen för planet Svar 4. Vi har givet (x,y,z (,,5 +s(,, +t(,, x s t y +s+t z 5+s+t och kan plocka ut en punkt P (,,5 och två riktningsvektorer v (,, och u (,,. Sedan kan vi direkt använda formeln från uppgift T4.3 a ovan: Svar: x y+z 5 x y z 5 x+(z 5 y x y+z 5 Vi har följande vektorer och matriser ( a b C ( 3 D Läxa. 5. a Ej möjligt att utföra a+ b Läxa. 5. b b T + a + 3 Läxa c Ej möjligt att utföra b+c T Läxa d Ej möjligt att utföra C+D T Läxa e D T + C ( ( 3 ( Läxa a C A+B A + B 3 3 Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 Läxa b Då A+3C 4B blir C 4 3 B 3 A C Läxa c A C B+C ger C A B C Läxa Lös ut X X ( ( X ( A 3 5 B C Läxa. 5.4 a trace (A + B trace (A + traceb ger 3 3 A+B trace (A+B trace A och trace B, som ger trace A+trace B Läxa. 5.4 b A+B Läxa. 5.5 ( x y x+t t z z ( Vi ser direkt att x och z, som i sin tur ger t och till sist y +, y Läxa α + β β + γ γ Vi får genom huvudräkning γ, β och α 3 Håkan Strömberg KTH Syd

11 Läxa a ( λ λ + ( µ µ µ + ( ν ( 3 Vi får först µ, som direkt leder till λ. Därefter får vi ν 3 Läxa b ( λ λ + ( µ µ µ + ( ν ( ++ A Läxa a AB ( ( B C ( ( Läxa b AC ( ( ( Läxa c BC Läxa d CA ( Läxa. 5. e BA T A ( 3 B ( 4 3 C 3 3 Läxa. 5. a Matriserna har följande ordning A( 3, B( 3, C(3 Följande multiplikationer är möjliga: AC ger,bc ger, AB T ger. Håkan Strömberg KTH Syd

12 Läxa. 5. b AC ( ( ( BC ( ( ( AB T ( Läxa c 3 ( A T BC ( ( Läxa ( 3 AB 5 4 ( ( ( BA ( ( ( ( Ekvationen BA x B (, T ( ( x x ( ( ( x x ( 4 5 Ger x och x 5 Läxa ( cosx sinx sinx cosx ( cosx sinx sinx cosx ( cos x+sin x cosx sinx cosx sinx cosx sinx cosx sinx cos x+sin x ( Trigonometriska ettan : sin α+cos α. cosx sinx Håkan Strömberg KTH Syd

13 Läxa ( a b b a ( c d d c ( ac bd ad+bc bc ad ac bd Läxa x T A x ( x y z ( x+3y+5z x+4y+6z 3x+5y+7z x y z x y z x +3xy+5xz+xy+4y +6yz+3xz+5yz+7z x +4y +7z +5xy+8xz+yz Läxa a AB ( ( ( 4 Läxa b ( BA Läxa c BC ( Läxa a A+B (A+B A AB AB A +AB+B ( ( ( ( ( ( ( + ( ( ( ( ( + ( ( ( ( ( ( + ( 4 4 Håkan Strömberg 3 KTH Syd

14 Läxa b Läxa A B ( (A+B(A B A B A+B ( ( ( a a A a a ( ( ( ( ( ( ( ( A T a a a a ( ( ( A a a a a a +a a a a +a a a a a a a a +a a a a +a ( (A T a +a a a a +a a a a +a a a a +a ( ( ( (A T a a a a a +a a a a +a a a a a a a a +a a a a +a " Läxa a Då A(3 8 och B(8 4 så är AB möjlig men inte BA. Läxa b Då A(3 8 och B(8 3, så är både AB och BA möjliga. Läxa c Då A(5 5 och B(5 5, så är både AB och BA möjliga. Sannolikheten att de ska ge samma resultat är mycket liten. Läxa Med hjälp a Kirchoffs lag får vi fram följande ekvationer: E i R +i R +i 5 R 5 i R +i 4 R 4 i 3 R 3 3 i 4 R 4 +i 6 R 6 i 5 R 5 4 i i +i 3 5 i i 4 +i 5 6 i 3 +i 4 i 6 Antag att R Ω och övriga R i,i...6 är Ω och E V. i...i 6 ska beräknas. Vi har ett ekvationssystem med sex ekvationer och sex obekanta. Systemet kan skrivas på matrisform på följande sätt: R R R 5 i E R R 3 R 4 i R 4 R 5 R 6 i 3 i 4 i 5 i 6 Håkan Strömberg 4 KTH Syd

