Semantik och pragmatik (serie 5)

Transkript

1 Semantik och pragmatik (serie 5) (Predikat)logik Mängdlära överkurs (och repetition för en del). Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April / 41

2 Korsning av två egenskaper E 1 E 2 E 1 E 2 ja ja ja nej nej ja nej nej T.ex. hundar (E 1 ) som skäller (E 2 ) Predikatlogik: E 1 (x) E 2 (x) (öppen formel utan kvantifikator) 2 / 41

3 Korsning av två egenskaper E 1 E 2 E 1 E 2 ja ja ja nej nej ja nej nej T.ex. hundar (E 1 ) som inte skäller (E 2 ) Predikatlogik: E 1 (x) E 2 (x) (öppen formel utan kvantifikator) 3 / 41

4 Korsning av två egenskaper E 1 E 2 E 1 E 2 ja ja ja nej nej ja nej nej T.ex. icke-hundar (E 1 ) som skäller (E 2 ) Predikatlogik: E 1 (x) E 2 (x) (öppen formel utan kvantifikator) 4 / 41

5 Korsning av två egenskaper E 1 E 2 E 1 E 2 ja ja ja nej nej ja nej nej T.ex. icke-hundar (E 1 ) som inte skäller (E 2 ) Predikatlogik: E 1 (x) E 2 (x) (öppen formel utan kvantifikator) 5 / 41

6 Korsning av två egenskaper E 1 E 2 E 1 E 1 ja ja ja nej nej ja nej nej T.ex. icke-hundar (E 1 ) som inte skäller (E 2 ) Predikatlogik: E 1 (x) E 2 (x) (öppen formel utan kvantifikator) 6 / 41

7 Öppna formler Detta är öppna formler som bara definierar egenskaper (i termer av två godtyckliga, E 1 (x) och E 2 (x)): E 1 (x) E 2 (x) E 1 (x) E 2 (x) E 1 (x) E 2 (x) E 1 (x) E 2 (x) De öppna formlerna måste få sin variabel bunden av en kvantifikator, d.v.s. x eller x för att bli satser som säger något. 7 / 41

8 Motsvarande x-satser Dessa satser säger att allt som existerar finns i motsvarande gröna område. x (E 1 (x) E 2 (x)) Allting är både E 1 och E 2. T.ex.: Allt som finns är skällande hundar. x ( E 1 (x) E 2 (x)) T.ex.: Det finns inga hundar men allting skäller. x (E 1 (x) E 2 (x)) T.ex.: Allt som finns är hundar som inte skäller. x ( E 1 (x) E 2 (x)) Det finns varken hundar eller skällande [varelser.] Dessa satser, av formen x (......), är så starka att man bör fundera på om de är rätt analys av en utsaga. 8 / 41

9 Motsvarande x-satser Dessa satser säger att någonting (minst en sak) finns i motsvarande gröna område. x (E 1 (x) E 2 (x)) T.ex.: Det finns en hund som skäller. x ( E 1 (x) E 2 (x)) T.ex.: Det finns en hund som inte skäller. x (E 1 (x) E 2 (x)) T.ex.: Det finns en [varelse] som inte är hund som skäller. x ( E 1 (x) E 2 (x)) Det finns något som varken är en hund eller skäller. 9 / 41

10 Fyra kategoriska satstyper : (1) E 1 E 2 Kan spegelvändas. Streckat inga element. Vitt vi säger inget om området. (1) Universell affirmativ: Alla E 1 är E 2. x (E 1 (x) E 2 (x)) Mängdlära: E 1 E 2 alt. E 1 \ E 2 = 10 / 41

11 Fyra kategoriska satstyper : (2) E 1 E 2 Streckat inga element. Vitt vi säger inget om området. (2) Universell negativ: Ingen E 1 är E 2. x (E 1 (x) E 2 (x)) Mängdlära: E 1 E 2 alt. E 1 E 2 = 11 / 41

12 Fyra kategoriska satstyper : (3) E 1 E 2 Stjärnat minst ett element. (3) Partikulär affirmativ: Någon E 1 är E 2 (minst en). x (E 1 (x) E 2 (x)) Mängdlära: E 1 E 2 12 / 41

13 Fyra kategoriska satstyper : (4) E 1 E 2 Stjärnat minst ett element. (4) Partikulär negativ: Någon E 1 är inte E 2 (minst en). x (E 1 (x) E 2 (x)) Mängdlära: E 1 E 2 alt. E 1 \ E 2 13 / 41

