Logik: sanning, konsekvens, bevis

Transkript

1 Logik: sanning, konsekvens, bevis ft1100 samt lc1510 HT 2016

2 Giltiga argument (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) Professorn är på kontoret eller i lunchrummet Hon är inte på kontoret Professorn är i lunchrummet (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) Det regnar eller blåser Det regnar inte Det blåser Dessa två exempel handlar om helt olika saker, men har i någon mening samma form. (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) P eller Q inte P Q

3 Preliminär definition 1. Att ett argument är giltigt betyder att: Om premisserna är sanna så måste också slutsatsen vara sann. Annorlunda (och kanske bättre) uttryckt: Det finns ingen möjlig situation där samtliga premisser i argumentet är sanna, men där slutsatsen inte är sann. Preliminär definition 2. Logik är studiet av argument med avseende på giltighet, när giltigheten beror av form snarare än innehåll.

4 De två argumenten ovan (om professorn, respektive vädret) är båda giltiga, och de är giltiga i kraft av sin form. De har dessutom samma form, och vi kan tydliggöra den genom att ersätta de konkreta påståendesatserna med schematiska bokstäver. Om första premissen är sann så är någon (minst en) av P och Q sann (i kraft av betydelsen hos eller). Om även andra premissen är sann så är P falsk (i kraft av betydelsen hos inte). Men då är det klart att Q är sann. Alltså är argumentet giltigt enligt vår preliminära definition. Alla konkreta instanser av denna form är alltså giltiga argument. Vi skriver: Premisser Slutsats

5 Ogiltiga argument, då? (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) Det regnar eller blåser Det blåser eller haglar Det regnar eller haglar P eller Q Q eller R P eller R = 3 eller = = 4 eller = = 3 eller = 5 Det går att hitta ett motexempel på samma form. Premisser Slutsats

6 Detta är en både teoretiskt och praktiskt användbar definition av giltighetsbegreppet (eller, som man också säger, relationen logisk konsekvens). Men den är förstås inte oskyldig det är (delvis) ett val vi gör, och att välja just denna definition bygger på vissa förutsättningar, och har en del konsekvenser som det är bra att vara medveten om.

7 Bivalens Vi har till synes förutsatt att varje påståendesats (i en situation) har precis ett av två sanningsvärden: sann/falsk. Men det är kanske inte självklart? Hur skall vi hantera sådant som värdeomdömen eller fenomen som vaghet och mångtydighet i vårt vardagliga språk?

8 Sanningsfunktionalitet De logiska konstanter vi introducerar idag (som och, eller, inte,... ) uttrycker sanningsfunktioner: sanningsvärdet hos den komplexa satsen bestäms entydigt av sanningsvärdena hos delarna, och sättet de är sammansatta på. Jämför satser som (kanske) inte har sanningsvärden, tex Vindkraftverk är stora och vackra, samt icke (rent) sanningsfunktionella användningar av orden, tex Hon gifte sig och blev gravid contra Hon blev gravid och gifte sig.

9 Ex falso quodlibet: vad som helst följer av en motsägelse (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) Det regnar Det regnar inte Pompe är glad I vardagliga sammanhang är det tveksamt om ett sådant argument skulle kallas giltigt. Det tycks i alla händelser vara tämligen oanvändbart, och det verkar rimligt att säga att premisserna saknar relevans för slutsatsen.

10 Ex falso quodlibet (forts.) Men enligt den definition vi använt är det klart att argumentet är giltigt. Eftersom det är omöjligt för premisserna att båda vara sanna (i samma situation) så är det förstår trivialt så att det är omöjligt för premisserna att vara sanna samtidigt som slutsatsen är falsk. Alltså: giltigt! Så antingen får man byta definition (och därmed byta logik), eller lära sig att leva med ex falso. Och kanske är det inte så svårt att acceptera trots allt...

11 Ex falso quodlibet (forts.) De flesta upplever att dessa två slutledningar är giltiga: (Premiss) (Slutsats) (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) P P eller Q P eller Q inte P Q Och om man accepterar den rimliga tanken att det går att koppla ihop giltiga argument med varandra, så får vi just att Q följer av P tillsammans med inte P.

12 Monotonicitet En fundamental egenskap hos konsekvensrelationen så som vi har definierat den är att om vi lägger till fler premisser till ett giltigt argument så blir det resulterande argumentet fortfarande giltigt. Om det inte finns någon situation där samtliga premisser är sanna och slutsatsen är falsk, så finns det naturligtvis inte heller någon situation i vilken samtliga dessa premisser och dessutom några nya extra premisser är sanna och slutsatsen är falsk. Observera att det finns andra typer av inferens där monotonicitet inte är rimlig, exempelvis trolighetsbedömningar.

