Innehållsförteckning Inledning... 2 Vad är matematik... 3 Det matematiska språket... 4 Några begrepp ur mängdläran... 4

Transkript

1 Innehållsförteckning Inledning... Vad är matematik... 3 Det matematiska språket... 4 Några begrepp ur mängdläran... 4 Talmängder... 5 Mängdoperationer, den tomma mängden... 9 Några begrepp ur logiken Öppen utsaga Kombination av utsagor Negation av utsagor Implikationer och ekvivalenser Matematisk sats... 3 Indirekt bevis... 5 Exempel och övningar i anslutning till några geometriska grundbegrepp... 7 Facit... 9

2 Inledning I avsnitten Vad är matematik och Det matematiska språket beskrivs vad matematik är. Beskrivningen är färgad av författarens personliga åsikter. I avsnitten Några begrepp ur mängdläran och Några begrepp ur logiken introduceras användbara och vanligt förekommande symboler och beteckningar inom matematiken. Speciellt beaktas de möjligheter som ges till att underlätta beskrivningen av logiska resonemang. När man läser matematisk text kan man inte busa på. Det är helt normalt att det är mycket man inte förstår vid en första genomläsning. Man går då tillbaka och läser om texten sakta och eftertänksamt. Kanske skriver man på kladdpapper upp en svårtolkad mening och försöker, genom att formulera om och exemplifiera, förstå vad som menas! Man får då inte ha ambitionen att förstå allt in i minsta detalj innan man går vidare. I så fall kommer man inte många rader framåt. En del klarnar längre fram i texten genom studium av exempel och lösning av övningar. Att somligt är svårförståeligt en längre tid får man acceptera. Försök att ha nämnda beskrivning för ögonen när du läser matematisk text. Du kommer då att märka att sådan läsning blir enklare och enklare. Den förbättrade förmåga du härigenom får i att läsa komplicerad text har du glädje av i alla sammanhang. Det är ingen slump att detta häfte innehåller blanka sidor. Dessa sidor är avsedda för läsarens egna anteckningar. Alla synpunkter på innehållet i detta häfte är välkomna och kan lämnas till Clas Nordin Mälardalens högskola Mobil: Box 883, 71 3 Västerås Mail: clas.nordin@mdh.se.

3 Vad är matematik Matematik betyder olika saker för olika människor. Detta är helt naturligt eftersom matematik är ett mycket brett ämne. Det innehåller allt från räkning med de fyra räknesätten till avancerad matematisk forskning. Efterhand som specifika delar av matematiken under senare hälften av 1900-talet vuxit sig tillräckligt starka har matematiken gett upphov till nya matematikämnen. Exempel på sådana är matematisk statistik, numerisk analys och optimeringslära. Dessa ämnen sammanfattas i många sammanhang under benämningen tillämpad matematik. När man talar om matematik som ämne avses oftast både matematik av klassiskt snitt och tilllämpad matematik. Vid Mälardalens högskola är därför den fastställda ämnesbenämningen matematik/tillämpad matematik. Eftersom denna ämnesbenämning är lång och krånglig säger och skriver man när det inte kan missförstås bara matematik i stället för matematik/tillämpad matematik. Matematik finns på olika svårighets- och abstraktionsnivåer. En uppdelning i olika typer av matematik är följande: 1 den matematik som inom grundläggande matematisk forskning nyskapas och utvecklas utan direkt sikte på omedelbar praktisk tillämpning den matematik (det matematiska språk) som tekniker, naturvetare och samhällsvetare använder för att beskriva och förutsäga mer eller mindre komplicerade förlopp och för att kommunicera inom det egna ämnesområdet 3 den matematik (det matematiska språk) som används i vardagslivet. Matematik av typ 3 är den som de flesta människor förknippar med ordet matematik. Är man förtrogen med den så kan man använda de fyra räknesätten i enkla matematiska modeller. Man klarar också procenträkning, förstår enkla statistiska begrepp och kan tolka tabeller och diagram. Denna nivå motsvarar ungefärligen innehållet i gymnasieskolans kurser Matematik kurs A och Matematik kurs B. För de allra flesta som studerar matematik på högskole- och universitetsnivå är syftet att bli förtrogen med grundläggande och utvalda delar av matematiken under punkt. Förtrogenheten skall vara av den arten att man i en framtida yrkesverksamhet på egen hand skall kunna lära sig annan liknande matematik. I Sverige finns flera hundra matematiker som arbetar med matematik av typ 1. Det har visat sig att det mesta av denna matematik också, även om det ibland dröjer ett tag, finner tillämpningar. Ett på senare år omtalat exempel är när man fann kopplingar mellan funna elementarpartiklar och en speciell matematisk struktur i en viss mängd. Med hjälp härav kunde man troliggöra existensen av ytterligare elementarpartiklar som fysiker senare kunde verifiera experimentellt. 3

4 Ett viktigt moment vid matematikstudier består av den ständigt återkommande träningen i förmågan att utifrån givna förutsättningar dra korrekta slutsatser. Den förbättring av denna förmåga som matematikstudier ger är en värdefull bieffekt som man, utan att vara medveten om det, använder i alla möjliga andra sammanhang. Det matematiska språket Den viktigaste delen i det matematiska språket består av ett vanligt språk, t ex svenska. Med hjälp härav definierar man nya begrepp, symboler m m och utvecklar matematiken genom att formulera och bevisa satser. Syftet med en definition är att i ett visst sammanhang införa en bekväm benämning på något som man annars skulle behöva referera till på ett mer omständligt sätt. Definitionen av ett nytt begrepp kan naturligtvis utgå ifrån definition(-er) av tidigare begrepp. Utgångspunkten när man bygger matematisk teori från grunden är ett antal axiom. Med ett axiom avses här en grundsats som inte själv är föremål för bevis men som tjänar som utgångspunkt för bevis av andra satser i uppbyggnaden av teorin. Aritmetik, dvs den del av matematiken som behandlar de fyra räknesätten kan konstrueras utifrån Peanos fem axiom. Euklides, grekisk matematiker verksam i Alexandria 300 f kr, beskriver i sitt verk Elementa euklidisk geometri med utgångspunkt från ett antal axiom. Vid bevis av en ny sats, i samband med uppbyggnaden av ny matematisk teori, får man använda axiom och tidigare bevisade satser. Bevis av den första satsen måste göras enbart med hjälp av axiom. Låt oss illustrera några av begreppen genom resonemang i anslutning till följande sats: Sats Vinkelsumman i en triangel är 180 grader För att denna sats skall ha mening får det inte råda något tvivel om vad som menas med begreppen vinkelsumma i en triangel respektive 180 grader. Begreppen bygger på gjorda definitioner. Vid definition av vinkelsumma är det naturligt att använda tidigare definierade begrepp som summa och vinkel. 180 är ett tal och bygger naturligtvis på talbegreppet. Innebörden av frasen 180 grader måste naturligtvis definieras o s v. Övning 1 Bevisa satsen under förutsättningen att den som skall läsa och förstå beviset är bekant med alla de axiom, definitioner och tidigare satser som beviset refererar till. Några begrepp ur mängdläran Mängdlära är en avancerad matematisk disciplin, införd av den tyske matematikern Cantor i slutet av 1800-talet. I denna teori används definitioner 4

