Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003

Transkript

1 Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Mikael Forsberg 12 augusti 2003 Innehåll 1 Kursbok 2 2 Kursinnehåll Kursens uppläggning Målsättning Läsanvisningar Kapitel 1: Linjära ekvationssystem Sektion 1.1: Introduktion Sektion 1.2: Gausselimination Sektion 1.3: Homogena ekvationer Kapitel 2: Matrisalgebra Sektion 2.1, Matrisaddition, multiplikation med skalär och transponering Section 2.2, Matrismultiplikation Section 2.3, Matrisinvers Section 2.4, Elementära matriser Kapitel 3: Determinanter Section 3.1: Laplaceutvecklingen = Kofaktorutveckling Section 3.2: Determinanten och matrisers invers Kapitel 4: Vektorgeometri Kapitel 4.1: Vektorer och linjer Kapitel 4.2: Vektorer och linjer Kapitel 4.3: Plan och kryssprodukt Kapitel 4.4: Minsta kvadratmetodexempel, tas upp i samband med kapitel Kapitel 5: Vektorrum Kapitel 5.1: Exempel och grundläggande egenskaper Kapitel 5.1: Exempel och grundläggande egenskaper Kapitel 5.2: Delrum och uppspännande mängder Kapitel 5.3: Linjärt oberoende och dimension Kapitel 5.4: Basers existens Kapitel 5.5: Matrisens rang

2 3.6 Kapitel 6: Egenvärden och diagonalisering Kapitel 6.1: Egenvärden och similaritet Kapitel 6.2: Diagonalisering : Ortogonalitet i R n : Ortogonal diagonalisering : Kvadratiska former : Minsta kvadratmetoden + Kapitel Kapitel 7: Linjära avbildningar Räkneuppgifter 10 1 Kursbok Kursbok är Nicholsons Linear algebra with applications, senaste upplagan. Kompletterande material och föreläsningsanteckningar kommer att delas ut under kursens gång. Detta material kommer även vara tillgängligt på kursens hemsida: mfg/linalg/ 2 Kursinnehåll 2.1 Kursens uppläggning Väsentligen behandlar kursen bokens 6 första kapitel. I mån av tid gör vi sedan en översikt över framförallt kapitel 7 om linjära avbildningar Av läsanvisningarna framgår det att ett visst urval är gjort. Kursens undervisning kommer att betona framförallt kapitel 6. Den som behärskar materialet i detta kapitel kommer också behärska de föregående. Undervisningen kommer att vara upplagd så att detta material kommer att tas upp parallellt med de andra kapitlen. 2.2 Målsättning Låt oss beskriva vilka våra mål är. 2

3 3 Läsanvisningar 3.1 Kapitel 1: Linjära ekvationssystem Sektion 1.1: Introduktion Viktiga begrepp: Linjär ekvation, ordnad n-tuppel, lösning till en linjär ekvation, geometrisk tolkning av linjära ekvationssystem. Övningsuppgifter: 1.1: 1, 2, 6, 8, Sektion 1.2: Gausselimination Metoderna i denna sektion behövs i hela kursen och skall behärskas fullständigt av alla. Viktiga begrepp: Ekvationssystem på matrisform, de elementära radoperationerna,, konsistent och inkonsistenta system, row-echelon, reducerad rowechelon, Gausselimination=Gaussalgoritmen, ledande variabeln, matrisens rang, lösningens strukturer, Övningsuppgifter: 1.2: 2a, 3ad, 4ac, 5ac, 6a,7c, 8a, 11, 16, Sektion 1.3: Homogena ekvationer Viktiga begrepp: Homogen ekvation, trivial och icketriviala lösningar, linjärkombination. Övningsuppgifter: 1.3: 1, 2, 3, 5acf, 6, 7 3

4 3.2 Kapitel 2: Matrisalgebra Sektion 2.1, Matrisaddition, multiplikation med skalär och transponering. Viktiga begrepp: Matris, matrisens format, element, rader, kolonner, matrisaddition, multiplikation med skalär, räkneregler( theorem 1), matrisens transponat och dess räkneregler (theorem 2), symmetrisk matris. Övningsuppgifter: 2.1: 2, 3, 11, 12, 13, 14, 15, 16, Section 2.2, Matrismultiplikation Viktiga begrepp: matrismultiplikation, multiplikationskompatibla matriser, matrismultiplikation är inte kommutativ, räkneregler för matrismultiplikation (theorem 1, s51), ekvationssystem kan ses som matrisekvationer, homogena ekvationer, blockmatriser, blockmultiplikation. Övningsuppgifter: 2.2: 1, 2, 5, 6, 7, 12, 13, 20, Section 2.3, Matrisinvers Viktiga begrepp: Inversen till en matris, matrisinversen är unik, räkneregler (theorem 2, s 66), Ax = b är alltid lösbar om A är inverterbar, matrisinverteringsalgoritmen. Övningsuppgifter: 2.3: 1, 2, 3, 4, 11, 18, Section 2.4, Elementära matriser Detta är ett viktigt avsnitt för att förstå hur radoperationer kan formaliseras och användas för att bevisa vissa satser i den linjära algebran. Viktiga begrepp: Elementär matris, radoperationer kan ersättas med multiplikation med elementära matriser, Övningsuppgifter: 2.4: 1, 2adf, 3, 6, 8, 17, 20 4

