Logik en introduktion. Christian Bennet Björn Haglund Dag Westerståhl

Transkript

1 Logik en introduktion Christian Bennet Björn Haglund Dag Westerståhl 1980

2 Innehåll I Satslogik 3 1 Inledning till satslogiken 4 A Satser B Satsoperationer C Satslogikens grundelement D Konnektiv E Atomära och molekylära satser F Analys och logisk form G Logisk sanning och logisk konsekvens H Det satslogiska språket Det satslogiska språket 8 A Satssymboler (satsvariabler, satsparametrar) B Negation C Konjunktion D Disjunktion E Materiell implikation F Materiell ekvivalens G Det satslogiska språket, formler H Huvudtecken I Parenteskonventioner Sanningsvärdestabeller 17 4 Några logiska grundbegrepp 20 A Tautologier, (sats)logisk sanning B Kontradiktoriska och kontingenta satser C Satslogisk konsekvens D Satslogisk ekvivalens

3 II Mängdlära 25 5 Mängder 26 A Mängdbegreppet och elementrelationen B Symboler C Extensionalitetsprincipen D Abstraktionsprincipen E Russells paradox F Delmängder G Den tomma mängden H Union och snitt Relationer 33 A Ordnade par B Relationer som mängder av ordnade par, tripplar etc C Tvåställiga (binära) relationer D Reflexivitet, symmetri, transitivitet E Ekvivalensrelationer och ordningsrelationer F Funktioner G Bijektioner Om oändliga mängder 39 III Predikatlogik 43 8 Inledning till predikatlogiken 44 A Satslogikens otillräcklighet B Atomära satser C Individkonstanter och predikat D Ställighet hos predikat och relationer E Kvantifikatoruttryck F Individvariabler G Satsscheman H Individområden Det predikatlogiska språket 48 A Individkonstanter, predikat och satssymboler B Identitetssymbol C Atomära satser D Individvariabler E Atomära formler F Konnektiv G Allkvantifikatorn

4 H Existenskvantifikatorn I Det predikatlogiska språket J Kvantifikatorräckvidd K Fria och bundna variabelförekomster L Satser Analys av predikatlogisk form 53 A Inledning B Uttryck med en kvantifikator C Uttryck med flera kvantifikatorer D Uttryck med identitetssymbol Tolkningar 58 A Inledning B Tolkningar för det predikatlogiska språket C Namnfullständiga tolkningar D Sanningsvillkor för atomära satser E Sanningsvillkor för satslogiskt molekylära satser F Sanningsvillkor för kvantifierade satser i namnfullständiga tolkningar G Sanningsdefinition för det predikatlogiska språket i namnfullständiga tolkningar H Sanningsdefinition för det predikatlogiska språket i godtyckliga tolkningar. 64 I Begränsade tolkningar Predikatlogisk sanning och konsekvens 66 A Definition av predikatlogisk sanning B Avgörbarhet C Predikatlogisk konsekvens

5 The aggregate of all applications of logic will not compare with the treasure of the pure theory itself. For when one has surveyed the whole subject, one will see that the theory of logic, insofar as we attain to it, is the vision and the attainment of that Reasonableness for the sake of which the Heavens and the Earth have been created. C. S. Peirce 4

6 Del I Satslogik 5

7 Kapitel 1 Inledning till satslogiken A Satser Satser är de språkliga uttryck som är sanna eller falska. 1 Inom satslogiken skall vi bortse från så gott som alla egenskaper hos satser utom just den att ha ett sanningsvärde. B Satsoperationer Satser kan kombineras och modifieras på olika sätt för att ge upphov till mer komplicerade satser. Omvänt kan satser ofta delas upp (analyseras) i enklare delsatser. Sätten att ur givna satser bilda nya har ofta intressanta egenskaper, t.ex. att betydelsen hos den bildade satsen på ett regelbundet (och någorlunda enkelt beskrivbart) sätt hänger samman med betydelsen hos de ursprungliga satserna. Inom satslogiken studerar man operationer med egenskapen att den uppkomna satsens sanningsvärde är entydigt bestämt av (eller med andra ord är en funktion av) de ursprungliga satsernas sanningsvärden. Operationer med denna egenskap kallas inte oväntat för sanningsfunktionella. C Satslogikens grundelement Satser (i deras egenskap av sanningsvärdesbärare) och sanningsfunktionella operationer på satser är vad satslogiken»handlar om». Exempel i: typen Ett enkelt sätt att modifiera en sats är att sätta ett uttryck av jag tror att, det är inte fallet att, det är då för väl att, det är osannolikt att etc. framför satsen i fråga. Med denna metod kan vi ur satser som 1 Jfr Haglund & Westerståhl: Lösa bitar semantik. 6

8 Det snöar, Världen går snart under, Platon var en klok man, Taxar har korta ben etc. få nya satser som t.ex. Det är då för väl att det snöar, Det är osannolikt att Platon var en klok man, Jag tror att världen snart går under, Det är inte fallet att taxar har korta ben etc. (Märk att vi ibland måste byta ordföljd för att få någorlunda rimliga satser. Detta är dock en petitess som vi i fortsättningen inte fäster oss vid.) Uttryck av typen Jag tror att och Det är inte fallet att kallas (enställiga) operatoruttryck eller (enställiga) operatorer, därför att de»opererar på» en (enda) sats. Av de exemplifierade operatorerna är Det är inte fallet att sanningsfunktionell, d.v.s. sanningsvärdet hos den sats som är resultatet av att applicera operatorn på en sats är entydigt bestämt av sanningsvärdet hos den ursprungliga satsen. Om t.ex. satsen Det snöar är sann, så är satsen Det är inte fallet att det snöar falsk och omvänt. Fråga: Är operatorn Jag tror att sanningsfunktionell? Detta att sanningsvärdet»byts» är en egenskap hos operatorn och är alltså inte beroende av vilken sats den opererar på. Vi skall kalla Det är inte fallet att för en negationsoperator, eftersom vi med hjälp av den kan förvandla en sats som uttrycker ett visst påstående till en sats som uttrycker det motsatta påståendet eller negationen av det ursprungliga påståendet. Exempel ii: En flerställig operator opererar på mer än en sats men fungerar annars på samma sätt som en enställig. Med hjälp av uttryck som eftersom, och, eller, trots att, endast om etc. kan man ur två givna satser bilda en ny, sammansatt, sats. Exempel på satser som bildats med denna metod är Det snöar, eftersom taxar har korta ben, Världen går snart under, trots att Platon var en klok man, Det snöar, och världen går snart under etc. Av de exemplifierade operatorerna är och, eller och endast om i åtminstone en del användningar sanningsfunktionella. (Som så många andra vardagliga uttryck är även operatoruttryck flertydiga och vaga.) D Konnektiv Eftersom flerställiga operatorer används till att»sammanbinda» satser, kallas en sådan operator (eller ett sådant operatoruttryck) ofta för ett konnektiv (jfr engelska connect ). 7