5 och beteckningar som är användbara även i mindre avancerade sammanhang. Några av dessa skall beskrivas i detta avsnitt. I matematiken arbetar man med objekt av olika slag, t ex punkter, tal, räta linjer och polynom. Man har ofta anledning att intressera sig för en samling av objekt och betrakta denna samling som en enhet. En sådan samling av objekt kallas en mängd och objekten som samlingen består av kallas mängdens element. Om man vill fortsätta ett resonemang kring en viss mängd är det bekvämt att ge den en beteckning. Exempel 1 M={efternamn på de personer mantalsskrivna i Västerås som fyller år i januari} Detta läses mängden av efternamn på de personer mantalsskrivna i Västerås som fyller år i januari. Klamrarna { } kallas i detta sammanhang mängdklamrar. Elementen i mängden är efternamn. Nordin är ett element i mängden eftersom det fanns en person mantalsskriven i Västerås med födelsedag i januari som hette Clas Gustaf Nordin. Förmodligen är Andersson ett element i M. Övning a) Motivera förmodan att Andersson är ett element i M. b) Kan du genom att bara utnyttja kunskap om dig själv avgöra om ditt eget efternamn är ett element i mängden M? Motivera! c) Ange ett tal, så litet som möjligt, som är sådant att antalet element i M säkert är mindre än detta tal. Motivera ditt val. Det finns ett bestämt ändligt antal element i M. Man säger att M är ändlig. Om en mängd ej är ändlig kallas den oändlig. Lägg märke till hur vi här definierar begreppet ändlig mängd och sedan använder detta begrepp för att definiera vad som menas med en oändlig mängd. Övning 3 a) Ge ett exempel på en ändlig mängd. b) Ge ett exempel på en oändlig mängd. Talmängder Nedan visas hur man kan beskriva den oändliga mängden N av naturliga tal. N={naturliga tal} ={0, 1,, 3,...} Denna rad läses N är lika med mängden av naturliga tal är lika med mängden av talen 0,1,,3 osv. 5

6 Elementen i N består av alla naturliga tal 0, 1,, 3,.... Efter trean finns ett kommatecken följt av fyra prickar. De tre första prickarna efter kommatecknet står för en konvention som innebär att uppräkningen skall fortsätta på det sätt som den påbörjade uppräkningen antyder. Den sista punkten, som föregås av ett mellanslag, är den vanliga punkt som man använder då man avslutar en mening. En viktig symbol är tillhörtecknet och tillhörintetecknet. Man skriver som läses 7 tillhör N med innebörden att 7 är ett element i N. Enklare säger man förstås att 7 är ett naturligt tal. Det är enkelt att inse hur man läser och vad detta innebär. N är en standardbeteckning i all matematisk litteratur över hela världen på mängden av naturliga tal, eventuellt med undantag av äldre litteratur där talet 0 kan vara undantaget från mängden. Resten av detta avsnitt definierar andra viktiga talmängder och anger deras standardbeteckningar. Beteckningarna är internationella. Det är en bra idé att lära sig dem och vad de står för så snart som möjligt. Z={hela tal} ={...,-3,-,-1,0,1,,3,...} = {0, ± 1, ±, } Se ovan hur man läser beteckningen för naturliga tal och fundera ut hur man kan läsa ovanstående rad. Q ={rationella tal}={tal som kan skrivas på formen a/b där a Z och b Z och där b 0} Övning 4 a) Visa med hjälp av definitionen att 3,14 är ett rationellt tal. b) Visa med hjälp av definitionen att 0 Q. c) Visa med hjälp av definitionen att 10 är ett rationellt tal. d) Vilka av de hela talen är rationella? e) Ge exempel på ett rationellt tal som inte tillhör talmängden Z. f) Ge exempel på ett x som är sådant att x Z men x N. Naturliga tal, möjligtvis med undantag av talet 0, är enkla att koppla till vardagslivet. De används när man räknar antal. De flesta människor känner inte heller något hinder att använda negativa tal, åtminstone inte i Sverige där temperaturer under noll grader betecknas med hjälp av ett minustecken. Rationella tal är inte heller svåra att koppla till vardagslivet. De flesta människor är medvetna av innebörden då man säger att någon skall ärva /7, två sjundedelar, av den totala kvarlåtenskapen. Möjligtvis kan det ålderdomliga ordet kvarlåtenskap ställa till problem! Observera att man med 1 symboler (10 siffror, minustecken och bråkstreck) på ett lättfattligt sätt kan ange vilket som helst rationellt tal. En fantastisk uppfinning! Eftersom Q omfattar N och N är oändlig så är även Q oändlig. 6

7 Att det finns tal som inte är rationella insåg redan den grupp av grekiska matematiker som förknippas med Pythagoras och verkade i Grekland mellan 585 f kr och 400 f kr. Från denna tid finns ett bevis för att längden av diagonalen i en kvadrat där sidlängden är 1 enhet inte kan uttryckas på formen a/b där a och b är heltal och b inte lika med noll. Samma bevis används fortfarande när man bevisar att inte är rationellt. Tal som inte är rationella kallas irrationella. Ir är en förled som betyder icke. Mängden av irrationella tal är också oändlig och man kan i en viss, här inte definierad mening, säga att de irrationella talen är fler än de rationella. Observera att ordet fler här inte kan ha den vanliga innebörden eftersom de båda talmängderna bägge är oändliga. För att namnge irrationella tal räcker det inte med de 1 symbolerna ovan. Irrationella tal som man ofta refererar får egna beteckningar. π och e är två viktiga exempel på sådana tal. Den talmängd som består av alla rationella och alla irrationella tal tillsammans kallas mängden av reella tal och betecknas R. Det är denna talmängd som du är van att illustrera på tallinjen. Talmängden R kan utvidgas till en större talmängd, C={komplexa tal, mängden av alla komplexa tal. Att talmängden är större innebär att den förutom alla reella tal också innehåller andra slags tal. Dessa andra tal kallas icke-reella. Ett av talen i denna talmängd betecknas i och uppfyller i = 1. C illustreras i det komplexa talplanet. Sammanfattning av viktiga talmängder N = {naturliga tal} = {0, 1,, 3,...} Z = {hela tal} = {...,-3,-,-1,0,1,,3,...} = {0, ± 1, ±, } Q = {rationella tal} = = {tal som kan skrivas på formen a/b där a Z och b Z och b 0} R = {reella tal} C ={ komplexa tal} Övning 5 a) Ange minst tre reella tal som inte är rationella. b) Ange minst ett rationellt tal som inte är ett heltal. c) Ange minst ett heltal som inte är ett naturligt tal. Övning 6 Med ett decimaltal avses reellt tal på formen decimaler) där alla talen a1 a...a n,b1b... bm (m stycken a1,a,...,an,b1,b,..., bm är naturliga tal och a 1 0 och bm 0. a) Visa med hjälp av definitionen att varje decimaltal är ett rationellt tal. b) Ge exempel på ett rationellt tal som inte är ett decimaltal. 7

