FÖRELÄSNING 3 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS
|
|
- Nils Vikström
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 729G06 Logik FÖRELÄSNING 3 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS
2 Idag C-regeln, informell (och formell) inledning till predikatlogik (Bevis kommer senare.) 2
3 3
4 Vår (Snöfritt Cykla) (Vår Snöfritt) Cykla Lätt med sanningstabell. Här? * Premisser ungefär sanna för Linköping i normal talspråklig tolkning. 4
5 Nästanpremiss-slutsats-struktur Men man måste följa regler! 5
6 Konditionalisering (C) Informell intuition: A B och A B verkar ungefär jämförbara. (Vilka är premisserna?) Antag det i VL (vänsterledet) av implikationen, härled det i HL Lägg till premissen A, härled B OBS! Ger fel premissmängd ( påhittade A-premissen) C-regeln lyfter in premissen i formeln. 6
7 Vår (Snöfritt Cykla) (Vår Snöfritt) Cykla 7
8 Konditionalisering (C) Vi har härlett fram formeln ψ(i vårt exempel: formeln Cykla) Premissmängden kanske innehåller något som bygger på extra-antagandet φ(i vårt exempel: formeln Vår...) Därmed φ ψutifrån samma premisser som för ψ, minus raden förφ I vårt exempel X 6 = {1}, nästa rad får X 7 = X 6 {1} = {} Anm: mängdlära {1,2,3,4} {1,5} = {2,3,4} (ta bort existerande element från mängden) OBS! Mängden premisser är samma som för ψ, men man tar bort radnumret k. 8
9 Sommar Sol,Sol Varmt Varmt Sommar Förbered inför lektionen. 9
10 Introduktion PREDIKATLOGIK 10
11 Varje heltal är udda eller jämnt. Sju är ett heltal. 11
12 addera(fem, tre) = multiplicera(två, fyra) och fyra = multiplicera(två,två). Alltså är addera(fem, tre) = multiplicera(två, multiplicera(två, två)) (Korrekt?) 12
13 Vissa sidekicks är irriterande. Jarvis är en sidekick. Alltså är Jarvis irriterande. (Korrekt resonemang?) 13
14 Howard är rik. Alltså finns någon som är rik. (Korrekt resonemang?) 14
15 Tolkningar i satslogik Tilldelning sanningstabell räcker. 15
16 Vad behöver vi? Informellt. Vad är giltiga formler? Syntax + lexikon. L-formler i Bennet. Mängd element i världen. Domän. Vad formlerna betyder. Tolkning. 16
17 Fyrtiotal Hjälte(peggy)... x[hjälte(x) -> Besegrar(x, skurken)]... Bär(carter, fedora) peggy = carter Möjligt lexikon? Möjlig domän, tolkning? 17
18 m fml Strukturen m modell för formeln om formeln sann under strukturen 18
19 m fml Strukturen m inte en modell, om formeln falsk under strukturen 19
20 OBS! Ytterligare användning (inte bara S,P, Q R som R sant om S,P, Q sanna, R följer av S, P, Q ) 20
21 m x[besegrar(peggy, x)]? Är detta sant för det m vi tog fram ovan? 21
22 addera(tre, fem)=multiplicera(två, fyra) multiplicera(två, två) = fyra Hitta modell. (Skillnad mellan addera och Besegrar?) 22
23 Syntax PREDIKATLOGIK 23
24 Kvantifierare Existensiell ( ) några Universell ( ) - alla 24
25 Räckvidd för kvantifierare...är precis formeln som står efter. 25
26 Konventioner? Läs noga, använd parenteser! 26
27 xblå(x) Bil(x) Första x bundet, andra fritt 27
28 xblå(x) Bil(x) Olika författare tolkar olika Vi (Sjögren, Ben-Ari...): Första x bundet, andra fritt 28
29 Begrepp En bunden variabel står inom räckvidd för någon kvantifierare Annars kallas den fri En formel utan fria variabler kallas en sats Formel med fria variabler varken sann eller falsk beror på tilldelning 29
30 x[p(x) v y(p(y) Q(x,y)] 30
31 x[p(x,y) v y x(p(x,y) Q(x,y)] 31
32 Predikatlogik Utöka syntaxen med Predikat (P, R, Q, Besegrar,...). Konstanter (a,b,c,carter,...) Funktioner (f,g,addera, multiplicera,...) Variabler (x,y,z,...) Identitet (=) Kvantifierare (, ) Konnektiv som förr (,,v,, ) 32
