7, Diskreta strukturer

Transkript

1 Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2013

2 1 Inledning 2 Satslogik Inledning Satslogiska uttryck Resonemang och härledningar Inledning 7, Diskreta strukturer 3/38

3 Modeller Matematiska modeller Kontinuerliga modeller Kontinuerliga funktioner Derivator, integraler Dierentialekvationer Diskreta modeller Program-modeller Mängder, relationer, funktioner Träd, grafer Språk, automater Logik Datastrukturer Objektorienterade modeller Inledning 7, Diskreta strukturer 4/38

4 Diskret matematik på några D-program Åk KTH CTH LiTH LTH 1 L 6 hp DM+L 7,5 hp DM 6 hp 2 DM 8 hp DM 3 hp L 6 hp DM+L 3 hp DM L diskret matematik logik Högskoleingenjörsprogrammet i Helsingborg har 4 poäng diskret matematik och logik. Inledning 7, Diskreta strukturer 5/38

5 Diskreta strukturer Logik logiska uttryck och resonemang Mängder, funktioner och relationer Formella språk, reguljära uttryck och grammatiker Turingmaskiner och frågan om P = NP Inledning 7, Diskreta strukturer 6/38

6 Symbolen = π = f(x) = x + 1 x 2 = = = 3 x = x + 1 Inledning 7, Diskreta strukturer 7/38

7 Symbolen f(x) x + 1 f x x + 1 f λx. x + 1 Inledning 7, Diskreta strukturer 8/38

8 1 Inledning 2 Satslogik Inledning Satslogiska uttryck Resonemang och härledningar Satslogik 7, Diskreta strukturer 9/38

9 Mål Efter att ha studerat detta kapitel och arbetat med övningar och programmeringsuppgifter skall du kunna 1 översätta påståenden i naturligt språk till satslogisk notation. 2 konstruera enkla bevis med naturlig härledning 3 avgöra om ett komplicerat bevis är korrekt konstruerat 4 analysera ett uttryck när regler för precedens och associativitet är givna. Satslogik : Inledning 7, Diskreta strukturer 10/38

10 Exempel: EM i fotboll 2008 Om Sverige vinner över eller spelar oavgjort mot Ryssland så går Sverige till kvartsnal. Detta är en sammansättning av tre stycken påståenden. Det blir tydligare med formuleringen Om Sverige vinner över Ryssland eller om Sverige spelar oavgjort mot Ryssland så går Sverige till kvartsnal. p q r Sverige vinner över Ryssland Sverige spelar oavgjort mot Ryssland Sverige går till kvartsnal Om p eller q, så r. Detta kan skrivas som (p q) r Satslogik : Inledning 7, Diskreta strukturer 11/38

11 Satslogik p, q,... variabler och eller inte, om... så, implicerar ekvivalent Satslogik : Satslogiska uttryck 7, Diskreta strukturer 12/38

12 Satslogiska uttryck P, Q,... står för godtyckliga satslogiska uttryck. p, q,... variabler (P Q) och, konjunktion (P Q) eller, disjunktion P inte, negation (P Q) om... så, implikation (P Q) ekvivalens Satslogik : Satslogiska uttryck 7, Diskreta strukturer 13/38

13 Elektriska kretsar Seriekoppling: Paralellkoppling: Satslogik : Satslogiska uttryck 7, Diskreta strukturer 14/38

14 ... och mängdlära B B B A A A A B A B B A Satslogik : Satslogiska uttryck 7, Diskreta strukturer 15/38

15 Aktivitet Om Sverige vinner mot Ryssland så får Sverige möta Holland i kvartsnalen och om Sverige förlorar så får Ryssland möta Holland. p q r s Sverige vinner över Ryssland Sverige förlorar mot Ryssland Sverige möter Holland i kvartsnalen Ryssland möter Holland i kvartsnalen (p r) (q s) Satslogik : Satslogiska uttryck 7, Diskreta strukturer 16/38

16 Grundläggande begrepp satslogik premisser slutsatser satslogiska uttryck satsvariabler sanningsvärden, 1, 0, (T, F ), (, ) sanning, falskhet operatorer (konnektiv),,,,, Satslogik : Satslogiska uttryck 7, Diskreta strukturer 17/38

17 Exempel på uttryck p q p (p q) (p q) (p q) (p q) ( p p) (p q) p (p (p q)) ( p (p q)) Satslogik : Satslogiska uttryck 7, Diskreta strukturer 18/38

18 Sanningstabeller P P P Q P Q P Q P Q P Q Satslogik : Satslogiska uttryck 7, Diskreta strukturer 19/38

19 En primtalssats Två tal är primtalstvillingar om båda är primtal och skillnaden mellan dem är 2. Låt P det nns oändligt många primtalstvillingar Q det nns oändligt många primtal Sats P Q Är P sann? Det vet ingen. P skulle kunna vara falsk. Är Q sann? Ja, det bevisade Euklides för 2300 år sedan. Är satsen sann, dvs är det en sats? Ja, det skall vi strax bevisa. Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 20/38