9 Även enställiga operatorer kallas ofta (av mindre uppenbara skäl) för konnektiv. Vanligtvis avser man med konnektiv enbart sanningsfunktionella operatorer, och vi skall ansluta oss till detta språkbruk. Även uttrycken sanningsfunktionssymbol och logisk konstant är vanliga för sanningsfunktionella operatorer. E Atomära och molekylära satser Med en atomär sats menas en sats som inte innehåller något konnektiv. En molekylär sats är uppbyggd av andra satser och konnektiv. Satsen Om du stänger dörren och släcker ljuset, så blir jag glad är ett exempel på en molekylär sats. Den kan spjälkas upp i satserna Du stänger dörren och släcker ljuset och Jag blir glad, som förbundits med konnektivet om så. Den första av dessa delsatser kan i sin tur delas upp i Du stänger dörren och Du släcker ljuset och konnektivet och. Någon ytterligare uppdelning i delsatser och konnektiv kan inte göras. Satserna Du stänger dörren, Du släcker ljuset och Jag blir glad är atomära. F Analys och logisk form Att göra en satslogisk analys av en sats innebär att dela upp den i delsatser och att visa hur dessa kombinerats med hjälp av satslogiska konnektiv (d.v.s. sanningsfunktionella operatorer). Att analysera satser är något man lär sig genom övningar. Man brukar ofta säga att man genom en sådan analys kommer fram till satsens logiska form. Tidigare sades att vi skall bortse från så gott som alla egenskaper hos satser utom den att ha ett sanningsvärde. Vad vi skall bry oss om dessutom är satsers logiska form. Om man känner en sats logiska form och delsatsernas sanningsvärden har man all information som behövs för att bestämma dess sanningsvärde. Ibland behöver man inte ens veta delsatsernas sanningsvärde för att avgöra satsens sanningsvärde. Sådana satser sägs vara sanna (eller falska) i kraft av sin logiska form. G Logisk sanning och logisk konsekvens Ett viktigt motiv för att syssla med logik är att man vill studera begreppen logisk sanning och logisk konsekvens och, om möjligt, åstadkomma precisa motsvarigheter till dessa intuitiva begrepp. Logiska sanningar är specialfall av analytiska och nödvändiga sanningar och är av ett självklart filosofiskt intresse. Alla människor har en (mer eller mindre välutvecklad) förmåga att skilja mellan korrekta och inkorrekta slutledningar. I ett korrekt resonemang är slutsatsen en konsekvens av premisserna, d.v.s. slutsatsen måste vara riktig, om premisserna är det. I denna förklaring av konsekvensbegreppet förekommer ordet måste, vilket gör den i praktiken värdelös. 8

10 Vi skall så småningom visa hur man kan ge praktiskt användbara definitioner av begreppen (sats)logisk sanning och (sats)logisk konsekvens. H Det satslogiska språket Vi skall närmast presentera ett språk med den (ur logisk synvinkel) trevliga egenskapen att en sats logiska form framgår direkt av satsens utseende. Språket kommer att innehålla symboler för satser och konnektiv (d.v.s. vad vi kallade satslogikens grundelement). För att få lättöverskådliga formler skall vi dessutom använda parenteser. Eftersom den logiska formen hos en sats framgår av dess utseende i detta språk, är det ett utmärkt hjälpmedel för satslogisk analys. En analys av en sats på ett naturligt språk kan man åstadkomma genom att helt enkelt översätta satsen till det satslogiska språket. Att göra en sådan översättning kallas också att göra en formalisering. Övning 1: Försök att förklara varför operatoruttrycket Björn tror att inte är sanningsfunktionellt. Övning 2: Försök att avgöra om följande resonemang är korrekta eller ej: Om hunden skäller, så är den inte död. Hunden skäller inte. Alltså: Hunden är död. Jag åker till London eller Paris. Om jag åker till London blir Elisabeth II glad. Jag åker inte till paris. Alltså: Elisabeth II blir glad. 9

11 Kapitel 2 Det satslogiska språket A Satssymboler (satsvariabler, satsparametrar) Som nämnts tidigare, skall vi bortse från flertalet egenskaper hos satser och kommer därför för enkelhets skull att använda s.k. satssymboler för att ersätta satser i formler. Som satssymboler skall vi använda A, B, C, D, A 1, B 1, C 1, D 1, A 2, B 2,... o.s.v. Eftersom det finns ett obegränsat antal satser i naturliga språk, måste vi ha ett obegränsat antal satssymboler till vårt förfogande när vi skall formalisera. Fråga: Finns det verkligen ett obegränsat antal satser på svenska? Finns det ett obegränsat antal ord? En satssymbol skall inte ses som en förkortning för en viss bestämd sats. Vilken stas som helst kan representeras av vilken satssymbol som helst. Observera dock att vid en formalisering skall olika satser ersättas med olika satssymboler och förekomster av samma sats ersättas med förekomster av samma satssymbol. Exempel iii: I satsen Om du stänger dörren och släcker ljuset, så blir jag glad kan vi ersätta delsatserna med satssymboler och få uttrycket Om A, och B, så C. B Negation I vardagsspråket kan en sats negeras på många sätt. Man kan t.ex. använda ord som inte, ej, icke, aldrig m.fl. eller uttryck som det är inte fallet att. Ofta kan det vara svårt att se exakt vad som negeras, särskilt om satserna är komplicerade. I det satslogiska språket har man infört en entydig metod att negera en sats. Man sätter negationssymbolen omedelbart framför det uttryck som skall negeras. Resultatet är en sats med motsatt sanningsvärde: 10

12 Om A är sann, så är A falsk. Om A är falsk, så är A sann. Samma sak kan skrivas i tabellform på följande sätt (där s står för sann och f för falsk): A A s f f s Exempel iv: Satsen Det snöar kan negeras på många sätt,t.e.x. Det snöar inte, Det är inte fallet att det snöar, Inte snöar det, inte, Snöar gör det inte etc. Alla dessa kan formaliseras som A, där A står för den ursprungliga satsen Det snöar. Övning 3: En sats kan negeras mer än en gång (t.ex. Det är inte fallet att det inte snöar ). Fyll i följande tabell för»dubbel negation». A s f A Övning 4: Formalisera följande satser: a) Det finns maneter i vattnet. b) Det finns inte maneter i vattnet. c) Vattnet är fritt från maneter. d) Vattnet är inte manetfritt. C Konjunktion Givet två satser kan vi bilda en ny som är sann, om och endast om båda de ursprungliga är det, genom vad som kallas konjunktion. I vardagsspråket görs detta ofta med hjälp av ordet och. I det satslogiska språket använder vi konjunktionssymbolen, som sätts mellan de ursprungliga satserna. (A B) kallas konjunktionen av A och B, och är alltså sann, om och endast om både A och B är sanna. A och B kallas konjunkterna i satsen (A B). Vi får alltså följande sanningsvärdestabell för konjunktionen: 11