33 Kategorier Termer Formler 33
34 Termer Vad är termer? Variabler Tänk x,y,z... Konstanter Tänk 1,2,3,... f(t 1,...,t n ), om f är en funktion som tar n argument, och alla t i är termer. Tänk addera(1, addera(2, 0)),... 34
35 Atomära formler Ersätter satssymboler. Detta är atomära formler Q, där Q är en atomär sats. P(t 1,...,t n ) är en atomär formel. P predikat som tar n argument, alla t i termer. Tänk Hjälte(carter), Bär(peggy, fedora)... t = u t och u termer. Tänk fyra = multiplicera(två,två)... 35
36 Formler Detta är formler Alla atomära formler Formler som byggs upp med hjälp av konnektiven (,,v,, ) x φ, xφdär φär en formel 36
37 Informella tumregler Tänk sifferdomän, och tillhörande tolkning. Termer gemener. När vi tolkar termer, får vi värden ur domänen (här: siffror). T(fem) = 5, T(plus(fem, nitton)) =... Formler versaler. När vi tolkar dem får vi sanningsvärden. T(Udda(5)) = s, T(fem = plus(ett, sju)) = f 37
38 Not om notation Bennet talar om L-termer, L-formler... L lexikon/alfabet där vi hämtar alla konstantsymboler, funktionssymboler. 1 f Lite mer begränsat och stiliserat språk. Funktionssymboler f 53, där 3 betyder 3 argument (treställig, aritet 3) 38
39 Än så länge: (mest) språk Nu: definiera betydelse 39
40 Strukturer, mer formellt Domän + tolkning 40
41 Strukturer, definition En struktur m = (M,T) består av En icke-tom mängd M, domänen. Alla objekt i världen (kanske av blandat slag). Ex: M = {...,-1,0,1,...} = {x x är heltal},... En tolkningsfunktion (tolkning) T 41
42 Tolkningar En tolkning T ger betydelse åt symbolerna. Om c konstantsymbol, blir T(c) ett objekt i M. T(peggy) = carter, T(fem) = 5 Formellt: T(c) M [jfr mängdläran] Om V atomär sats, blir T(V) sanningsvärde T(Fyrtiotal) = s Formellt: T(A) {s,f}, där A satssymbol 42
43 Tolkningar Om f funktionssymbol, blir T(f) en funktion med argument från M, och värdemängd i M. T(addera) = additionsfunktionen. Tar två heltal och ger ett heltal (med domän heltal) T(addera) : M 2 -> M Formellt: T(f) : M n -> M, om f är n-ställig (tar n argument) 43
44 Tolkningar Om P predikatsymbol, blir T(P) en relation. T(Hjälte) = {...,carter,...} M T(Besegrar) = {..., (carter, frost),...} M M = M 2 Formellt: för P som är n-ställig (n argument): T(P) M n 44
45 Tolkningar Om P predikatsymbol, tolkas T(P(t 1,..., t n )) = s omm (T(t 1 ),..., T(t n )) T(P) där t i är slutna termer (inga fria variabler) T(Udda(fem)) T(Besegrar(peggy, skurken)) 45
46 Tolkningar Om f funktionssymbol, tolkas T( f(t 1,..., t n ) ) = T(f)(T(t 1 ),..., T(t n )) där t i är slutna termer. T(addera(fem, tio)) Notera att T(f(...)) M (varför?) 46
47 Tolkningar av funktionssymboler T( f(t 1,..., t n ) ) = T(f)(T(t 1 ),..., T(t n )) Jämför här Python: f( , g(50) ) Beräkna f (slå upp vad det är för funktion) Beräkna alla argumentens värde. (men lite fler parenteser) 47
48 Tolkningar Vi tolkar T(t 1 = t 2 ) = s omm T(t 1 )=T(t 2 ) där t i är slutna termer. T(addera(tre, två) = fem) Notera: ger alltid s/f 48
49 Tolkningar Vi måste hantera mer komplicerade formler. T( A) = s omm T(A) = f T(A B) = s omm T(A) = s och T(B) = s T(AvB) = s ommt(a) = s eller T(B) = s(eller båda) T(A B) = s ommt(a) = f eller T(B) = s(eller båda) T(A B) = s omm T(A) = T(B) Logiskt likhetstecken 49
50 Tolkningar...och kvantifierare (halvformellt) T( xa(x)) = s omm T(A(x)) = sför något x M Hittar vi något exempel x där A(x) uppfylls... T( xa(x)) = s omm T(A(x)) = s för alla x M Testa alla möjliga värden i domänen. Stämmer A(x) för alla? 50
51 Nästa gång Mönster och bevissystem (inledning) 51
52
Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 2 Strukturer 2 2.1 Domäner... 2 2.2 Tolkningar... 3
Föreläsning 2 Semantik 729G06 Logikdelen Föreläsningsanteckningar i Programmering och logik 27 januari 2014 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 2.1 Innehåll Innehåll 1 Lite mer syntax 1 2 Strukturer
Läs merEn introduktion till predikatlogik
rasmus.blanck@gu.se FT1200, LC1510 och LGFI52 VT2017 (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) Alla människor är dödliga Sokrates är en människa Sokrates är dödlig Detta argument är intuitivt giltigt: Det finns
Läs merTommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 1 Kursadministration 1. 2 Introduktion 2 2.1 Varför logik?... 2 2.2 Satslogik... 2
Föreläsning 1 Syntax 729G06 Logikdelen Föreläsningsanteckningar i Programmering och logik 21 januari 2014 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 1.1 Innehåll Innehåll 1 Kursadministration 1 2 Introduktion
Läs merFÖRELÄSNING 8 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS
729G06 Logik FÖRELÄSNING 8 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 160309 Idag Sammanfattning*/uppsamling 2 Mer problemöversikt (och lite definitioner) Inte ersättning för andra föreläsningar! 3 Vad är enlogik? Syntax
Läs merInnehåll. Föreläsning 7. Satslogiken är för grov. Samma sak i predikatlogik: Första ordningens predikatlogik. Logik med tillämpningar
Innehåll Föreläsning 7 Logik med tillämpningar 99-03-01 Första ordningens predikatlogik Objekt, predikat, kvantifierare Funktioner, termer, wffs Bindning och räckvidd Tolkningar och värderingar Satisfiering,
Läs merDD1350 Logik för dataloger
DD1350 Logik för dataloger Fö 4 Predikatlogik 1 Kort repetition Satslogik Naturlig deduktion är ett sunt och fullständigt bevissystem för satslogik Avgörbarhet Så vad saknas? Egenskaper Satslogiken är
Läs merp /\ q r DD1350 Logik för dataloger Kort repetition Fö 3 Satslogikens semantik
DD1350 Logik för dataloger Fö 3 Satslogikens semantik 1 Kort repetition Satslogik formellt språk för att uttrycka påståenden med variabler och konnektiv /\, \/,, t.ex. p /\ q r 1 Kort repetition Naturlig
Läs merDD1350 Logik för dataloger. Fö 7 Predikatlogikens semantik
DD1350 Logik för dataloger Fö 7 Predikatlogikens semantik 1 Kryssprodukt av mängder Om A och B är två mängder så är deras kryssprodukt A B mängden av alla par (a,b), där a A och b B. Ex: A={1,2}, B={3,4},
Läs merSanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden.
MATEMATISK LOGIK Matematisk logik formaliserar korrekta resonemang och definierar formellt bindeord (konnektiv) mellan påståenden (utsagor, satser) I matematisk logik betraktar vi påståenden som antingen
Läs mer729G06 Logik FÖRELÄSNING 1 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS
729G06 Logik FÖRELÄSNING 1 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 160127 Vad är logik? Som ämne, område... 2 Läran om korrekta resonemang Följer slutsatserna av ens antaganden? 3 Alla hundar är djur. Alla enhörningar
Läs merFilosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium. v. 2.0, den 29/ III. Metalogik 17-19
Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium IV v. 2.0, den 29/4 2013 III. Metalogik 17-19 Modeller för satslogiken 18.1 Vi har tidigare sagt att en modell är en tolkning av en teori
Läs merLogik och bevisteknik lite extra teori
Logik och bevisteknik lite extra teori Inger Sigstam 2011-04-26 1 Satslogik (eng: propositional logic) 1.1 Språket Alfabetet består av följande symboler: satssymbolerna p 0, p 1, p 2,.... konnektiverna,,,,.
