Robin Stenwall Lunds universitet

Transkript

1 Robin Stenwall Lunds universitet

2 Avsnitt 10.3 Några nyttiga ekvivalenser Två sätt att använda tautologa ekvivalenser i första-ordningens logik (1) Satser vars sanningsfuntionella former är tautologt ekvivalenta är FOekvivalenta. Exempel: Följande satser är FO-ekvivalenta ( x Cube(x) y Dodec(y)) x Cube(x) y Dodec(y)

3 (2) Men vi kan även använda DeMorgans lagar och andra tautologa ekvivalenser inuti formler. Exempel: Följande satser är FO-ekvivalenta: x(cube(x) Small(x)) x( Small(x) Cube(x)) Notera att de wffs som binds av kvantifikatorerna kommer att satisfieras av exakt samma objekt i varje möjlig situation.

4 Avsnitt 11.7 Prenex normalform Det är ibland bekvämare att hantera formler där samtliga kvantifikatorer har flyttats till början av uttrycket. Dessa typer av formler sägs vara i prenex normalform. Definition: En formel är i prenex normalform om den antigen saknar kvantifikatorer eller samtliga kvantifikatorer står i början av formeln, dvs om den har följande form: K 1 x 1 K 2 x 2, K n x n B där K i (i = 1, n) är antingen eller och formeln B är fri från kvantifikatorer. OBS! En formel utan kvantifikatorer betraktas som ett trivialt fall av en formel i prenex normalform.

5 Övning: vilka av följande uttryck står i prenex normalform? xp(x) xq(x) x y (P(x) Q(y)) x yr(x, y) R(x, y) xr(x,y)

6 En algoritm för prenex normalform Alla satser är logiskt ekvivalenta med någon sats i prenex normalform. För att omvandla en sats (vilken som helst) till prenex normalform använder vi oss av följande steg: 1. Eliminera samtliga förekomster av och från formeln ifråga. 2. Flytta alla negationstecken inåt i formeln så att de bara figurerar i literaler (alltså satser som antigen är atomära eller negerade atomära satser). 3. Om nödvändigt skriv om formeln så att inte två kvantifikatorer binder samma variabler och så att ingen variabel har både fria och bundna förekomster. 4. Vi erhåller nu en formel i prenex normalform genom att flytta samtliga kvantifikatorer till början av formeln.

7 Steg 1. Använd er av följande ekvivalenser när ni eliminerar förekomsterna av och : A B A B A B ( A B) (A B) A B (A B) ( A B)

8 Steg 2. Använd er av följande ekvivalenser när ni flyttar negationstecken inåt i en formel: DeMorgans lagar (P Q) ( P Q) (P Q) ( P Q) P P DeMorgans lagar för kvantifikatorer xp(x) x P(x) xp(x) x P(x)

9 Steg 3. Använd er av följande resultat när ni standardiserar isär variablerna: För vilken wff P(x) som helst och variabel y sådan att y inte figurerar i P(x) gäller följande: xp(x) yp(y) xp(x) yp(y)

10 Övning: standardisera isär samtliga variabler i följande formel: x(p(x) Q(x)) xq(x) zp(z) z(q(z) R(x)) Lösning: Ersätt x med y i x, x med u i x och z med w i zp(z) för att erhålla: y(p(y) Q(y)) uq(u) wp(w) z(q(z) R(x))

11 Steg 4. Använd er av följande ekvivalenser när ni flyttar kvantifikatorerna till början av formeln: För varje FO-formel P i vilken x inte är fri gäller: xp P xp P P xq(x) x(p Q(x)) P xq(x) x(p Q(x)) P xq(x) x(p Q(x)) P xq(x) x(p Q(x))

12 Kvantifiering på tomgång (eng. null quantification) När vi definierade wffs så krävde vi inte att den variabel som vi kvantifierade över är fri (eller förekommer överhuvudtaget) i den formel som kvantifikatorn appliceras på. Exempelvis är xcube(b) en wff även om Cube(b) inte innehåller den fria variabeln x. Betrakta då xcube(b). Denna sats kommer ut som sann i en värld om och endast om all objekt inom domänen satisfierar formeln Cube(b). Men vad betyder detta? Om du ersätter varje förekomst av x i Cube(b) med namnet n 1, så kommer resultatet att vara Cube(b). Så frågan om något objekt satisfierar Cube(b) är samma sak som att fråga om Cube(b) är sann. Därmed kommer xcube(b) och Cube(b) att vara sanna i exakt samma världar de är m.a.o. logiskt ekvivalenta.

13 Några andra nyttiga ekvivalenser i steg 4. xp(x) xb(x) x(p(x) Q(x)) xp(x) xq(x) x(p(x) Q(x)) OBS! xp(x) xb(x) är inte logiskt ekvivalent med x(p(x) Q(x)) och xp(x) xq(x) är inte ekvivalent med x(p(x) Q(x)). x yp(x, y) y xp(x, y) x yp(x, y) y xp(x, y) K 1 xp(x) K 2 yq(y) K 1 xk 2 y(p(x) Q(y)) K 1 xp(x) K 2 yq(y) K 1 xk 2 y(p(x) Q(y)), där K 1 och K 2 är antigen eller. Exempelvis om K 1 = och K 2 =, så är xp(x) yq(y) x y(p(x) Q(y)).

14 Ett exempel Hitta prenex normalformen för: x(( yr(x, y) y S(x, y)) ( yr(x, y) P)) Enligt steg 1. måste vi eliminera x( ( yr(x, y) y S(x, y)) ( yr(x, y) P)) Enligt steg 2. måste vi flytta negationstecknet inåt x( y R(x, y) ys(x, y) y R(x, y) P) I steg 3. standardiserar vi isär variablerna x( y 1 R(x, y 1 ) y 2 S(x, y 2 ) y 3 R(x, y 3 ) P) I steg 4. flyttar vi samtliga kvantifikatorer till början av formeln x y 1 y 2 y 3 ( R(x, y 1 ) S(x, y 2 ) R(x, y 3 ) P)

15 Övningar Ändra följander satser till prenex normalform: xp(x) yq(y) ( xp(x) R(b)) x(p(x) xq(x)) x[(c(x) y(t(y) L(x, y))) y(d(y) B(x, y))] Kom ihåg att varje steg i serien måste vara logiskt ekvivalent