LOGIK, MÄNGDER OCH FUNKTIONER

Transkript

1 LOGIK, MÄNGDER OCH FUNKTIONER KOMPLETTERANDE STUDIEMATERIAL TILL MMA121 MATEMATISK GRUNDKURS VÅRTERMINEN 2014 ERIK DARPÖ 1. Utsagor, implikation och ekvivalens En utsaga är en påstående, formulerat med matematiska formler eller vanlig text, som kan vara sant eller falskt, eventuellt beroende på någon okänd variabel. Några exempel är: a) 2 < 3; b) 2 > 3; c) 4x > 3; d) jorden är rund; e) det är måndag idag. Nedanstående exempel är inte utsagor: f) 2; g) x; h) jorden; i) måndag. Observera skillnaden mellan de två typerna: Exemplen(a) (e) är påståenden om någonting, (f) (i) är enbart namn på saker eller företeelser. Emedan de förra är antingen sanna eller falska, har de senare inget eget sanningsvärde. Det som händer när man löser en ekvation är att man har en utsaga (ofta om ett tal x) som man steg för steg omformulerar till enklare utsagor, så att man till sist kan läsa ut vad värdet av x måste vara för att utsagan skall vara sann. Till exempel: x 2 + x 3 = 10 3x 6 + 2x 6 = 10 5x 6 = 10 5x = 60 x = 12 I varje steg ersätter man den ovanstående utsagan med en annan, som är sann om och endast om den ovanstående är det. Exempelvis är den första och den andra raden sanna för samma värden på x, ty x/2 = 3x/6 och x/3 = 2x/6, så vänsterleden x 2 + x 3 och 1 3x 6 + 2x 6

2 2 ERIK DARPÖ i de båda utsagorna är lika med varandra. Likaledes gäller att exempelvis utsagorna 5x 6 = 10 och 5x = 60 är sanna precis samtidigt, eftersom den ena ekvationen kan fås från den andra genom att multiplicera respektive dividera båda led i den andra med talet 6. Att två utsagor (om exempelvis variabeln x) är sanna precis samtidigt uttrycks i matematiken ofta med en så kallad ekvivalenspil:. Lösningen av ekvationen ovan skulle alltså även kunna skrivas som: x 2 + x 3 = 10 3x 6 + 2x 6 = 10 5x 6 = 10 5x = 60 x = 12. I exemplet ovan visar kalkylen att likheten x 2 + x 3 = 10 är uppfylld om och endast om x = 12. Det är emellertid inte alltid som det typen av omskrivningar är de mest praktiska. Vissa typer av uträkningar (bland annat lösningar av rotekvationer) kan ge upphov till så kallade falska rötter. Betrakta nedanstående ekvationslösning: (1) x 2 4 x 2 = 0 x 2 4 = 0 x 2 = 4 x = ±2 Eftersom vänsterledet den ursprungliga ekvationen inte är definierat för x = 2, är detta värde inte en lösning, trots att vår kakyl verkar indikera just det. Förklaringen ligger i det första steget i uträkningen, där ekvationen x2 4 x 2 = 0 ersätts med x2 4 = 0. För att den första likheten skall kunna vara sann, måste den senare hålla (ty en kvot a/b är lika med noll endast om täljaren a är lika med noll). Dock kan x 2 4 = 0 vara sant utan att den första ekvationen är det; nämligen om x = 2: Det är klart att = 0, medan uttrycket (x 2 4)/(x 2) är odefinierat (och därmed i synnerhet inte lika med noll) för x = 2. Ekvationerna x2 4 x 2 = 0 = 0 är sann så måste även x 2 4 = 0 vara det. Detta förhållande mellan två utsagor kallas inom matematiken för implikation, och indikeras med symbolen. Vårt sista exempel skulle alltså kunna skrivas som: x 2 4 x 2 = 0 x2 4 = 0 x 2 = 4 x = ±2. och x 2 4 = 0 är alltså inte ekvivalenta, däremot gäller att om x2 4 x 2 Slutsatsen är att om x är en lösning till ekvation (1) så måste x vara lika med 2 eller 2, däremot är det inte säkert att dessa två värden verkligen är lösningar till ekvationen. För att avgöra detta måste vi sätta in dem i den ursprungliga ekvationen och testa, varvid vi ser att endast x = 2 är en lösning. Sammafattningsvis används alltså symbolerna och mellan utsagor, till skilland från exempelvis = och, som sätts mellan termer som en del av en utsaga. Låt p och q vara utsagor (som kan bero på en eller flera variabler). Då skriver man p q p q ifall p och q är sanna precis samtidigt; ifall p är sann endast om q är sann.