Läs merGrundläggande logik och modellteori
Grundläggande logik och modellteori Kapitel 8: Predikatlogik Henrik Björklund Umeå universitet 2. oktober, 2014 Första ordningens predikatlogik Signaturer och termer Första ordningens predikatlogik Formler
Läs merFormell logik Kapitel 9. Robin Stenwall Lunds universitet
Formell logik Kapitel 9 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 9: Introduktion till kvantifiering Vi har hittills betraktat logiska resonemang vars giltighet enbart beror på meningen hos konnektiv som
Läs merFormell logik Kapitel 1 och 2. Robin Stenwall Lunds universitet
Formell logik Kapitel 1 och 2 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 1: Atomära satser Drömmen om ett perfekt språk fritt från vardagsspråkets mångtydighet och vaghet (jmf Leibniz, Russell, Wittgenstein,
Läs merLite om bevis i matematiken
Matematik, KTH Bengt Ek februari 2013 Material till kursen SF1662, Diskret matematik för CL1: Lite om bevis i matematiken Inledning Bevis är centrala i all matematik Utan (exakta definitioner och) bevis
Läs merOm semantisk följd och bevis
Matematik, KTH Bengt Ek december 2017 Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Om semantisk följd och bevis Logik handlar bla om studiet av korrekta slutledningar, dvs frågan om när det är riktigt
Läs merDD1350 Logik för dataloger. Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion
DD1350 Logik för dataloger Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion 1 Satslogik En sats(eller utsaga)är ett påstående som kan vara sant eller falskt. I satslogik(eng. propositionallogic) representeras sådana
Läs merAvslutning. Vad? Hur? Anmärkningar inför tentan 2. Vad ska kunnas?
Avslutning Anmärkningar inför tentan Vad ska kunnas? Avslutning 1 Vad? Anmärkningar inför tentan 1 Att ha en bra förståelse för det som behandlades på föreläsningarna och gruppövningarna räcker i princip.
Läs merGrundläggande logik och modellteori (5DV102)
Tentamen 2013-10-31 Grundläggande logik och modellteori (5DV102) M. Berglund och K. Markström Totalt antal uppgifter 11 Maximalt antal poäng 30 Krav för 3 i betyg 14 poäng Krav för 4 i betyg 19 poäng,
Läs merSemantik och pragmatik (Serie 4)
Semantik och pragmatik (Serie 4) Satser och logik. Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April 2015 1 / 30 Så här långt (satslogik) Konjunktion (p q): att två enklare satser båda är uppfyllda.
Läs mer9. Predikatlogik och mängdlära
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 9. Predikatlogik och mängdlära Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2014 Rekaputilation Vi har talat om satslogik naturlig härledning predikatlogik
Läs merSatslogik grundläggande definitioner 3. Satslogik. Uppgift 1. Satslogikens syntax (välformade formler) Satslogikens semantik (tolkningar)
Satslogik grundläggande definitioner Satslogikens syntax (välformade formler) Satslogikens semantik (tolkningar) Modeller, logisk konsekvens och ekvivalens Några notationella förenklingar Kompletta mängder
Läs merEn introduktion till logik
rasmus.blanck@gu.se FT1200, LC1510 och LGFI52 VT2017 Först: Tack till Martin Kaså, som gett mig tillstånd att använda och bearbeta dessa ljusbilder. Vad är logik? Slogan: Logik undersöker vilka argument
Läs merGrundläggande logik och modellteori (5DV102)
Tentamen 2014-01-10 Grundläggande logik och modellteori (5DV102) M. Berglund och K. Markström Totalt antal uppgifter 10 Maximalt antal poäng 30 Krav för 3 i betyg 1 Krav för 4 i betyg 19 poäng, vara minst
Läs merGrundläggande logik och modellteori
Modeller och uttrycksfullhet hos predikatlogik Department of mathematics Umeå university Föreläsning 10 Dagens föreläsning 1 Innehåll på resten av kursen 2 Varför verifikation? Formella metoder för verifikation
Läs merVarför är logik viktig för datavetare?
Varför är logik viktig för datavetare? 1. Datavetenskap handlar ofta om att automatisera processer som tidigare styrts av människor. Intuition, intelligens och mänskliga resonemang ersätts av beräkningar.
Läs merFöreläsning 5. Deduktion
Föreläsning 5 Deduktion Hur ett deduktivt system fungerar Komponenter - Vokabulär Ett deduktivt system använder ett visst slags språk som kan kallas för systemets vokabulär. I mindre formella fall är kanske
Läs merDD1350 Logik för dataloger
DD1350 Logik för dataloger Fö 8 Axiomatiseringar 1 Modeller och bevisbarhet Sedan tidigare vet vi att: Om en formel Φ är valid (sann i alla modeller) så finns det ett bevis för Φ i naturlig deduktion.