13 A B (A B) s s s s f f f s f f f f Exempel v: Satsen Det regnar och blåser är en konjunktion av satserna Det regnar och Det blåser och är således falsk om 1) det inte regnar, eller 2) det inte blåser, eller 3) det varken regnar eller blåser. Om vi låter A stå för Det regnar och B för Det blåser, skall alltså Det regnar och det blåser formaliseras som (A B). Exempel vi: Satsen Uppsala och Lund är universitetsstäder kan betraktas som en konjunktion av satserna Uppsala är en universitetsstad och Lund är en universitetsstad och bör alltså formaliseras som (A B). Vi kommer att läsa ut konjunktionstecknet som och, eftersom ordet och är det som vanligen används i vardagsspråket för att markera förekomsten av en konjunktion. Ibland används dock andra uttryck (t.ex. men ), och omvänt markerar inte varje förekomst av och en konjunktion. Satsen Det är soligt, men det blåser är en konjunktion, medan Kalle och Lisa slår vad (normalt) inte är det. Övning 5: Formalisera följande satser: a) Tre och fem är heltal. b) Tre och fem är åtta. c) Vatten består av väte och syre. d) Vatten innehåller väte och syre. e) Thales var filosof, liksom Anaximander. f) Kalle och Lisa är gifta. g) Själen och sanningen är eviga men inte kroppen. D Disjunktion Givet två satser kan vi bilda en ny som är sann, om och endast om minst en av de ursprungliga är det, genom vad som kallas disjunktion. Förekomsten av en disjunktion 12

14 markeras i vardagsspråket ofta av ordet eller. Vi skall använda som disjunktionssymbol. (A B) kallas disjunktionen av A och B och är alltså falsk, om och endast om både A och B är falska. A och B kallas disjunkterna i satsen (A B). A B (A B) s s s s f s f s s f f f Tecknet utläses vanligen som eller. För tydlighets skull kan man också läsa ut (A B) som A eller B eller båda. Denna disjunktion kallas ibland inklusiv disjunktion. Ett annat alternativ vore exklusiv disjunktion: A eller B men inte båda. Används vardagsspråkets eller både inklusivt och exklusivt? Det är klart att det används inklusivt, t.ex. i satsen Om det regnar eller blåser, så vantrivs humlorna. Ibland hävdas att det också är lätt att ge exempel där eller används exklusivt. Exempelvis i satser av typen Kalle dricker kaffe eller te just nu, Vi skall måla huset rött eller gult, Varje heltal är udda eller jämnt. Här är alla överens om att båda disjunkterna inte kan vara sanna samtidigt.men förklaringarna till detta (observera att det är olika förklaringar i olika fall) verkar inte ha något med betydelsen hos eller att göra. Vad som skulle krävas är i stället ett exempel på en falsk disjunktion där båda disjunkterna är sanna. Fråga: Finns det sådana exempel? Här behöver vi inte bekymra oss om detta, eftersom exklusiv disjunktion kan uttryckas med de konnektiv vi redan har infört, som (A eller B) och inte (A och B). Övning 6: Hitta på en symbol för exklusivt eller och skriv en sanningsvärdestabell för detta konnektiv. E Materiell implikation Den materiella implikationen är ett konnektiv som symboliseras med, och som har följande sanningsvärdestabell: 13

15 A B (A B) s s s s f f f s s f f s (A B) utläses som om A, så B eller A, endast om B eller A implicerar (materiellt) B. Märk att den materiella implikationen är ett konnektiv som de övriga och alltså används till att binda samman satser till en ny sats»på samma nivå» som de ursprungliga och alltså inte för att påstå att en viss relation råder mellan de ursprungliga satserna. Av sanningsvärdestabellen framgår att (A B) även kan utläsas som B eller inte A. Exempel vii: Om min klocka går rätt, så är tåget försenat betyder detsamma som Tåget är försenat, eller också går min klocka inte rätt och kan alltså formaliseras som (A B). Det är tydligt att satsen Om min klocka går rätt, så är tåget försenat inte i någon rimlig mening»handlar om» sina delsatser. Övning 7: Översätt följande satser till satslogiska formler: a) Om du ser botten, så är vattnet klart b) Du ser botten, endast om vattnet är klart c) Vattnet är klart, om du ser botten d) Om tåget inte är försenat, så går min klocka inte rätt e) Om du stänger dörren och släcker ljuset, så blir jag glad F Materiell ekvivalens Den materiella ekvivalensen betecknas med och utläses vanligen som om och endast om (vilket ibland skrivs omm ). Satsen (A B) är sann, om och endast om A och B har samma sanningsvärde, d.v.s. antingen båda är sanna eller båda falska. A B (A B) s s s s f f f s f f f s 14

16 Övning 8: Formalisera satsen Denna materiella ekvivalens är falsk, om och endast om delsatserna har olika sanningsvärden. Är satsen sann eller falsk? Övning 9: Låt A stå för = 5 och B för Oslo är Norges huvudstad. Är (A B) sann? Övning 10: Antag att (A B) är falsk och att B är sann. Vad vet man då om A:s sanningsvärde? Övning 11: Antag att (A B) är falsk och att B är sann. Vad vet man då om A:s sanningsvärde? Övning 12: sanningsvärde? Övning 13: (A B)? Antag att (A B) är falsk. Vad vet man då om A:s Antag att (A B) är falsk. Vilket sanningsvärde har då G Det satslogiska språket, formler Vi har nu gått igenom det satslogiska språkets grundsymboler. Dessa var 1. satssymboler: A, B, C, D, A 1, B 1,..., 2. symboler för konnektiv:,,,, och dessutom 3. parenteser: (, ). Dessa kan kombineras med varandra på olika sätt, och läsaren har säkert redan en intuitiv idé om vilka kombinationer som är meningsfulla och vilka som inte är det. Vi skall för fullständighets skull ge en definition av begreppet formel som kodifierar dessa intuitioner. i) varje satssymbol är en formel ii) om A är en formel, så är A en formel iii) om A och B är formler, så är (A B), (A B), (A B) och (A B) alla formler iv) A är en formel, endast om detta följer av i, ii och iii. 15