15 Genom denna uppgift föregår vi teorin om ekvationssystem. Systemet löses med Mathematica a {{,,,,, }, {,, -,,, }, {,,,, -, }, {, -, -,,, }, {,,, -, -, }, {,, -, -,, } }; h {,,,,, }; Inverse[a].h Vi får strömmarna i 3,i 3,i 3 3,i 4,i 5 3,i 6 3 Läxa I s lagrar vi antalet invånare från start. a beskriver Markov matrisen. Efter ett år har har vi a.s invånare i de tre städerna a {{, /, /}, {/,, /}, {/, /, }} s {6, 8, } a.s {9, 8, 7} Efter år har vi a.a.s Efter år har vi MatrixPower[a, ].s // N och efter år MatrixPower[a, ].s // N finns det 8 (eller mycket nära invånare i varje stad. Läxa a {{h, h, h}, {h, h, h}, {h, h, h}}; b {{k, -l, -l}, {-l, m, m}, {-l, m, m}}; Solve[a a.a] ger h 3 Solve[{a.b, h /3}] ger k 4m,l m Solve[{b.b b, k 4 m, l m}] Håkan Strömberg 5 KTH Syd

16 ger k 3,m 6, 3 Läxa a {{,,, }, {,,, }, {,,, }, {,,, }}; d {{3,,, }, {, 5,, }, {,, 3, }, {,,, 3}}; b {{,,,,,, }, {,,,,,, }, {,,,,,, }, {,,,,,, }}; b.transpose[b] a+d Visar att likhet råder Läxa a Table[Table[, {i,, 8}], {j,, 8}] genererar en nollställd 8 8 matris. a[[, ]] ; a[[, 4]] ; a[[3, 3]] ; a[[4, ]] ; a[[5, 8]] ; a[[6, 5]] ; a[[7, 7]] ; a[[8, 6]] ; Sätter in :orna. Efter en del experimenterande ger MatrixPower[a, 3] identitetsmatris, alltså n 3. Matrisdefinition En matris definieras i Mathematica som en lista av listor där varje rad i matrisen är en lista. 3 A skrivs in a{{,,3},{5,5,-},{3,,}} och B b{{,-,,-},{-,,-,},{,-,,-},{-,,-,} Håkan Strömberg 6 KTH Syd

17 Eftersom namn i Mathematica, som inleds med versal (stor bokstav i första hand är reserverade för Mathematica s egna funktioner och variabler, använder vi gemener (små bokstäver som beteckning på matriser. Delar av matris Delar av en matris ett element eller en rad får man fatt i genom att använda sig av [[...]]. Till exempel xa[[3,]], som tilldelar x värdet, tredje radens andra element i A. Att man i Mathematica använder sig av dubbla hakparenteser beror på att alla andra parentesbeteckningar redan är upptagna! ra[[]] tilldelar variabeln r listan som består av hela andra raden, {5,5,-} Matrismultiplikation Man multiplicerar två matriser A och B genom att skriva a.b. Där punkten betecknar matrismultiplikation. En förutsättning för att operationen ska fungera är förstås att A har lika många kolumner som B har rader. Men det har vi ju redan sagt. Vi återgår till exemplet med Kalles godisinköp och definierar antalsvektorn som a{3,,4} och inte som en matris med en rad a{{3,,4}}. Prisvektornskrivs in på samma sätt p{4.5,7.,.5} och inte som en matris med tre rader och en kolumn, p{{4.5},{7.},{.5}}. Även om de mer omständliga skrivsätten är möjliga och kanske mer korrekt. Vektorerna a och p kan nu multipliceras genom a.p. Det går nu lika bra att skriva p.a, vilket kan vara förvirrande. Med det andra skrivsättet är vi dock låsta till det enda, strikt korrekta, a.p. Anledningen är att Mathematica anpassar listan a till en passande vektor. Multiplicera matris med skalär Om samtliga priser i p ska räknas upp med % skriver vi. p. Varje element i vektorn p kommer då att multipliceras med. Enhetsmatrisen Med hjälp av funktionen IdentityMatrix[4] ordnar vi direkt enhetsmatrisen Transponering Matrisen A definierad a{{,3},{5,8}} transponeras med hjälp av funktionen Transpose[a] och resultatet blir förstås ( Matrisinvertering Inverse[a] beräknar inversen till matrisen A. a{{,/,/3},{/,/3,/4},{/3,/4,/5}} Inverse[a] Håkan Strömberg 7 KTH Syd