8 Illustration av mängder När man skall illustrera samband och relationer mellan mängder använder man ofta plana rundade figurer. Figuren illustrerar en mängd som betecknats med A. Man tänker sig att elementen i A ligger innanför den runda kurvan. Nedanstående figur illustrerar att varje rationellt tal är reellt och att de irrationella talen består av de reella tal som inte är rationella. De irrationella talen skall tänkas ligga i den del som är innanför den innersta kurvan och utanför den yttersta kurvan. Illustration av reella intervall Nedan finns en vanlig variant av standardbeteckningar för de mängder av reella tal som kallas intervall. I figurerna bredvid visas en vanlig variant på hur de illustreras. Eftersom dessa standardbeteckningar kommer att användas flitigt i flera kurser är det bra att lära sig dem utantill så snart som möjligt. [ a, b] = { x : a x b} [ a, b) = { x : a x < b} ( a, b] = { x : a < x b} ( a, b) = { x : a < x < b} [ a, ) = { x : x a} ( a, ) = { x : x > a} 8

9 (, b ) = { x : x < b} (, b] = { x : x b} Anmärkning I beteckningarna ovan så läser man tecknet : sådana att. En annan vanlig beteckning för frasen sådana att är (ett lodrät streck). Den första beteckningen kan fullständigt läsas mängden av x sådana att a är mindre än eller lika med x som är mindre än eller lika med b. Övning 7 Illustrera intervallen a) (3,4) b) [-1,0) c) (0,3] d) (-,-1) e) [,5] Mängdoperationer, den tomma mängden Unionsmängd Låt A och B beteckna mängder. Unionen av A och B eller unionsmängden av A och B betecknad är den mängd som består av de element som är antingen i A eller i B eller i båda om A och B har gemensamma element. Man skriver Detta läses A union B är lika med mängden av alla element x sådana att x tillhör A eller x tillhör B. Här är ordet eller ett så kallat logiskt eller. Innebörden är att x är ett element i minst en av mängderna A och B. I nedanstående två figurer är unionsmängden A B skuggad för det fall då A och B saknar gemensamma element respektive det fall då det finns element som ligger i både A och B. 9

10 Observera att man i vardagsspråket använder ordet eller med två olika innebörder. Om man säger skall vi gå på bio eller teater i kväll så är för de flesta människor innebörden att man skall göra antingen det ena eller det andra. I datalogiska sammanhang så kallas eller med denna innebörd exklusivt eller. Om man däremot säger vill du ha grädde eller socker till kaffet så är det fråga om ett logiskt eller eftersom man inte behöver välja mellan socker och grädde utan gärna får ta bara socker eller bara grädde eller både socker och grädde om man så vill. När man använder eller i matematisk text så är det om inget annat sägs fråga om ett logiskt eller. Övning 8 Definiera intervallen A, B och C genom A = [-,4], B = (1,5), C = (6,7). Illustrera på en tallinje a) A B b) A C c) B C d) A B C Snittmängd Snittet av A och B eller snittmängden av A och B betecknad är den mängd som består av de element som är både i A och B. Man skriver A B = { x : x Aoch x B} Detta läses A snitt B är lika med mängden av alla element x sådana att x tillhör A och x tillhör B. I nedanstående figur är snittmängden A B skuggad. 10

11 I nedanstående figur är ingenting skuggat eftersom det inte finns några element som ligger både i mängden A och i mängden B. Den tomma mängden Det visar sig praktiskt att även tala om en mängd som inte innehåller några element alls. Det är uppenbart att om två mängder inte är lika så finns det element i den ena, som inte tillhör den andra. Denna situation kan förstås inte inträffa om de båda mängderna överhuvudtaget inte innehåller några element. Det är därför naturligt att betrakta alla sådana mängder som lika, dvs som en enda mängd, vilken man kallar den tomma mängden. Standardbeteckningen för denna mängd är. Om A och B är mängder som saknar gemensamma punkter så är alltså A B =. Övning 9 Definiera intervallen A, B och C genom A=[1,3], B=(,6) C=[3,5). Illustrera på en tallinje a) A B b) A C c) B C d) A B C Delmängd Skrivsättet läses A är en delmängd av B eller A är innehållen i B och innebär att varje element i A också är ett element i B. Möjligheten att A = B är inte utesluten. Skrivsättet, som läses A är en äkta delmängd av B, innebär att A är en delmängd av B men att A inte är lika med B. Genom att associera till skrivsätten x<y respektive där x och y betecknar tal blir innebörden av dessa beteckningar enkla att memorera. På samma sätt som man, när det gäller tal, kan skriva eller för att uttrycka en och samma rådande omständighet så har samma innebörd som. utläses B omfattar A. På motsvarande sätt kan man skriva B A i stället för A B. Överenskommelsen A för varje mängd A är naturlig eftersom det inte finns något element i som inte tillhör A. Anmärkning Det finns matematisk litteratur som använder symbolen med den ovan beskrivna innebörden hos symbolen. 11

12 Övning 10 a) Hur läser man och vilken är innebörden? Illustrera med en figur. b) Vilka tal ingår i talmängden { x R : x = k där k Zoch k > 0}? Hur utläser man beteckningen? c) Beskriv med mängdlärans symboler mängden av alla udda tal. 1

13 Några begrepp ur logiken Logiken har utvecklats starkt under 1900-talet och har en nära anknytning till matematiken. Utan att ge någon utförlig teori och utan att använda sträng formalism skall vi i detta avsnitt beskriva några logiska grundbegrepp och symboler som används för att förkorta eller förtydliga matematiska resonemang. Utsaga Med en utsaga avses en meningsfull fras som är antingen sann eller falsk. Innebörden av meningsfull fras är att formuleringen skall vara av den arten samt så klar och tydlig att man i rådande sammanhang kan avgöra om det som frasen säger är sant eller falskt. Exempel på utsagor triangeln är rätvinklig huset är rött talet är udda I den första utsagan är det underförstått att den handlar om en viss bestämd triangel som finns i en figur eller är beskriven på annat sätt. I den andra utsagan får man tänka sig att det handlar om ett visst hus och att innebörden av att ett hus är rött är klargjord. I den tredje utsagan kan man tänka sig att det är fråga om ett bestämt givet heltal. I stället för ordet utsaga används i dessa sammanhang också ordet påstående med samma innebörd. Exempel Utsagan är sann. Detta kan noteras på lite olika sätt som t ex Det gäller att Vi har När man bara skriver har det ofta den ovan nämnda innebörden. Övning 11 Avgör om utsagan är sann eller falsk a) Vinkelsumman i en godtycklig fyrhörning är 360 b) I en godtycklig triangel finns det alltid minst en vinkel som är mindre än 60 c) I en godtycklig triangel finns det alltid minst en vinkel som är större än 60 d) Det finns ett naturligt tal som är större än alla andra naturliga tal e) Det finns inget positivt reellt tal som är mindre än alla andra positiva reella tal 13

