Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 2 Strukturer Domäner Tolkningar... 3

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 2 Strukturer 2 2.1 Domäner... 2 2.2 Tolkningar... 3"

Transkript

1 Föreläsning 2 Semantik 729G06 Logikdelen Föreläsningsanteckningar i Programmering och logik 27 januari 2014 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 2.1 Innehåll Innehåll 1 Lite mer syntax 1 2 Strukturer Domäner Tolkningar Logisk konsekvens Modeller Semantiska bevis Semantiska motbevis Lite mer syntax Kvantifierarnas räckvidd Kvantifierarens räckvidd sträcker sig över den formel som står precis efter kvantifieraren 2.3 Fria och bundna variabler En variabel är bunden om den förekommer inom räckvidden av en kvantifierare x eller x. Annars är den fri En formel utan fria variabler kallas en sats En formel med fria variabler är varken sann eller falsk eftersom det beror på hur variabeln tolkas 1

2 2.4 Övning: Räckvidd Rita ut kvantifierarnas räckvidd,vilka variabler som är bundna,vilka variabler som är fria, och vilka formler som är satser 1. xp(x,y) yq(x,y) 2. x( y f (x) = y f (x) = a) Strukturer Strukturer Vi använder sanningstabeller för att definiera konnektivens betydelse Men de bygger på att vi kan lista alla möjliga kombinationer av sanningsvärden i en enda tabell När vi blandar in kvantifierare och funktioner kan vi få oändligt många möjliga kombinationer för varje tal så finns ett större tal x(tal(x) y(tal(y) y > x)) Nu utökar vi semantiken till godtyckliga formler genom strukturer En struktur m = (M,T ) består av en domän M och en tolkning T. A B A B S S S S F F F S F F F F Domäner Domäner Domänen är en mängd med minst ett objekt, exempelvis: alla svampar alla människor allt i hela universum 2.7 2

3 2.2 Tolkningar Tolkningar Tolkningen tilldelar en betydelse till symbolerna Om c är en konstant så är T (c) ett objekt i MT (g) = Bill Gates Om f är en funktionssymbol så är T ( f ) en funktiont (+) = additionsfunktionen Om P är en predikatsymbol så är T (P) en relationt (Ä) = att vara ett äpple, Ä(x): x är ett äpplet (Släkt) = släktskapsrelationen, Släkt(x,y): x är släkt med y 2.8 Exempelstruktur Antag att vi har konstanternagustav6gustavcarl16 en funktionfar ett predikatsläkt Till höger ser vi en struktur m = (M,T ) 2.9 Tolkning av funktioner Vi definierade tolkningen T för konstanter, funktioner och predikat Men semantiken måste ge betydelsen av hela formler Vi utvidgar definitionen av T till funktionstermer, atomära formler och likhet: 3

4 2.10 Tolkning av konnektiv Sedan utvidgar vi definitionen av T så att den inkluderar konnektiven 2.11 Tolkning av kvantifierare Slutligen utvidgar vi T till att gälla kvantifierare I det följande antar vi att alla objekt har var sin konstant Med A(x) menas en godtycklig formel A som innehåller variabeln x 2.12 Räkna ut tolkningen Logisk konsekvens 3.1 Modeller Modell 4

5 När en struktur m gör en formel P sann säger vi att m är en modell för P och skriver När en struktur m inte gör en formel P sann skriver vi 2.14 Logisk konsekvens B är en logisk konsekvens av A om B är sann i varje modell till A Vi definierade förut ett korrekt resonemang som ett resonemang där slutsatsen med nödvändighet följer från premisserna. Nu kan vi ge en formell definition Semantiska bevis Bevisa logisk konsekvens 2.16 Alternativ till semantiska bevis Vi använde definitionen av strukturer för att bevisa logisk konsekvens Resultatet är ett semantiskt bevis Tyvärr är sådana bevis ofta bökiga att skriva och läsa Nästa föreläsning handlar om att använda naturlig deduktion för bevis Resultatet är ett syntaktiskt bevis Sådana bevis är trevligare att skriva och läsa

6 3.3 Semantiska motbevis Motbevisa logisk konsekvens 2.18 Inga alternativ till semantiska motbevis Vi använde definitionen av strukturer för att motbevisa logisk konsekvens Resultatet är ett semantiskt bevis I ett motbevis räcker det att hitta en enda struktur som uppfyller premisserna men inte slutsatsen I ett bevis måste vi visa att alla möjliga strukturer som uppfyller premisserna också uppfyller slutsatsen Därför är motbevis inte lika bökiga att skriva och läsa Nästa föreläsnings naturlig deduktion kan inte användas för motbevis Därför var det nödvändigt att lära oss strukturer 2.19 Övning: Tolkning i struktur 2.20 Övning: Tolkning i struktur 6