13 Formalisering: symbolisk logik Negation icke P P Disjunktion P eller Q (P Q) Konjunktion P och Q (P Q) Implikation Om P så Q (P Q) Parenteserna används för gruppering i mer komplexa satser. Liknande hur vi gör för att skilja mellan de aritmetiska uttrycken (2 3) + 4 respektive 2 (3 + 4)

14 Hur definierar vi meningen hos en logisk konstant som och? Genom att ange sanningsvillkor för påståenden sammansatta med och, i termer av sanningsvärdena hos delsatserna. (Kom ihåg bivalens och sanningsfunktionalitet!) Kan sammanfattas i en sanningsvärdestabell. φ ψ (φ ψ) T T T T F F F T F F F F Raderna representerar tilldelningar av sanningsvärden till delsatserna. Eller olika situationer. Eller möjliga världar. Vi kan också använda tabellerna för att avgöra om argument (av denna enkla typ) är giltiga.

15 φ φ T F F T φ ψ (φ ψ) T T T T F T F T T F F F φ ψ (φ ψ) T T T T F F F T F F F F φ ψ (φ ψ) T T T T F F F T T F F T

16 P Q (P Q) P Q T T T F T T F T F F F T T T T F F F T F Det finns ingen rad (sanningsvärdestilldelning, situation, möjlig värld) där samtliga premisser är sanna, men där slutsatsen är falsk. Alltså är argumentet giltigt: (P Q), P Q

17 P Q R (P Q) (Q R) (P R) T T T T T T T T F T T T T F T T T T T F F T F T F T T T T T F T F T T F F F T F T T F F F F F F Rad 6 representerar ett motexempel en möjlighet för slutsatsen att vara falsk samtidigt som samtliga premisser är sanna. Alltså är argumentet ogiltigt: (P Q), (Q R) (P R) Notera att antalet rader i en tabell dubblas varje gång vi lägger till en satssymbol (som P, Q, R) antalet möjliga kombinationer av sanningsvärden dubblas.

18 P Q R S (P Q) (R S) (P S) T T T T T T T T T T F T F F T T F T T F T T T F F T F F T F T T F T T T F T F F F F T F F T F F T T F F F F F F F T T T F T F F T T F F F F F T F T F F F F T F F F F F F F T T F T F F F T F F F F F F F T F F F F F F F F F F

19 Perspektivskifte (Jämför vad som står i IEP angående model-theoretic conception och proof-theoretic conception.) Att definiera vad (t.ex.) och betyder genom att titta på användandet av ordet, dess funktion i argument (och i annan kommunikation).

20 (P Q) (Q R) (P R) Argumentation Från första premissen kan vi få ut informationen P. Andra premissen ger oss informationen R. Därför är vi, givet dessa två premisser, berättigade att dra slutsatsen (P R).

21 Två sorters principer tycks vara aktuella här. Principer för vad som berättigar hävdandet av ett påstående av en viss form. Principer för att få ut information ur påståenden av en viss form. I logiska bevissystem kallas detta ofta introduktionsregler respektive eliminationsregler.

22 Naturlig deduktion (exemplet konjunktion) φ ψ Intro (φ ψ) (φ ψ) Elim1 φ (φ ψ) Elim2 ψ

23 Titta på exemplet igen. (P Q) Elim1 P (P R) (Q R) Elim2 R Intro Vi skriver (P Q), (Q R) (P R) Vi skulle, som ett alternativ till den tidigare semantiska analysen, kunna säga att argumentet är giltigt för att det är konstruerat med hjälp av regler som är korrekta. Vad betyder korrekt i detta sammanhang? Hänvisa direkt till användande bevis är det primära Relatera till den semantiska analysen sanning är det primära

24 Det är intuitivt klart att bevisreglerna ovan är sunda i meningen att om det som står ovanför strecket är sant, så är det som står under strecket också sant. Så dessa regler kommer aldrig att ta oss från sanna premisser till en falsk slutsats. Fångar de dessutom in hela (den argumentativa ) betydelsen hos ordet och? Vi har fått en (oväntad?) stark koppling mellan filosofiska teorier kring: (i) giltighet hos argument, och (ii) språklig mening!

25 Metalogik När vi har definierat relationerna (som är syntaktisk till sin natur) och (som är semantisk ) för en logik så är det förstås meningsfullt att undersöka hur de förhåller sig till varandra. Normalt hoppas vi på de två egenskaperna: Sundhet: Om Γ φ så Γ φ Fullständighet: Om Γ φ så Γ φ Och ibland: Avgörbarhet: Det finns en algoritm som besvarar frågan Är φ en logisk sanning?

26 Slut för idag... och tack för idag.