1. Utan miniräknare, skissa grafen (bestäm ev. extrempunkter och asymptoter) y = x2 1 x 2 + 1

Transkript

1 HiH / Georgi Tchilikov ENVARIABELANALYS 5p för LGr&LGy april 9.-. Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Miniräknare. Betygsgränser: p. för Godkänd, p. för Väl Godkänd (p. från propedeutiska kursen kan tillgodoräknas) Redovisa och motivera lösningarna väl.. Utan miniräknare, skissa grafen (bestäm ev. extrempunkter och asymptoter) (p) y x x +. Visa hur ett visst standardgränsvärde kan användas till att få fram formeln för derivatan av funktionen sin x (p). Bestäm det exakta värdet på arean av det område som begränsas av positiva y-axeln, kurvan y x ( x) samt kurvans tangent i punkten (; ) : (p) 4. Ett snöre klipps i två delar. Av den ena formas en cirkel, av den andra en kvadrat. Hur långa skall snörets delar vara i förhållande till varandra, för att gurernas sammanlagda area skall bli minimal resp. maximal? (4p) 5. I en lärobok i Analys påstås att följande gäller för alla polynom p (x) : p (x) e x dx p + p + p + p + ::: e x Hur kan man komma fram till en sådan formel? (p) 6. I stort sett utan räknande (och utan formeln i föregående fråga) kan man inse att x n e x dx! ; när n! Hur då? (p) 7. Kombinera resultaten i föregående två frågor till att räkna ut (p) lim +! +! +! + ::: + V.G.V.

2 8. Betrakta di erentialekvationen y (x) y (x) + 5 " y (x) ; " litet tal (a) Bestäm nollställena till polynomet p (r) r r + 5 " ; beteckna dem med r och r och visa att y (x) er x e r x r r löser di erentialekvationen. (b) Visa att (p) (p) lim y (x) "! xe5x för alla x (c) Det är inte helt orimligt att tro att gränsvärdet i b) skulle vara en lösning till y y + 5y Kontrollera om det verkligen är så! (p) 9. Betrakta begynnelevärdesproblemet dt ky : ; k och y givna positiva tal y () y (a) Vad skulle man kunna säga om lösningen utan att räkna bara genom att jämföra med dt ky? (b) Lös problemet. (c) Visa att det nns T > ; sådan att (p) (p) (p) y (t)! ; när t! T Sådana ekvationer kallas ibland domedagsekvationer. (d) För tre månader sedan tog jag hem kaniner av en ras, vars förökning lär beskrivas av ovannämnda di.ekvation, och de är 6 st. redan. När inträ ar domedagen (d.v.s vad är T )? (p) SLUT! Se /getc för lösningar.

3 GT EnvariabelANALYS, 5p., 4. LÖSNINGAR x x + x + x + x + Grafen är spegelsymmetrisk i y-axeln, eftersom ( x) ger samma y som x: När x växer från mot ; x + x + Därför ser det ut så här avtar från mot ; växer från ( ) mot Kvoten blir då sin x sin h + h sin xsin h sin h {z h }!! cos x sin h h + cos x sin h h! varav vi avläser att gränsvärdet är cos x; d.v.s. D sin x cos x. Med f (x) x x f (x) x har tangenten riktningskoe. riktn.koe. f () ekvationen : y x skärn. punkt med y-axeln : y Det sökta områdets area Punkten (; ) är global minipunkt. Linjen y är asymptot, när x! :. Vi har att undersöka lim h! Täljaren kan skrivas sin (x + h) h sin (x + h) sin x sin x sin x cos h + cos x sin h sin x sin x (cos h ) + cos x sin h sin x sin h + cos x sin h triangelarean (arean mellan kurvan och x-axeln) x + x x dx x

4 4. Låt t.ex. snörets längd x längden av den del som blir cirkel x längden av den del som blir kvadrat Vi skall undersöka sammanlagda arean f (x) x x x + 6 x + x 4 + x 6 8 x + 6 f (x) + x 8 8 har nollstället x 4 + :44 Teckentabell : x f + f 6 & % (4) Eftersom < 4; så är 4 > 6 Minimal area fås alltså, när cirkeldelen utgör 44% av hela snöret Maximal area fås, när vi struntar i kvadraten och formar en cirkel enbart! Om det nu är tillåtet annars får vi säga att maximum inte nns! 5. Upprepad partiell integration : {z} e x p (x) dx {z} {z e x } p (x) {z} f g F g e x p (x) dx e x p (x) o.s.v. p (x) dx F g e x e x p (x) dx Om p (x) är ett polynom av grad n; så är den n + :a derivatan p (n+) (x) för alla x och vi behöver inte räkna vidare e x p (n+) (x) dx C Så formeln kunde skrivits p (x) e x dx p + p + p med n p:s gradtal ::: + p (n) e x + C Integrationskonstanten har man struntat i som ointressant. 6. När n! ; så har vi att x n! för alla x [; ) Så här ser det ut i princip (Ju större n; desto längre bort till höger ligger grafen.) y x n för n ; ; ; 4; ; Integralens värde svarar ju mot arean mellan kurvan och x-axeln och den arean! : Ett mera stringent bevis : dx x n e x x n + x n e x x n e x n + varav gränsvärdet syns vara : 7. Med p (x) x n x n dx q (x) p + p + p + ::: + p (n) x n +nx n +n (n ) x n + ::: +n (n ) ::: x +n (n ) ::: x + 4

5 har vi, enligt resultatet i 5, att Men q () x n e x q (x) e x q () q () e q () + n + n (n ) + ::: +n (n ) ::: + n (n ) ::: + Observera att summan i uppgiften är exakt q () Att integralen, enligt 6,! ; innebär att det måste gälla q () q () e! q () e! Eftersom den första faktorn! ; är den enda chansen att Alltså 8. Nollställena: q () e! q () e! q ()! e +! +! +! + ::: +! e när n! Observera att y (x) r r + 5 " (r 5) " (r 5) " r 5 " r 5 " e r x e r x r r r r har formen C e rx + C e r x där C ; C är konstanter (oberoende av x) 5 Vi har lärt oss att varje sådan funktion löser di erentialekvationen. Ett bevis fås genom att derivera och sätta in: y C e r x + C e r x y C r e r x + C r e r x y C r e r x + C r e r x y + ay + by C r + ar + b + C r + ar + b och, om nu r och r är nollställen till r + ar + b; så är uttrycken inom parenteser båda : b) Med r 5 + "; r 5 " (det andra valet ger samma resultat) e r x e r x r r e(5+")x e (5 ")x " e"x e (5 ")x " x e"x "x! e (5 ")x!e 5x varvid det första är standardgränsvärdet c) Ja! e x lim x! x y xe 5x y e 5x + 5xe 5x y 5e 5x + 5e 5x + 5xe 5x y + 5y ( + 5x) e 5x y ( + 5x) e 5x +5xe 5x ( + 5x 5 + 5) e 5x

6 9. a) I varje punkt där y > ; så är ky : > ky och dessutom är ky en växande funktion av y; så lösningen till y ky : borde växa snabbare än lösningen till y ky, d.v.s. snabbare än y y e kt b) En separabel di.ekvation ky : dt y : kdt y : kdt y : kt + C y : C :kt y C :kt : T ( ) : 6 : d.v.s. om 4 månader. 8 : 46 Alltså B y y () y () C y : : y() :kt C A c) y! ; när nämnaren går mot : T : y() :k d) Mät tiden i månader. Vi vet att Det ger 6 6 : :k y () y () 6 : :k : :k : 6 :! 6