Läs merNormalisering av meningar inför resolution 3. Steg 1: Eliminera alla och. Steg 2: Flytta alla negationer framför atomära formler
Normalisering av meningar inför resolution På samma sätt som i satslogiken är resolution i predikatlogiken en process vars syfte är att vederlägga att en klausulmängd är satisfierbar. Det förutsätter dock
Läs merVad är det? Översikt. Innehåll. Vi behöver modeller!!! Kontinuerlig/diskret. Varför modeller??? Exempel. Statiska system
Vad är det? Översikt Discrete structure: A set of discrete elements on which certain operations are defined. Discrete implies non-continuous and therefore discrete sets include finite and countable sets
Läs merUtsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section
Föreläsning 1 Utsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section 1.1-1.3 i kursboken Definition En utsaga (proposition) är ett
Läs merFörsättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet TER1
Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen 2016-12-09 Sal (1) TER1 Tid 14-18 Kurskod 729G06 Provkod TEN1 Kursnamn/benämning Provnamn/benämning Institution Antal
Läs merSats. Om t är en rätvinklig triangel så är summan av kvadraterna på kateterna i t lika med kvadraten på hypotenusan.
Lunds tekniska högskola Datavetenskap Lennart Andersson Föreläsningsanteckningar EDAF10 3 Predikatlogik 3.1 Motivering I satslogiken är de minsta beståndsdelarna satslogiska variabler som kan anta värdena
Läs merTentamen i logik 729G06 Programmering och logik
Tentamen i logik 729G06 Programmering och logik 2016-08-19 Poänggränser: På tentan kan du som mest få 25 poäng. Om du har fått 12 poäng är du garanterad åtminstone godkänt betyg, 19 väl godkänt. Tillåtna
Läs merViktiga frågor att ställa när ett argument ska analyseras och sedan värderas:
FTEA12:2 Föreläsning 2 Grundläggande argumentationsanalys II Repetition: Vid förra tillfället började vi se närmre på vad som utmärker filosofisk argumentationsanalys. Vi tittade närmre på ett arguments
Läs mer7, Diskreta strukturer
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2015 Modeller Matematiska modeller Kontinuerliga modeller Kontinuerliga funktioner
Läs mer7, Diskreta strukturer
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2013 1 Inledning 2 Satslogik Inledning Satslogiska uttryck Resonemang och härledningar
Läs merAvslutning. Vad? Hur? Anmärkningar inför tentan 2. Vad ska ni kunna?
Avslutning Anmärkningar inför tentan Vad ska ni kunna? Avslutning 1 Vad? Anmärkningar inför tentan 1 Att ha en bra förståelse för det som behandlades på föreläsningarna, inlämningsuppgifterna och gruppövningarna
Läs merDatorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf
UPPSALA UNIVERSITET Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/ matsd/uv/uv07/dg1/ Logisk semantik II 1 Predikatlogik, generella
Läs merRobin Stenwall Lunds universitet
Robin Stenwall Lunds universitet Vik$gt a) tänka på Innehållet i kursen formell logik förutsätts vara inhämtat (repetera om du är osäker). I allmänhet gäller att kursinnehållet, som ska instuderas på relativt
Läs merRobin Stenwall Lunds universitet
Robin Stenwall Lunds universitet Vik$gt a) tänka på Innehållet i kursen formell logik förutsätts vara inhämtat (repetera om du är osäker). I allmänhet gäller att kursinnehållet, som ska instuderas på relativt
Läs merSemantik och pragmatik
Semantik och pragmatik OH-serie 5 http://stp.lingfil.uu.se/~matsd/uv/uv12/semp/ Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Januari 2012 Så här långt Konjunktion (p q): att två enklare satser
Läs merFilosofisk logik Kapitel 19. Robin Stenwall Lunds universitet
Filosofisk logik Kapitel 19 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Gödels fullständighetsteorem Sundhet och fullständighet Fullständighetsbeviset Vittneskonstanter Henkinteorin Eliminationsteoremet
Läs merF. Drewes Datavetenskapens grunder, VT02. Lite logik
F Drewes 2002-05-23 Datavetenskapens grunder, VT02 Lite logik Den här texten är en sammanfattning av logikdelen i kursen Datavetenskapens grunder Den handlar om satslogik och predikatlogik, några av deras
Läs merFormell logik Kapitel 7 och 8. Robin Stenwall Lunds universitet