14 Andra satstyper De fyra kategoriska satstyperna grundläggande och viktiga. Det finns dock andra typer av satser: Andra typer av kvantifikation: Tre (kardinalitet), många (vagt antal), fler A än B är C (jämförelse). Relationsbaserade, t.ex. Det poppade majskornet är nyttigare än både grönsaker och frukt. Villkorliga, t.ex. om barnet mår märkbart dåligt av febern kan febernedsättande läkemedel vara till hjälp. Modala, t.ex. Sprinkler bör inte installeras i alla svenska skolor. 14 / 41

15 Logiskt bindande slutledning Följande är ett resonemang som är logiskt bindande: PREMISSER: Alla hundar äter kött. Alla taxar är hundar. SLUTSATS: Alla taxar äter kött. Givet några satser (premisser), så måste en viss slutsats följa. D.v.s.: Om premisserna är sanna, måste slutsatsen vara sann också. (Huruvida premisserna är sanna eller inte är en annan sak.) Denna typ av slutledningsmönster (med kategoriska satser) kallas syllogismer (i aristotelisk logik.) 15 / 41

16 Venndiagram för föregående (P1) T K (P2) T K H H (S) T K Visuellt bevis av föregående slutledning. H Streckad yta tom. 16 / 41

17 Formell struktur avgörande Samma resonemang som tidigare, fast mer abstrakt: PREMISSER: Alla A (är) B. x (A(x) B(x)) Alla B (är) C. x (B(x) C(x)) SLUTSATS: Alla A (är) C. x (A(x) C(x)) Slutledningen är logiskt bindande oavsett vilka mängder/egenskaper A, B och C representerar. Om man anser/hävdar att premisserna är sanna, men förnekar slutsatsen, så tänker/kommunicerar man motsägelsefullt. Logisk slutledning är ett sätt att nå fram till ny kunskap utifrån befintlig, som kan komma från olika källor, t.ex. publicerade fakta, egna observationer, begreppsliga samband. 17 / 41

18 Annat exempel Följande är ett resonemang som är logiskt bindande: PREMISSER: Det finns katter som jamar. x (K(x) J(x)) Alla katter är djur. x (K(x) D(x)) SLUTSATS: Det finns djur som jamar. x (D(x) J(x)) 18 / 41

19 Venndiagram för föregående (P1) D J (P2) D J K K (S) D J Visuellt bevis av föregående slutledning. K Streckad yta tom. Stjärnad yta minst en sak finns. 19 / 41

20 Resten ÖVERKURS Mängdlära Mängdlära matematik för kategorier En mängd svarar mot en helt godtycklig kategori. Elementrelationen ( ) är kopplingen mellan en sak och varje mängd i vilken saken ingår. (Negerad:.) Tomma mängden,, är den (enda) mängd som saknar element. Ingen vaghet: antingen eller. M = N om och endast om M och N har precis samma element gäller generellt. (Extensionalitetsprincipen.) Alltså: Om M N, så finns ett objekt a sådant att a M och a N eller a N och a M 20 / 41

21 En mängd, med exempel M mängden av huvudstäder. M Oslo Berlin Paris Tokyo Osaka Åbo Lyon Milano Uppsala 21 / 41

22 Alla urval ger en mängd Om vi utgår från en mängd med tre element finns sju mindre mängder. 1. {Berlin, Oslo, Paris} 5. {Berlin} 2. {Berlin, Oslo} 6. {Oslo} 3. {Berlin, Paris} 7. {Paris} 4. {Oslo, Paris} 8. {} (hellre: ) Alla är delmängder till den första, t.ex. {Oslo, Paris} {Berlin, Oslo, Paris} M är en delmängd till N (M N) om och endast om varje element i M också ingår i N. (Negerad form:.) 22 / 41

23 Delmängd: M N Två visualiseringar: M N N M Alla M-element är också N-element. (Inga M-element ligger utanför N.) Streckad yta är tom. 23 / 41

24 Exempel Sanningar (med naturliga tolkningar av orden/namnen): {Bush, Nixon} {Nixon, Thatcher, Clinton, Reagan, Bush} {Platon, Descartes, Kant} {x x är en filosof} {Bush, Nixon, Platon} {Nixon, Thatcher, Clinton, Bush} {Stockholm, Oslo, Uppsala} {x x är en huvudstad} Notera: uppräkningar och beskrivningar. Över- och underordnade begrepp: {x x är en hammare} {x x är ett verktyg} {x x är ett par svarta jeans} {x x är ett klädesplagg} 24 / 41