14 Öppen utsaga Definition En fras, som innehåller en variabel x och som blir antingen sann eller falsk, då man istället för x sätter in ett godtyckligt element ur en grundmängd G, kallas för en öppen utsaga över grundmängden G. Vi betecknar öppna utsagor med p(x), q(x),.... Man beskriver utsagor genom att efter beteckningen (namnet) på utsagan och ett kolontecken beskriva utsagan. Exempel 3 p ( x) : x > 4 Ofta är grundmängden underförstådd eller framgår av sammanhanget. I utsagan p(x) ovan är det naturligt att låta grundmängden bestå av alla reella tal. Om man när man beskriver utsagan vill ange grundmängden kan man använda skrivsättet ( x) : x > 4, x R p Vi har att p(10) är sann eftersom 10 = 100>4. På motsvarande sätt inses att p(0) är falsk. Om x<- eller x> är p(x) sann. Om x och x så är p(x) falsk. Om man vill framhålla att en viss utsaga inte innehåller någon variabel så kallar man den en sluten utsaga. Kombination av utsagor Flera utsagor kan kombineras med varandra på olika sätt och bilda nya utsagor. Det är vanligt att man gör detta med orden och respektive eller. Om p och q är utsagor så är p och q den utsaga som är sann precis då bägge utsagorna p och q är sanna. Utsagan kallas konjunktionen av p och q. En vanlig beteckning för denna utsaga är p q. Om p och q är utsagor så är p eller q den utsaga som är sann precis då minst en av utsagorna p och q är sanna. Utsagan kallas disjunktionen av p och q. En vanlig beteckning för denna utsaga är p q. Av definitionen framgår det att eller här är ett logiskt eller. Exempel Betrakta följande tre utsagor 14

15 p: Västerås ligger i Västmanland q: 5+8 = 13 r: 3 < p är en sann utsaga q är en sann utsaga r är en falsk utsaga Definitionerna ovan innebär att p q är en sann utsaga q r är en falsk utsaga p q är en sann utsaga p r är en sann utsaga Exempel 4 Utsagan x 3 består av disjunktionen x < 3 eller x = 3. Det innebär alltså att 3 3 är en sann utsaga. Utsagan 3 < x 5 består av konjunktionen 3 < x och x 5. Det innebär till exempel att 3 < 4 5 är en sann utsaga. Övning 1 Avgör om utsagan är sann eller falsk a) (valen är ett däggdjur) (en häst har tre ögon) b) (valen är en fisk) (en häst har två ögon) c) (valen är ett däggdjur) (en häst har två ögon) d) (7 är ett primtal) (alla positiva heltal är större än 5) e) (8 är kubiken på ett rationellt tal) (det finns oändligt många primtal) Negation av utsagor Att formulera motsatsen till ett påstående, dvs att negera en utsaga, är något som man ofta gör i matematiska bevis eller logiska resonemang. Det innebär att man för en viss given utsaga p skall formulera en utsaga icke p som skall vara falsk precis då p är sann och sann precis då p är falsk. Exempel 5 Om p: x>3 så blir icke p: x 3 Exempel 6 Definiera den öppna utsagan p genom p: x är ett naturligt tal. Utsagan icke p beror på vilken som är grundmängden Om grundmängden är Z så kan icke p formuleras 15

16 icke p: x är ett negativt heltal Övning 13 Formulera i exempel 6 utsagan icke p om grundmängden är R Övning 14 Formulera negationen till nedanstående öppna utsagor. Grundmängden är R a) p 1 ( x) b) ( x) c) p 3 ( x) d) ( x) e) ( x) : x är rationellt p : x=π eller x <3 : <x<4 p 4 : x<3 eller x>5 p 5 : x<3 och x>7 Exempel 7 Betrakta den slutna utsagan p: alla flickor i Sverige har blå ögon. Innan man har tänkt sig för är det frestande att säga att motsatsen till p är q: inga flickor i Sverige har blå ögon Det är lätt att inse att q inte är motsatsen till p eftersom både p och q är falska utsagor. Att p är falsk följer av att det finns flickor i Sverige som har annan ögonfärg än blå. Att q är falsk följer av att det finns flickor i Sverige som har blå ögon. Utsagan p kan naturligtvis negeras med hjälp av ordet inte på följande sätt: icke p : det gäller inte att alla flickor i Sverige har blå ögon. Om man har komplicerade utsagor och använder denna metod när man bestämmer en utsagas negation så blir det svårt att komma vidare i ett fortsatt logiskt resonemang. När man inte använder inte på detta sätt för att formulera en utsagas negation så säger vi i detta häfte att utsagans negation formuleras i positiv form. Om inte alla flickor i Sverige har blå ögon så innebär det att en eller flera flickor i Sverige har en annan ögonfärg än blå. Negationen icke p kan alltså formuleras: icke p : det finns minst en flicka i Sverige som har en annan färg på ögonen än blå Övning 15 Antag att en kommitté har satt betyg i en femgradig skala från 1 till 5 på 10 avsnitt (numrerade från 1 till 10) av TV-serien Rederiet. Formulera i positiv form negationen till följande utsagor 16

17 a) p1: avsnitt 1 har betyg 3 b) p: avsnitt 4 har betyg 3 eller högre c) p3: avsnitt 7 har betyg eller lägre d) p4: inget avsnitt har betyg högre än 3 e) p5: alla avsnitt har betyg eller lägre f) p6: minst ett avsnitt har betyg lägre än Exempel 8 Låt x, y och z vara godtyckliga reella tal. Det innebär att x, y och z är tre reella tal, precis vilka som helst. Förutom att x, y och z skall vara reella finns det alltså inga övriga krav. Det är alltså fullt möjligt att x, y och z kan vara ett och samma reella tal fastän de är beskrivna med tre olika beteckningar. Betrakta utsagorna p1(x): om x>0 och y>0 så är xy>0 p(x): om xy>0 så är x>0 eller y>0 p3(x): om xy>0 så är x>0 eller x<0 p1(x): är en sann utsaga eftersom (enligt kända räkneregler produkten av två positiva reella tal är positiv. Att p(x) är en falsk utsaga inses genom att som motexempel välja x = 3 och y = 5. Då är nämligen xy=15>0, x<0 och y<0. p3(x) är en sann utsaga ty om xy>0 så är x 0 vilket innebär att x>0 eller x<0. Implikationer och ekvivalenser Du har förmodligen stött på symbolen. Du kanske till och med använder den. Det kan också tänkas att du har en alldeles egen innebörd av vad den betyder. Du kan förstås fortsätta med detta i privata anteckningar men du kan inte använda din personliga tolkning i det matematiska språk som utan missförstånd skall förstås av andra. I några exempel kommer vi med exempel att beskriva hur implikationspilen används flitigt och informellt i matematikundervisning på alla nivåer. Glöm aldrig att används för att beskriva relationer mellan utsagor. Låt p(x) och q(x) beteckna öppna utsagor över en och samma grundmängd G. Med dessa kan man formulera följande slutna utsaga s s: varje x G som gör p(x) sann gör också q(x) sann. Denna slutna utsaga är sann eller falsk. Exempel 9 17