20 En primtalssats Direkt bevis Låt P det nns oändligt många primtalstvillingar Q det nns oändligt många primtal Sats P Q Bevis Antag att det nns oändligt många primtalstvillingar. Alla par har olika första komponent. Alla förstakomponenter är primtal. Alltså nns det oändligt många primtal. Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 21/38

21 Det nns oändligt många primtal Motsägelsebevis (Indirekt bevis, reductio ad absurdum). Jag har lånat och översatt Euklides bild från hans presentation på en vetenskaplig konferens i Alexandria 280 f. Kr. Sats Det nns oändligt många primtal. Bevis 1 Antag att det ej nns oändligt många primtal. 2 Då nns det ett största primtal. Kalla det p. 3 Låt q vara produkten av de första p talen, q p!. 4 Då är q + 1 inte delbart med något av dem. 5 Alltså är q + 1 också ett primtal och större än p. 6 Men (5) motsäger (2). Alltså måste (1) vara falskt. Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 22/38

22 En primtalssats till P det nns ändligt många primtalstvillingar Q det nns ett största primtalstvillingpar Sats P Q Är P sann? Förmodligen inte Är Q sann? Om inte P så inte Q Är satsen sann, dvs är det en sats? Ja: en ändlig mängd har ett största element. Det är alltså så at både premiss och slutsats kan vara falska i en sats som vi kan bevisa. Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 23/38

23 När är P Q sann? När är P Q sann? P är sann och Q är sann P är falsk och Q är sann P är falsk och Q är falsk Det är bara fallet P är sann och Q är falsk som inte kan förekomma. Detta motiverar Denition P Q P Q Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 24/38

24 ,, eller När man använder i matematiken, P Q, så nns det alltid en orsaksrelation mellan P och Q. I satslogiken skriver vi P Q och det behöver inte nnas någon relation alls mellan P och Q. P och Q innehåller variabler som kan anta sanningsvärden, men vi bortser helt från vad variablerna står för. I satslogiska härledningar använder vi för logisk konsekvens (eller sekvent). När en mängd premisser P 1, P 2,..., P n leder till slutsatsen Q skrivs det {P 1, P 2,..., P n } Q. Tecknet kan utläsas alltså. Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 25/38

25 Aktivitet Skriv om med alla parenteser: p q r s t u = ((((p q) r) ( s t)) u) p q r s = (( p q) (r s)) Tag bort alla onödiga parenteser: (p ( q ((r s) (t u)))) = p q (r s t u) Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 26/38

26 Aktivitet Det är inte uppenbart att R ( p q) (( p q) p) är en tautologi, men en sanningstabell verierar att så är fallet. p q p q p q p q ( p q) p R Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 27/38

27 Sats (Kommutativitet) P Q Q P P Q Q P Sats (Associativitet) (P Q) R P (Q R) (P Q) R P (Q R) Sats (Dubbel negation) P P Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 28/38

28 Aktivitet Visa att p p q och q p p inte är ekvivalenta. P Q P Q P P Q Q P P Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 29/38

29 Sats (Distributivitet) P (Q R) P (Q R) (P Q) (P R) (P Q) (P R) Sats (de Morgans lagar) (P Q) (P Q) P Q P Q Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 30/38

30 Aktivitet Vilka uttryck är tautologier? p (q r) (p q) (p r) Ja (p q) r (p r) (q r) Nej Om inte, ge motexempel. p = 0, q = 1, r = 0 (p q) r (p r) (q r) Samt de två fallen då p = 1 och q = 0 Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 31/38

31 Aktivitet När gäller det att (p q) r och p (q r) är olika? För p = q = r = 0 och p = 0, q = 1, r = 0 Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 32/38

32 Inferensregler för P P Q [ E (modus ponens, MP )] Q P Q Q [modus tollens (MT )] P Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 33/38

33 Instanser av inferensregler för p p q [ E ] q (p q) (p q) p [ E ] p Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 34/38

34 Inferensregler för P Q [ E1 ] P P Q [ E2 ] Q P Q [ I ] P Q Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 35/38

35 Härledningar med p q [ E2 ] q q p p q [ E1 ] p [ I ] p q p q p q p q q p p q q p q p Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 36/38

36 Aktivitet Gör en härledning som visar att {(p q) r} p (q r). 1 (p q) r P 2 (p q) E, 1 3 p E, 2 4 q E, 2 5 r E, 1 6 (q r) I, 4, 5 7 p (q r) I, 3, 6 Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 37/38

37 Som bevisträd (p q) r [ E ] (p q) r p q (p q) r [ E ] [ E ] [ E ] p q q r [ E ] [ I ] p (q r) [ I ] p (q r) Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 38/38