17 Exempel viii: Av definitionen ovan följer att A, B 23, ( C D), ((A B) (A C 3 )) är formler, medan ingen av följande teckenföljder är det: (A), ) AB, A B, AB, (A (B C)). Övning 14: Avgör vilka av följande teckenföljder som är formler: a) A B b) (A B) c) (((A 1 A 2 ) A 3 ) A 4 ) d) (A) e) (C D) H Huvudtecken Om man bygger upp en formel stegvis i enlighet med i iv ovan (avsnitt 2 G), måste något konnektiv komma till i sista steget. Detta kallas formelns huvudtecken. Vilket huvudtecknet är framgår av parentesernas placering. Exempel ix: I följande formler har huvudtecknet utmärkts med en hake: (Aˇ B), ((C D) ˇ A), ˇ ((C D) A), ˇ A, ((A B)ˇ D) Övning 15: Avgör vilket som är huvudtecken i följande formler: A, ( A B), (( A B) C), (( A B) C), (D B), ( (( A B) C) (D B)) I Parenteskonventioner För att inte antalet parenteser skall bli så stort att formlerna blir svårlästa, brukar man införa s.k. parenteskonventioner som tillåter att man utelämnar parenteser enligt ett 16

18 visst system. Detta görs lämpligen genom att man»rangordnar» konnektiven efter deras»benägenhet att vara huvudtecken». En vanlig rangordning är: (1), (2), (3), (4), (5) Exempel x: Med dessa parenteskonventioner blir formlerna i följande par likvärdiga. a) A B (A B) b) A B C ((A B) C) c) A D ( A D) d) A B D C A 2 (( A B) (D (C A 2 ))) Övning 16: Sätt i formlerna A B C A och A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 ut de parenteser som fordras för att göra a) konjunktionen, b) disjunktionen och c) den materiella implikationen till huvudtecken. Övning 17: Formalisera följande satser: a) Varken Staffan eller Dag vinner. b) Staffan vinner inte, eller Dag vinner inte. c) Inte både Staffan och Dag vinner. d) Staffan vinner inte, och Dag vinner inte. Betyder några av dessa satser detsamma? Övning 18: Formalisera följande satser: a) Försäkringsbolaget ersätter inte skadan, om skadan uppkommit under tävling. b) Försäkringsbolaget ersätter inte skadan, om skadan uppkommit under tävling, såvida inte särskild uppgörelse träffats. c) Försäkringsbolaget ersätter inte skadan, om skadan uppkommit genom vårdslöshet eller genom brottsligt förfarande. d) Försäkringsbolaget ersätter inte skadan, om skadan uppkommit under tävling, såvida inte särskild uppgörelse träffats, ej heller om skadan uppkommit genom vårdslöshet eller genom brottsligt förfarande. 17

19 Övning 19: Formalisera följande satser: a) Derest ej särskilda omständigheter föreligga, äger student ej bära värja under föreläsning, så vidt tillstånd dertill ej meddelats af prefekt eller studierektor. b) Om Cantor hade rätt skrevs Hamlet av Bacon, men den som skrev Hamlet var en stor författare och det var inte Bacon. c) Mutan får ni endast om ni levererar i tid och i rätt kvantitet annars vänder jag mig till någon annan. d) Bara om filmen har ett lyckligt slut och du följer med går jag på bio i kväll. 18

20 Kapitel 3 Sanningsvärdestabeller Den grundläggande egenskapen hos ett satslogiskt konnektiv är att det är sanningsfunktionellt. Detta innebär att sanningsvärdet hos en molekylär sats är entydigt bestämt av delsatsernas sanningsvärden (i enlighet med det aktuella konnektivets sanningsvärdestabell). Om någon av delsatserna är molekylär, är på samma sätt dess sanningsvärde bestämt av dess delsatsers sanningsvärden o.s.v. Sanningsvärdet hos en molekylär sats är således till slut entydigt bestämt av sanningsvärdena hos de atomära satser som ingår i den. Detta kan ses som en tillämpning av Freges princip. 1 Hur sanningsvärdet hos en molekylär sats beror av de atomära satsernas sanningsvärden kan redovisas i tabellform. Exempel xi: Vi skall skriva en sanningsvärdestabell för ((A B) ( A B)). De atomära satser som ingår är A och B, och vi börjar med att skriva ner alla möjliga sanningsvärdestilldelningar till dessa. A s s f f B s f s f I satsen ingår A, och vi fyller i hur dess sanningsvärde beror av A:s. A B A s s f s f f f s s f f s Vi har nu i tabellen sanningsvärden för A, B och A, och kan med hjälp av tabellerna för och bestämma motsvarande sanningsvärden för (A B) och ( A B). 1 Se Haglund och Westerståhl, textitlösa bitar semantik. 19

21 A B A (A B) ( A B) s s f s f s f f f f f s s f s f f s s f Med hjälp av sanningsvärdena för (A B) och ( A B) och sanningsvärdestabellen för kan vi nu fullborda tabellen. A B A (A B) ( A B) ((A B) ( A B)) s s f s f f s f f f f s f s s f s s f f s s f f Exempel xii: Vi skall i tabellform ange hur sanningsvärdet hos (( A B) C) beror av sanningsvärdet hos de atomära delsatserna. A B C A ( A B) (( A B) C)) s s s f s s s s f f s f s f s f f s s f f f f s f s s s s s f s f s s f f f s s s s f f f s s f Märk att om vi skall få med alla möjliga tilldelningar av sanningsvärden till de tre atomära satserna, så behöver vi åtta rader i tabellen. För att skriva en sanningstabell för en sats som innehåller fyra atomära satser behöver vi sexton rader, för en med fem atomära delsatser behövs trettiotvå rader o.s.v. Fråga: Hur många rader behöver man i en sanningsvärdestabell för en sats som innehåller sex atomära delsatser? Det sätt att skriva sanningsvärdestabeller på som använts i exempel xi och xii är tydligt men en smula omständligt. Ofta skriver man därför tabeller i en mer kompakt form, genom att under varje konnektiv i satsen skriva sanningsvärdet för den del av satsen som har det aktuella konnektivet som huvudtecken. Exempel xiii: En kompakt sanningsvärdestabell för ((A B) (A B)) kan se ut på följande sätt. A B ((A B) (A B)) s s s f f s s f s s s f f s s f f s f f f f f s 20

