Kompositionell semantik och λ-kalkyl
|
|
- Barbro Viklund
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 UPPALA UIVERITET Institutionen för lingvistik och filologi Mats Dahllöf Algoritmer för datorlingvistisk semantik I, Föreläsningsanteckningar, December 2005 Kompositionell semantik och λ-kalkyl Dessa föreläsningsanteckningar är i en icke slutgiltig form. Perspektivet är lite annorlunda än det i Blackburn and Bos (2005). 1 Inledning Den typ av semantik som skall beskrivas här är känd under beteckningen Montaguegrammatik efter upphovsmannen Richard Montague ( ), som arbetade med dessa saker i slutet av 1960-talet. Föreliggande anteckningar presenterar dessa idéer på ett mycket kortfattat sätt och i en enklare variant än originalet. Den klassiska referensen är Montagues artikel The Proper Treatment of Quantification in Ordinary English (1970). Den och hans övriga arbeten om semantik finns samlade i boken Formal Philosophy: elected Papers of Richard Montague. Montague var intresserad av s.k. kompositionell semantik. En kompositionell semantik måste baseras på en grammatisk frasstrukturanalys. Till ord och fraser måste sedan semantiska värden kopplas. Dessa skall kunna ligga till grund för en förklaring av hur frasers betydelser kan räknas ut utifrån deras delars betydelser Montague kom på att den den så kallade lambda-kalkylen, som logikern Alonzo Church hade uppfunnit kring 1930, var användbar för kompositionell semantik. Montagues metod innebär att vi lägger till en ny variabelbindande operator till predikatlogiken 1, λ (lambda-operatorn eller λ-operatorn, efter den grekiska bokstav som representerar den). Denna tillåter oss att skapa funktioner baserade på predikatlogikens uttryck. De variabler som denna operator binder kan svara mot vilka uttryck som helst. Predikatlogik med λ-operatorn bildar en typ av λ-kalkyl, som är ett rikare språk än ren predikatlogik. λ-operatorn är alltså precis som kvantifikatorerna och en variabelbindande operator. En viktig principell skillnad är dock att och i en första ordningens logik endast binder individvariabler (d.v.s. av typen e), medan λ även kan binda variabler av alla andra typer. (λ-variablerna kan också vara individvariabler.) är vi inför λ-operatorn behöver vi alltså också införa variabler av godtycklig typ. Ett uttryck med λ som huvudtecken, ett s.k. λ-uttryck, kan appliceras på ett annat uttryck. Om λv.u är ett λ-uttryck och A vilket annat uttryck som helst, så är λ v.u@a ett uttryck. Vi kan kalla dessa uttryck applikationsuttryck, eftersom 1 Montague arbetade med en rikare intensionell logik, som inte kommer att beskrivas här. 1
2 de representerar en funktion λ-uttryckets semantiska värde applicerad på ett argument. Vi kan nu formulera syntaxen för λ-uttryck på ett mer restriktivt sätt, som kräver att typerna måste stämma överens: Om λv.u är ett λ-uttryck av typen T 1,T 2 och A ett uttryck av typen T 1, så är λv.u@a ett uttryck av typen T 2. Vi kan förstå λ- och applikationsuttryck i syntaktiska termer så här (även direkt modellteoretisk tolkning av λ- och applikationsuttryck är möjligt): [[λv.u@a]] M,g = [[U[v/A]]] M,g, där uttrycket U[v/A] erhålls genom att man byter ut varje obunden förekomst av variabeln v i uttrycket U mot A. (Obunden d.v.s. som inte binds av någon annan operator.) Värdet hos [[λv.u@a]] M,g är bestämt endast om värdet hos [[U[v/A]]] M,g är bestämt. (Annars är [[λv.u@a]] M,g obestämt, vilket kan inträffa om vi sätter samman applikationsuttryck på fel sätt. Typning (se nedan) kan förhindra detta. Denna semantiska regel kommer alltså bara att bestämma applikationsuttrycks värde om de är uppbyggda på ett sätt som stämmer med predikatlogiken. Ovanstående syntaktiska princip tillåter oss att formulera nonsens som inte gör det. Detta går, som sagt, att förhindra, men föreliggande slapphänta syntax kan duga om vi själva ser till att bara formulera meningsfulla uttryck. Den konvertering som semantiken nämner från λ v.u@a till uttrycket U[v/A], som erhålls genom att man byter ut varje obunden förekomst av variabeln v i U mot A kallas β-konvertering. β-konvertering innebär ofta att ett uttryck förenklas (förkortas). I applikationsuttrycket λ x.h(x) (x)@p t.ex. kommer variabeln x att associeras med argumentet p. Vid dess β-konvertering byts x ut mot p och λx försvinner. Detta innebär att [[λx.h(x) (x)@p]] M,g = [[(H(x) (x))[x/p]]] M,g = [[H(p) (p)]] M,g (som en följd av den semantiska principen). β-konvertering kommer i de typiska fallen att vara ett sätt att göra semantiska representationer mer kompakta och lättlästa. atsbetydelser kommer här att representeras av logiska satser utan λ-uttryck. Jag sätter in parenteser i formlerna på ett icke-strikt sätt där jag tror det behövs för att entydiggöra den avsedda strukturen. Argumentet till ett λ-uttryck kan i sin tur vara ett λ-uttryck: [[(λq.q@p)@(λx.h(x) (x))]] M,g = [[(Q@p)[Q/λx.H(x) (x)]]] M,g = [[λx.h(x) (x)@p]] M,g = [[(H(x) (x))[x/p]]] M,g [[H(p) (p)]] M,g (β-konvertering) (substitution utförd) (β-konvertering) (substitution utförd) I det första steget av β-konverteringen ovan, så stryks λ Q. edan ersätts Q mot λ x.h(x) (x). Varje steg i β-konverteringen eliminerar alltså en förekomst av λ. 2