7 2.21 Övning: Tolkning i struktur

FÖRELÄSNING 3 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS

FÖRELÄSNING 3 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 729G06 Logik FÖRELÄSNING 3 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 160208 Idag C-regeln, informell (och formell) inledning till predikatlogik (Bevis kommer senare.) 2 3 Vår (Snöfritt Cykla) (Vår Snöfritt) Cykla Lätt

Läs mer

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 1 Kursadministration 1. 2 Introduktion 2 2.1 Varför logik?... 2 2.2 Satslogik... 2

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 1 Kursadministration 1. 2 Introduktion 2 2.1 Varför logik?... 2 2.2 Satslogik... 2 Föreläsning 1 Syntax 729G06 Logikdelen Föreläsningsanteckningar i Programmering och logik 21 januari 2014 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 1.1 Innehåll Innehåll 1 Kursadministration 1 2 Introduktion

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori

Grundläggande logik och modellteori Grundläggande logik och modellteori Kapitel 8: Predikatlogik Henrik Björklund Umeå universitet 2. oktober, 2014 Första ordningens predikatlogik Signaturer och termer Första ordningens predikatlogik Formler

Läs mer

Innehåll. Föreläsning 7. Satslogiken är för grov. Samma sak i predikatlogik: Första ordningens predikatlogik. Logik med tillämpningar

Innehåll. Föreläsning 7. Satslogiken är för grov. Samma sak i predikatlogik: Första ordningens predikatlogik. Logik med tillämpningar Innehåll Föreläsning 7 Logik med tillämpningar 99-03-01 Första ordningens predikatlogik Objekt, predikat, kvantifierare Funktioner, termer, wffs Bindning och räckvidd Tolkningar och värderingar Satisfiering,

Läs mer

Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium. v. 2.0, den 29/ III. Metalogik 17-19

Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium. v. 2.0, den 29/ III. Metalogik 17-19 Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium IV v. 2.0, den 29/4 2013 III. Metalogik 17-19 Modeller för satslogiken 18.1 Vi har tidigare sagt att en modell är en tolkning av en teori

Läs mer

p /\ q r DD1350 Logik för dataloger Kort repetition Fö 3 Satslogikens semantik

p /\ q r DD1350 Logik för dataloger Kort repetition Fö 3 Satslogikens semantik DD1350 Logik för dataloger Fö 3 Satslogikens semantik 1 Kort repetition Satslogik formellt språk för att uttrycka påståenden med variabler och konnektiv /\, \/,, t.ex. p /\ q r 1 Kort repetition Naturlig

Läs mer

DD1350 Logik för dataloger. Fö 7 Predikatlogikens semantik

DD1350 Logik för dataloger. Fö 7 Predikatlogikens semantik DD1350 Logik för dataloger Fö 7 Predikatlogikens semantik 1 Kryssprodukt av mängder Om A och B är två mängder så är deras kryssprodukt A B mängden av alla par (a,b), där a A och b B. Ex: A={1,2}, B={3,4},

Läs mer

Sanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden.

Sanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden. MATEMATISK LOGIK Matematisk logik formaliserar korrekta resonemang och definierar formellt bindeord (konnektiv) mellan påståenden (utsagor, satser) I matematisk logik betraktar vi påståenden som antingen

Läs mer

En introduktion till predikatlogik

En introduktion till predikatlogik rasmus.blanck@gu.se FT1200, LC1510 och LGFI52 VT2017 (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) Alla människor är dödliga Sokrates är en människa Sokrates är dödlig Detta argument är intuitivt giltigt: Det finns

Läs mer

Avslutning. Vad? Hur? Anmärkningar inför tentan 2. Vad ska kunnas?

Avslutning. Vad? Hur? Anmärkningar inför tentan 2. Vad ska kunnas? Avslutning Anmärkningar inför tentan Vad ska kunnas? Avslutning 1 Vad? Anmärkningar inför tentan 1 Att ha en bra förståelse för det som behandlades på föreläsningarna och gruppövningarna räcker i princip.

Läs mer

Formell logik Kapitel 9. Robin Stenwall Lunds universitet

Formell logik Kapitel 9. Robin Stenwall Lunds universitet Formell logik Kapitel 9 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 9: Introduktion till kvantifiering Vi har hittills betraktat logiska resonemang vars giltighet enbart beror på meningen hos konnektiv som

Läs mer

DD1350 Logik för dataloger

DD1350 Logik för dataloger DD1350 Logik för dataloger Fö 4 Predikatlogik 1 Kort repetition Satslogik Naturlig deduktion är ett sunt och fullständigt bevissystem för satslogik Avgörbarhet Så vad saknas? Egenskaper Satslogiken är

Läs mer

Utsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section

Utsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section Föreläsning 1 Utsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section 1.1-1.3 i kursboken Definition En utsaga (proposition) är ett

Läs mer

Logik för datavetare DVK:Log Tisdagen 28 oktober 2014. Institutionen för dataoch systemvetenskap David Sundgren