22 Övning 20: a) (C A) b) ( A B) c) (( A B) C) Skriv sanningsvärdestabeller för följande satser: d) ((( A B) C) (C A)) e) ( (A B) (B A)) f) ( (A B) (B A)) g) (( A B) ((A B) B)) Övning 21: 1) Ange en sats som inte innehåler några andra konnektiv än och, och som för varje tilldelning av sanningsvärden till de atomära delsatserna antar samma sanningsvärde som satsen i övning 20 f. 2) Ange en enklare sats som för varje tilldelning av sanningsvärden til de atomära delsatserna antar samma sanningsvärde som satsen i övning 20 g. Övning 22: Låt vara en symbol för exklusiv disjunktion. Ange med hjälp av, och en sats som har samma sanningsvärden som (A B) för varje tilldelning av sanningsvärden till A och B. 21

23 Kapitel 4 Några logiska grundbegrepp A Tautologier, (sats)logisk sanning En sats som är sann oavsett vilka sanningsvärden dess atomära delsatser har kallas en tautologi. I sanningsvärdestabellen för en sådan sats står det alltså uteslutande s i kolumnen under satsen. Exempel xiv: (A A) är en tautologi, vilket framgår av tabellen A A (A A) s f s f s s Exempel xv: ((A B) (B A)) är en tautologi, vilket framgår av tabellen A B (A B) (B A) ((A B) (B A)) s s s s s s f f s s f s s f s f f s s s Övning 23: Visa att följande satser är tautologier: a) (A A) b) (A A) c) ((A B) ( B A)) d) ((A A) B) Tautologier är exempel på satser som är sanna i kraft av sin (logiska) form. Tautologier är specialfall av logiska sanningar och kallas också satslogiska sanningar. 22

24 B Kontradiktoriska och kontingenta satser Liksom en sats kan vara sann i kraft av sin logiska form, kan en sats också vara falsk på grund av sin logiska form, d.v.s. falsk oberoende av vilka sanningsvärden dess atomära delsatser har. En sådan sats kallas en kontradiktion. Till exempel är (A A) kontradiktorisk, vilket framgår av A A (A A) s f f f s f En sats som varken är tautolog eller kontraditorisk kallas (satslogiskt) kontingent. I sanningsvärdestabellen för en sådan sats finns det alltså både s och f i kolumnen för satsen. Övning 24: a) Visa att (A A) och ((A B) A) är kontradiktioner b) Visa att (A B) och (A (A B) är kontingenta c) Antag att A är en tautologi. Är då A en tautologi, en kontradiktion eller en kontingent sats? d) Antag att A är kontingent. Vad är då A? Övning 25: Avgör om följande satser är tautologier, kontradiktioner eller kontingenta: a) (C (D D)) b) ((A A) A) c) ((A A) ((B D) C)) d) ((A A) ((B D) C)) e) ((A B) (A B)) C Satslogisk konsekvens I ett korrekt argument är slutsatsen en konsekvens av premisserna. Vad detta innebär kan»preciseras» på följande sätt: Låt Φ vara en mängd av satser. Vi säger att en sats B är en konsekvens av satserna i Φ, om och endast om B måste vara sann, så snart alla satserna i Φ är det. I ovanstående»definition» av konsekvensbegreppet förekommer ordet måste, vilket gör den i praktiken oanvändbar. 23

25 Vi skall strax definiera begreppet satslogisk konsekvens, som är ett specialfall av det allmänna konsekvensbegreppet. I detta fall kan vi komma runt problemet med måste genom att hänvisa till sanningsvärdestilldelningar. Vi skall för enkelhets skulll bara utgå från ändligt många satser. Låt A 1, A 2,..., A n och B vara satser. Vi säger att B är en satslogisk konsekvens av A 1, A 2,..., A n, om och endast om B är sann under varje tilldelning av sanningsvärden till de atomära satser som ingår i någon av satserna A 1, A 2,..., A n och B under vilka alla satserna A 1, A 2,..., A n är sanna. Exempel xvi: Låt A 1 vara satsen (A B) och B satsen (A B). Vi skall visa att B är en konsekvens av A 1. De atomära satser som ingår i någon av satserna A 1 och B är A och B. Vi skall således undersöka vilka sanningsvärden A 1 och B får för olika tilldelningar av sanningsvärden till A och B. Detta gör vi genom att ställa upp följande tabell: A B (A B) (A B) s s s s s f f s f s f s f f f f Vi ser att varje tilldelning av sanningsvärden till A och B som gör A 1 sann också gör B sann. Alltså är B en satslogisk konsekvens av A 1. Exempel xvii: Låt A 1 vara A, A 2 vara (A B), och låt B vara satsen B. Vi skall undersöka om B är en konsekvens av A 1 och A 2. A B (A B) s s s s f s f s s f f f De enda sanningsvärdestilldelningar som gör både A 1 och A 2 (d.v.s. både A och (A B)) sanna finns på raderna 1 och 2. Sanningsvärdestilldelningen på rad 2 gör emellertid B (d.v.s. B) falsk. Det finns alltså en sanningsvärdestilldelning som gör både A 1 och A 2 sanna och som gör B falsk. B är således inte en satslogisk konsekvens av A 1 och A 2. Övning 26: Formalisera premisser och slutsatser i övning 2 (s.7). Avgör sedan om slutsatsen är en konsekvens av premisserna i de båda fallen. 24

26 Övning 27: a) Visa att A är en konsekvens av C och (A (B C)) b) Visa att (A B) är en konsekvens av (A B) c) Visa att C är en konsekvens av A och (A B) d) Visa att C inte är en konsekvens av A och (A B) e) Avgör om C är en konsekvens av ( A (B C)), (A B) och B f) Låt A och B vara satser. Visa att B är en satslogisk konsekvens av A, om och endast om (A B) är en tautologi. g) Låt A vara en tautologi och B en sats. Visa att B är en tautologi, om och endast om B är en satslogisk konsekvens av A. D Satslogisk ekvivalens Två satser som är satslogiska konsekvenser av varandra sägs vara satslogiskt ekvivalenta. Satslogiskt ekvivalenta satser antar såkedes samma sanningsvärde för varje sanningsvärdestilldelning. Exempel xviii: ( A B) och (A B) är satslogiskt ekvivalenta, vilket framgår av följande (inte fullständigt ifyllda) tabell A B ( A B) (A B) s s f f s f f f f s f f f f s s Övning 28: Avgör om följande satspar är satslogiskt ekvivalenta: a) (A B) (B A) b) ((A B) C) (A (B C)) c) ((A B) C) ((A B) C) d) ((A B) C) (A (B C)) e) (A (A B)) (B A) Övning 29: Visa att satserna i följande par är ekvivalenta: a) (A B) (A B) b) (A B) ( A B) c) (A B) ((A B) (B A)) 25