18 Låt p(x):x<3 och q(x):x<5 och G = R. Vilka tal gör utsagan p(x) sann? (svar: alla tal mindre än 3) Vilka tal gör utsagan q(x) sann? (svar: alla tal mindre än 5) Utsagan s kan alltså formuleras på följande sätt s: alla reella tal som är mindre än 3 är också mindre än 5 s är alltså en sann utsaga. Man säger att x<3 medför x<5 är sant. Det finns en utvecklad formalism som underlättar undersökningen av komplicerade logiska situationer. Denna formalism skall inte beskrivas här. Vi skall i stället, som tidigare antytts, illustrera hur implikationspilen används i anslutning till logiska resonemang i det matematiska språket. Oftast är grundmängden underförstådd eller tidigare definierad. Om man vill uttrycka att alla x som är mindre än tre också är mindre än 5 så skriver man x<3 x<5 är sant eller kort när det inte kan missförstås x<3 x<5 Exempel 10 I grundmängden R är utsagan x < 3 x < falsk eftersom det finns minst ett värde på x som gör utsagan x < 3 sann och utsagan x < falsk. x=,5 är exempel på ett sådant x-värde. Man säger att man har avgjort att utsagan är falsk med ett motexempel. Exempel 11 Att kvadraten på varje reellt tal skilt från noll är positiv kan skrivas x R och x x 0 > 0 I detta skrivsätt utelämnas ofta ordet och. Konventionen är då att ett antal utsagor sammanhållna med en klammer är konjunktionen av de ingående utsagorna. Exempel 1 Observera att du är van att arbeta med samma konvention som i förra exemplet vid lösning av linjära ekvationssystem. Betrakta systemet: 18

19 3x 5y = 9 x + 3y = 13 Ekvationssystemet kan betraktas som en öppen utsaga med två variabler. Den öppna utsagan består av konjunktionen 3 x 5y = 9 och x + 3y = 13. Denna utsaga är sann precis då bägge utsagorna 3x 5y = 9 och x + 3y = 13 är sanna. x som gör utsagan 9 3x 5y = 9 sann. 0,, ( 7,6) och ( 3, 0) är exempel på 3 sådana uppsättningar. Det finns också oändligt många uppsättningar ( x,y) som gör utsa- 5 gan x + 3y = 13 sann. När man löser ett ekvationssystem av denna typ så tar man reda på alla uppsättningar ( x,y) som gör bägge utsagorna 3x 5y = 9 och x + 3y = 13 sanna. För det här ekvationssystemet är ( x,y) = (,3) den enda uppsättning som duger. Man säger att ekvationssystemet har den entydiga lösningen. x = y = 3 Nedanstående ekvationssystem x + y = 5 x + y = 6 Det finns oändligt många uppsättningar (,y) är exempel på ett ekvationssystem som saknar lösning. Det finns nämligen inga värden på x och y som gör bägge utsagorna x + y = 5 och x + y = 6 sanna. x + y kan ju inte vara lika med både 5 och 6. Olika sätt att uttrycka sanna implikationer Den sanna implikationen kan läsas x mindre än två medför att x är mindre än eller lika med tre x mindre än två implicerar att x är mindre än eller lika med tre om x är mindre än så är x mindre än eller lika med tre x mindre än är ett tillräckligt villkor för att x skall vara mindre än eller lika med tre x mindre än eller lika med tre är ett nödvändigt villkor för att x skall vara mindre än två Kombination av implikationer 19

20 Ofta kombinerar man en följd av implikationer. Vi illustrerar med två enkla exempel. Övertyga dig om att implikationerna är sanna. Exempel 13 Innebörden av dessa implikationer är att om 3x+5 är lika med 7, där x varierar i den underförstådda grundmängden R, så gäller att x är lika med /3. Observera att denna följd av implikationer inte säger något om att om x=/3 så är 3x+5=7. Övning 16 Motivera varför de två ingående implikationerna i exempel 13 är sanna. Exempel 14 Övning 17 Motivera varför de två ingående implikationerna i exempel 14 är sanna. Innebörden av dessa implikationer är att om x är lika med /3, där x varierar i den underförstådda grundmängden R så är 3x+5=7. Implikationen i kan också skrivas så här Ekvivalenser Om både 0

21 p(x) q(x) och q(x) p(x) så skriver man p(x) q(x) Symbolen kallas en ekvivalenspil och p(x) q(x) läses p(x) är ekvivalent med q(x). Innebörden av detta är att utsagan p(x) är sann om och endast om utsagan q(x) är sann. Exempel 15 Genom att kombinera implikationerna i exempel 13 och 14 så har vi alltså Bortsett från implikationspilarna är det så som man normalt skriver när man löser ekvationen 3x+5=7. Genom att i tidigare exempel knyta an till de införda begreppen kan vi säga att ekvationen 3x+5 är en öppen utsaga. Genom att följa den del av ekvivalenspilen som avser implikation från vänster till höger eller uppifrån och ner har vi alltså att: om 3x+5 = 7 är en sann utsaga så är x = /3 en sann utsaga. Genom att följa den del av ekvivalenspilen som avser implikation från höger till vänster eller nerifrån och upp har vi att om x=/3 är en sann utsaga så är 3x+5=7 en sann utsaga. Av ovanstående följer att /3 är det enda värde på x som gör utsagan 3x+5=7 sann. Ett annat sätt att säga samma sak är att /3 är lösningen till ekvationen 3x+5=7. När man löser ekvationer och på varje ny rad skriver en utsaga som är sann om och endast om utsagan på föregående rad är sann (utsagan på en ny rad är ekvivalent med utsagan på föregående rad) så är det en vanlig konvention att man inte skriver ut ekvivalenspilarna. I samband med ekvationslösning är det inte alltid möjligt att bara arbeta med ekvivalenta utsagor. Då gäller det att vara extra uppmärksam på vad man gör. Om den underförstådda grundmängden är R är det FEL att skriva 1