Logik för datavetare DVK:Log Tisdagen 28 oktober 2014. Institutionen för dataoch systemvetenskap David Sundgren Institutionen för dataoch systemvetenskap David Sundgren Logik för datavetare DVK:Log Tisdagen 28 oktober 2014 Skrivtid: 9 00-13 00. Inga hjälpmedel utom formelsamlingen på nästa sida är tillåtna. För

Läs mer

FÖRELÄSNING 8 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS

FÖRELÄSNING 8 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 729G06 Logik FÖRELÄSNING 8 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 160309 Idag Sammanfattning*/uppsamling 2 Mer problemöversikt (och lite definitioner) Inte ersättning för andra föreläsningar! 3 Vad är enlogik? Syntax

Läs mer

Satslogik grundläggande definitioner 3. Satslogik. Uppgift 1. Satslogikens syntax (välformade formler) Satslogikens semantik (tolkningar)

Satslogik grundläggande definitioner 3. Satslogik. Uppgift 1. Satslogikens syntax (välformade formler) Satslogikens semantik (tolkningar) Satslogik grundläggande definitioner Satslogikens syntax (välformade formler) Satslogikens semantik (tolkningar) Modeller, logisk konsekvens och ekvivalens Några notationella förenklingar Kompletta mängder

Läs mer

Formell logik Kapitel 3 och 4. Robin Stenwall Lunds universitet

Formell logik Kapitel 3 och 4. Robin Stenwall Lunds universitet Formell logik Kapitel 3 och 4 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 3: De Booleska konnektiven Vi sade att predikaten och namnen kan variera mellan olika FOL Vi ska nu titta på några språkliga element

Läs mer

Om semantisk följd och bevis

Om semantisk följd och bevis Matematik, KTH Bengt Ek december 2017 Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Om semantisk följd och bevis Logik handlar bla om studiet av korrekta slutledningar, dvs frågan om när det är riktigt

Läs mer

Lite om bevis i matematiken

Lite om bevis i matematiken Matematik, KTH Bengt Ek februari 2013 Material till kursen SF1662, Diskret matematik för CL1: Lite om bevis i matematiken Inledning Bevis är centrala i all matematik Utan (exakta definitioner och) bevis

Läs mer

Vad är det? Översikt. Innehåll. Vi behöver modeller!!! Kontinuerlig/diskret. Varför modeller??? Exempel. Statiska system

Vad är det? Översikt. Innehåll. Vi behöver modeller!!! Kontinuerlig/diskret. Varför modeller??? Exempel. Statiska system Vad är det? Översikt Discrete structure: A set of discrete elements on which certain operations are defined. Discrete implies non-continuous and therefore discrete sets include finite and countable sets

Läs mer

7, Diskreta strukturer

7, Diskreta strukturer Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2013 1 Inledning 2 Satslogik Inledning Satslogiska uttryck Resonemang och härledningar

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori (5DV102)

Grundläggande logik och modellteori (5DV102) Tentamen 2013-10-31 Grundläggande logik och modellteori (5DV102) M. Berglund och K. Markström Totalt antal uppgifter 11 Maximalt antal poäng 30 Krav för 3 i betyg 14 poäng Krav för 4 i betyg 19 poäng,

Läs mer

Robin Stenwall Lunds universitet

Robin Stenwall Lunds universitet Robin Stenwall Lunds universitet Vik$gt a) tänka på Innehållet i kursen formell logik förutsätts vara inhämtat (repetera om du är osäker). I allmänhet gäller att kursinnehållet, som ska instuderas på relativt

Läs mer

Varför är logik viktig för datavetare?

Varför är logik viktig för datavetare? Varför är logik viktig för datavetare? 1. Datavetenskap handlar ofta om att automatisera processer som tidigare styrts av människor. Intuition, intelligens och mänskliga resonemang ersätts av beräkningar.

Läs mer

Logik och bevisteknik lite extra teori

Logik och bevisteknik lite extra teori Logik och bevisteknik lite extra teori Inger Sigstam 2011-04-26 1 Satslogik (eng: propositional logic) 1.1 Språket Alfabetet består av följande symboler: satssymbolerna p 0, p 1, p 2,.... konnektiverna,,,,.

Läs mer

K2 Något om modeller, kompakthetssatsen

K2 Något om modeller, kompakthetssatsen KTH Matematik Bengt Ek Maj 2005 Kompletteringsmaterial till kursen 5B1928 Logik för D1: K2 Något om modeller, kompakthetssatsen Vi skall presentera ett enkelt (om man känner till sundhets- och fullständighetssatsen

Läs mer

Semantik och pragmatik (Serie 4)

Semantik och pragmatik (Serie 4) Semantik och pragmatik (Serie 4) Satser och logik. Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April 2015 1 / 30 Så här långt (satslogik) Konjunktion (p q): att två enklare satser båda är uppfyllda.