27 Med hjälp av ekvivalenserna i övning 29 kan man steg för steg ersätta förekomster av, och i formler med kombinationer av och, tills man får en formel som inte innehåller några andra konnektiv än dessa två och som är ekvivalent med den ursprungliga. Övning 30: Försök att bilda en formel utan andra konnektiv än och och som är ekvivalent med (((A B) C) A). Övning 31: Visa att varje formel är ekvivalent med en formel som bara innehåller konnektiven och. Övning 32: Visa att varje formel är ekvivalent med en formel som bara innehåller konnektiven och. Fråga: Kan man byta ut i övning 32 mot exklusiv disjunktion? 26

28 Del II Mängdlära 27

29 Kapitel 5 Mängder A Mängdbegreppet och elementrelationen Det intuitiva mängdbegreppet är ett oundgängligt hjälpmedel i många filosofiska, semantiska och inte minst logiska sammanhang. I detta avsnitt presenteras några egenskaper hos detta begrepp Man kan antyda vad mängder är genom att kalla dem för klasser, kollektioner, samlingar m.m. av objekt, men mängdbegreppet kan inte definieras. Detta då det inte finns något mer grundläggande begrepp att definiera det i termer av. I stället får man beskriva de egenskaper som är knutna till mängdbegreppet. Inom mängdteorin försöker man på ett formellt sätt karaktärisera mängder som objekt vilka uppfyller ett antal givna villkor (axiom). Här skall vi dock nöja oss med att ge en intuitiv beskrivning av några av de egenskaper mängder har. Vi tänker oss att man kan välja ut vilka objekt som helst och bilda mängden av dessa objekt. Denna mängd är då ett nytt objekt, och de ursprungliga objekten kallas element i mängden. Man säger att de tillhör (är element i) mängden. Exempel xix: Till varje egenskap hör en mängd mängden av alla objekt som har egenskapen. Denna mängd kallas egenskapens extension. Extensionen hos egenskapen blåhet är alltså mängden av alla blåa föremål, medan extensionen hos egenskapen att vara ett udda tal mindre än 6 är den mängd vars element är precis talen 1, 3 och 5. Alla mängder är inte extensioner till egenskaper. Betrakta t.ex. den mängd som har til element talet 9, Isaac Newton och min reservoarpenna. B Symboler Som symboler för godtyckliga mängder använder vi X, Y, Z, X 1, Y 1,... Som symboler för element i mängder använder vi a, b, c,... liksom vanliga namn på bestämda individer som t.ex. Sverige, Isaac Newton, 27 etc. 28

30 Som symbol för den relation som råder mellan elementen i en mängd och mängden själv (tillhörighets- eller elementrelationen) använder vi. Om X är en mängd, och a är element i X, skriver vi a X, vilket utläses a tillhör X eller a är element i X. Att ett objekt b inte tillhör X skriver vi b / X. Slutligen använder vi mängdklamrar { och } för att på ett enkelt sätt beteckna bestämda mängder, så att det framgår direkt vilka elementen i dem är. För att beteckna en mängd vars element är ett antal på förhand bestämda objekt, skriver man ut namnen på objekten (i en följd med kommatecken mellan) och sätter mängdklamrar omkring. Exempel xx: De två sista exemplen på mängder i avsnitt 5A (s. 26) ovan skrives respektive {1, 3, 5} {9, Isaac Newton, Dag Westerståhls reservoarpenna}. Övning 33: Vilka av följande påståenden är sanna? a) 2 {1, 13, 2, 4} b) 4 / {1, 13, 2, 4} c) gravitationslagens upptäckare {9, Isaac Newton, Fido} d) Fido {9, Isaac Newton, Fido} C Extensionalitetsprincipen En mängd är entydigt bestämd av sina element. Om vi vet vilka elemeneten i en mängd är, vet vi alltså vilken mängden är. Två mängder kan bara skilja sig åt genom att ha olika element. Detta kan också uttryckas på följande sätt (där X och Y är godtyckliga mängder): X är identisk med Y, om och endast om X och Y har samma element. Denna princip kallas extensionalitetsprincipen. Exempel xxi: Enligt extensionalitetsprincipen spelar det inte någon roll i vilken ordning vi skriver elementen i en mängd. {1, 3, 5}, {3, 1, 5} och {5, 1, 3} är alltså olika beteckningar på samma mängd; {1, 3, 5} = {3, 1, 5} = {5, 1, 3}. 29

31 Övning 34: a) Låt X vara mängden av liksidiga trianglar, och låt Y vara mängden av likvinkliga trianglar. Är X och Y identiska? b) Ge andra exempel på olika beskrivningar av identiska mängder. D Abstraktionsprincipen Till varje egenskap hör en mängd egenskapens extension (med vissa reservationer, se avsnitt 5 E, s. 29). Om egenskapen är P (P kan t.ex. vara egenskapen blåhet) skriver vi P :s extension på följande sätt: {x : x har egenskapen P }. Vilket utläses mängden av alla x sådana att x har egenskapen P. Ett uttryck av typen x har egenskapen x, x är blå, y är randig och har långa öron, Mats älskar y kallas för satsschema. Ett sådant uttryck får man genom att ersätta ett (eller flera) namn på objekt i en sats med en (eller flera) variabler. Mer om satsscheman står i 8 G (s. 46). Om A(x) är ett satsschema, 1 så betecknar vi mängden av de objekt som satisfierar (uppfyller) satsschemat med {x : A(x)} Att ett objekt uppfyller ett satsschema A(x) betyder att, om vi ersätter alla förekomster av variablen x med namn på objektet, så får vi en sann sats. Exempel xxii: Extensionen till egenskapen blåhet är {x : x är blå}. Av satsen Zebran är randig och har långa öron kan vi bilda satsschemat y är randig och har långa öron, och mängden av randiga föremål med långa öron kan betecknas {y : y är randig och har långa öron} Principen att till varje satsschema A(x) hör mängden {x : A(x)} kallas abstraktionsprincipen. 1 x:et finns med i beteckningen, bara för att man skall veta att det är just variablen x som ingår i satsschemat. A(x) kan t.ex. stå för x spelar cricket men inte för y spelar cricket. 30