18 Mathematica svarar med {{9, -36, 3}, {-36, 9, -8}, {3, -8, 8}} som alltså är inversen A till A. b{{,},{,}}; Inverse[b] När man försöker bestämma inversen till en matris som saknar invers får man felutskriften LinearSolve::nosol: Linear equation encountered which has no solution. Determinanten Determinanten till matrisen A definierad a{{,3},{5,8}} erhålls genom Det[a] och ger svaret. När vi vill ta reda på för vilka värden på x determinanten är > skriver vi först a{{,-x,,-},{-,x,-,},{,-x,,-},{-,x,-,}} Det[a] och får reda på att det A för alla x. Problem 5. Utför matrismultiplikationen för hand och verifiera ditt resultat med hjälp av Mathematica. ( ( a a b b a a b b Svar 5. Resutatet av multiplikationen blir ( a b +a b a b +a b Detta åstadkoms med Mathematica genom a{{a,a},{a,a}}; b{{b,b},{b,b}}; a.b a b +a b a b +a b Problem 6. Matrisen A Skrivs som bekant in i Mathematica genom a{{,-,5},{3,,8},{-,3,}}//matrixform Håkan Strömberg 8 KTH Syd

19 Men vad uträttar funktionen MatrixForm? Är det någon skillnad mellan denna funktion och TableForm? Svar 6. MatrixForm används i Mathematica för att få utskriften av en matris ordnad i rader och kolumner. TableForm ger i princip samma resultat för vår användning vid utskrift av matriser. Det är bättre att dela upp satsen i uppgiften på två, eftersom olyckligtvis a annars inte kan användas i vidare beräkningar. a{{,-,5},{3,,8},{-,3,}}; MatrixForm[a] Den första raden definierar a och den andra skriver ut den på redigerad form. Problem 7. Två matriser A och B multipliceras som bekant i Mathemetica genom a.b. Men vad händer när man skriver a*b och a^? Svar 7. Asterisken kan användas på tre sätt tillsammans med matrisen ( a a A a a a{{a,a},{a,a}}; b{{b,b},{b,b}}; c{c,c}; a*b//tableform a*c//tableform a*d//tableform a^//tableform med följande resultat ( a b a b ( a c a c ( a d a d a b a b a c a c a d a d a leder fram till ( a a a a Bortsett från a*d, matris som multipliceras med skalär, är dessa operationer ovanliga och ingår inte i matrisalgebran. Hur kan man med hjälp av * åstadkomma resultatet ( a c a c a c a c Problem 8. Operationerna A T A och AA T är alltid möjliga att utföra. Vad kan man säga om resultattypen, oavsett hur A ser ut? Svar 8. Om A(m n så får A t A typen n n och AA t typen m m. Båda produkterna är alltså alltid definierade och leder fram till kvadratiska matriser. Håkan Strömberg 9 KTH Syd