3 Dessa exempel visar att λ x.(h(x) (x)) kan kombineras med p till H(p) (p). Detta skulle kunna tolkas som Pompe hoppar och skäller. Vad betyder då λx.(h(x) (x))? Det är en funktion som appliceras på en individ och säger att den hoppar och skäller. Den kan alltså förstås som den sammansatta egenskapen att hoppa och skälla (alltså ett predikat vars extension är snittet av de två enkla predikatens extensioner). Tidigare har vi bara beaktat och i betydelsen (sanningsfunktionen konjunktion), men i detta exempel sätter och ihop två predikat och inte två sanningsvärden. I detta sammanhang är det motiverat att anta att och betyder λ.λy.λx.((x) Y(x)). Om hoppar och skäller byggs upp i två steg genom att vi först kombinerar hoppar och och och sedan hoppar och och skäller, så kommer denna analys att gå ihop. λ.λy.λ x.((x) Y(x))@H för och och hoppar. Detta blir λy.λ x.(h(x) Y(x)) för frasen hoppar och Detta uttryck kan sedan kombineras med skäller: λy.λ x.(h(x) Y(x))@ vilket β-konverteras till λx.h(x) (x) Uttrycket λ x.(h(x) (x)) (för hoppar och skäller) kan, som vi ovan såg, kombineras med en individkonstant till en sats. Fler exempel I exemplen ovan har vi haft Pompe som subjekt. I sådana fall, då subjektet bara refererar till en individ, kan vi tänka oss att predikatet är en funktion som appliceras på den individ som subjektet representerar. ubjektets typ är alltså e, predikatets e, t och satsens t. Dessa typer passar ju ihop. Men subjekt kan också vara av typen en katt och alla boxrar. Ett predikat som skäller kan inte direkt appliceras på alla boxrar, eftersom alla boxrar skäller innebär att varje enskild boxer skäller. Vi kan lösa detta problem genom att helt enkelt vända på steken och anta att subjektets semantiska värde appliceras på predikatets. Predikatets typ är då, som tidigare, e,t, men subjektets måste bli e,t,t. En fras som alla boxrar kan alltså tänkas representera en funktion som appliceras på ett predikat. Ordet alla kombinerar då rimligtvis två predikat (t.ex. boxrar och skäller) till en sats (t.ex. alla boxrar skäller) i två steg. Denna tankegång kan formaliseras sålunda: λ.λy. x[(x) Y (x)] alla (från lexikon) e,t, e,t,t λ.λy. x[(x) Y (x)]@b = alla boxrar e,t,t λy. x[b(x) Y(x)] β-konverterad form λy. x[b(x) Y(x)]@ = alla boxrar skäller t x[b(x) (x)] β-konverterad form 3
4 atsen Alla boxrar skäller får alltså rätt analys, x[b(x) (x)], och rätt typ, genom denna procedur. Determinatorer som alla, någon och ingen kan behandlas på i princip samma sätt. De knyter samman två enställiga predikat till en sats. De får följande uttydningar: varje λ.λy. x[(x) Y (x)] e,t, e,t,t alla λ.λy. x[(x) Y (x)] e,t, e,t,t någon λ.λy. x[(x) Y(x)] e,t, e,t,t några λ.λy. x[(x) Y(x)] e,t, e,t,t ingen λ.λy. x[(x) Y(x)] e,t, e,t,t inga λ.λy. x[(x) Y(x)] e,t, e,t,t otera att numerus, intressant nog, verkar vara oberoende av själva kvantifikationens innebörd. Dessa determinatorer kan förenas med ett substantiviskt huvudord så att följande uttryck erhålles (där en β-konvertering givit oss den resulterande representationen): alla hundar λy. x[h(x) Y (x)] e,t,t någon hund λy. x[h(x) Y(x)] e, t, t ingen hund λy. x[h(x) Y(x)] e, t, t Vi har hittills betraktat orden alla, någon och ingen i deras användning som determinatorer. Denna användning kännetecknas av att de förekommer förenade med ett substantiv. De kan även användas självständigt, som indefinita pronomina. De får då följande uttydningar: alla/allting λy. x[y (x)] e, t, t någon/något λy. x[y (x)] e, t, t ingen/ingenting λy. x[y(x)] e, t, t Denna analys är lite förenklad såtillvida att den inte redogör för skillnaden mänsklig/icke-mänsklig, som avspeglas i valet mellan t.ex. alla/allting. Denna skulle dock lätt kunna fångas genom att man t.ex. förstår alla som alla människor och allting som alla ting. Ovanstående semantiska värden för indefinita pronomina kan lätt kombineras med ett enställigt predikat, exempelvis som i följande satser: Allting flyter. ågon sover. Ingen sover. x[f(x)] x[(x)] x[(x)] Dessa analyser förutsätter, som sagt, att subjektet står för en funktion som appliceras på ett predikat (i semantisk mening). är subjektet stod för en enskild individ (Pompe) var det i exemplet ovan tvärtom. Detta kan framstå som en komplikation och en inkonsekvens. Den är dock enkel att undvika: Det går att omtolka även ett subjekt som Pompe så att det stämmer med denna idé. Vi får då göra så här: 4
5 λy.y (p) λy.y = (p) ny analys av Pompe Pompe skäller β-konverterad form. Jämför: ingen hund skäller, som översätts till λy. x[h(x) som förenklas till x[h(x) (x)]. Dessa förhållandevis enkla exempel har visat hur λ-operatorn kan användas för att få den kompositionella semantiken att fungera. Precisa regler kan formuleras genom att denna semantik integreras i en generativ grammatik. Grammatik och kompositionell semantik En kompositionell semantik baserad på λ-kalkyl kan kopplas samman med en formell grammatik, t.ex. en (kontextfri) frasstrukturgrammatik. I en ren frasstrukturgrammatik tilldelas språkliga uttryck endast en syntaktiskt kategori. Denna kan dock givetvis kompletteras med ett semantiskt värde. (Träden är bara matematiska konstruktioner, s.k. grafer, som vi kan utöka bäst vi vill med information.) Den semantiska operation som svarar mot en frasstrukturregel kan då sammanfattas genom att vi skriver de semantiska värdena under kategorisymbolerna. Följande regler uttrycker en kompositionell semantik för ett litet fragment av svenska. Tillhörande lexikon och exempel ges nedan. (P) AP (Y) P (R1) IV (R2) A (R3) E Q(λw.Y(w) Z(w)) Y Q AP Y Z (R4) (R5) (R6) Reglerna (R1) och (R5) har illustrerats ovan. (R2), (R3) och (R4) säger bara att enordiga fraser har samma semantiska värde som sitt enda ord. (R6) tar hand om adjektivattribut. De semantiska värdena representeras här av ett slags metavariabler. otationen visar hur de semantiska värdena skall kombineras. Kategorierna till höger står för de delar (konstituenter) som en konstruktion består av. Varje del har ett semantiskt värde. Och dessa värden kombineras till hela konstruktionens semantiska värde, som alltså knyts till vänsterledet i regeln. Givetvis behöver vi ett lexikon med ord också. Varje ord i lexikonet definieras av sin form (stavning och/eller uttal), sin syntaktiska kategori och sitt semantiska värde. 5