22 eftersom är en falsk utsaga. Att utsagan är falsk inses på följande sätt: de värden på x som gör den vänstra utsagan sann är 3 och -3 det enda värde på x som gör den högra utsagan sann är 3 det är alltså inte sant att varje värde på x som gör den vänstra utsagan sann också gör den högra utsagan sann. Övning 18 Avgör om utsagan är sann eller falsk. Motivera de falska utsagorna genom att ange motexempel. Grundmängden är R. a) a = b a = b b) a = b a = b eller a = b c) a = b a = b d) a = b eller a = b a = b Övning 19 Avgör om utsagan är sann eller falsk. Grundmängden är R. Motivera de falska utsagorna genom att ange motexempel. Grundmängden är R. a) ( x + 5) = 9 x = 8 eller x = = b) x = ( x + 5) 9 = c) x = 8 ( x + 5) 9 d) ( x + 5) = 9 x = e) e x > 0 för alla x R f) x + > 0 för alla x R g) x + > 0 för alla x > 3 h) x > 3 x + > 0 i) sin x = 1 x = π / j) x = π / sin x = 1 k) sin x = 0 det finns n Z sådant att x = nπ l) sin x = 0 x = nπ för något n Z m) cos x = 0 x = π / + nπ för något n Z Exempel 16 När man vid lösning av ekvationer inte kan arbeta med ekvivalenser fordras det att man håller reda på implikationspilarnas riktning. Vi illustrerar detta genom att lösa ekvationen x + 6 = x. Vi har

23 x + 6 = x x x 1 ( x + 6) = x x + 6 = x x + = 6 + x = = ± x = ± x = 3 eller x = - x x = 6 Innebörden av denna följd av implikationer är att om x + 6 = x är en sann utsaga så är x=3 eller x=-. Det betyder att eventuella lösningar till ekvationen måste sökas bland de två x-värdena 3 och -. Implikationerna ger ingen upplysning huruvida x + 6 = x är en sann utsaga om x=3 eller x=-. Eftersom = 3 är x + 6 = x en sann utsaga för x=3. Eftersom + 6 är x + 6 = x en falsk utsaga för x=-. Alltså är x + 6 = x x = 3. Detta innebär att ekvationen x + 6 = x har den entydiga lösningen x=3. Övning 0 Lös ekvationen a) x = x b) x = x Observera att för a 0 är a lika med det positiva tal vars kvadrat =a a a om a > 0 = 0 om a = 0 - a om a < 0 Matematisk sats Med en sats (matematisk sats) avses en sann utsaga. Beviset av en sats består ofta av en följd av sanna implikationer, varvid man utnyttjar följande transitiva lag: [(p(x) q(x)) (q(x) r(x))] [p(x) r(x)] En matematisk sats har själv i många fall formen av en implikation p(x) q(x). I en sådan sats kallas p(x) förutsättningen och q(x) ibland slutsatsen eller påståendet. 3

24 Det är ofta intressant att veta om en sådan implikation kan omvändas dvs om q(x) p(x) är sann. Är detta fallet brukar man säga att satsen är omvändbar. I så fall gäller q(x) p(x). Exempel 17 Sats Kvadraten på varje jämnt tal är jämn Bevis av satsen: Vi skall visa att implikationen k är ett jämnt tal är sann. k är ett jämnt tal Låt k vara ett godtyckligt jämnt tal. Enligt definitionen av ett jämnt tal finns då ett heltal p sådant att k=p. Vi har k=p k = p k = p ( ) ( ) Eftersom p är ett heltal om p är det så innebär det att k är ett jämnt tal. Därmed är beviset klart. När man skriver ett bevis av denna karaktär så bör man vara uppmärksam på att man endast kan använda tillåtna saker vid implikationerna. Vid den första implikationspilen används: om två tal är lika så är dess kvadrater lika. Vid den andra implikationspilen används räkneregler för reella tal. Observera också att sista raden i beviset är en implikation fastän den inte är utskriven med hjälp av implikationspilar. Övning 1 Formulera sista raden i beviset i exempel 17 med hjälp av implikationspilar. Ovanstående bevis är ett exempel på ett direkt bevis. Att satsens omvändning inte gäller inses av följande motexempel: Sätt k = 80. Då är k = 80. Detta innebär att utsagan k jämnt k jämnt är falsk. 4

25 Övning a) Bevisa satsen kvadraten på ett udda tal är udda. b) Bevisa att omvändningen inte gäller. Övning 3 Ge exempel på en sats på formen p(x) q(x) som är omvändbar. Övning 4 Ge två icke-matematiska exempel på utsagor p(x) och q(x) där p(x) q(x) är sann och q(x) p(x) är falsk. Indirekt bevis Man utnyttjar ofta vid matematiska bevis följande Sats p(x) q(x) är ekvivalent med icke q(x) icke p(x) Satsens innebär att 1) Om p(x) q(x) är en sann utsaga så är icke q(x) icke p(x) en sann utsaga och ) Om icke q(x) icke p(x) är en sann utsaga så är p(x) q(x) en sann utsaga Bevis av satsen: Punkt 1) består av en implikation där förutsättningen är att p(x) q(x) är en sann utsaga och påståendet att icke q(x) icke p(x) är en sann utsaga. Vi skall alltså visa att icke q(x) icke p(x) är en sann utsaga under förutsättningen att p(x) q(x) är en sann utsaga. Antag att icke q(x) är sann. Då följer att q(x) är falsk. Av detta följer att p(x) är falsk, ty om p(x) är sann så följer av förutsättningen att q(x) är sann som innebär att icke q(x) är falsk vilket är en omöjlighet eftersom icke q(x) är sann enligt antagandet. Härmed är implikationen under punkt 1) bevisad. Implikationen under punkt ) bevisas på ett helt analogt sätt. Exempel 18 Antag att grundmängden är R och att vi vill bevisa att implikationen x x 1 0 x är sann. ( ) 0 Man kan då istället bevisa att implikationen x < 0 x x 1 > är sann. ( ) 0 5

26 Detta senare är omedelbart klart ty om x<0 så är också x-1<0 och produkten av två negativa tal är positiv. Beviset kan också göras på följande sätt Vi förutsätter att x ( x 1) 0 och påstår att i så fall är x 0. Antag nu att påståendet vore falskt, dvs att x<0. Vi finner då att x(x-1)>0, vilket strider mot förutsättningen. Alltså är x 0 och därmed är beviset klart. Ett bevis av denna typ kallas ett indirekt bevis, ett bevis ad absurdum eller ett motsägelsebevis. Exempel 19 Om man på en miniräknare av typ Casio fx-8b skall beräkna närmevärden till 10-logaritmer så trycker man först på talet som man skall beräkna logaritmen av och därefter på tangenten märkt log. Ibland blir då fönstret fullt av siffror och ibland ej. Om man till exempel beräknar 10-logaritmen av så blir resultatet i fönstret 0, Eftersom det finns plats för fler siffror i fönstret så kan det ge uppfattningen att 10-logaritmen av är lika med 0,30103 exakt. Vi skall med ett motsägelsebevis bevisa att så inte är fallet. 10 Antag att log = 0, Innebörden av detta är att log = 0, är en sann utsaga. Vi har 10 log = 0, (enligt definition av logaritm) 10 0, = ( 0, ) = (enligt räkneregler) 10 = Den sista likheten är en utsaga. Den är falsk eftersom är ett naturligt tal som slutar på en nolla och är ett tal som slutar med någon av siffrorna,4,6 eller Detta innebär att vårt antagande att log = 0, är en sann utsaga 10 måste vara falskt, dvs att log = 0, är en falsk utsaga eller m a o att 10 log 0, När man kommit på den bärande idén i beviset kan beviset skrivas så här: Eftersom är ett naturligt tal som slutar på en nolla och är ett tal som slutar med någon av siffrorna,4,6 eller 8 så har vi ( 0, ) 10 0, log 0, Om man bara skriver denna sista variant av beviset så kan det vara omöjligt för läsaren att förstå hur man har kommit på idén i beviset. 6