3 LOGIK, MÄNGDER OCH FUNKTIONER KOMPLETTERANDE STUDIEMATERIAL TILLMMA121 MATEMATISK GRUNDKURSVÅRT Analogt skriver man ibland p q ifall p är sann om q är sann (det vill säga, q är sann endast om p är sann). 2. Funktioner Låt A och B vara mängder. En funktion f : A B från A till B är en regel, som till varje element a A ordnar ett element f(a) B. Notationen a b betyder att bilden a av under en given funktion är b. De båda uttrycken f : A B, f(a) = b f : A B, a b betyder alltså samma sak. Mängden A kallas f:s definitionsmängd (domain). Ibland skriver man D f för att beteckna definitionsmängden av f. B är målmängden (codomain) till f. Värdemängden (image) till f är V f = {f(a) a A} B (skrivs ibland också f(a) eller im(f)). Elementet f(a) B kallas för bilden av a A under f. Mängden f 1 (b) = {a A f(a) = b} A är urbilden (preimage) av elementet b B. I många sammanhang anges funktioner av reella variabler enbart som formler, utan explicit angivelse av definition- och målmängd. I dessa fall är det underförstått att definitionsmängden är den största mängd för vilken funktionsuttrycket är definierat. När man till exempel stöter på ett uttryck som f(x) = x x+1 skall man tolka det som att definitionsmängden är D f = {x R x 1} (eftersom funktionsuttrycket är inte definierat för x = 1). Värdemängden består av alla tal y som kan skrivas som y = x x+1 för något x D f. Löser vi ut x ur denna ekvation får vi: y(x+1) = x yx+y = x y = x yx y = (1 y)x y 1 y = x Det sista uttrycket, x = y/(1 y), är definierat och ingår i D f om och endast om y 1. I så fall har vi att ( ) y y 1 y f = y 1 y 1 y +1 = = y 1 y 1 y = y 1 1 = y, y 1 y y+(1 y) 1 y det vill säga, y ingår i värdemängden om y 1. Om istället y = 1 så implicerar likheten y = x/(x+1) att x+1 = x, vilket inte är uppfyllt för något x, och talet 1 ligger därför inte i värdemängden. Vi har alltså visat att V f = {y R y 1}.

4 4 ERIK DARPÖ 3. Blandade övningar (1) Sätt in någon av följande symboler i uttrycket, så att det bildar en sann utsaga:,,, =,,, (a) , (b) x 2... x 1, (c) x 2 = y... x = y, (d) (x 2)(x+3) x 2 4 = 0... x = 3, (e) x+1... x 1, (f) z Q... {z Q x 2}. (2) Ange i var och ett av nedanstående fall vilken av de tre symbolerna,, som passar in. (a) x = 5... (x 5)(x 6) = 0 (b) x < 7... x < 6 (c) x 2 = x = 4 (d) x < 2... x < 2 (e) x > 3... x > 3 (f) (x 3)(x 11) 0... x 7 4 (3) Lös ekvationen genom att successsivt skriva om den som enklare, ekvivalenta uttryck. [Mellan alla steg i lösningen skall alltså en ekvivalenspil,, kunna skrivas.] (a) x2 4 x+2 = 0 (b) 3x 8 = 12x+29 (4) Bestäm definitions- och värdemängder till följande funktionsuttryck: (a) f(x) = x+2 x 2, (b) g(x) = x+7, (c) h(x) = 1 x + x+2, { x om x 0, (d) u(x) = x+1 om x < 0. (5) Funktionerna f och g är relaterade genom sambandet f(x) = g(3x). Antag att definitionsoch värdemängderna för funktionen f är D f = {x : 0 x 4} respektive V f = {y : 2 y 5}. Ange och förklara definitions- och värdemängderna för g. Mälardalens Högskola, UKK, Box 883, Västerås