Formell logik Kapitel 7 och 8 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 7: Konditionalsatser Kapitlet handlar om konditionalsatser (om-så-satser) och deras logik Idag: bevismetoder för konditionalsatser,
Läs merLogik I. Åsa Hirvonen Helsingfors universitet. Våren 2013
Logik I Åsa Hirvonen Helsingfors universitet Våren 2013 Inledning Logik är läran om härledning. Med hjälp av logiken kan vi säga när ett resonemang är korrekt och när det inte är det. För att kunna studera
Läs merÖvningshäfte 1: Logik och matematikens språk
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk Övning A Målet är att genom att lösa och diskutera några inledande uppgifter få erfarenheter
Läs merMA 11. Hur starkt de binder. 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi
MA 11 Talteori och logik 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi propositionssymboler: bokstäver konnektiv Paranteser konnektiv
Läs merFilosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet
Filosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Antalet element i en mängd Kardinalitet Humes princip Cantors teorem Den universella mängden Några mängdteoretiska paradoxer
Läs merFilosofisk logik Kapitel 15. Robin Stenwall Lunds universitet
Filosofisk logik Kapitel 15 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Första ordningens mängdlära Naiv mängdlära Abstraktionsaxiomet (eg. comprehension) Extensionalitetsaxiomet Små mängder Ordnade
Läs merLogik för datavetare DVK:Log Tisdagen 28 oktober 2014. Institutionen för dataoch systemvetenskap David Sundgren
Institutionen för dataoch systemvetenskap David Sundgren Logik för datavetare DVK:Log Tisdagen 28 oktober 2014 Skrivtid: 9 00-13 00. Inga hjälpmedel utom formelsamlingen på nästa sida är tillåtna. För
Läs merÖvningshäfte 2: Induktion och rekursion
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,
Läs merSemantik och pragmatik (serie 5)
Semantik och pragmatik (serie 5) (Predikat)logik Mängdlära överkurs (och repetition för en del). Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April 2015 1 / 41 Korsning av två egenskaper E 1
Läs merLogik: sanning, konsekvens, bevis
Logik: sanning, konsekvens, bevis ft1100 samt lc1510 HT 2016 Giltiga argument (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) Professorn är på kontoret eller i lunchrummet Hon är inte på kontoret Professorn är i lunchrummet
Läs merPrimitivt rekursiva funktioner och den aritmetiska hierarkin
Primitivt rekursiva funktioner och den aritmetiska hierarkin Rasmus Blanck 0 Inledning En rad frågor inom logiken, matematiken och datavetenskapen relaterar till begreppet beräkningsbarhet. En del i kursen
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om logik och mängdlära Mikael Hindgren 5 september 2018 Utsagor Utsaga = Påstående som har sanningsvärde Utsagan kan vara sann (S) eller falsk (F) öppen eller
Läs mer*UXSS YQLQJ±/RJLNPHGWLOOlPSQLQJDUYW
*USS YQLQJ±/RJLNPHGWLOOlPSQLQJDUYW 8SSJLIW Här kommer några teoretiska frågor, skriv svaren med egna ord, dvs skriv inte av ohbilderna: a. Vad är en beslutsprocedur? En algoritm som terminerar och som
Läs merLogisk semantik I. 1 Lite om satslogik. 1.1 Konjunktioner i grammatisk bemärkelse. 1.2 Sant och falskt. 1.3 Satssymboler. 1.
UPPSALA UNIVERSITET Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/ matsd/uv/uv07/dg1/ Logisk semantik I 1 Lite om satslogik 1.1
Läs merFörsta ordningens logik
Första ordningens logik Christian Bennet Christian Bennet, februari 2013 Detta verk är licensierat under en Creative Commons Erkännande- Ickekommersiell-IngaBearbetningar 3.0 Unported license. För att
Läs merKompletteringsmaterial. K2 Något om modeller, kompakthetssatsen
KTH Matematik Bengt Ek Maj 2008 Kompletteringsmaterial till kursen SF1642, Logik för D1 och IT3: K2 Något om modeller, kompakthetssatsen Vi skall presentera ett enkelt (om man känner till sundhets- och
Läs merLogik och modaliteter
Modallogik Introduktionsföreläsning HT 2015 Formalia http://gul.gu.se/public/courseid/70391/lang-sv/publicpage.do Förkunskaper etc. Logik: vetenskapen som studerar argument med avseende på (formell) giltighet.