32 Övning 35: a) Ange med hjälp av satsscheman två olika beteckningar på mängden av alla fyrkantiga cirklar. b) Gör ett satsschema som satisiferas av kvinnor som läser filosofi, och använd detta till att beteckna mängden av alla kvinnliga filosofistudenter. E Russells paradox Strängt taget är abstraktionsprincipen, som den är formulerad i ovanstående avsnitt, inte korrekt. Detta kan man visa genom Russells paradox (i dess mängdteoretiska version), vilket går till på följande sätt: Bilda satsschemat x är inte element i x. Enlig abstraktionsprincipen kan vi då bilda mängden {x : x är inte element i x} d.v.s. mängden av alla mängder som inte är element i sig själva. Låt oss kalla denna mängd för Y. Är Y element i sig själv? Antag först att Y är element i sig själv. Då måste Y satisifera satsschemat x är inte element i x, d.v.s. Y är inte element i sig själv. Antag i stället att Y inte är element i sig själv. Då satisifierar Y satsschemat och är alltså element i Y, d.v.s. i sig själv. Vi har fått en motsägelse och tvingas konstatera att abstraktionsprincipen inte gäller! För att undvika Russells paradox tycks man vara tvungen att på något sätt begränsa möjligheterna att bilda mängder. Ett sätt att göra detta är att ersätta abstraktionsprincipen med det s.k. delmängdsaxiomet: Till varje satsschema A(x) och varje mängd Z hör mängden {x : A(x) och x Z}, d.v.s. från en given mängd Z får man bilda mängden av alla objekt i Z som satisfierar ett visst satsschema A(x). I axiomatisk mängdteori (där delmängdsaxiomet och extensionalitetsprincipen är två av axiomen) kan resonemanget i Russells paradox ovan inte genomföras. Skälet till detta får här lämnas därhän. När vi i det följande använder abstraktionsprincipen underförstår vi att det i varje fall finns en mängd Z ur vilken objekten som uppfyller satsschemat A(x) väljs. Det betyder att när vi säger mängden av alla x så att, så menar vi mängden av alla x i Z, så att. Om t.ex. X 1 = {x : x är professor}, och X 2 = {x : x är blå}, så kan Z vara mängden av människor i det första fallet och mängden av materiella föremål i det andra. Z kallas för mängdens individområde. Det framgår av sammanhanget hur individområdet kan väljas. 31

33 F Delmängder En mängd X sägs vara en delmängd till en mängd Y, om varje element i X också är element i Y. Att X är en delmängd till Y skrivs X Y. Observera att, om X = Y, så X Y. Vill man poängtera att X Y, men X Y, säger man att X är en äkta delmängd till Y. Att X är en äkta delmängd till Y skrivs X Y. Exempel xxiii: {1, 4} {2, 1, 4, 5} {1, 2, 4, 5} {2, 1, 4, 5} {Karl XII} {x : x har varit kung i Sverige} Övning 36: Vilka av följande påståenden är sanna för alla mängder X, Y och Z? a) Om X Y och Y Z, så X Z b) X X c) X Y eller Y X d) Om X Y och Y X, så X = Y G Den tomma mängden Betrakta satsschemat x x (x är inte lika med x). Enligt abstraktionsprincipen kan vi bilda mängden {x : x x}, som naturligtvis inte kan ha några element. Denna mängd kallas den tomma mängden och brukar betecknas. Övning 37: Hitta på ett annat satsschema som också definierar den tomma mängden. Visa att den tomma mängden är delmängd till varje mängd. Visa att det bara finns en tom mängd, d.v.s. att givet två tomma mängder X och Y så är dessa identiska. (Använd övning 36 d). Det är 32

34 alltså motiverat att tala om den tomma mängden i bestämd form singularis. H Union och snitt Vi skall nu definiera två operationer på mängder, union och snitt. Om X och Y är mängder, så är unionen av X och Y en ny mängd, nämligen mängden av alla objekt som är element i X eller i Y. Denna mängd betecknas X Y. Snittet av X och Y (även kallad skärningen av X och Y ) är mängden av de objekt som är element i både X och Y. Den betecknas Alltså: X Y. X Y = {x : x X eller x Y } X Y = {x : x X och x Y } Exempel xxiv: Om X = {a, b, c, d}, och Y = {b, d, e}, så är X Y = {a, d, c, d, e}, och X Y = {b, d}. {x : x har varit kung i Sverige} {x : dog 1718} = {Karl XII}. {x : x är kvinna} {x : x är man} = {x : x är vuxen människa}. Övning 38: Verifiera att följande påståenden gäller för alla mängder X och Y. a) X Y = Y X b) X X = X c) X = X d) X X Y e) X Y = Y X f) X X = X g) X = h) X Y X 33

35 Fråga: Är följande påstående sant? (X Y ) Z = (X Z) (Y Z) 34

36 Kapitel 6 Relationer A Ordnade par I samband med extensionalitetsprincipen (5 C, s.28) nämndes att det inte spelar någon roll i vilken ordning elementen i en mängd förekommer. I många sammanhang är det dock viktigt att ta hänsyn till ordningen mellan element i en mängd. Betrakta t.ex. följande satsschema: x är större än y. Det satisfieras av det ordnade paret Jupiter och Venus men inte av det ordnade paret Venus och Jupiter. För att kunna skilja det ordnade paret av två objekt a och b från mängden vars element är a och b, inför vi följande beteckning på detta: < a, b >. Ordande par har följande egenskap som skljer dem från oordnade par (mängder med två element): Exempel xxv: 1 Om < a, b >=< c, d >, så a = c och b = d. Ordande par kan definieras i termer av mängder på t.ex. följande sätt: < a, b >= {{a}, {a, b}}. På så sätt slipper man införa ett nytt grundbegrepp (d.v.s. begreppet ordnat par). När ordnade par är definierade, kan ordnade tripplar etc. definieras så här: < a, b, c >=<< a, b >, c > < a, b, c, d >=<< a, b, c >, d > etc. 35

37 Övning 39: a) Verifiera att ordnade par, definierade enligt ovan i termer av mängder, har egenskapen 1. b) Ge exempel på ett satsschema som satisfieras av en ordnad trippel. B Relationer som mängder av ordnade par, tripplar etc. Mellan objekt råder olika relationer. Exempel på satser som beskriver relationer mellan olika föremål är följande: 9 är större än 5. Göteborg är större än Kungälv. Ulla slår Nils. Hon biter honom i armen. Paris ligger mellan Göteborg och Mölndal. Antalet objekt mellan vilka en relation råder (eller inte råder) kallas relationens ställighet. I exemplen ovan är relationerna i övre raden tvåställiga och de i den nedre raden treställiga. På samma sätt som vi talade om extensioner hos egenskaper kan vi nu tala om extensioner hos relationer. Om relationen R är tvåställig är dess extension mängden av ordnade par < a, b > sådana att relationen råder mellan a och b. Exempel xxvi: Extensionen till relationen att vara äldre än är {< x, y > : x är äldre än y}. Extensionen till relationen att ligga mellan något och något annat (om t.ex. orter) är {< x, y, z > : x ligger mellan y och z}. Vi har nu talat om extensioner till relationer. Olyckligtvis brukar även dessa kallas för relationer (man identifierar helt enkelt en viss relation med dess extension). Vi kommer att ansluta oss till detta språkbruk och använda ordet relation omväxlande i båda betydelserna. För den andra sortens relationer (d.v.s. extensioner till relationer) gör vi följande definition: En tvåställig relation är en mängd av ordnade par; en treställig relation är en mängd av ordnade tripplar; etc. Eftersom ordnade par kunde definieras i termer av mängder, har vi alltså också lyckats definiera relationer i termer av mängder och behöver således inte införa begreppet relation som ett nytt grundbegrepp. 36