Läs mer

Robin Stenwall Lunds universitet

Robin Stenwall Lunds universitet Robin Stenwall Lunds universitet Vik$gt a) tänka på Innehållet i kursen formell logik förutsätts vara inhämtat (repetera om du är osäker). I allmänhet gäller att kursinnehållet, som ska instuderas på relativt

Läs mer

Kompletteringsmaterial. K2 Något om modeller, kompakthetssatsen

Kompletteringsmaterial. K2 Något om modeller, kompakthetssatsen KTH Matematik Bengt Ek Maj 2008 Kompletteringsmaterial till kursen SF1642, Logik för D1 och IT3: K2 Något om modeller, kompakthetssatsen Vi skall presentera ett enkelt (om man känner till sundhets- och

Läs mer

Robin Stenwall Lunds universitet

Robin Stenwall Lunds universitet Robin Stenwall Lunds universitet Avsnitt 10.3 Några nyttiga ekvivalenser Två sätt att använda tautologa ekvivalenser i första-ordningens logik (1) Satser vars sanningsfuntionella former är tautologt ekvivalenta

Läs mer

Formell logik Kapitel 10. Robin Stenwall Lunds universitet

Formell logik Kapitel 10. Robin Stenwall Lunds universitet Formell logik Kapitel 10 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 10: Kvantifikatorernas logik Förra gången introducerade vi kvantifikatorer och variabler Vi har därmed infört samtliga symboler i FOL Brännande

Läs mer

Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf

Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf UPPSALA UNIVERSITET Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/ matsd/uv/uv07/dg1/ Logisk semantik II 1 Predikatlogik, generella

Läs mer

Logik I. Åsa Hirvonen Helsingfors universitet. Våren 2013

Logik I. Åsa Hirvonen Helsingfors universitet. Våren 2013 Logik I Åsa Hirvonen Helsingfors universitet Våren 2013 Inledning Logik är läran om härledning. Med hjälp av logiken kan vi säga när ett resonemang är korrekt och när det inte är det. För att kunna studera

Läs mer

Formell logik Kapitel 1 och 2. Robin Stenwall Lunds universitet

Formell logik Kapitel 1 och 2. Robin Stenwall Lunds universitet Formell logik Kapitel 1 och 2 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 1: Atomära satser Drömmen om ett perfekt språk fritt från vardagsspråkets mångtydighet och vaghet (jmf Leibniz, Russell, Wittgenstein,

Läs mer

7, Diskreta strukturer

7, Diskreta strukturer Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2015 Modeller Matematiska modeller Kontinuerliga modeller Kontinuerliga funktioner

Läs mer

Föreläsning 5. Deduktion

Föreläsning 5. Deduktion Föreläsning 5 Deduktion Hur ett deduktivt system fungerar Komponenter - Vokabulär Ett deduktivt system använder ett visst slags språk som kan kallas för systemets vokabulär. I mindre formella fall är kanske

Läs mer

Formell logik Kapitel 7 och 8. Robin Stenwall Lunds universitet

Formell logik Kapitel 7 och 8. Robin Stenwall Lunds universitet Formell logik Kapitel 7 och 8 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 7: Konditionalsatser Kapitlet handlar om konditionalsatser (om-så-satser) och deras logik Idag: bevismetoder för konditionalsatser,

Läs mer

Avslutning. Vad? Hur? Anmärkningar inför tentan 2. Vad ska ni kunna?

Avslutning. Vad? Hur? Anmärkningar inför tentan 2. Vad ska ni kunna? Avslutning Anmärkningar inför tentan Vad ska ni kunna? Avslutning 1 Vad? Anmärkningar inför tentan 1 Att ha en bra förståelse för det som behandlades på föreläsningarna, inlämningsuppgifterna och gruppövningarna

Läs mer

F. Drewes Datavetenskapens grunder, VT02. Lite logik

F. Drewes Datavetenskapens grunder, VT02. Lite logik F Drewes 2002-05-23 Datavetenskapens grunder, VT02 Lite logik Den här texten är en sammanfattning av logikdelen i kursen Datavetenskapens grunder Den handlar om satslogik och predikatlogik, några av deras

Läs mer

DD1361 Programmeringsparadigm HT15

DD1361 Programmeringsparadigm HT15 DD1361 Programmeringsparadigm HT15 Logikprogrammering 1 Dilian Gurov, TCS Innehåll Logikprogrammering Kontrollflöde Unifiering Backtracking Negation Snitt Induktiva datatyper och rekursion Inbyggda datatyper:

Läs mer

DD1361 Programmeringsparadigm HT17

DD1361 Programmeringsparadigm HT17 DD1361 Programmeringsparadigm HT17 Logikprogrammering 1 Dilian Gurov, KTH Delkursinnehåll Logisk versus procedurell läsning Kontrollflöde: Unifiering, Backtracking, Snitt Induktiva datatyper och rekursion

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori (5DV102)