25 Disjunkthet: M N Två visualiseringar: M N M N Inga M-element är också N-element, och därmed vice versa. (Alla M-element ligger utanför N, och därmed vice versa.) 25 / 41

26 Exempel Sanningar (med naturliga tolkningar av orden/namnen): {Bush, Nixon} {Thatcher, Clinton, Reagan, Obama} {Platon, Descartes, Kant} {x x är en kvinnlig filosof} {Malmö, Göteborg, Uppsala} {x x är en huvudstad} Ömsesidigt uteslutande begrepp: {x x är en katt} {x x är en hund} {x x är ett par svarta jeans} {x x är en T-shirt} 26 / 41

27 Union: A B M N M N = {x x M eller x N} eller brukar i formell semantik vara ett inklusivt eller ( och/eller, snarare än antingen-eller ). 27 / 41

28 Union: A B exempel {Bush, Nixon} = {Bush, Nixon} {Paris} {Oslo} = {Paris, Oslo} {Bush, Nixon} {Nixon, Carter} = {Bush, Nixon, Carter} {Matteus, Markus} {Lukas, Johannes} = {x x är evangelieförfattare} {x x är en enkrona} {x x är en femkrona} {x x är ett mynt} 28 / 41

29 Snitt (intersection): M N M N M N = {x x M och x N} 29 / 41

30 Snitt: M N exempel {Bush, Nixon} {Nixon, Carter} = {Nixon} {Matteus, Markus} {Lukas, Johannes} = {x x är en enkrona} {x x är en femkrona} = {x x är inte fullvuxen} {x x är en hund} = {x x är en valp} {x x är förkyld} {x x är en man} = {x x är en förkyld man} 30 / 41

31 Differens: M \ N och N \ M Skuggat: M \ N Skuggat: N \ M M N M N M \ N = {x x M och x N} N \ M = {x x N och x M} 31 / 41

32 Differens: A B exempel {Bush, Nixon} \ {Nixon, Carter} = {Bush} {x x är en hund} \ {x x är en valp} {x x är fullvuxen} {x x är katt} \ {x x är snäll} = {x x är en katt som inte är snäll} {x x är en enkrona} \ {x x är en femkrona} = {x x är en enkrona} {x x är en enkrona} \ {x x är ett mynt} = 32 / 41

33 Mängdlära relationer symbol negerad namn element = ekvivalens inklusion/delmängd 33 / 41

34 Mängdlära operationer symbol namn definition union M N = {x x M eller x N} snitt M N = {x x M och x N} \ differens M \ N = {x x M och x N} M c komplement M c = {x x och x M} 34 / 41

35 Delmängd: M N M N Streckat tomt. Vitt ingen restriktion. M N om och endast om det gäller för varje element x M att x N. 35 / 41

36 Specialfall av M N då M = N M N Förenlig med föregående. M = N om och endast om det gäller för varje element x M att x N och för varje element x N att x M. Alternativt: M = N om och endast om M N och N M. 36 / 41

37 Annat specialfall av M N då M N M N Stjärnat icke-tomt. Motsäger föregående. Rel. äkta delmängd (M N eller M N) utesluter M = N. M N om och endast om det gäller för varje element x M att x N och det finns ett element x N sådant att x M. 37 / 41

38 Definition, exempel X är en bil [ definiendum ] om och endast om (e 1 ) X är ett motorfordon [ definiens ] och (e2 ) X är försett med tre eller flera hjul eller (e3 ) X är försett medar eller (e4 ) X är försett med band, och (e 5 ) X inte är att anse som en motorcykel eller en moped. I mängdlärans termer (om varje egenskap i definitionen motsvarar en mängd): B = (e 1 (e 2 e 3 e 4 )) \ e 5 38 / 41

39 Begreppshierarkiers logik Viktiga tankeregler som tillämpas i samband med begreppshierarkier. Om A B och B C, så A C. Vi vet så: Alla fåtöljer är stolar, och därmed sittmöbler, och därmed möbler. Om A B och B C, så A C. Vi vet så: Inga fåtöljer är soffor. Inga fåtöljer är bord. Om A C och B C, så (A B) C. T.ex. kan vi använda ordet sittmöbel för att täcka in både fåtöljer och soffor. 39 / 41

40 Komplementär motsats M hund (M) vs icke-hund (M c ): 40 / 41

41 Konträr motsats P M K P = M K och M K. Juridiska könen man (M) och kvinna (K), då P motsvarar folkbokförda personer. 41 / 41