27 Exempel och övningar i anslutning till några geometriska grundbegrepp I gängse definitioner av geometriska grundbegrepp är det vanligt att en ny definition bygger på tidigare gjorda definitioner. När du läser detta avsnitt skall du med nedan preciserade undantag inte väga in dina egna föreställningar om begreppen utan endast använda dig av de definitioner som görs. Det förutsätts att de begrepp som finns bakom de kursiverade orden är väldefinierade för läsaren. I geometrin studeras punkter och vissa punktmängder bland annat rät linje, plan och rum. Om A och B är två olika punkter så finns det precis en rät linje som går genom A och B. Denna linje kallas linjen genom A och B. Unionen av punkterna A och B och alla punkter mellan A och B kallas sträckan AB. Varje sträcka har en längd. En godtycklig sträcka kan väljas som enhetssträcka. När enhetssträckan är vald kan längden av en sträcka anges med ett tal, mätetalet. Längden kan uppfattas som en storhet med enhetssträckans längd som enhet (längdenhet). Två sträckor är lika långa när de har samma längd. Definition av polygon, polygons hörn och polygons sidor, triangel m m A 1,A,...,An är olika punkter i ett plan kallas unionen av sträckorna 1A,A A3,A3 A4,...,A A1 Om A n en polygon, om sträckorna skär varandra endast i ändpunkterna och om två sträckor med samma ändpunkt ej ligger på samma linje. Punkterna A 1,A,...,An kallas hörn. Sträckorna A1 A,A A3,A3 A4,...,An A1 kallas polygonens sidor. Polygonerna får namn efter antalet hörn. Det minsta antalet hörn i en polygon är 3. En polygon med 3 hörn kallas en triangel. En polygon med n hörn, där n>3 kallas en n- hörning. Övning 5 a) Rita för n=3, n=4 och n=5 punkter A 1,A,...,An i planet som ger upphov till en polygon enligt definitionen ovan. b) Rita för n=3, n=4 och n=5 punkter A 1,A,...,An i planet som inte ger upphov till en polygon enligt definitionen ovan. Definition av några speciella fyrhörningar Om det i en given fyrhörning finns två sidor som är parallella så kallas fyrhörningen ett parallelltrapets. En fyrhörning där sidorna är parvis parallella kallas en parallellogram. En fyrhörning där alla vinklar är räta kallas en rektangel. En fyrhörning där sidorna är lika långa kallas en romb. En fyrhörning där alla vinklar är lika och alla sidor är lika långa kallas en kvadrat. Övning 6 Låt M ={alla fyrhörningar} M ={alla parallelltrapetser} 1 M ={alla parallellogrammer} 7

28 M 3={alla rektanglar} M ={alla romber} 4 M 5={alla kvadrater} a) Rita ett element som tillhör M och inte tillhör M. 1 b) Rita ett element som tillhör M och inte tillhör 1 M. c) Rita ett element som tillhör M och inte tillhör M 3. d) Rita ett element som tillhör M 3 och inte tillhör M. 4 e) Rita ett element som tillhör M och inte tillhör 4 M 5. f) Rita ett element som tillhör M 5. Avgör om utsagan är sann eller falsk. Motivera. g) x M 1 x M h) x M 1 x M i) M 5 M 4 j) M 5 M 4 k) Om x är en parallellogram så är x ett parallelltrapets l) Det finns minst ett x för vilket det gäller att x M och x M 1 m) Varje kvadrat är också en romb n) Att vara en rektangel är ett nödvändigt villkor för att vara en kvadrat o) Att vara en rektangel är ett tillräckligt villkor för att vara en kvadrat p) M 5 M 4 M 3 M M 1 M q) Varje element i M är en polygon r) Det finns minst en polygon som inte är ett element i M s) M är en ändlig mängd Övning 7 Betrakta följande mängder av plana figurer A={alla kvadrater}, B={alla romber}, C={alla rektanglar}, D={alla parallellogrammer}, E={alla parallelltrapetser med minst tre lika långa sidor}, F={alla parallelltrapetser med minst en rät hörnvinkel}. Avgör om utsagan är sann eller falsk om utsagan är a) B C = D b) D F = C c) D E = B d) F D E e) E F = B C 8

29 Facit Övning 1 Ledning: Låt ABC vara en godtycklig triangel. Drag en linje som går genom hörnet A och är parallell med sidan BC. Summan av de vinklar som bildas vid A ovanför linjen A är 180. Övning a) I telefonkatalogen för 1997 fanns det drygt 000 abonnenter i Västeråsområdet med efternamnet Andersson. En rimlig uppskattning är att åtminstone 100 (000/1 är ungefär lika med 170) är födda i januari och mantalsskrivna i Västerås vid den aktuella tidpunkten. Förmodan att Andersson är ett element i M mängden verkar alltså riktig. b) Om man vet när man har sin födelsedag och var man var mantalsskriven så kan man med säkerhet (åtminstone i teorin ) avgöra om det egna efternamnet är ett element i M. c) Folkmängden i Västerås var Om alla dessa personer hade olika efternamn så är antalet element i M lika med Detta innebär att antalet element i M säkert är mindre än Anm: svar med mindre tal än är självklart fullt möjliga. Om man t ex vet att det fanns 3 personer med efternamnet Nordin mantalsskrivna i Västerås med födelsedag i januari (det fanns det) så kan man svara med talet Övning 3 a) {3,5} är exempel på en ändlig mängd. Antalet element i mängden är. Ett annat exempel på en ändlig mängd är den mängd som består av alla atomer i universum. Antalet är obegripligt stort men ändå ändligt. b) Ett exempel på en oändlig mängd är den mängd som består av alla tal 1,,3 o s v i all oändlighet. Övning 4 a) Eftersom 3,14=314/100 är 3,14 ett rationellt tal. b) Att 0 Q följer av att 0=0/53. c) 10 är ett rationellt tal eftersom 10=(-0)/. d) Alla hela tal är rationella. Detta följer av för varje helt tal z gäller att z=z/1. e) 1,5 är ett exempel på ett rationellt tal som inte tillhör talmängden Z. f) x = 3 är ett exempel på x som uppfyller som är sådant att x Z men x N. 9