Läs merLMA033/LMA515. Fredrik Lindgren. 4 september 2013
LMA033/LMA515 Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 4 september 2013 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 1 / 25 Outline 1 Föreläsning
Läs merKap. 7 Logik och boolesk algebra
Ka. 7 Logik och boolesk algebra Satslogik Fem logiska konnektiv: ej, och, eller, om-så, omm Begre: sats, sanningsvärde, sanningsvärdestabell tautologi, kontradiktion Egenskaer: Räkneregler för satslogik
Läs merK3 Om andra ordningens predikatlogik
KTH Matematik Bengt Ek Maj 2005 Kompletteringsmaterial till kursen 5B1928 Logik för D1: K3 Om andra ordningens predikatlogik Vi presenterar på dessa sidor kortfattat andra ordningens predikatlogik, vilket
Läs mer8. Naturlig härledning och predikatlogik
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 8. Naturlig härledning och predikatlogik Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2013 Outline 1 Inledning 2 Inferensregler 3 Predikatlogik 8. Naturlig
Läs merGrundläggande logik och modellteori
Grundläggande logik och modellteori Kapitel 3: Bevissystem, Hilbertsystem Henrik Björklund Umeå universitet 8. september, 2014 Bevissystem och Hilbertsystem Teorier och deduktionsproblemet Axiomscheman
Läs merGrundläggande logik och modellteori
Grundläggande logik och modellteori Kapitel 4: Konjunktiv och disjunktiv normalform Henrik Björklund Umeå universitet 15. september, 2014 CNF och DNF Konjunktiv normalform (CNF) Omskrivning av en formel
Läs merFormell logik Kapitel 10. Robin Stenwall Lunds universitet
Formell logik Kapitel 10 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 10: Kvantifikatorernas logik Förra gången introducerade vi kvantifikatorer och variabler Vi har därmed infört samtliga symboler i FOL Brännande
Läs merFTEA12:2 Filosofisk Metod. Grundläggande argumentationsanalys II
TEA12:2 ilosofisk Metod Grundläggande argumentationsanalys II Dagens upplägg 1. Kort repetition. 2. Logisk styrka: några intressanta specialfall. 3. ormalisering: översättning från naturligt språk till
Läs merSanning och lögnare. Rasmus Blanck VT2017. FT1200, LC1510 och LGFI52
rasmus.blanck@gu.se FT1200, LC1510 och LGFI52 VT2017 Vad är sanning? Vi verkar använda begreppet utan större problem till vardags. Det kanske vore intressant att ha en definition: P är sann om och endast
Läs merRobin Stenwall Lunds universitet
Robin Stenwall Lunds universitet Avsnitt 10.3 Några nyttiga ekvivalenser Två sätt att använda tautologa ekvivalenser i första-ordningens logik (1) Satser vars sanningsfuntionella former är tautologt ekvivalenta
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför
Läs merFTEA12:2 Filosofisk metod. Att värdera argumentation I
FTEA12:2 Filosofisk metod Att värdera argumentation I Dagens upplägg 1. Några generella saker att tänka på vid utvärdering av argument. 2. Grundläggande språkfilosofi. 3. Specifika problem vid utvärdering:
Läs merFormell logik Kapitel 5 och 6. Robin Stenwall Lunds universitet
Formell logik Kapitel 5 och 6 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 5 Bevismetoder för boolesk logik Visa att en sats är en tautologisk konsekvens av en mängd premisser! Lösning: sanningstabellmetoden
Läs merFöreläsning 5: Summor (forts) och induktionsbevis
ht01 Föreläsning 5: Summor (forts) och induktionsbevis Några viktiga summor Det är inte alltid möjligt att hitta uttryck för summor beskriva med summanotation, men vi tar här upp tre viktiga fall: Sats:
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q
Läs merDD1361 Programmeringsparadigm HT17
DD1361 Programmeringsparadigm HT17 Logikprogrammering 1 Dilian Gurov, KTH Delkursinnehåll Logisk versus procedurell läsning Kontrollflöde: Unifiering, Backtracking, Snitt Induktiva datatyper och rekursion
Läs merOm modeller och teorier
Matematik, KTH Bengt Ek december 2017 Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Om modeller och teorier Hittills i kursen har vi studerat flera olika typer av matematiska strukturer, bl.a. (partial)ordnade
Läs merGrundläggande logik och modellteori
Grundläggande logik och modellteori Kapitel 6: Binära beslutsdiagram (BDD) Henrik Björklund Umeå universitet 22. september, 2014 Binära beslutsdiagram Binära beslutsdiagram (Binary decision diagrams, BDDs)
Läs merDD1361 Programmeringsparadigm HT15
DD1361 Programmeringsparadigm HT15 Logikprogrammering 1 Dilian Gurov, TCS Innehåll Logikprogrammering Kontrollflöde Unifiering Backtracking Negation Snitt Induktiva datatyper och rekursion Inbyggda datatyper:
Läs merFilosofisk logik Kapitel 18. Robin Stenwall Lunds universitet
Filosofisk logik Kapitel 18 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Modeller för FOL Sanning i FOL Tarskis idé Satisfiering Definitionen på sanning i en modell Definitionen på FO-konsekvens Definitionen
