Introduktion till Biomekanik, Dynamik - kinematik VT 2006

Transkript

1 Dynamik Handlar om kroppar med föränderlig rörelse. Dynamiken indelas traditionellt i kinematik och kinetik. Kinematik: Enbart rörelsebeskrivning, centrala begrepp är sträcka (vinkel) hastighet och acceleration. Kinetik: Till rörelsen kopplas även krafter och moment liksom massor och masströghetsmoment. Translations- och rotationsrörelser Translation innebär att alla delar på en kropp rör sig på exakt samma sätt. Translationen kan vara Rätlinjig, dvs. längs en rät linje kurvolinjär eller kroklinjig, dvs. i en böjd bana (t ex kastparabel) Rotationsrörelse (vinkelrörelse) uppstår då kroppen rör sig kring en rotationsaxel (-punkt). Alla delar av kroppen går lika stor vinkel, i samma riktning, på samma tid. Delarna beskriver koncentriska cirklar (cirklar med samma medelpunkt) i ett plan. 1

2 Ofta är rörelsen en kombination av både translations- och rotationsrörelse. Translationsrörelse uppstår då de finns en obalanserad kraft, dvs. då Σ F, och rotationsrörelse då det finns ett obalanserat moment, dvs. då Σ M. Jämför med villkoren för statisk jämvikt: Σ F = och Σ M =! Kinematik Kinematik innebär enbart rörelsebeskrivning. centrala begrepp är sträcka (vinkel) hastighet och acceleration. sträckor, hastigheter och accelerationer är vektorer För hastigheter skiljer man på utgångshastighet v, sluthastighet v f och momentanhastighet v som är hastigheten i en viss bestämd punkt (tid eller läge). Tolkning av diagram Y-axel: sträcka X-axel: tid lutningen i diagrammet vid en viss punkt P är föremålets hastighet i den punkten

3 Translationsrörelse Linjär translationsrörelse Hastigheter - Medelhastigheter Vid rörelse med konstant hastighet, eller för medelhastigheten, gäller v = där v är hastighet, s sträcka och t tid. Hastighet mäts i t.ex. [m/s] s t 3

4 Exempel: En löpare siktar på att löpa ett maratonlopp (4.195 m) på tiden tim 45 min. Vad blir hans medelhastighet under loppet, uttryckt i m/s? Vilken genomsnittstid per km håller han (uttryckt i min och sek)? (3 min 55 sek/km) Om han löper de första 3 milen med en snittid av 3 min 3 sek per km, vilken snittid (per km) måste han då hålla på den sträcka som är kvar för att klara av den uppställda tiden? (4 min 55 sek/km) Accelerationer I ett riktigt lopp är inte hastigheten konstant under hela loppet. För simningen kan den till och med variera under varje simtag. Hastighetsförändringen, eller accelerationen, kan antingen vara konstant eller variera med tiden. Acceleration mäts vanligen i [m/s ] konstant acceleration ger likformigt föränderlig rörelse. variabel acceleration ger olikformigt föränderlig rörelse. negativ acceleration (inbromsning) kallas ofta retardation. Exempel på lopp med likformigt föränderlig rörelse: I ett v-t-diagram är accelerationen lika med lutningen på linjen i en viss punkt. I tidsintervallet t --t f : a = ( v f v ) ( t t ) f 4

5 Exempel: En sprinter når sin maximala hastighet v max efter,5 s från vila med konstant acceleration. Resten av loppet springer han med denna hastighet och löper sina 1 m på en tid om totalt 1,4 s. Bestäm maxhastigheten v max. (v max = 1,93 m/sek) Exempel: Medan en bil färdas en 3 km lång sträcka mellan punkter A och D kör den under t sekunder med 1 km/h mellan A och B och under t sekunder med 6 km/h mellan C och D. Om föraren bromsar in under 4 sekunder mellan B och C så att han får en konstant retardation, beräkna tiden t samt sträckan s mellan A och B. (t = 65,5 sek, s AB = 1819 m) 5

6 Rörelsesamband Med konstant acceleration a under tiden t får man sluthastigheten v f enligt v f = a t eller v + a t v f = ( v + v ) f Medelhastigheten vid konstant a är v = och sträckan kroppen färdas på tiden t med konstant acceleration a fås ur formlerna s = eller 1 t a s = v 1 t + a t s = ( v + v ) f t s = v f a v Exempel: Ett barns kälke bromsas in med konstant retardation från hastigheten 4 m/s till m/s på 6 sek. Beräkna storleken på retardationen och hur lång sträcka kälken åker under de 6 sekunderna. (a = -,333 m/s s, s = 18 m) Exempel: En hockeypuck mister hastighet under konstant retardation från 15 m/s till 1 m/s under en tid av 3 sek. Beräkna storleken på retardationen och hur lång sträcka pucken glider under de 3 sekunderna. (a = -1,67 m/s s, s = 37,5 m) 6