6 Den lilla exempelgrammatik som tagits upp här kan t.ex. kompletteras med följande likaledes lilla lexikon: skäller: IV hundar: H gäspar: IV G katter: K alla: λ.λy. x[(x) Y(x)] trötta: A T några: λ.λy. x[(x) Y(x)] Karl: E λy.y (k) inga: λ.λy. x[(x) Y(x)] Pompe: E λy.y (p) Givet en grammatik och ett lexikon kan vi rent mekaniskt härleda semantiska värden för fraser och satser. Vi kan ta reglerna och sätta in ord och semantiska värden från lexikonet. Låt oss se på den kompositionella semantik vi kan knyta till trädet för inga trötta hundar sover. Regel (R3) tillämpas på ett enkelt sätt: AP trötta T A trötta T Regel (R6) kan sedan koppla ihop en determinator, den just härledda AP:n och ett substantiv. Detta kan t.ex. bli inga trötta hundar: Q(λw.Y (w) Z(w)) inga trötta hundar λ.λy. x[(x) Y(x)](λw.T (w) H(w)) Q inga λ.λy. x[(x) Y(x)] AP Y trötta T Z hundar H Resultatet, d.v.s. denna :s semantiska värde, kan β-konverteras i två steg: λ.λy. x[(x) Y(x)](λw.T(w) H(w)) = λy. x[λw.t(w) H(w)(x) Y(x)] = λy. x[(t(x) H(x)) Y(x)] ännu en trivial regelapplikation av (R2) ger oss en : skäller IV skäller Därmed har vi en och en att tillämpa (R1) på: 6
7 (P) inga trötta hundar skäller λy. x[(t(x) H(x)) Y(x)]() inga trötta hundar λy. x[(t (x) H(x)) Y(x)] P skäller Och slutligen kan vi förenkla -uttryckets semantiska värde: λy. x[(t(x) H(x)) Y(x)]() = x[(t(x) H(x)) (x)] Detta är den korrekta analysen av Inga trötta hundar skäller. Med hjälp av dessa regler och detta lexikon kan vi nu automatiskt beräkna den logiska analysen av ett antal satser. Regler av denna typ kan formuleras så att de täcker in betydligt större delar av ett språk. övningar (1) β-konvertering. Låt oss tänka oss att vi gör en lambdakalkyl utifrån aritmetikens språk, som kan ses som en första ordningens predikatlogik. Talen är entiteterna i domänen, enligt den aritmetiska tolkningen. Vi kan tänka oss att funktionerna (de fyra räknesätten) tar ett argument i taget, sålunda: + är av typen e, e, e. (tal till funktion från tal till tal). +(5), funktionen som adderar 5, är av typen e, e (tal till tal). +(5)(2), alltså 7, är av typen e (tal). u kan vi bilda nya typer av funktioner: λy.y (3), e, e, e, applicerar en e, e -funktion på talet 3. Exempelvis λy.y (3)@ + (5) = 8. λy.λz.y (3) + Z(3) blir en e,e, e,e,e. Förenkla dessa uttryck och räkna ut: (a) λy.λz.y(3) + Z(3)@ + (5)@ (2) (b) λy.y (7)(8)@+ (c) λx.λy.y (5)(x)@3@+ (d) λy.λz.y (Z(3)(4))(Z(1)(2))@ (e) λy.λz.y(8) + Z(2)@ + (11)@ (7) (2) Hur kan transitiva konstruktioner behandlas? Vilka problem medför den mest naiva lösningen? Fungerar ej: (V) gillar: TV V TV G 7
8 G av typen e, e, t (två-ställig relation). (Determinator-substantiv-kongruens kan hanteras i syntaxen, men vi struntar i detaljerna.) Vi får då: gillar en katt blir λy. x[k(x) Y(x)]@G = x[k(x) G(x)] Ej välformat, då G(x) är av typen e, t. Bättre lösning: V () TV V gillar: TV λw.λx.w (G(x)) (Typ: e,t,t, e,t ) G fortfarande av typen e, e, t. Vi får nu: gillar en katt blir λw.λ z.w (G(z))@λY. x[k(x) Y(x)] = (Lambdakonvertering:) λ z.λy. x[k(x) Y (x)](g(z)) = (Lambdakonvertering:) λz. x[k(x) G(z)(x)] (Typ: e, t, som ett intransitivt verb. Verkar OK.) u blir Alla hundar gillar en katt: λy. x[h(x) Y (x)]@λz. x[k(x) G(z)(x)] = (Vi måste byta namn på ena x-variabeln, annars blandas de samman.) λy. x[h(x) Y (x)]@λz. y[k(y) G(z)(y)] = (Lambdakonvertering:) x[h(x) λz. y[k(y) G(z)(y)](x)] = (Lambdakonvertering:) x[h(x) y[k(y) G(x)(y)]] Det var detta vi ville ha! Problem: Kvantifikatorräckvidderna följer syntaxen. Detta är en annan läsning av exempelmeningen, som vi bör kunna få till: y[k(y) x[h(x) G(x)(y)]] Här är existenskvantifikationen överordnad allkvantifikationen. Problemet kräver en ganska sofistikerad lösning. References Blackburn, P, and Bos, J. (2005) Representation and Inference for atural Language, CLI/University of Chicago Press. Dowty, D. R., Wall, R. E., and Peters,. (1981) Introduction to Montague emantics, Dordrecht: Reidel. Jurafsky, D., and J. H. Martin (2000), peech and Language Processing. Upper addle River (ew Jersey): Prentice Hall. Montague, R. (1974) Formal Philosophy: elected Papers of Richard Montague, 8
9 ew Haven: Yale University Press. 9
Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf
UPPSALA UNIVERSITET Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/ matsd/uv/uv07/dg1/ Logisk semantik II 1 Predikatlogik, generella
Läs merSemantik och pragmatik (Serie 4)
Semantik och pragmatik (Serie 4) Satser och logik. Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April 2015 1 / 30 Så här långt (satslogik) Konjunktion (p q): att två enklare satser båda är uppfyllda.