Grundläggande logik och modellteori (5DV102) Tentamen 2014-01-10 Grundläggande logik och modellteori (5DV102) M. Berglund och K. Markström Totalt antal uppgifter 10 Maximalt antal poäng 30 Krav för 3 i betyg 1 Krav för 4 i betyg 19 poäng, vara minst

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori

Grundläggande logik och modellteori Grundläggande logik och modellteori Kapitel 6: Binära beslutsdiagram (BDD) Henrik Björklund Umeå universitet 22. september, 2014 Binära beslutsdiagram Binära beslutsdiagram (Binary decision diagrams, BDDs)

Läs mer

Logik och modaliteter

Logik och modaliteter Modallogik Introduktionsföreläsning HT 2015 Formalia http://gul.gu.se/public/courseid/70391/lang-sv/publicpage.do Förkunskaper etc. Logik: vetenskapen som studerar argument med avseende på (formell) giltighet.

Läs mer

9. Predikatlogik och mängdlära

9. Predikatlogik och mängdlära Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 9. Predikatlogik och mängdlära Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2014 Rekaputilation Vi har talat om satslogik naturlig härledning predikatlogik

Läs mer

DD1350 Logik för dataloger

DD1350 Logik för dataloger DD1350 Logik för dataloger Fö 8 Axiomatiseringar 1 Modeller och bevisbarhet Sedan tidigare vet vi att: Om en formel Φ är valid (sann i alla modeller) så finns det ett bevis för Φ i naturlig deduktion.

Läs mer

729G06 Logik FÖRELÄSNING 1 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS

729G06 Logik FÖRELÄSNING 1 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 729G06 Logik FÖRELÄSNING 1 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 160127 Vad är logik? Som ämne, område... 2 Läran om korrekta resonemang Följer slutsatserna av ens antaganden? 3 Alla hundar är djur. Alla enhörningar

Läs mer

Sats. Om t är en rätvinklig triangel så är summan av kvadraterna på kateterna i t lika med kvadraten på hypotenusan.

Sats. Om t är en rätvinklig triangel så är summan av kvadraterna på kateterna i t lika med kvadraten på hypotenusan. Lunds tekniska högskola Datavetenskap Lennart Andersson Föreläsningsanteckningar EDAF10 3 Predikatlogik 3.1 Motivering I satslogiken är de minsta beståndsdelarna satslogiska variabler som kan anta värdena

Läs mer

DD1350 Logik för dataloger. Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion

DD1350 Logik för dataloger. Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion DD1350 Logik för dataloger Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion 1 Satslogik En sats(eller utsaga)är ett påstående som kan vara sant eller falskt. I satslogik(eng. propositionallogic) representeras sådana

Läs mer

Sanning och lögnare. Rasmus Blanck VT2017. FT1200, LC1510 och LGFI52

Sanning och lögnare. Rasmus Blanck VT2017. FT1200, LC1510 och LGFI52 rasmus.blanck@gu.se FT1200, LC1510 och LGFI52 VT2017 Vad är sanning? Vi verkar använda begreppet utan större problem till vardags. Det kanske vore intressant att ha en definition: P är sann om och endast

Läs mer

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk Övning A Målet är att genom att lösa och diskutera några inledande uppgifter få erfarenheter

Läs mer

Viktiga frågor att ställa när ett argument ska analyseras och sedan värderas:

Viktiga frågor att ställa när ett argument ska analyseras och sedan värderas: FTEA12:2 Föreläsning 2 Grundläggande argumentationsanalys II Repetition: Vid förra tillfället började vi se närmre på vad som utmärker filosofisk argumentationsanalys. Vi tittade närmre på ett arguments

Läs mer

DD1361 Programmeringsparadigm HT16

DD1361 Programmeringsparadigm HT16 DD1361 Programmeringsparadigm HT16 Logikprogrammering 1 Dilian Gurov, TCS Delkursinnehåll Logikprogrammering Logisk versus procedurell läsning Kontrollflöde Unifiering, Backtracking, Snitt Negation Induktiva

Läs mer

Filosofisk logik Kapitel 15. Robin Stenwall Lunds universitet

Filosofisk logik Kapitel 15. Robin Stenwall Lunds universitet Filosofisk logik Kapitel 15 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Första ordningens mängdlära Naiv mängdlära Abstraktionsaxiomet (eg. comprehension) Extensionalitetsaxiomet Små mängder Ordnade

Läs mer

Robin Stenwall Lunds universitet

Robin Stenwall Lunds universitet Robin Stenwall Lunds universitet Avsnitt 14.1 Numerisk kvantifikation Kvantifikatorerna i FOL är begränsade till och. Detta innebär att vi kan uttrycka satser som säger någonting om allting och någonting.