5 3.3 Kapitel 3: Determinanter Determinanten definieras för kvadratiska matriser Section 3.1: Laplaceutvecklingen = Kofaktorutveckling Viktiga begrepp: Determinanten, minor=determinant av delmatris, minorens tecken, kofaktor = tecknet gånger minoren, kofaktorutveckling=laplace expansion, determinantens räkneregler (theorem 2, s 119, theorem 3, s122, determinanten för en triangulär matris (theorem 4), determinanten för en triangulär blockmatris (theorem 5). Övningsuppgifter: 3.1: 1acefhlnp, 2, 3, 4, 6, 8, 9ac Section 3.2: Determinanten och matrisers invers Poängen här är att en matris är inverterbar om och bara om dess determinant är skild från noll. Viktiga begrepp: Produktsatsen: det(ab) = det A det B, determinanten till inversen för en inverterbar matris: det A 1 = 1 det A, determinanten för transponatet: det A T = det A, den adjungerade matrisen (adja)= transponatet av kofaktormatrisen, inversen till en matris kan beskrivas mha den adjungerade matrisen: A 1 = 1 det AadjA, Cramers regel. Övningsuppgifter: 3.2: 1, 2, 3, 5, 6, 8, 15 5

6 3.4 Kapitel 4: Vektorgeometri Viktiga begrepp: Linjens parametriska form, skalärprodukt, projektioner, plan, normalvektor, kryssprodukt Övningsuppgifter: Kapitel 4.1: Vektorer och linjer Viktiga begrepp: Vektorbegreppet och de aritmetiska operationerna, addition och multiplikation med skalär. Enhetsvektor och normalisering, koordinatbegreppet. Linjer i rummet, linjens vektorekvation och linjens parametriska form. Övningsuppgifter: 4.1: 2, 4, 5, 6, 8, 10, 16, Kapitel 4.2: Vektorer och linjer Viktiga begrepp: Skalärproduktens definition och uttryckt med koordinater och räkneregler, längden av en vektor, ortogonal, projektion, avstånd mellan punkt och linje. Övningsuppgifter: 4.2: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 32, 34, Kapitel 4.3: Plan och kryssprodukt Viktiga begrepp: Ekvationen för ett plan, Hur man med tre givna punkter bestämmer ekvationen för ett plan. Kryssprodukten, som, givet två icke parallella vektorer, ger en ny vektor som är ortogonal mot de båda givna. Hur en punkt och två vektorer bestämmer ett plan. Kryssproduktens relation till volymer. Övningsuppgifter: 4.3: 1, 2, 3, 4, 5a-e, 6d-e, 7, 24, Kapitel 4.4: Minsta kvadratmetodexempel, tas upp i samband med kapitel

7 3.5 Kapitel 5: Vektorrum Kapitel 5.1: Exempel och grundläggande egenskaper Viktiga begrepp: Övningsuppgifter: Kapitel 5.1: Exempel och grundläggande egenskaper Viktiga begrepp: R n med dess egenskaper utgör modell för det allmäna vektorrumsbegreppet. Rum av matriser och rum av polynom av visst gradtal är exempel på ändligt dimensionella vektorrum i denna allmänna mening. Det finns också oänligt dimensionella vektorrum, som tex rummet av kontinuerliga funktioner på enhetsintervallet, men dessa rum behandlas inte i denna kurs utan i någon kurs i funktionalanalys. Övningsuppgifter: 5.1: 2, 3, 6, 8, 9, Kapitel 5.2: Delrum och uppspännande mängder Viktiga begrepp: Delrum och delrumstestet. Linjärkombination, uppspännande mängd, span brukar på svenska kallas Linjära höljet. Övningsuppgifter:5.2: 1, 2, 3, 5, 6, 7, Kapitel 5.3: Linjärt oberoende och dimension Viktiga begrepp: Linjärt beroende och oberoende är centrala begrepp i den linjära algebran. Theorem 1, 2 och 3, definition av bas, Theorem 4 och definition av dimension samt Theorem 5 skall förstås. Övningsuppgifter: 5.3: 1, 2, 4, 6, Kapitel 5.4: Basers existens Viktiga begrepp: Avsnittets syfte är att visa att det finns baser i ett vektorrum. Satserna 1 och 2 visar detta. Sats 4 och 5 fördjupar förståendet. Övningsuppgifter: 5.4: 1, 2, 7, 8, 9, 10, Kapitel 5.5: Matrisens rang Viktiga begrepp: Sats 1 är viktig, radrum och kolumnrum, rangsatsen (sats 3): att dimensionen för rad och kolonnrum är lika, detta tal kallas matrisens rang. Hur man beräknar baser för rad och kolonnrum. Nollrum, Sats 5 om förhållandet mellan rang, antal kolonner och nollrummets dimension. Övningsuppgifter: 5.5: 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 18, 19, 20, 21, 33 7