20 Problem 9. Kommutativa lagen under multiplikation. Redan i lågstadiet upptäckte du denna lag för reella tal att Gäller denna lag även för matriser? AB BA Svar 9. Eftersom den kommutativa lagen inte gäller för matriser räcker det med ett motexempel. a{{a,a,a3},{a,a,a3},{a3,a3,a33}}; b{{b,b,b3},{b,b,b3},{b3,b3,b33}}; ca.b-b.a; c[[,]] Om AB BA så är C men elementet c a b + a 3 b 3 a b a 3 b 3 för det mesta skilt från noll. Detta betyder nu inte, att för alla par av matriser AB BA. Vi återkommer i senare uppgifter med matriser som kommuterar Problem. Lös matrisekvationerna A Svar. Tre matrisekvationer ( a{{4,3},{3,-4}}; b{{-33,5},{-4,7}}; x{{x,x},{x,x}}; Solve[b+xa] Solve[b+x3a] Solve[3(a-xb] Resultaten blir i tur och ordning: B B+X A A+X 3A 3(A X B ( x 47, x 9, x 37, x 3 x 8, x 6 x 87, x 76 x 36, x, x 9, x 76/3 Problem. Lös ekvationen Svar. En determinatekvation x 6 x 4 x m{{x,,6},{-,x,},{,,4-x}}; Det[m] Solve[Det[m]] Håkan Strömberg KTH Syd

21 Detterminanten leder fram till ekvationen x 3 4x +x+6 som har de tre rötterna x, x, x 3 3 Problem. Bestäm a så att det A 34 a 5 A a 3a 3 9 Svar. En enkel matrisekvation med två lösningar a /9 och a. m{{,a,5},{a,,3a},{3,,9}}; Solve[Det[m]-34] Problem 3. Skriv en funktion i Mathematica, som tar emot en kvadratisk matris och som returnerar summan av elementen i huvuddiagonalen. Denna funktion kallas trace och brukar förkortas tr. Funktionen finns numera inbyggd i Mathematica och heter Tr. Svar 3. En Matematicafunktion efterlyses, som tar emot en kvadratisk matris och returnerar tr(a. summan av alla element a ij där i j. trace[a_]:sum[a[[i,i]],{i,,length[a]}] b{{,3,5},{4,,3},{3,,}}; trace[b] i exemplet blir tr(b 4 Problem 4. Beräkna tr ( AA t där och uttryck resultatet med ord! A a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 Svar 4. Vi använder oss av funktionen från uppgift 3. I vårt exempel tar vi först en godtycklig matris M ( 3. och beräknar M t M (3 3. trace[a_]:sum[a[[i,i]],{i,,length[a]}] m{{a,a,a3},{a4,a5,a6}}; trace[transpose[m].m] Resultatet blir a +a +a 3 +a 4 +a 5 +a 6 och vi anar att tr ( A t A m n i Summan av kvadraten på elementen i matrisen. Dessutom kan konstateras att tr ( AA t tr ( A t A j a ij Håkan Strömberg KTH Syd

22 Problem 5. Följande matriser är givna 3 ( A 4 B D Beräkna de uttryck som är definierade F C ( a A+D b D F c 5A d 7C e B C f 4F 3D g 3(D+F h A A i tr(d j tr(d 3F k 4tr(7B l tr(a Svar 5. Följande matrisuttryck är definierade med resultatet D F 5A C ( A A 4F 3D 3(D+F Dessutom är tre uttryck med trace möjliga att beräkna tr(d 5 tr(d 3F 5 4tr(7B 68 tr[m_]:sum[m[[i,i]],{i,,length[m]}] a{{3,},{-,},{,}}; b{{4,-},{,}}; c{{,4,},{3,,5}}; d{{,5,},{-,,},{3,,4}}; f{{6,,3},{-,,},{4,,3}}; d-f 5a -7c 4f-3d -3(d+f a-a tr[d] tr[d-3f] 4tr[7b] Håkan Strömberg KTH Syd