Läs mer

Filosofisk logik Kapitel 19. Robin Stenwall Lunds universitet

Filosofisk logik Kapitel 19. Robin Stenwall Lunds universitet Filosofisk logik Kapitel 19 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Gödels fullständighetsteorem Sundhet och fullständighet Fullständighetsbeviset Vittneskonstanter Henkinteorin Eliminationsteoremet

Läs mer

Semantik och pragmatik

Semantik och pragmatik Semantik och pragmatik OH-serie 4 http://stp.lingfil.uu.se/~matsd/uv/uv12/semp/ Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Januari 2012 Om barnet har svårt att andas eller har ont i bröstet

Läs mer

Formell logik Kapitel 5 och 6. Robin Stenwall Lunds universitet

Formell logik Kapitel 5 och 6. Robin Stenwall Lunds universitet Formell logik Kapitel 5 och 6 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 5 Bevismetoder för boolesk logik Visa att en sats är en tautologisk konsekvens av en mängd premisser! Lösning: sanningstabellmetoden

Läs mer

Semantik och pragmatik

Semantik och pragmatik Semantik och pragmatik OH-serie 5 http://stp.lingfil.uu.se/~matsd/uv/uv12/semp/ Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Januari 2012 Så här långt Konjunktion (p q): att två enklare satser

Läs mer

Filosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet

Filosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet Filosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Antalet element i en mängd Kardinalitet Humes princip Cantors teorem Den universella mängden Några mängdteoretiska paradoxer

Läs mer

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1 Avsnitt 1 MATEMATIKENS SPRÅK Varje vetenskap, liksom varje yrke, har sitt eget språk som ofta är en blandning av vardagliga ord och speciella termer. En instruktionshandbok för ett kylskåp eller för en

Läs mer

Semantik och pragmatik (serie 5)

Semantik och pragmatik (serie 5) Semantik och pragmatik (serie 5) (Predikat)logik Mängdlära överkurs (och repetition för en del). Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April 2015 1 / 41 Korsning av två egenskaper E 1

Läs mer

Normalisering av meningar inför resolution 3. Steg 1: Eliminera alla och. Steg 2: Flytta alla negationer framför atomära formler

Normalisering av meningar inför resolution 3. Steg 1: Eliminera alla och. Steg 2: Flytta alla negationer framför atomära formler Normalisering av meningar inför resolution På samma sätt som i satslogiken är resolution i predikatlogiken en process vars syfte är att vederlägga att en klausulmängd är satisfierbar. Det förutsätter dock

Läs mer

Första ordningens logik

Första ordningens logik Första ordningens logik Christian Bennet Christian Bennet, februari 2013 Detta verk är licensierat under en Creative Commons Erkännande- Ickekommersiell-IngaBearbetningar 3.0 Unported license. För att

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori

Grundläggande logik och modellteori Modeller och uttrycksfullhet hos predikatlogik Department of mathematics Umeå university Föreläsning 10 Dagens föreläsning 1 Innehåll på resten av kursen 2 Varför verifikation? Formella metoder för verifikation

Läs mer

*UXSS YQLQJ±/RJLNPHGWLOOlPSQLQJDUYW

*UXSS YQLQJ±/RJLNPHGWLOOlPSQLQJDUYW *USS YQLQJ±/RJLNPHGWLOOlPSQLQJDUYW 8SSJLIW Här kommer några teoretiska frågor, skriv svaren med egna ord, dvs skriv inte av ohbilderna: a. Vad är en beslutsprocedur? En algoritm som terminerar och som

Läs mer

En introduktion till logik

En introduktion till logik rasmus.blanck@gu.se FT1200, LC1510 och LGFI52 VT2017 Först: Tack till Martin Kaså, som gett mig tillstånd att använda och bearbeta dessa ljusbilder. Vad är logik? Slogan: Logik undersöker vilka argument

Läs mer

K3 Om andra ordningens predikatlogik

K3 Om andra ordningens predikatlogik KTH Matematik Bengt Ek Maj 2005 Kompletteringsmaterial till kursen 5B1928 Logik för D1: K3 Om andra ordningens predikatlogik Vi presenterar på dessa sidor kortfattat andra ordningens predikatlogik, vilket

Läs mer

Logik och kontrollstrukturer

Logik och kontrollstrukturer Logik och kontrollstrukturer Flödet av instruktioner i ett programmeringsspråk bygger vi upp med hjälp av dess kontrollstrukturer. I C har vi exemplen if, if else, while, do while. Dessutom finns switch

Läs mer

Robin Stenwall Lunds universitet

Robin Stenwall Lunds universitet Robin Stenwall Lunds universitet Dagens föreläsning Informella bevismetoder för kvantifikatorer Universell elimination Existentiell introduktion Existentiell elimination Universell introduktion General

Läs mer

Semantik och pragmatik (Serie 3)

Semantik och pragmatik (Serie 3) Semantik och pragmatik (Serie 3) Satser och logik. Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April 2015 1 / 37 Logik: språk tanke (Saeed kapitel 4.) Satser uttrycker (ofta) tankar. Uttrycksrikedom

Läs mer

Kap. 7 Logik och boolesk algebra

Kap. 7 Logik och boolesk algebra Ka. 7 Logik och boolesk algebra Satslogik Fem logiska konnektiv: ej, och, eller, om-så, omm Begre: sats, sanningsvärde, sanningsvärdestabell tautologi, kontradiktion Egenskaer: Räkneregler för satslogik

Läs mer

DD1350 Logik för dataloger. Vad är logik?