Läs merSemantik och pragmatik
Semantik och pragmatik OH-serie 5 http://stp.lingfil.uu.se/~matsd/uv/uv12/semp/ Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Januari 2012 Så här långt Konjunktion (p q): att två enklare satser
Läs merK3 Om andra ordningens predikatlogik
KTH Matematik Bengt Ek Maj 2005 Kompletteringsmaterial till kursen 5B1928 Logik för D1: K3 Om andra ordningens predikatlogik Vi presenterar på dessa sidor kortfattat andra ordningens predikatlogik, vilket
Läs merFTEA12:2 Filosofisk metod. Att värdera argumentation I
FTEA12:2 Filosofisk metod Att värdera argumentation I Dagens upplägg 1. Några generella saker att tänka på vid utvärdering av argument. 2. Grundläggande språkfilosofi. 3. Specifika problem vid utvärdering:
Läs merLogisk semantik I. 1 Lite om satslogik. 1.1 Konjunktioner i grammatisk bemärkelse. 1.2 Sant och falskt. 1.3 Satssymboler. 1.
UPPSALA UNIVERSITET Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/ matsd/uv/uv07/dg1/ Logisk semantik I 1 Lite om satslogik 1.1
Läs merTaltaggning. Rapport av Daniel Hasselrot 781105-0157, d98-dha@nada.kth.se 13 oktober 2003
Taltaggning av Daniel Hasselrot 781105-0157, d98-dha@nada.kth.se 13 oktober 2003 Sammanfattning Denna rapport är skriven i kursen Språkteknologi och behandlar taggning av årtal i en text. Metoden som används
Läs merSemantik och pragmatik
Semantik och pragmatik OH-serie 4 http://stp.lingfil.uu.se/~matsd/uv/uv12/semp/ Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Januari 2012 Om barnet har svårt att andas eller har ont i bröstet
Läs merFÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06
FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har
Läs merNågot om logik och logisk semantik
UPPSALA UNIVERSITET Semantik och pragmatik (HT 08) Institutionen för lingvistik och filologi Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/ matsd/uv/uv08/sempht/ Något om logik och logisk semantik 1 Språk och sanning
Läs merEn introduktion till predikatlogik
rasmus.blanck@gu.se FT1200, LC1510 och LGFI52 VT2017 (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) Alla människor är dödliga Sokrates är en människa Sokrates är dödlig Detta argument är intuitivt giltigt: Det finns
Läs mer2 Mängdlärans grundbegrepp
UPPSALA UNIVERSITET Föreläsningsanteckningar Institutionen för lingvistik och filologi Grundläggande datalogi II Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/~matsd/uv/uv04/gd2/ Augusti 2004 2 Mängdlärans grundbegrepp
Läs merGrammatik för språkteknologer
Grammatik för språkteknologer Introduktion http://stp.lingfil.uu.se/~matsd/uv/uv11/gfst/ Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2011 Lärandemål Efter avslutad kurs skall studenten
Läs merGenerellt kan vi säga att för att vi ska värdera ett argument som bra bör det uppfylla åtminstone följande kriterier:
FTEA12:2 Föreläsning 3 Att värdera en argumentation I: Vad vi hittills har gjort: beaktat argumentet ur ett mer formellt perspektiv. Vi har funnit att ett argument kan vara deduktivt eller induktivt, att
Läs merSkrivstöd. Joakim Nivre. Introduktion till språkteknologi. Skrivstöd. Inledning. Orsaker till stavfel. Detektering av icke-ord
Joakim Nivre / 30 Varför bry sig om stavning? Stavfel kan skapa missförstånd Stavfel kan dölja innehåll Standardiserad stavning underlättar många uppgifter Slå upp ord i ordbok Identifiera svårlästa ord
Läs merSidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom
Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett
Läs merLexikon: ordbildning och lexikalisering
Svenskan i tvärspråkligt perspektiv Lexikon: ordbildning och lexikalisering Solveig Malmsten Vår inre språkförmåga Lexikon Ordförråd : Uttryck i grundform + deras betydelse Enkla ord, t.ex. blå, märke
Läs merSats. Om t är en rätvinklig triangel så är summan av kvadraterna på kateterna i t lika med kvadraten på hypotenusan.
Lunds tekniska högskola Datavetenskap Lennart Andersson Föreläsningsanteckningar EDAF10 3 Predikatlogik 3.1 Motivering I satslogiken är de minsta beståndsdelarna satslogiska variabler som kan anta värdena
Läs merRyska pronomen. Pronomen är en sluten ordklass som består av många undergrupper. Pronomina kan fungera självständigt eller förenat
Ryska pronomen Pronomen är en sluten ordklass som består av många undergrupper. Pronomina kan fungera självständigt eller förenat 1 1.Självständiga pronomina Pronomina som kan bilda Nominal Fras (NP) på
Läs merDatorlingvistisk grammatik
Datorlingvistisk grammatik Kontextfri grammatik, m.m. http://stp.lingfil.uu.se/~matsd/uv/uv11/dg/ Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Februari 2011 Denna serie Formella grammatiker,
Läs merSanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden.