23 Problem 6. Matriserna A och B är kvadratiska med samma ordning. Är det sant att (AB A B Svar 6. Normalt gäller inte sambandet vilket enkelt visas med detta exempel a{{,3},{4,-}}; b{{,4},{3,3}}; a.b.a.ba.a.b.b Mathematica svarar med False. Nedan följer en utredning som tar reda på samtliga par av matriser A och B av typen sådana att (AB A B gäller med tillägget att det A och det B. Här ska dessutom (a a st+a t a s med a. ( (a a a a s+a t a s A B a a a a s t En fyrparametrig lösning där diagonalelementen i A är lika och där s, t, u och v kan anta alla reella värden. ( ( a s t A B a u v Förutom att a och t måste (a a s+a t ( (a a a a s+a t A B s a a t Inga speciella krav på de ingående elementen. ( a A B a ( s t a{{a,a},{a,a}}; b{{b,b},{b,b}}; m(a.b.(a.b; m(a.a.(b.b; Reduce[mm,{b,b,b,b}]//Simplify m{{5/,},{,}}; m{{4,},{4,}}; m.m.m.m-m.m.m.m Körningen avslutas med ett exempel med två matriser där sambandet gäller. Problem 7. Följande sats i Mathematica genererar en lista a med slumpmässiga heltal x 5 Håkan Strömberg 3 KTH Syd

24 atable[random[integer,{,5}],{i,,}] Genom att först studera Table i hjälpen, ska du nu konstruera en sats som genererar en slumpmässig matris B av typ 4 5. Elementen ska vara heltal och variera mellan b ik Svar 7. Table-satsen måste ha två index för att kunna generera en matris. Det är j som stegar snabbast och som håller reda på kolumnen. Varje gång i stegar fram har en rad genererats. atable[random[integer,{-,}],{i,,4},{j,,5}] Problem 8. När två matriser A(m n och B(n p multipliceras utförs ett antal multiplikationer mellan elementen i de två matriserna. Skapa en formel, som beror av m, n och p som anger det totala antalet multiplikationer. Hur många additioner kommer att utföras? Svar 8. Formeln för antalet multiplikationer blir mnp och för antalet additioner mn(p. Problem 9. Bestäm a och b så att ( ( a b b 5 b a ( b b a ( Svar 9. Efter att ha definierat matriserna och satt upp ekvationen erhåller vi direkt svaret a 4 och b 3. m{{,a},{b,5}}; m{{,b},{b,a}}; m3{{b,b},{,a}}; m4{{97,5},{37,7}}; Solve[m.m.m3m4] Problem. Associativa lagen under addition. I algebran finns ett antal räknelagar, som vi anser mer eller mindre självklara. Till exempel, vid addition av tre reella tal, spelar det ingen roll i vilken ordning additionen sker. Gör det det om opertionen innehåller tre matriser i stället? (A+B+C A+(B+C Vilka krav ska man ställa på de tre matriserna A, B och C? Svar. Nedan genomförs beräkningarna med 3 3 matriser. Eftersom resultatet av sista satsen ger nollmatrisen har vi visat att den gäller för matriser av ordning 3. a{{a,a,a3},{a,a,a3},{a3,a3,a33}}; b{{b,b,b3},{b,b,b3},{b3,b3,b33}}; c{{c,c,c3},{c,c,c3},{c3,c3,c33}}; (a+b+c-(a+(b+c Håkan Strömberg 4 KTH Syd

25 Detta är förstås inget fullvärdigt bevis för matriser av godtyckliga typer. I det riktiga beviset för associativa lagen för matriser följer man ett element i taget och konstaterar att (a ij +b ij +c ij a ij +(b ij +c ij Kravet vi ska ställa på de ingående matriserna är förstås att de alla är av samma typ. Sats. Associativa lagen under addition För matriser gäller den associativa lagen A+(B+C (A+B+C Problem. Associativa lagen under multiplikation. Som lagen ovan men nu för multiplikation (AB C A(BC Som bevis räcker att du med Mathematicas hjälp undersöker lagen, för tre matriser, av typen 3 3, vars element alla utgörs av variabler. Svar. Denna lag är kanske inte lika intuitiv som den för addition. Med samma teknik som i förra uppgiften, kan vi enkelt visa att lagen gäller för 3 3-matriser. Sista satsen ger en nollmatris, vilket betyder att de två produkterna är lika för alla tänkbara element a{{a,a,a3},{a,a,a3},{a3,a3,a33}}; b{{b,b,b3},{b,b,b3},{b3,b3,b33}}; c{{c,c,c3},{c,c,c3},{c3,c3,c33}}; (a.b.c-(a.(b.c I det mer seriösa beviset visar man att två motsvarande element i de båda produkterna är lika. Om A(m p, A(p q och A(q n och X (AB C och om Y A(BC är det alltså att x ij y ij, som ska visas. Sats. Associativa lagen under multiplikation För matriser gäller den associativa lagen A(BC (AB C Problem. Distributiva lagen. Denna lag säger att det inte spelar någon roll vilken operation man utför först, på de reella talen, för att beräkna uttrycket a(b + c. Vilket betyder att a(b+c a b+a c I det vänstra uttrycket inleder man med b + c för att avsluta med multiplikation med a. Till höger multiplicerar man först och avslutar med additionen. Detta gäller för reella tal men gäller denna lag också för matriser? Är A(B+C AB+AC?. Svar. Då den sista satsen nedan ger en nollmatris som resultat vet vi att den distributiva lagen gäller för matriser av typen 3 3. a{{a,a,a3},{a,a,a3},{a3,a3,a33}}; b{{b,b,b3},{b,b,b3},{b3,b3,b33}}; c{{c,c,c3},{c,c,c3},{c3,c3,c33}}; a.(b+c-(a.b+a.c//simplify Håkan Strömberg 5 KTH Syd

