Tentamen i logik 729G06 Programmering och logik

Transkript

1 Tentamen i logik 729G06 Programmering och logik Poänggränser: På tentan kan du som mest få 25 poäng. Om du har fått 12 poäng är du garanterad åtminstone godkänt betyg, 19 väl godkänt. Tillåtna hjälpmedel: Inga. Tentan har ett regelblad bifogat, vilket får användas. Jour Anders Märak Leffler besöker salen efter kl 10. Allmänna regler När du börjar på en ny uppgift (uppgift 1, uppgift 2,... ), börja på ett nytt ark. Skriv på en sida av pappret. Sortera lösningarna i uppgiftsordning (1,2,... ) innan de lämnas in. Motivera dina svar ordentligt. Avsaknad av-, eller otillräckliga, förklaringar kan resultera i poängavdrag. Även felaktiga svar kan ge poäng om de är korrekt motiverade. Se till att dina lösningar är läsbara. Lämna plats för kommentarer. Bevissystem: Naturlig deduktion med de tio regler som finns bifogade med denna tenta. När du skriver bevis i predikatlogik (och behöver använda ett bevissystem), ska du använda detta. Lycka till. 1

2 1. Visa vilka av följande formler som är tautologier, kontingenta och/eller kontradiktioner (motsägelser). Använd sanningstabeller för att visa ditt påstående 1. (3p) a) A b) B (B C) c) D D 2. Använd sanningstabeller för att visa vilka resonemang som är korrekta. Om ett resonemang är korrekt, markera de rader som visar logisk konsekvens. Om ett resonemang är felaktigt, markera de rader som utgör motbevis. Precis som i uppgift 1, får du också svara med tolkningar. (2p) a) A B = A b) C = C 3. Stämmer detta resonemang? Varför/varför inte? Motivera kortfattat - max två-tre meningar. Svar utan motivering godtas inte. (1p) A = A (B B) C D... Z 4. Låt St(x) stå för att x kommit in på Stanford, D(x) att x är duktig, n stå för Nina. Vilken/vilka av följande formler uttrycker Alla som kommit in på Stanford är duktiga. Nina har kommit in på Stanford, och är duktig.? a) y[st(y) D(y)] St(n) D(n) b) x[x = n D(x) St(x)] z[st(z) D(z)] c) D(n) St(n) (St(x) D(x)) d) x[st(x) D(x)] St(n) D(n) e) x[d(x) St(x)] D(n) Markera korrekt/korrekta alternativ. Ingen motivering krävs. Felaktig markering ger avdrag. 2. (2p) 1 Du får använda väl valda tolkningar - av typen T(P)=s, T(Q)=f,... - om du så önskar. 2 Uppgiften ger som minst 0p. Felaktiga markeringar går alltså inte ut över andra uppgifter 2

3 5. Formalisera följande meningar, med hjälp av relationerna K(x,y) som står för att x känner y, u står för Usnavi, c står för Claudia. (3p) a) Claudia känner alla. b) Usnavi känner Claudia, och det finns dessutom någon annan än han (Usnavi) som känner henne. c) Usnavi känner någon som känner alla. 6. Skapa strukturer som gör formlerna i följande formelmängder sanna. (3p) a) { x y[k(x, y) K(y, x), K(usnavi, vanessa)} b) { x y z[k(x, y) K(y, z) K(x, z)], K(usnavi, claudia), K(claudia, usnavi)} c) { x y(gillar(usnavi, y) x = y), Gillar(usnavi, vanessa), Gillar(usnavi, grannen)} 7. Visa följande: (4p) a) x[p (x) Q(x)], x[q(x) P (x)] = x[p (x) Q(x)] b) xa(x, usn) = usn = ham xa(x, ham) 8. Formalisera resonemangen med hjälp av relationen V(x,y) för x vinner på y, lo för lottot, hä för hästarna, c för Claudia, L(x) för x är lycklig. Om ett resonemang är korrekt, visa det med hjälp av reglerna för naturlig deduktion. Om ett resonemang är felaktigt, konstruera en struktur som är ett motbevis. (4p) a) Om någon vinner på lottot är de lyckliga. Claudia har antingen vunnit på lotto eller hästarna (eller båda). = Det finns någon som är lycklig. b) Om någon inte är lycklig, har de inte vunnit på lottot. Claudia har vunnit på lottot. = Det finns någon som är lycklig. 9. Naturlig deduktion med våra tio regler är ett sunt och fullständigt bevissystem. Vi tar nu bort alla regler utom premissregeln. Kommer vårt nya bevissystem att vara sunt? Om svaret är nej, ge ett motexempel som visar det. Om svaret är ja, beskriv kortfattat hur du resonerar (på ett sätt som visar att du förstått vad sundhet/korrekthet betyder). (3p) 3

4 Denna sida lämnad tom, så att formelbladet får separat ark. 4

5 P (premissregel) {n} (n) Φ T (tautologiregel) X 1 (n 1 ) Φ 1 X k (n k ) Φ k X 1 X k (n) Ψ om Φ 1,,Φ k Ψenl. satslogik C (konditionalisering) X k (k) Φ X m (m) Ψ X m {k} (n) Φ Ψ Q (kvantifikatorregel) X (m) Ψ 1 X (n) Ψ 2 Ψ 1,Ψ 2 eller Ψ 2,Ψ 1 { x Φ(x), x Φ(x), x Φ(x), x Φ(x), x Φ(x), x Φ(x), x Φ(x), x Φ(x) } I (introduktion av allkvantifikatorn) X (m) Φ(c) X (n) x Φ(x) c förekommer inte i Φ(x) eller i premisserna X E(elimination av allkvantifikatorn) X (m) x Φ(x) X (n) Φ(t) I(introduktion av existenskvantifikatorn) X (m) Φ(t) X (n) x Φ(x) E(elimination av existenskvantifikatorn) X j (j) x Φ(x) X k (k) Φ(c) X m (m) Ψ X j X m {k} (n) Ψ c förekommer inte i Ψ, Φ(x), eller i premisserna till rad n IdI(introduktion av identitet) {} (n) t = t IdE(elimination av identitet) X k (k) Φ X m (m) t 1 = t 2 X k X m (n) Ψ Ψ är resultatet av att byta ut förekomster av t 1 mot t 2 eller av t 2 mot t 1 i Φ