38 Övning 40: Ange (i termer av ordnade par, tripplar etc.) extensionen till följande relationer, och ange deras ställighet: a) att vara vän med b) att vara längre än c) att slå någon med något C Tvåställiga (binära) relationer I de följande tre avsnitten skall vi presentera några egenskaper som tvåställiga (även kallade binära) relationer kan ha. Vi antar därför att alla relationer i dessa avsnitt är tvåställiga. Att relationen R råder mellan två objekt a och b skriver vi arb. En relation antas för det mesta vara definierad i ett visst individområde (för en viss mängd av objekt). Exempel xxvii: Relationen x är gift med y har till individområde mängden av alla människor. Bara människor kan vara gifta med varandra. I det följande förutsätter vi (som för mängder se 5 E, s. 29) att ett individområde I hör till varje relation R, och när vi säger för varje objekt x, menar vi för varje objekt x i I etc. D Reflexivitet, symmetri, transitivitet En relation R är reflexiv, om för varje objekt x gäller xrx. R är irreflexiv, om för varje x gäller icke xrx. Exempel xxviii: Relationen x är lika gammal som y är reflexiv. Relationen x är far till y är irreflexiv. Relationen x är nöjd med y är varken reflexiv eller irreflexiv. R är symmetrisk, om för varje x och y gäller att, om xry, så yrx. R är asymmetrisk, om för varje x och y gäller att, om xry, så icke yrx. Exempel xxix: Relationen x är syskon till y är symmetrisk. Relationen x är dotter till y är asymmetrisk. Relationen x är bror till y är varken symmetrisk eller asymmetrisk. 37

39 R är transitiv, om för varje x, y och z gäller att, om xry och yrz, så xrz. R är intransitiv, om för varje x, y och z gäller att, om xry och yrz, så icke xrz. Exempel xxx: Relationen x är mindre än y är transitiv Relationen x är son till y är intransitiv Relationen x är bekant med y är varken transitiv eller intransitiv Övning 41: Avgör för var och en av relationerna nedan om den är reflexiv, irreflexiv eller ingetdera och motsvarande för symmetri och transitivitet. a) x är minst lika gammal som y b) x är delmängd av y c) x har hört talas om y d) x är farbror till y e) x ligger högst 5 km från y (om orter) f) x är yngre än y E Ekvivalensrelationer och ordningsrelationer Med hjälp av de ovan uppräknade egenskaperna kan man klassificera tvåställiga relationer. Vi skall här ge exempel på två användbara sådana klassificeringar: stränga ordningsrelationer och ekvivalensrelationer. En sträng ordningsrelation är en relation som är irreflexiv och transitiv. En ekvivalensrelation är en relation som är reflexiv, symmetrisk och transitiv. Exempel xxxi: Relationerna x är längre än y, x är större än y, x är tyngre än y och x är varmare än y är alla stränga ordningsrelationer. 1 Relationerna x är lika lång som y, x är lika stor som y, x är lika tung som y och x är lika varm som y är alla ekvivalenssrelationer. 2 Man kan observera att de exemplifierade relationerna är förbundna med måttskalor (längd, volym, vikt, temperatur), och det visar sig också att ordningsrelationer och ekvivalensrelationer spelar en väsentlig roll i teorier om mätning. 1 Kontrollera! 2 Kontrollera! Exempel xxxii: Antag att vi har ett stort antal mynt och vill gradera dessa med avseende på hur»rättvisa» mynten är vid slantsingling. Vi bestämmer oss för att kasta varje mynt femton gånger. Resultatet av detta test kan då för varje mynt representeras av en 15-tupel av typen < kr, kr, kl, kr, kl, kl, kr, kl, kl, kl, kr, kr, kl, kl, kr > 38

40 där kr i n:te positionen betyder att det n:te kastet med myntet gav resultatet krona och kl att det gav klave. Det mynt som representeras av 15-tupeln ovan gav alltså krona i kast nummer 1, 2, 4, 7, 11, 12 och 15 och klave i de övriga kasten. Eftersom resultatet av varje kast är antingen krona eller klave, är det lätt att se att det finns 2 15 (= ) olika 15-tupler av den här typen. Testet kan alltså för varje mynt ge ett av utfall, vilket innebär att en teori för jämförandet av resultaten skulle bli mycket komplicerad. Vi skall se att man kan förenkla situationen avsevärt genom att införa en lämlig ekvivalensrelation och, i stället för att jämföra de olika 15-tuplerna med varandra, jämföra s.k. ekvivalensklasser av 15-tupler. Detta går till på följande sätt: Definiera en relation R på mängden av 15-tupler av ovanstående typ enligt: xry, om och endast om antalet kr i x är lika med antalet kr i y. R blir då en ekvivalensrelation. 3 Vi kan sedan bilda ekvivalensklasser genom att definiera [x] = {y : xry}. [x] kallas för den till x hörande ekvivalensklassen. Det är nu lätt att visa att varje 15-tupel hamnar i precis en ekvivalensklass. Dessutom gäller [x] = [y], om och endast om xry. Alla 15-tupler med lika många kr hamnar således i samma ekvivalensklass, och det finns en ekvivalensklass för varje antal kr som kan förekomma i en 15-tupel, d.v.s. sexton stycken. Eftersom vi inte är intresserade av i vilken ordning vi har fått de olika utfallen när vi kastade mynten utan bara av hur många av de femton kasten som gav samma utfall (t.ex. krona), kan vi nu jämföra de sexton ekvivalensklasserna med varandra i stället för att jämföra alla de olika 15-tuplerna. Vi har således genom att med hjälp av en ekvivalensrelation göra oss av med onödig information (i det här fallet i vilken ordning vi fått olika utfall) skurit ner antalet objekt att jämföra från (antalet 15-tupler) till 16 (antalet ekvivalensklasser). Hur jämförelsen går till är sedan ett statistiskt problem som vi inte har anledning att gå in på här. Övning 42: a) Visa att relationen x är en äkta delmängd av y är en sträng ordningsrelation. b) Visa att relationen x har lika många element som y är en ekvivalensrelation. 3 Kontrollera! 39