8 3.6 Kapitel 6: Egenvärden och diagonalisering Kapitel 6.1: Egenvärden och similaritet. Viktiga begrepp: Definition av egenvärde, egenvektorer och egenrum. Det karakteristiska polynomets definition och egenskapen att dess nollställen är egenvärdena (Thm 1). Egenvärdena till en symmetrisk matris är alltid reella. Similär matris. Spåret = Trace. Övningsuppgifter: 6.1: 1acdef, 3, 6, 8abde, 13, 15, Kapitel 6.2: Diagonalisering. Detta är ett mycket viktigt kapitel. Viktiga begrepp: Vad menas med att en matris är diagonaliserbar. Sats 1: En n n- matris är diagonaliserbar omm den har n linjärt oberoende egenvektorer. Diagonaliseringsalgoritmen: metod för att beräkna den diagonaliserande matrisen genom att beräkna linjärt oberoende egenvektorer. Sats 2 och 3: Om en n n-matris har n stycken olika egenvärden så är matrisen diagonaliserbar. Notera att en matris med färre olika egenvärden så kan ändå vara diagonaliserbar: men enligt Sats 4 så måste egenvärdenas multiplicitet summeras och bli lika med n för att matrisen ska vara diagonaliserbar. Begreppen algebraisk och geometrisk multiplicitet är viktiga. Övningsuppgifter: 6.2: 1abcdef, 4, 7, 15, : Ortogonalitet i R n. Viktiga begrepp: Skalärprodukt i R n. Ortogonala är vektorer vars skalärprodukt blir noll, Ortogonal mängd. Ortonormal bas och hur man uttrycker vektorer i en sådan bas (Sats 4). Ortogonal delmängd av ett delrum i R n är del av en ortogonal bas för detta delrum. Icke tomma delrum har ortogonala baser. Sats 6 är viktig: Gram-Schmidts ortogonaliseringsalgoritm. Med denna kan man göra om en given bas till en ortogonal eller en ortonormal bas. Projektioner, ortogonal projektion, ortogonalt komplement, Projektionssaten (Sats 7). Övningsuppgifter: 6.3: 1, 2, 3, 8, 9abc, 10, : Ortogonal diagonalisering. Viktiga begrepp: En Ortogonal matris har kolumn och radvektorer som utgör ortonormala baser och är inverterbar där inversen är extremt lätt att räkna ut; inversen är lika med transponatet av matrisen! (Sats 1 och definition). Ortogonalt diagonaliserbar matris. Sats 2: En matris är ortogonalt diagonaliserbar omm A är symmetrisk, (alternativa namn för denna sats: huvudaxelsatsen, reella spektralsatsen) Övningsuppgifter: 6.4: 1aefg, 2, 5abef, 9, 10abc, : Kvadratiska former Viktiga begrepp: Kvadratiska kurvor, som parablar, hyperblar, cirklar och ellipser och kvadratiska ytor som sfärer, ellipsoider, paraboloider och liknande 8

9 kan alla karakteriseras mha egenvärdesmetoder. Man överför komplicerade polynom formler (de kvadratiska formerna) till en matrisformalism. Matriserna är symmetriska och kan därför ortogonalt diagonaliseras, egenvektorerna är symmetriaxlar för de geometriska figurena och genom att välja koordinater kan man hitta en kvadratisk form som ger en så enkel beskrivning av ytan som möjligt. Övningsuppgifter: : Minsta kvadratmetoden + Kapitel 4.4 Gås igenom i mån av tid, bekrivning ges därför senare. 3.7 Kapitel 7: Linjära avbildningar Behandlingen av linjära avbildningar kommer att ersättas av en introduktion till tesseleringar av planet. I detta område är begreppet symmetri centralt. Symmetrierna är avbildningar av av planet på sig själv och är dessutom affina, dvs linjära plus en translationskomponent. Genom att förstå symmetrierna så får man en insikt om linjära avbildningar vilket är syftet med det hela. Materialet finns inte i boken utan separat material kommer att delas ut. 9

10 4 Räkneuppgifter 1.1: 1, 2, 6, 8, 9 1.2: 2a, 3ad, 4ac, 5ac, 6a,7c, 8a, 11, 16, : 1, 2, 3, 5acf, 6, 7 2.1: 2, 3, 11, 12, 13, 14, 15, 16, : 1, 2, 5, 6, 7, 12, 13, 20, : 1, 2, 3, 4, 11, 18, : 1, 2adf, 3, 6, 8, 17, : 1acefhlnp, 2, 3, 4, 6, 8, 9ac 3.2: 1, 2, 3, 5, 6, 8, : 2, 4, 5, 6, 8, 10, 16, : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 32, 34, : 1, 2, 3, 4, 5a-e, 6d-e, 7, 24, : 2, 3, 6, 8, 9, : 1, 2, 3, 5, 6, 7, : 1, 2, 4, 6, : 1, 2, 7, 8, 9, 10, : 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 18, 19, 20, 21, : 1acdef, 3, 6, 8abef, 13, 15, : 1abcdef, 4, 7 6.3: 1, 2, 3, 8, 9abc, 10, : 1aefg, 2, 5abef, 9, 10abc, 13 10