Kap. 7 Logik och boolesk algebra

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Kap. 7 Logik och boolesk algebra"

Charlotta Henriksson
för 8 år sedan
Visningar:

1 Ka. 7 Logik och boolesk algebra Satslogik Fem logiska konnektiv: ej, och, eller, om-så, omm Begre: sats, sanningsvärde, sanningsvärdestabell tautologi, kontradiktion Egenskaer: Räkneregler för satslogik 10 lagar, jämför räkneregler för mängder Omskrivningsregler för imlikation och ekvivalens Predikatlogik Begre: kvantifikatorer och redikat Egenskaer: Predikalogiska räkneregler Bevisteknik Boolesk algebra Begre: boolesk algbra och boolesk funktion disjunktiv och konjunktiv normalform, grindnät Egenskaer: Räkneregler för oerationerna i boolesk algebra Rekommenderade ugifter 7.24, 7.29, 7.38, 7.39, 7.40, 7.41, 7.42, 7.43, 7.44, 7.45, 7.53, 7.54, 7.58, 7.62, 7.71, 7.72, 7.73, 7.74, 7.75, 7.76, 7.77, 7.78, 7.79, 7.80, 7.81, 7.82, 7.83, 7.84, 7.85, 7.86, 7.87, 7.88, 7.89, 7.90.

2 Satslogik simbolisk logik Satser: uttalanden som är antingen sanna eller falska. En enkel eller atomär sats kan inte delas u ytterligare. En sammansatt sats sammankolas av fler enkla satser med logiska konnektiven,,,, Fem logiska konnektiv Antag att och är två satser. Man kan bildar nya satser med hjäl av de logiska konnektiven. Negation Konjunktion Disjunktion Imlikation Ekvivalens ej och eller om så omm

3 Sanningsvärden: Varje enkel sats har ett sanningsvärde 1 ``True eller 0 ``False. Sanningsvärdena av en sammansatta sats bestäms rekursivt av en sanningsvärdestabell. En sats är en tautologi res. kontradiktion om dessa sanningsvärden alltid är 1 res. 0. Sanningsvärdestabellen för konnektiven: Samband mellan olika satser: Logisk imlikation: dvs om är sann så är sann. Logisk ekvivalens: dvs är sann om och endast om är sann.

4 Räkneregler för satslogik 10 lagar: I. Associativa lagar r r r r II. Kommutativa lagar, III. Distributiva lagar r r r r IV. Idemotenslagar, V. DeMorgans lagar

5 VI. Absortionslagar, VII. Dubbel negation involution VIII. Inverslagar 1, 0 IX. Identitetslagar 1, 0 X. Dominationslagar 0 0, 1 1

6 Omgivningsregler för imlikation och ekvivalens: Mer om imlikation: Sats Kontraositivet Konvers Invers Sanningsvärdestabellen

7 Predikatlogik Kvantifikatorer och redikat: Universella kvantifikatoren Existentiella kvantifikatoren x x ``för alla x ``det finns x Enställigt redikat: en funktion från universum till de två sanningsvärdena sant och falskt. Tvåställigt redikat: en funktion från mängden av ordnade ar i universum till sanningsvärdena. Prenexform: ett redikatlogiskt uttryck som börjar med kvantifikator. Predikalogiska räkneregler: Negation x P x x Px, x P x x Px Omkastning av kvantifikatorer av samma sort Namnbyte x y P x, y y x P x, y x y P x, y y x P x, y x P x y P y, x P x y P y Utvidgning och inskränkning av kvantifikators räckvid

8 Q xp x x P x Q xp x Q x P x Q Q xp x x P x Q xp x Q x P x Q Bevisteknik: Direkt bevis eller indirekt bevis: att visa att en sats genom ett direkt argument, eller genom motsägelse. Bevisstrategier, inklusive imlikationer, för-alla-åståenden, existens-åståenden, konjunktioner, disjunktioner, ekvivalenser. Tumregler vid översättning: För-alla-åståenden är nästan alltid imlikationer. Existens-uttryck är i stort sett aldrig imlikationer.

9 Boolesk algebra Boolesk algbra: En boolesk algebra är en icke-tom mängd med 1 och 0, tillsammans med tre oerationer, dvs addition, multilikation och negation som ufyller räkneregler nedan. Räkneregler för oerationerna i boolesk algebra: I. Associativa lagar + + r = + + r, r = r II. Kommutativa lagar + = +, = III. Distributiva lagar + r = + + r + r = + r IV. Idemotenslagar + =, =

10 V. DeMorgans lagar + =, = + VI. Absortionslagar + =, + = VII. Dubbel negation involution = VIII. Inverslagar + = 1, = 0 IX. Identitetslagar 1 =, + 0 = X. Dominationslagar 0 = 0, +1 = 1

11 Boolesk funktion: En boolesk funktion är en funktion som tar ett antal booleska variabler som indata och ger ett booleskt värde. Varje boolesk funktion kan uttryckas å en disjunktiv normalform en summa av rodukter, eller en konjunktiv normalform en rodukt av summor, där varje deluttryck innehåller samtliga variabler, eventuellt med en negation. Grindnät: Tre logiska grindar: OR-grindar, AND-grindarr, NOT-grindar. Samband mellan logiska kretsar och booleska funktioner: Varje logisk krets motsvarar en boolesk funktion. Varje boolesk funktion å disjunktiv normalform bestäms av en logisk krets genom 1 att konstruera en grindar till varje minterm, 2 att kombinera de samliga grindarerna i 1.

Relevanta dokument

Sanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden.

Sanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden. MATEMATISK LOGIK Matematisk logik formaliserar korrekta resonemang och definierar formellt bindeord (konnektiv) mellan påståenden (utsagor, satser) I matematisk logik betraktar vi påståenden som antingen