MATEMATISK LOGIK Matematisk logik formaliserar korrekta resonemang och definierar formellt bindeord (konnektiv) mellan påståenden (utsagor, satser) I matematisk logik betraktar vi påståenden som antingen
Läs merBevis för ett modulärt perspektiv: (tidiga studier av) afasi.
UPPSALA UNIVERSITET Institutionen för lingvistik och filologi SPRIND, HT 2006, Tillfälle 6 SPRÅKPSYKOLOGI SPRÅKPSYKOLOGISKA GRUNDBEGREPP (kap 1 + 2) I språkpsykologin finner man begrepp från - språkvetenskap
Läs merAbstrakt algebra för gymnasister
Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler
Läs mer729G09 Språkvetenskaplig databehandling
729G09 Språkvetenskaplig databehandling Modellering av frasstruktur Lars Ahrenberg 2015-05-04 Plan Formell grammatik språkets oändlighet regler Frasstrukturgrammatik Kontextfri grammatik 2 Generativ grammatik
Läs merSYNTAKTISKA FUNKTIONER (forts.) Attribut o Attribut ger ytterligare information om det som nominalfrasen refererar till.
UPPSALA UNIVERSITET Inst. för lingvistik Niklas Edenmyr Grammatik, 5p. SYNTAKTISKA FUNKTIONER (forts.) Attribut o Attribut ger ytterligare information om det som nominalfrasen refererar till. o Ofta fogas
Läs mer8-4 Ekvationer. Namn:..
8-4 Ekvationer. Namn:.. Inledning Kalle är 1,3 gånger så gammal som Pelle, och tillsammans är de 27,6 år. Hur gamla är Kalle och Pelle? Klarar du att lösa den uppgiften direkt? Inte så enkelt! Ofta resulterar
Läs merAvslutning. Vad? Hur? Anmärkningar inför tentan 2. Vad ska ni kunna?
Avslutning Anmärkningar inför tentan Vad ska ni kunna? Avslutning 1 Vad? Anmärkningar inför tentan 1 Att ha en bra förståelse för det som behandlades på föreläsningarna, inlämningsuppgifterna och gruppövningarna
Läs merTankar om språkundervisning
in Lingua Nr 1, 1983.. 1 Tankar om språkundervisning Jens Allwood, Inst. för lingvistik, Göteborg universitet Om man funderar över undervisning inom något visst område, är det naturligt att ta sin utgångspunkt
Läs merSatslära introduktion
Satslära introduktion Dolores Meden Dolores Meden 2010-08-27 1 Skillnaden mellan ordklass och ett ords funktion (syntax): * ett ords tillhörighet i en ordklass är konstant och påverkas inte av användningen
Läs mer7, Diskreta strukturer
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2015 Modeller Matematiska modeller Kontinuerliga modeller Kontinuerliga funktioner
Läs merIntroduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt
KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 5.1 Introduktion Introduktion Exponentialfunktionen e x och logaritmfunktionen ln x är bland de viktigaste och vanligast förekommande
Läs merBARNS SPRÅKUTVECKLING
BARNS SPRÅKUTVECKLING BARNS SPRÅKUTVECKLING Hur lär sig barn sitt språk? Vad skiljer barns språkutveckling från vuxnas språkinlärning? Hur kan vi forska om barns språkutveckling? Vad säger språkutvecklingen
Läs merFilosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium. v. 2.0, den 29/ III. Metalogik 17-19
Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium IV v. 2.0, den 29/4 2013 III. Metalogik 17-19 Modeller för satslogiken 18.1 Vi har tidigare sagt att en modell är en tolkning av en teori
Läs merKursombud sökes! Kursens syfte är att ge en introduktion till metoder för att förutsäga realtidsegenskaper hos betjäningssystem, i synnerhet för data- och telekommunikationssystem. Såväl enkla betjäningssystem,
Läs merJavisst! Uttrycken kan bli komplicerade, och för att få lite överblick över det hela så gör vi det så enkelt som möjligt för oss.
8-2 Förenkling av uttryck. Namn: eller Konsten att räkna algebra och göra livet lite enklare för sig. Inledning I föregående kapitel lärde du dig vad ett matematiskt uttryck är för någonting och hur man
Läs merAnteckningar om logik och semantik
UPPSALA UNIVERSITET Semantik och pragmatik (VT 2012) Institutionen för lingvistik och filologi Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/ matsd/uv/uv12/semp/ Anteckningar om logik och semantik 1 Inledning 1.1
Läs merInnehåll. Föreläsning 7. Satslogiken är för grov. Samma sak i predikatlogik: Första ordningens predikatlogik. Logik med tillämpningar
Innehåll Föreläsning 7 Logik med tillämpningar 99-03-01 Första ordningens predikatlogik Objekt, predikat, kvantifierare Funktioner, termer, wffs Bindning och räckvidd Tolkningar och värderingar Satisfiering,
Läs merhttp://www.leidenhed.se Senaste revideringen av kapitlet gjordes 2014-05-08, efter att ett fel upptäckts.
Dokumentet är från sajtsidan Matematik: som ingår i min sajt: http://www.leidenhed.se/matte.html http://www.leidenhed.se Minst och störst Senaste revideringen av kapitlet gjordes 2014-05-08, efter att
Läs merFormell logik Kapitel 1 och 2. Robin Stenwall Lunds universitet
Formell logik Kapitel 1 och 2 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 1: Atomära satser Drömmen om ett perfekt språk fritt från vardagsspråkets mångtydighet och vaghet (jmf Leibniz, Russell, Wittgenstein,
Läs merANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29
Numeriska serier Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 1 Inledning Författarens erfarenhet säger att momentet med numeriska serier är ganska svårt för många studenter i inledande matematikkurser på högskolenivå.