26 För ett mer ambitiöst bevis, där A(m n, B(n p och C(n p används samma teknik som för den associativa lagen under multiplikation Sats 3. Distributiva lagen under multiplikation För matriser gäller den distibutiva lagen A(B+C AB+AC(A+B C AC+BC Problem 3. Hur ska kolonnvektorn v se ut för att ge resultatet nedan och vad utgör resultatet? Du klarar kanske uppgiften genom huvudräkning v v v 3 Svar 3. Löser vi ekvationssystemet blir resultatet en kolonnvektor v med enbart ettor. Multiplikationen Av ger en vektor s, där elementen utgör summan av elementen i matrisens rader. a{{4,6,9},{,5,5},{3,9,8}}; v{v,v,v3}; c{9,,}; Solve[a.vc] 9 Problem 4. Bestäm a och b så att M M M M ( ( a a M M 3 b a+ b Svar 4. Vi tecknar matrisekvationen och får lösningen direkt med hjälp av Solve. m{{a,},{3,b}}; m{{,a},{a+,b}}; Solve[m.mm.m,{a,b}] Ekvationen ger lösningen a och b 7. Håkan Strömberg 6 KTH Syd

27 Svar: Fotbollsturneringen AIK har varit inblandade i både oavgjorda matcherna. AIK s matcher kan ha slutat: (-,-,3- eller (-,-,-. Vi antar att de första resultaten gäller. Om AIK spelade (- mot Göteborg, så har de andra två matcherna slutat (-4,-5 för Göteborg. Vi antar att AIK- Göteborg blev (-. Detta betyder att AIK-Hammarby slutade (- och AIK-Djurgården (3-. Hammarbys återstående matcher slutade då antingen (-,5-, (3-,4- eller (4-,3-. Den mittersta kan inte gälla eftersom (3- är upptaget. Om vi antar att Hammarby- Göteborg (5- så slutade Djurgården-Göteborg (4-. Återstår sedan matchen Hammarby- Djurgården (-. AIK - Djurgården IF 3 - Hammarby IF - IFK Göteborg 5 - IFK Göteborg - AIK - Djurgården IF - Hammarby IF - AIK - Hammarby IF - IFK Göteborg - Djurgården IF - 4 Vi har gjort två antaganden på vägen och haft stor tur. Hade vi antagit fel hade vi också blivit tvungna att backa. Dagens problem: Nio hagar Figuren visar 9 hagar, numrerade...9. I varje hage finns ett djur, en gris, en ko, en häst eller ett får. Alla de fyra djuren är representerade Åtminstone en gris går i en hage inklämd mellan två hagar med kor Varje häst går i en hage som ligger mellan två hagar med grisar Ingen ko går i en hage som ligger intill en hage med en häst i Det finns bara ett får och dess hage ligger inte intill en hage med en gris i Åtminstone två hagar med en gris i ligger intill varandra Vilka är djuren i de olika hagarna? Med intill och mellan menas hagar som har en gemensam sida. Håkan Strömberg 7 KTH Syd