Läs mer10. Mängder och språk
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 10. Mängder och språk Sven Gestegård Robertz Institutionen för datavetenskap, LTH 2013 Rekaputilation Vi har talat om satslogik, predikatlogik och härledning
Läs merFöreläsning 8. Innehåll. Satisfierbarhet hos en formel. Logik med tillämpningar
Föreläsning 8 Logik med tillämpningar 000413 Innehåll Lite mer om värderingar och tolkningar Semantiska tablåer i predikatlogiken Kapitel 3.5 Satisfierbarhet hos en formel En formel A är satisfierbar om
Läs merRobin Stenwall Lunds universitet
Robin Stenwall Lunds universitet Dagens föreläsning Informella bevismetoder för kvantifikatorer Universell elimination Existentiell introduktion Existentiell elimination Universell introduktion General
Läs merRobin Stenwall Lunds universitet
Robin Stenwall Lunds universitet Dagens föreläsning Informella bevismetoder för kvantifikatorer Universell elimination Existentiell introduktion Existentiell elimination Universell introduktion General
Läs merSemantik och pragmatik (Serie 3)
Semantik och pragmatik (Serie 3) Satser och logik. Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April 2015 1 / 37 Logik: språk tanke (Saeed kapitel 4.) Satser uttrycker (ofta) tankar. Uttrycksrikedom
Läs merK2 Något om modeller, kompakthetssatsen
KTH Matematik Bengt Ek Maj 2005 Kompletteringsmaterial till kursen 5B1928 Logik för D1: K2 Något om modeller, kompakthetssatsen Vi skall presentera ett enkelt (om man känner till sundhets- och fullständighetssatsen
Läs merFormell logik Kapitel 3 och 4. Robin Stenwall Lunds universitet
Formell logik Kapitel 3 och 4 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 3: De Booleska konnektiven Vi sade att predikaten och namnen kan variera mellan olika FOL Vi ska nu titta på några språkliga element
Läs merFlera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen. x y (x > 0) (y > 0) xy > 0 Domän D = R
Föreläsning Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen För att göra ett påstående av en öppen utsaga med flera variabler behövs flera kvantifierare.
Läs merPredikatlogik: Normalformer. Klas Markström
1 Precis som i satslogik så är det bekvämt att kunna hitta en normalform för meningar. Om vi kan utgå från att alla meningar är på normalform så behöver vi t.e.x. inte bekymra oss om en massa specialfall
Läs merDD1350 Logik för dataloger. Vad är logik?
DD1350 Logik för dataloger Fö 1 - Introduktion Vad är logik? Vetenskapen som studerar hur man bör resoneraoch dra slutsatser utifrån givna påståenden (=utsagor, satser). 1 Aristoteles (384-322 f.kr) Logik
Läs merFilosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar I. v. 2.0, den 24/4 2013
Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar I v. 2.0, den 24/4 2013 Om detta kompendium: Filosofiska institutionen, Lunds Universitet staffan.angere@fil.lu.se Förberedande Det här kompendiet är
Läs merIntroduktion till formella metoder Programmeringsmetodik 1. Inledning
Introduktion till formella metoder Programmeringsmetodik 1. Inledning Fokus på imperativa program (ex. C, Java) program betyder härefter ett imperativt program Program bestäms i en abstrakt mening av hur
Läs merMATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1
Avsnitt 1 MATEMATIKENS SPRÅK Varje vetenskap, liksom varje yrke, har sitt eget språk som ofta är en blandning av vardagliga ord och speciella termer. En instruktionshandbok för ett kylskåp eller för en
Läs merFöreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära
Inledande matematisk analys tma970, 010, logik, mängdlära Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Dessa öreläsningsanteckningar kompletterar mycket kortattat kap 0 och appendix B i Persson/Böiers,
Läs merMATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt,
Explorativ övning 1 MATEMATIKENS SPRÅK Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss förstå språket. Vi skall försöka utveckla vårt matematiska språk,
Läs merinte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 2. Explicita formler och rekursionsformler. Dag mötte vi flera talföljder,
Läs merMATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss
Explorativ övning 1 LMA100 vt 2003 MATEMATIKENS SPRÅK Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss förstå språket. Vi skall försöka utveckla vårt
Läs mer729G74 IT och programmering, grundkurs. Tema 1, Föreläsning 3 Jody Foo,
729G74 IT och programmering, grundkurs Tema 1, Föreläsning 3 Jody Foo, jody.foo@liu.se Föreläsningsöversikt Kurslogistik Diskret matematik & Uppgifter i Python Kompletteringar Tema 1: Olika perspektiv
Läs mer