Läs mer4 Något om logik och semantik
Mats Dahllöf. http://stp.lingfil.uu.se/ matsd/uv/uv09/sempht/ 4 Något om logik och semantik Att kunna ett språk innebär att man begriper skillnaden mellan sanna och falska yttranden. Det innebär givetvis
Läs merMatematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev
Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev Dagens program Problemlösning i undervisning Vad menas med rika problem? Heuristisk metod: geometriskt ort Problemlösning The question, what is problem solving,
Läs merSpråkets struktur och funktion, 7,5 hp
Språkets struktur och funktion, 7,5 hp Ellen Breitholtz, ellen@ling.gu.se, Cajsa Ottesjö, cajsao@ling.gu.se ht 2010 Schema, planering Torsdag 4/11: Introduktion, historisk översikt Att läsa: Handout Tisdag
Läs merProblem att fundera över
Problem att fundera över Här får du öva dig på att formulera en förmodan och försökabevisaden. Jag förväntar mig inte att du klarar av att gå till botten med alla frågorna! Syftet är att ge dig smakprov
Läs merSatsdelar subjekt, predikat, direkt objekt, indirekt objekt och predikatsfyllnad
Satsdelar subjekt, predikat, direkt objekt, indirekt objekt och predikatsfyllnad Carmen Winding 1 Innehållsförteckning Satsdel eller ordklass s. 2 3 Predikat s. 4 5 Subjekt s. 6 8 2 olika objekt s. 8 Direkt
Läs merAuktorisation som tolk
PROVSPECIFIKATION Auktorisation som tolk Prov i allmän språkfärdighet Sid 2 (6) 2014-04-24 Prov i språkfärdighet För att kunna bli auktoriserad som tolk krävs bland annat att man ska behärska svenska och
Läs merTommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 2 Strukturer 2 2.1 Domäner... 2 2.2 Tolkningar... 3
Föreläsning 2 Semantik 729G06 Logikdelen Föreläsningsanteckningar i Programmering och logik 27 januari 2014 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 2.1 Innehåll Innehåll 1 Lite mer syntax 1 2 Strukturer
Läs merSLALOMINGÅNGAR hur svårt kan det vara?
SLALOMINGÅNGAR hur svårt kan det vara? Av Marie Hansson Ju mer man börjar tänka på vad en slalomingång innebär, desto mer komplicerat blir det! Det är inte lite vi begär att hundarna ska lära sig och hålla
Läs merDet första steget blir att titta i Svensk MeSH för att se om vi kan hitta några bra engelska termer att ha med oss på sökresan.
Sökexempel - Hälsovägledare Hälsovägledning med inriktning mot olika folkhälsoproblem som t ex rökning, tips på hur man går tillväga för att göra en datasökning och hur man även kontrollerar om artiklarna
Läs merRödGrön-spelet Av: Jonas Hall. Högstadiet. Tid: 40-120 minuter beroende på variant Material: TI-82/83/84 samt tärningar
Aktivitetsbeskrivning Denna aktivitet är utformat som ett spel som spelas av en grupp elever. En elev i taget agerar Gömmare och de andra är Gissare. Den som är gömmare lagrar (gömmer) tal i några av räknarens
Läs merFöreläsning 5: Modellering av frasstruktur. 729G09 Språkvetenskaplig databehandling Lars Ahrenberg
Föreläsning 5: Modellering av frasstruktur 729G09 Språkvetenskaplig databehandling Lars Ahrenberg 2014-05-05 1 Översikt Introduktion generativ grammatik och annan syntaxforskning Att hitta mönster i satser
Läs merSatssemantik. Semantik: Föreläsning 4 Lingvistik: 729G08 HT 2012 IKK, Linköpings universitet
Satssemantik Semantik: Föreläsning 4 Lingvistik: 729G08 HT 2012 IKK, Linköpings universitet 1 Dagens föreläsning Saeed 2009, kap.5-6 (Flera av exemplen här är anpassade från Saeed) Betydelse inom satser
Läs merRobin Stenwall Lunds universitet
Robin Stenwall Lunds universitet Avsnitt 14.1 Numerisk kvantifikation Kvantifikatorerna i FOL är begränsade till och. Detta innebär att vi kan uttrycka satser som säger någonting om allting och någonting.
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Vektorer i planet och i rummet III Innehåll
Läs merDigital- och datorteknik
Digital- och datorteknik Föreläsning #5 Biträdande professor Jan Jonsson Institutionen för data- och informationsteknik Chalmers tekniska högskola Vad är ett bra grindnät? De egenskaper som betraktas som
Läs merLennart Carleson. KTH och Uppsala universitet
46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna
Läs merFlera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen. x y (x > 0) (y > 0) xy > 0 Domän D = R
Föreläsning Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen För att göra ett påstående av en öppen utsaga med flera variabler behövs flera kvantifierare.
Läs merCapítulo 5, La ciudad V 9-14 Spanska år 8
Capítulo 5, La ciudad V 9-14 Spanska år 8 Varför ska vi arbeta med det här Det vi har på oss talar ofta om vilken slags person vi är. Därför ska du i detta kapitel få läsa om olika klädstilar på spanska.
Läs merHar/hade-bortfall i svenskan Hur finit är ett naket supinum?
Har/hade-bortfall i svenskan Hur finit är ett naket supinum? Maia Andréasson, Susanna Karlsson, Erik Magnusson och Sofia Tingsell Att de finita formerna av verbet ha, dvs. har och hade, kan utelämnas när
Läs merSemantik och pragmatik (Serie 3)
Semantik och pragmatik (Serie 3) Satser och logik. Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April 2015 1 / 37 Logik: språk tanke (Saeed kapitel 4.) Satser uttrycker (ofta) tankar. Uttrycksrikedom
Läs merGrim. Några förslag på hur du kan använda Grim. Version 0.8
Grim Några förslag på hur du kan använda Grim Ingrid Skeppstedt Nationellt centrum för sfi och svenska som andraspråk Lärarhögskolan Stockholm Ola Knutsson IPlab Skolan för datavetenskap och kommunikation,
Läs merUtvärdering med fokusgrupper
Hämtat från www.kunskapsabonnemanget.se Utvärdering med fokusgrupper Monica Hane Med metod menar vi hur det empiriska materialet insamlas och bearbetas för att på bästa sätt belysa det som studien skall
Läs mervarandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext.