5 Följande är saxat ur ett kompendium om logik och mängdlära av Clas Nordin. Hela kompendiet finns på kurshemsidan som extraläsning för den som är intresserad. Några begrepp ur mängdläran Mängdlära är en avancerad matematisk disciplin, införd av den tyske matematikern Cantor i slutet av 1800-talet. I denna teori används definitioner och beteckningar som är användbara även i mindre avancerade sammanhang. Några av dessa skall beskrivas i detta avsnitt. I matematiken arbetar man med objekt av olika slag, t ex punkter, tal, räta linjer och polynom. Man har ofta anledning att intressera sig för en samling av objekt och betrakta denna samling som en enhet. En sådan samling av objekt kallas en mängd och objekten som samlingen består av kallas mängdens element. Om man vill fortsätta ett resonemang kring en viss mängd är det bekvämt att ge den en beteckning. Exempel 1 M={efternamn på de personer mantalsskrivna i Västerås som fyller år i januari} Detta läses mängden av efternamn på de personer mantalsskrivna i Västerås som fyller år i januari. Klamrarna { } kallas i detta sammanhang mängdklamrar. Elementen i mängden är efternamn. Nordin är ett element i mängden eftersom det fanns en person mantalsskriven i Västerås med födelsedag i januari som hette Clas Gustaf Nordin. Förmodligen är Andersson ett element i M. Övning 2 a) Motivera förmodan att Andersson är ett element i M. b) Kan du genom att bara utnyttja kunskap om dig själv avgöra om ditt eget efternamn är ett element i mängden M? Motivera! c) Ange ett tal, så litet som möjligt, som är sådant att antalet element i M säkert är mindre än detta tal. Motivera ditt val. Det finns ett bestämt ändligt antal element i M. Man säger att M är ändlig. Om en mängd ej är ändlig kallas den oändlig. Lägg märke till hur vi här definierar begreppet ändlig mängd och sedan använder detta begrepp för att definiera vad som menas med en oändlig mängd. Övning 3 a) Ge ett exempel på en ändlig mängd. b) Ge ett exempel på en oändlig mängd.

6 Talmängder Nedan visas hur man kan beskriva den oändliga mängden N av naturliga tal. N={naturliga tal} ={0, 1, 2, 3,...} Denna rad läses N är lika med mängden av naturliga tal är lika med mängden av talen 0,1,2,3 osv. Elementen i N består av alla naturliga tal 0, 1, 2, 3,.... Efter trean finns ett kommatecken följt av fyra prickar. De tre första prickarna efter kommatecknet står för en konvention som innebär att uppräkningen skall fortsätta på det sätt som den påbörjade uppräkningen antyder. Den sista punkten, som föregås av ett mellanslag, är den vanliga punkt som man använder då man avslutar en mening. En viktig symbol är tillhörtecknet och tillhörintetecknet. Man skriver som läses 7 tillhör N med innebörden att 7 är ett element i N. Enklare säger man förstås att 7 är ett naturligt tal. Det är enkelt att inse hur man läser och vad detta innebär. N är en standardbeteckning i all matematisk litteratur över hela världen på mängden av naturliga tal, eventuellt med undantag av äldre litteratur där talet 0 kan vara undantaget från mängden. Resten av detta avsnitt definierar andra viktiga talmängder och anger deras standardbeteckningar. Beteckningarna är internationella. Det är en bra idé att lära sig dem och vad de står för så snart som möjligt. Z={hela tal} ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} = {0, ± 1, ± 2, } Se ovan hur man läser beteckningen för naturliga tal och fundera ut hur man kan läsa ovanstående rad. Q ={rationella tal}={tal som kan skrivas på formen a/b där a Z och b Z och där b 0} Övning 4 a) Visa med hjälp av definitionen att 3,14 är ett rationellt tal. b) Visa med hjälp av definitionen att 0 Q. c) Visa med hjälp av definitionen att 10 är ett rationellt tal. d) Vilka av de hela talen är rationella? e) Ge exempel på ett rationellt tal som inte tillhör talmängden Z. f) Ge exempel på ett x som är sådant att x Z men x N. Naturliga tal, möjligtvis med undantag av talet 0, är enkla att koppla till vardagslivet. De används när man räknar antal. De flesta människor känner inte heller något hinder att använda negativa tal, åtminstone inte i Sverige där temperaturer under noll grader betecknas med hjälp av ett minustecken. Rationella tal är inte heller svåra att koppla till vardagslivet. De flesta människor är medvetna av innebörden då man säger att någon skall ärva 2/7, två sjundedelar, av den totala kvarlåtenskapen. Möjligtvis kan det ålderdomliga ordet kvarlåtenskap ställa till problem!