30 Övning 5 a) π, e och är samtliga reella tal. Inget av dessa tal är rationellt. b) 1/5 är ett exempel på ett rationellt tal som inte är ett heltal (jämför övning 4e). c) 10 är exempel på ett heltal som inte är ett naturligt tal(jämför övning 4 f). Övning 6 m a) Eftersom a1 a...a n,b1b...b m = a1a...a nb1b...b m / 10 där talen i täljaren och nämnaren båda är hela tal följer att varje decimaltal är ett rationellt tal. b) 1/3 är exempel på ett rationellt tal som inte är ett decimaltal. Övning 7 a) b) c) d) e) Övning 8 a) b) c) d) Övning 9 a) b) c) d) Övning 10 a) Följden läses : N är en äkta delmängd av Z som är en äkta delmängd av Q som är en äkta delmängd av R som är en äkta delmängd av C. Innebörden är att : varje naturligt tal är ett helt tal och det finns minst ett helt tal som inte är ett naturligt tal, varje helt tal är ett 30

31 rationellt tal och det finns minst ett rationellt tal som inte är ett helt tal, varje rationellt tal är ett reellt tal och det finns minst ett reellt tal som inte är rationellt, varje reellt tal är ett komplext tal och det finns minst ett komplext tal som inte är reellt? b) Talmängden { R : x = k där k Zoch k > 0} x består av alla positivajämna tal. Beteckningen utläses: mängden av alla x som tillhör R sådana att x är lika med k där k tillhör Z och k är större än noll. x R : x = k + 1 där k Zoch k 0 består av alla positiva udda tal. c) Mängden { } Övning 11 a) Vinkelsumman i en godtycklig fyrhörning är 360 är en sann utsaga b) I en godtycklig triangel finns det alltid minst en vinkel som är mindre än 60 är en falsk utsaga c) I en godtycklig triangel finns det alltid minst en vinkel som är större än 60 är en falsk utsaga d) Det finns ett naturligt tal som är större än alla andra naturliga tal är en falsk utsaga e) Det finns inget positivt reellt tal som är mindre än alla andra positiva reella tal är en sann utsaga Övning 1 a) (valen är ett däggdjur) (en häst har tre ögon) är en sann utsaga b) (valen är en fisk) (en häst har två ögon) är en sann utsaga c) (valen är ett däggdjur) (en häst har två ögon) är en sann utsaga d) (7 är ett primtal) (alla positiva heltal är större än 5) är en sann utsaga e) (8 är kubiken på ett rationellt tal) (det finns oändligt många primtal) är en sann utsaga Övning 13 icke p: x är ett reellt tal som ej är naturligt Övning 14 31

32 a) icke p 1 ( x) b) icke ( x) c) icke ( x) d) icke ( x) e) icke ( x) Övning 15 : x är irrationellt p : x 3 och x π p 3 : x eller x 4 p 4 : 3 x 5 p 5 : x 3 eller x 7, dvs x R a) icke p1: avsnitt 1 har något av betygen 1,,4 eller 5 b) icke p: avsnitt 4 har betyg eller lägre c) icke p3: avsnitt 7 har betyg 3 eller högre d) icke p4: minst ett avsnitt har betyg 4 eller högre e) icke p5: minst ett avsnitt har betyg 3 eller högre f) icke p6: alla avsnitt har betyg eller högre Övning 16. Den första implikationen är sann eftersom en sann likhet förblir sann om man subtraherar ett och samma tal i likhetens bägge led (här talet 5) och räkneregler för reella tal ((3x+5)-5=3x+(5-5)=3x+0=3x och 7-5=). Den andra implikationen är sann eftersom en sann likhet förblir sann om man dividerar likhetens bägge led med ett och samma tal skilt från noll (här talet 3) och räkneregler för reella tal ((3x)/3=x). Övning 17 Den första implikationen är sann eftersom en sann likhet förblir sann om man multiplicerar likhetens bägge led med ett och samma tal (här talet 3) och räkneregler för reella tal ((/3) 3=. Den andra implikationen är sann eftersom en sann likhet förblir sann om man till likhetens bägge led adderar ett och samma tal (här talet 5) och räkneregler för reella tal (+5=7). Övning 18 a) a = b a = b är en falsk utsaga (motexempel:a=3, b=-3) b) a = b a = b eller a = b är en sann utsaga c) a = b a = b är en falsk utsaga (Implikationen från vänster till höger är sann. Eftersom implikationen från höger till vänster är falsk, se a), så är ekvivalensen ej sann) d) a = b eller a = b a = b är en sann utsaga Övning 19 a) ( + 5) = 9 x = 8 eller x = x är en sann utsaga = b) = ( x + 5) 9 x är en sann utsaga = c) = 8 ( x + 5) 9 x är en sann utsaga d) ( + 5) = 9 x = x är en falsk utsaga (motexempel: x=-8) e) e x > 0 för alla x R är en sann utsaga 3

33 f) x + > 0 för alla x R är en falsk utsaga (motexempel x=-59,) g) x + > 0 för alla x > 3 är en sann utsaga h) x > 3 x + > 0 är en sann utsaga i) sin x = 1 x = π / är en falsk utsaga (motexempel: x=5π/) j) x = π / sin x = 1 är en sann utsaga k) sin x = 0 det finns n Z sådant att x = nπ är en sann utsaga l) sin x = 0 x = nπ för något n Z är en sann utsaga m) cos x = 0 x = π / + nπ för något n Z är en sann utsaga Övning 0 a) Ekvationen x = x har två lösningar (två rötter) nämligen x = och x 1. Innebörden av detta är att x = x x = eller x = 1 0 = b) Ekvationen x = x har den entydiga lösningen (den enda roten) x=0. Övning 1 p Z p Z k =(p ) är ett jämnt tal. Övning a) Vi skall visa att implikationen k är ett udda tal är sann. k är ett udda tal Låt k vara ett godtyckligt udda tal. Enligt definitionen av ett udda tal finns då ett heltal p sådant att k=p+1. Vi har k=p+1 k = ( p + 1 ) k = p + p ( ) + 1 Eftersom p + p är ett heltal om p är det så innebär det att k är ett udda tal. Därmed är beviset klart. b) Att k är ett udda tal k är ett udda talär en falsk implikation följer av motexempel genom att välja k = 51. Övning 3 x = 1 x = 1 (grundmängd N) 33

34 är exempel på en sats på formen p(x) q(x) som är omvändbar. Lägg märke till att det är väsentligt att ange grundmängden. Motsvarande sats med grundmängden Z är ej omvändbar. x är liksidig x är likvinklig (grundmängd : trianglar i planet) är ett annat exempel. Övning 4 Ett icke-matematiskt exempel på utsagor p(x) och q(x) där p(x) q(x) är sann och q(x) p(x) är falsk erhålls om p(x): x är född i Västerås q(x): x är född i Sverige (grundmängd: alla människor som bor i Sverige) Ett annat sådant exempel erhålls om p(x): x är en apelsin q(x): x är en citrusfrukt (grundmängd: alla frukter i världen) Övning 5 a) b) Övning 6 34