PASS 8 EKVATIONSSYSTEM OCH EN LINJES EKVATION 8 En linjes ekvation En linjes ekvation kan framställas i koordinatsystemet Koordinatsystemet består av x-axeln och yaxeln X-axeln är vågrät och y-axeln lodrät
Läs merAtt ge feedback. Detta är ett verktyg för dig som:
Att ge feedback Detta är ett verktyg för dig som: Vill skapa ett målinriktat lärande hos dina medarbetare Vill bli tydligare i din kommunikation som chef Vill skapa tydlighet i dina förväntningar på dina
Läs merViktigt att tänka på i en intervju och de vanligaste fallgroparna. som intervjuar. Ett kostnadsfritt whitepaper utgivet av Level Recruitment
Viktigt att tänka på i en intervju och de vanligaste fallgroparna för dig som intervjuar Ett kostnadsfritt whitepaper utgivet av Level Recruitment Level Recruitment AB - 2015 Viktigt att tänka på i en
Läs merLaboration: Att inhägna ett rektangulärt område
Laboration: Att inhägna ett rektangulärt område Du har tillgång till ett hoprullat staket som är 30 m långt. Med detta vill du inhägna ett område och använda allt staket. Du vill göra inhägnaden rektangelformad.
Läs merKLARSPRÅK PÅ WEBBEN riktlinjer för webbskribenter
*Skatteverket 1(10) KLARSPRÅK PÅ WEBBEN riktlinjer för webbskribenter Våra webbtexter, liksom alla texter vi producerar för externt bruk på Skatteverket, ska vara skrivna på ett sätt som gör att läsaren
Läs merAtt göra investeringskalkyler med hjälp av
MIO040 Industriell ekonomi FK 2013-02-21 Inst. för Teknisk ekonomi och Logistik Mona Becker Att göra investeringskalkyler med hjälp av Microsoft Excel 2007 Förord Föreliggande PM behandlar hur man gör
Läs merGrafer. 1 Grafer. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Oriktade grafer. Marco Kuhlmann
Marco Kuhlmann 1 En graf är en struktur av prickar förbundna med streck. Ett tidsenligt exempel på en sådan struktur är ett social nätverk, där prickarna motsvarar personer och en streck mellan två prickar
Läs merSyntaktisk parsning (Jurafsky & Martin kapitel 13)
Syntaktisk parsning (Jurafsky & Martin kapitel 13) Mats Wirén Institutionen för lingvistik Stockholms universitet mats.wiren@ling.su.se DH2418 Språkteknologi DA3010 Språkteknologi för datorlingvister Föreläsning
Läs merHemtentamen HT13 Inlämning senast Lärare: Tora Hedin
Hemtentamen HT13 Inlämning senast 131108 Lärare: Tora Hedin Arbetet skall vara skrivet på dator och skickas in i elektronisk form till mig senast torsdagen den 8 november 2013. Dokumentets format ska vara
Läs merGrammatik för språkteknologer
Grammatik för språkteknologer Fraser http://stp.lingfil.uu.se/~matsd/uv/uv12/gfs/ Språkteknologiska grammatikkomponenter Tokenisering urskilja graford. Ordklasstaggning och annan taggning tilldela dem
Läs merKärlekens språk En analys
(publ. i Ottar - boktidningen om sexualitet samlevnad samhälle Nr 3/1988) Kärlekens språk En analys AV JENS ALLWOOD 1 "Det är, åtminstone i de bästa faserna, frågan om en så total och öppen kommunikation
Läs merUppgift 1 ( Betyg 3 uppgift )
2005-06-09.kl.08-13 Uppgift 1 ( Betyg 3 uppgift ) Ett plustecken kan se ut på många sätt. En variant är den som ses nedan. Skriv ett program som låter användaren mata in storleken på plusset enligt exemplen
Läs merSpråklära med 10 moment
med 10 moment av Ulf Eskilsson Innehållsförteckning Inledning 2 Utdrag ur Lgr 3 Innehåll 4 Metod 5 Loggbok 7 Facit och tips 8 Frågor att utreda tillsammans 3 Tipsfrågor 4 A- och B-sidor 1 5 25 veckosidor
Läs mer3 Relationer och funktioner
UPPSALA UNIVERSITET Föreläsningsanteckningar Institutionen för lingvistik och filologi Grundläggande datalogi II Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/~matsd/uv/uv04/gd2/ Augusti 2004 3 Relationer och funktioner
Läs mer12 Programstege Substantiv
Det här är en programstege för substantiv. Du kan alltså lära dig om substantiven på ett enkelt sätt, en liten bit i taget. Varje sida innehåller fakta om substantiv, tillsammans med uppgifter som du också
Läs merArtiklarna. Grindenheten 2015-01-19. Ämne, årskurs och tidsperiod. Arbetsformer. Spanska, åk 6, vecka 2-8.