7 Observera att man med 12 symboler (10 siffror, minustecken och bråkstreck) på ett lättfattligt sätt kan ange vilket som helst rationellt tal. En fantastisk uppfinning! Eftersom Q omfattar N och N är oändlig så är även Q oändlig. Att det finns tal som inte är rationella insåg redan den grupp av grekiska matematiker som förknippas med Pythagoras och verkade i Grekland mellan 585 f kr och 400 f kr. Från denna tid finns ett bevis för att längden av diagonalen i en kvadrat där sidlängden är 1 enhet inte kan uttryckas på formen a/b där a och b är heltal och b inte lika med noll. Samma bevis används fortfarande när man bevisar att 2 inte är rationellt. Tal som inte är rationella kallas irrationella. Ir är en förled som betyder icke. Mängden av irrationella tal är också oändlig och man kan i en viss, här inte definierad mening, säga att de irrationella talen är fler än de rationella. Observera att ordet fler här inte kan ha den vanliga innebörden eftersom de båda talmängderna bägge är oändliga. För att namnge irrationella tal räcker det inte med de 12 symbolerna ovan. Irrationella tal som man ofta refererar får egna beteckningar. π och e är två viktiga exempel på sådana tal. Den talmängd som består av alla rationella och alla irrationella tal tillsammans kallas mängden av reella tal och betecknas R. Det är denna talmängd som du är van att illustrera på tallinjen. Talmängden R kan utvidgas till en större talmängd, C={komplexa tal, mängden av alla komplexa tal. Att talmängden är större innebär att den förutom alla reella tal också innehåller andra slags tal. Dessa andra tal kallas icke-reella. Ett av talen i denna 2 talmängd betecknas i och uppfyller i = 1. C illustreras i det komplexa talplanet. Sammanfattning av viktiga talmängder N = {naturliga tal} = {0, 1, 2, 3,...} Z = {hela tal} = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} = {0, ± 1, ± 2, } Q = {rationella tal} = = {tal som kan skrivas på formen a/b där a Z och b Z och b 0} R = {reella tal} C ={ komplexa tal} Övning 5 a) Ange minst tre reella tal som inte är rationella. b) Ange minst ett rationellt tal som inte är ett heltal. c) Ange minst ett heltal som inte är ett naturligt tal. Övning 6 Med ett decimaltal avses reellt tal på formen a1 a2...a n,b1b 2... bm (m stycken decimaler) a 1 0 och bm. där alla talen a1,a2,...,an,b1,b2,..., bm är naturliga tal och 0 a) Visa med hjälp av definitionen att varje decimaltal är ett rationellt tal.

8 b) Ge exempel på ett rationellt tal som inte är ett decimaltal. Illustration av mängder När man skall illustrera samband och relationer mellan mängder använder man ofta plana rundade figurer. Figuren illustrerar en mängd som betecknats med A. Man tänker sig att elementen i A ligger innanför den runda kurvan. Nedanstående figur illustrerar att varje rationellt tal är reellt och att de irrationella talen består av de reella tal som inte är rationella. De irrationella talen skall tänkas ligga i den del som är innanför den innersta kurvan och utanför den yttersta kurvan. Illustration av reella intervall Nedan finns en vanlig variant av standardbeteckningar för de mängder av reella tal som kallas intervall. I figurerna bredvid visas en vanlig variant på hur de illustreras. Eftersom dessa standardbeteckningar kommer att användas flitigt i flera kurser är det bra att lära sig dem utantill så snart som möjligt. [ a, b] = { x : a x b} [ a, b) = { x : a x < b} ( a, b] = { x : a < x b} ( a, b) = { x : a < x < b} [ a, ) = { x : x a} ( a, ) = { x : x > a}

9 (, b ) = { x : x < b} (, b] = { x : x b} Anmärkning I beteckningarna ovan så läser man tecknet : sådana att. En annan vanlig beteckning för frasen sådana att är (ett lodrät streck). Den första beteckningen kan fullständigt läsas mängden av x sådana att a är mindre än eller lika med x som är mindre än eller lika med b. Övning 7 Illustrera intervallen a) (3,4) b) [-1,0) c) (0,3] d) (-,-1) e) [2,5] Övning 10 a) Vilka tal ingår i talmängden { x R : x = 2 k där k Zoch k > 0} beteckningen? b) Beskriv med mängdlärans symboler mängden av alla udda tal.? Hur utläser man