DD1350 Logik för dataloger. Vad är logik? DD1350 Logik för dataloger Fö 1 - Introduktion Vad är logik? Vetenskapen som studerar hur man bör resoneraoch dra slutsatser utifrån givna påståenden (=utsagor, satser). 1 Aristoteles (384-322 f.kr) Logik

Läs mer

FTEA12:2 Filosofisk metod. Att värdera argumentation I

FTEA12:2 Filosofisk metod. Att värdera argumentation I FTEA12:2 Filosofisk metod Att värdera argumentation I Dagens upplägg 1. Några generella saker att tänka på vid utvärdering av argument. 2. Grundläggande språkfilosofi. 3. Specifika problem vid utvärdering:

Läs mer

Övningshäfte 2: Induktion och rekursion

Övningshäfte 2: Induktion och rekursion GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,

Läs mer

MÖNSTER OCH TALFÖLJDER

MÖNSTER OCH TALFÖLJDER MÖNSTER OCH TALFÖLJDER FÖRELÄSNINGENS INNEHÅLL OCH SYFTE Genomgång av viktiga matematiska begrepp, uttryck och symboler med anknytning till mönster och talföljder. Skälet till att välja detta innehåll

Läs mer

Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet TER1

Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet TER1 Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen 2016-12-09 Sal (1) TER1 Tid 14-18 Kurskod 729G06 Provkod TEN1 Kursnamn/benämning Provnamn/benämning Institution Antal

Läs mer

Föreläsning 8. Innehåll. Satisfierbarhet hos en formel. Logik med tillämpningar

Föreläsning 8. Innehåll. Satisfierbarhet hos en formel. Logik med tillämpningar Föreläsning 8 Logik med tillämpningar 000413 Innehåll Lite mer om värderingar och tolkningar Semantiska tablåer i predikatlogiken Kapitel 3.5 Satisfierbarhet hos en formel En formel A är satisfierbar om

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori

Grundläggande logik och modellteori Grundläggande logik och modellteori Kapitel 4: Konjunktiv och disjunktiv normalform Henrik Björklund Umeå universitet 15. september, 2014 CNF och DNF Konjunktiv normalform (CNF) Omskrivning av en formel

Läs mer

MA2047 Algebra och diskret matematik

MA2047 Algebra och diskret matematik MA2047 Algebra och diskret matematik Något om logik och mängdlära Mikael Hindgren 5 september 2018 Utsagor Utsaga = Påstående som har sanningsvärde Utsagan kan vara sann (S) eller falsk (F) öppen eller

Läs mer

Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer

Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer 2017-01-05, Lösningsförslag (med reservation för eventuella fel) 1. Betrakta följande satslogiska uttryck: (p q) (q p) (a) Visa genom naturlig deduktion att uttrycket

Läs mer

Robin Stenwall Lunds universitet

Robin Stenwall Lunds universitet Robin Stenwall Lunds universitet Dagens föreläsning Informella bevismetoder för kvantifikatorer Universell elimination Existentiell introduktion Existentiell elimination Universell introduktion General

Läs mer

Mängdlära. Kapitel Mängder

Mängdlära. Kapitel Mängder Kapitel 2 Mängdlära 2.1 Mängder Vi har redan stött på begreppet mängd. Med en mängd menar vi en väldefinierad samling av objekt eller element. Ordet väldefinierad syftar på att man för varje tänkbart objekt

Läs mer

Relationskalkyl (RK)

Relationskalkyl (RK) 1 Relationskalkyl (RK) Formellt frågespråk som är baserad på predikatkalkyl (logik) En formel i RK är icke-procedurell (deklarativ), dvs den specificerar vad som ska hämtas och inte hur Jämför med relationsalgebran

Läs mer

Tal till Solomon Feferman

Tal till Solomon Feferman Ur: Filosofisk tidskrift, 2004, nr 1. Dag Westerståhl Tal till Solomon Feferman (Nedanstående text utgör det tal som Dag Westerståhl höll på Musikaliska Akademien i oktober 2003, i samband med att Feferman

Läs mer

Tentamen i logik 729G06 Programmering och logik

Tentamen i logik 729G06 Programmering och logik Tentamen i logik 729G06 Programmering och logik 2016-08-19 Poänggränser: På tentan kan du som mest få 25 poäng. Om du har fått 12 poäng är du garanterad åtminstone godkänt betyg, 19 väl godkänt. Tillåtna

Läs mer

3-8 Proportionalitet Namn:

3-8 Proportionalitet Namn: 3-8 Proportionalitet Namn: Inledning Det här kapitlet handlar om samband mellan olika storheter och formler. När du är klar är du mästare på att arbeta med proportionalitet, det vill säga du klarar enkelt

Läs mer

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss Explorativ övning 1 LMA100 vt 2003 MATEMATIKENS SPRÅK Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss förstå språket. Vi skall försöka utveckla vårt

Läs mer

Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.

Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Begrepp som diskuteras i det kapitlet. Vektorer, addition och multiplikation med skalärer. Geometrisk tolkning. Linjär kombination av

Läs mer

Vad är semantik? LITE OM SEMANTIK I DATORLINGVISTIKEN. Språkteknologi semantik. Frågesbesvarande

Vad är semantik? LITE OM SEMANTIK I DATORLINGVISTIKEN. Språkteknologi semantik. Frågesbesvarande LITE OM SEMANTIK I DATORLINGVISTIKEN (FORMELL SEMANTIK) Vad är semantik? Form (abstrakt struktur): grammatik Innehåll (betydelse): semantik Användning: pragmatik/diskurs Mats Dahllöf Språkteknologisk motivation

Läs mer

Primitivt rekursiva funktioner och den aritmetiska hierarkin

Primitivt rekursiva funktioner och den aritmetiska hierarkin Primitivt rekursiva funktioner och den aritmetiska hierarkin Rasmus Blanck 0 Inledning En rad frågor inom logiken, matematiken och datavetenskapen relaterar till begreppet beräkningsbarhet. En del i kursen

Läs mer

A. MENING OCH SANNINGSVÄRDE HOS IDENTITETSPÅSTÅENDE. antag att namn A står för objekt a och namn B står för objekt b antag att a och b är distinkta

A. MENING OCH SANNINGSVÄRDE HOS IDENTITETSPÅSTÅENDE. antag att namn A står för objekt a och namn B står för objekt b antag att a och b är distinkta FREGE, FÖRELÄSNINGSANTECKNINGAR HT17 IB A. MENING OCH SANNINGSVÄRDE HOS IDENTITETSPÅSTÅENDE Freges analys av identitetspåståenden antag att namn A står för objekt a och namn B står för objekt b antag att

Läs mer

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt,

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, Explorativ övning 1 MATEMATIKENS SPRÅK Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss förstå språket. Vi skall försöka utveckla vårt matematiska språk,

Läs mer

Logik: sanning, konsekvens, bevis

Logik: sanning, konsekvens, bevis Logik: sanning, konsekvens, bevis ft1100 samt lc1510 HT 2016 Giltiga argument (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) Professorn är på kontoret eller i lunchrummet Hon är inte på kontoret Professorn är i lunchrummet

Läs mer

Filosofisk logik Kapitel 18. Robin Stenwall Lunds universitet

Filosofisk logik Kapitel 18. Robin Stenwall Lunds universitet Filosofisk logik Kapitel 18 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Modeller för FOL Sanning i FOL Tarskis idé Satisfiering Definitionen på sanning i en modell Definitionen på FO-konsekvens Definitionen

Läs mer

Logisk semantik I. 1 Lite om satslogik. 1.1 Konjunktioner i grammatisk bemärkelse. 1.2 Sant och falskt. 1.3 Satssymboler. 1.

Logisk semantik I. 1 Lite om satslogik. 1.1 Konjunktioner i grammatisk bemärkelse. 1.2 Sant och falskt. 1.3 Satssymboler. 1. UPPSALA UNIVERSITET Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/ matsd/uv/uv07/dg1/ Logisk semantik I 1 Lite om satslogik 1.1

Läs mer

MA 11. Hur starkt de binder. 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi

MA 11. Hur starkt de binder. 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi MA 11 Talteori och logik 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi propositionssymboler: bokstäver konnektiv Paranteser konnektiv

Läs mer

:1) Vid ett besök på Knarrön (där ju var och en antingen är kung (och

:1) Vid ett besök på Knarrön (där ju var och en antingen är kung (och KTH Matematik B.Ek SF1642 LOGIK för D och IT, övningarna vt08 Exempel från gamla tentor (i 5B1928) Ö1, kungar och narrar 23.5-01:1a) Det är marknadsdag på Knarrön och många invånare från den närbelägna

Läs mer

Klassdeklaration. Metoddeklaration. Parameteröverföring

Klassdeklaration. Metoddeklaration. Parameteröverföring Syntax: Class Declaration Modifier Class Body Basic Class Member Klassdeklaration class Class Member Field Declaration Constructor Declaration Method Declaration Identifier Class Associations Motsvarar

Läs mer

Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära

Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Inledande matematisk analys tma970, 010, logik, mängdlära Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Dessa öreläsningsanteckningar kompletterar mycket kortattat kap 0 och appendix B i Persson/Böiers,

Läs mer