Grindenheten 2015-01-19 Ämne, årskurs och tidsperiod Spanska, åk 6, vecka 2-8. Artiklarna LOKAL PEDAGOGISK PLANERING (LPP) Susanna Bertilsson Arbetsformer VAD? Vi ska lära oss vad och vilka artiklarna
Läs merProgrammeringsteknik med C och Matlab
Programmeringsteknik med C och Matlab Kapitel 2: C-programmeringens grunder Henrik Björklund Umeå universitet Björklund (UmU) Programmeringsteknik 1 / 32 Mer organisatoriskt Imorgon: Datorintro i lab Logga
Läs merBegrepp :: Determinanten
c Mikael Forsberg 2008 1 Begrepp :: Determinanten Rekursiv definition :: Kofaktorutveckling Låt oss börja definiera determinanten för en 1 1 matris A = (a). En sådan matris är naturligtvis bara ett vanligt
Läs merDagens föreläsning. Repetition. Repetition - Programmering i C. Repetition - Vad C består av. Repetition Ett första C-program
Dagens föreläsning Programmeringsteknik för Ingenjörer VT05 Föreläsning 3-4 Repetition Datatyper Uttryck Operatorer Satser Algoritmer Programmeringsteknik VT05 2 Repetition Repetition - Programmering i
Läs merDatorlingvistisk grammatik
Datorlingvistisk grammatik Svenskans satser m.m. http://stp.lingfil.uu.se/~matsd/uv/uv11/dg/ Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Januari 2011 Satser Satserna utgör den mest mångfacetterade
Läs merFöreläsning 6: Introduktion av listor
Föreläsning 6: Introduktion av listor Med hjälp av pekare kan man bygga upp datastrukturer på olika sätt. Bland annat kan man bygga upp listor bestående av någon typ av data. Begreppet lista bör förklaras.
Läs merGrundläggande logik och modellteori (5DV102)
Tentamen 2013-10-31 Grundläggande logik och modellteori (5DV102) M. Berglund och K. Markström Totalt antal uppgifter 11 Maximalt antal poäng 30 Krav för 3 i betyg 14 poäng Krav för 4 i betyg 19 poäng,
Läs merLogik: sanning, konsekvens, bevis
Logik: sanning, konsekvens, bevis ft1100 samt lc1510 HT 2016 Giltiga argument (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) Professorn är på kontoret eller i lunchrummet Hon är inte på kontoret Professorn är i lunchrummet
Läs merOmarbetade funktioner i NyA
Omarbetade funktioner i NyA Registrera personuppgifter blir Hantera person Funktionen som hittills har hetat Registrera personuppgifter har bytt namn till Hantera person, och vissa förändringar har gjorts.
Läs merFilosofisk logik Kapitel 19. Robin Stenwall Lunds universitet
Filosofisk logik Kapitel 19 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Gödels fullständighetsteorem Sundhet och fullständighet Fullständighetsbeviset Vittneskonstanter Henkinteorin Eliminationsteoremet
Läs merFöreläsning 4: Giriga algoritmer. Giriga algoritmer
Föreläsning 4: Giriga algoritmer Giriga algoritmer Denna typ av algoritmer arbetar efter följande princip: Gör i varje situation det som är lokalt optimalt, d.v.s. bäst för stunden. Några exempel vi redan
Läs merKungliga Tekniska Högskolan 2006-03-26. Patrik Dallmann 821107-0274
Kungliga Tekniska Högskolan 2006-03-26 Patrik Dallmann 821107-0274 Patrik Dallmann dallmann@kth.se Inledning Syftet med detta arbete är att undersöka metoder för att upptäcka syftningsfel i vanlig text.
Läs merResultatet läggs in i ladok senast 13 juni 2014.
Matematisk statistik Tentamen: 214 6 2 kl 14 19 FMS 35 Matematisk statistik AK för M, 7.5 hp Till Del A skall endast svar lämnas. Samtliga svar skall skrivas på ett och samma papper. Övriga uppgifter fordrar
Läs mertidskrift för politisk filosofi nr 2 2006 årgång 10
tidskrift för politisk filosofi nr 2 2006 årgång 10 Bokförlaget thales lönediskriminering och jämförbarhet av olika arbeten? en diskussion av fem argument för icke-jämförbarhet Stig Blomskog 1. Inledning
Läs merÖvningshäfte 1: Logik och matematikens språk
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk Övning A Målet är att genom att lösa och diskutera några inledande uppgifter få erfarenheter
Läs merFria matteboken: Matematik 2b och 2c
Fria matteboken: Matematik 2b och 2c Det här dokumentet innehåller sammanfattning av teorin i matematik 2b och 2c, för gymnasiet. Dokumentet är fritt att använda, modifiera och sprida enligt Creative Commons
Läs merThe National Institute of Child Health and Human Development (NICHD) Protocol: Intervjuguide
The National Institute of Child Health and Human Development (NICHD) Protocol: Intervjuguide This Swedish version is based on the English version available on the NICHD Protocol website (www.nichdprotocol.com).
Läs merLäsförståelseproblem i tidig skolålder. Åsa Elwér Linköpings universitet
Läsförståelseproblem i tidig skolålder Åsa Elwér Linköpings universitet LÄSFÖRSTÅELSEPROBLEM Det finns många skäl att barn uppvisar problem med sin läsförståelse! Länge såg man det endast som en följd
Läs merLiten introduktion till akademiskt arbete
Högskolan Väst, Inst för ekonomi och IT, Avd för medier och design 2013-09-14 Pierre Gander, pierre.gander@hv.se Liten introduktion till akademiskt arbete Den här texten introducerar tankarna bakom akademiskt
Läs merSpråkpsykologi/psykolingvistik
Kognitiv psykologi HT09 Språk Ingrid Björk Språkpsykologi/psykolingvistik Fokuserar på individers språkanvändning Språkprocessning Lagring och åtkomst, minnet Förståelse Språket och hjärnan Språk och tänkande
Läs merEnkla texter passar alla
WEBBPLATSER Enkla texter passar alla HELENA ENGLUND & MARIA SUNDIN Tillgängliga webbplatser! Nedsatt syn, darrhänthet eller lässvårigheter ska inte hindra medborgarna att hämta information på webben. Språkkonsulterna
Läs merTAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 13 januari 2016 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:
Läs merUnder min praktik som lärarstuderande
tomoko helmertz Problemlösning i Japan och Sverige Japansk matematikundervisning skiljer sig på många sätt från svensk. Vilka konsekvenser får det för hur elever i respektive länder löser problem? Tomoko
Läs mer