7 Exempel: Ett klippblock rasar ner på vägen framför en bil som kör med hastigheten 9 km/h. Avstånd mellan klippblock och bil är 6 m när föraren upptäcker det. Hur hårt måste föraren bromsa, dvs. hur kraftig retardation måste han minst åstadkomma för att få stopp på bilen innan han kör in i klippblocket? (a = -5,1 m/s ) Exempel på rörelse med olikformigt föränderlig rörelse (uppåtresning från nigsittande till stående): I diagrammet ovan visas tyngdpunktens rörelse, hastighet och acceleration. 7

8 Fallrörelse Fritt fall är ett exempel på likformigt föränderlig rörelse Här är a = g (dvs. ca 1 m/s ) Formlerna vi sett tidigare gäller också för fallrörelsen! a Fallrörelse i s-t, v-t och a-t-diagram Exempel: Under ett test på förmågan att göra ett vertikalt upphopp kryper en basketspelare ihop under (a), ger sin tyngdpunkt G en vertikal hastighet v när hans fötter lämnar golvet vid (b) samt når sin maximala höjd vid (c). Om han lyckas höja sin tyngdpunkt 1 m enligt figuren, beräkna hur stor hastighet v hans tyngdpunkt har vid (b). (v = 4,43 m/s) 8

9 Kurvolinjär translationsrörelse (kastparabeln) Återkommer i flera idrotter (om luftmotståndet försummas!). När kroppen lämnat marken följer tyngdpunkten obönhörligt kastparabelns kurva. Gäller även för en exploderande projektil! 9

10 Kastparabeln är en kombination av lodrät fallrörelse och vågrät, linjär translationsröresle Kom ihåg att hastigheten är en vektor (liksom även sträckan och accelerationen). Hastigheten är hela tiden riktad utefter tangenten till kastbanan (hoppbanan etc.) Observera att accelerationen inte behöver vara riktad i rörelsens riktning! 1

11 Jämförande bilder mellan en boll som faller rakt ned och en boll som fått en konstant hastighet åt höger samtidigt med att den börjar falla. Observationer: Båda bollarna faller lika snabbt vertikalt Rörelsen i horisontell och vertikal ledd sker oberoende av varandra En bolls bana sedd med olika referensramar 11

12 Viktigt för maximal kastlängd, hopplängd etc: Utkasthastigheten, v Utkastvinkeln, Θ Utkasthöjden, h, i relation till nedslagsnivån Mer om maximal kastlängd: Optimal utkastvinkel är kopplad till utkasthöjden (och nedslagshöjden) Optimal utkastvinkel = vinkel för att få maximal kast- (hopp) längd etc. 1

13 Samma kastlängd kan uppnås med två olika utkastvinklar! Samma utkasthastighet förutsätts! Inverkan av luftmotstånd Exempel: En längdhoppare kommer till avstampet vid A med en horisontell hastighet v x av 1 m/s. Bestäm den vertikala hastighetskomponenten v y som hans tyngdpunkt måste ha för att genomföra hoppet i figuren. Hur stor sträcka h höjer sig hans tyngdpunkt under hoppet? (v y = 3,68 m/s, h =,69 m) 13

14 Exempel: En våghalsig motorcyklist ska pröva att göra ett hopp enligt figuren nedan. Om jordaccelerationen g = 9,81 m/s, beräkna a) Hur stor utgångshastighet v han måste ha för att kunna genomföra loppet b) Hur stor nedslagshastigheten v f blir c) Vilken lutning backen bör ha vid slutet av loppet för att ge ett mjukt nedslag (a) v = 37,44 m/s, b) v f = 45,7 m/s, c) Θ = 35 o ) Exempel (rätt svårt): Masscentrum G (dvs. tyngdpunkten) för en höjdhoppare följer den bana som visas i figuren. Bestäm hastigheten v vid upphoppet samt vinkeln Θ om hopparens masscentrum nätt och jämt passerar över ribban vid A. (Behöver egentligen masscentrum passera ribban vid ett godkänt hopp?) (v = 5,4 m/s,θ = 64,7 o ) 14

15 Exempel: (något svårare) En backhoppare lämnar hoppbacken med en hastighet av 95 km/h riktat 1 o uppåt enligt figur. Om accelerationen nedåt är g = 9,81 m/s, beräkna a) Hur högt över slutet på hoppbacken som backhopparen maximalt kommer b) Hur långt hoppet blir, dvs. avståndet d mätt utefter nedslagsbacken c) Hur lång tid t hoppet pågår (Luftmotståndet försummas) 95 km/h (a) h max =1,7 m, b) d = 79, m, c) t =,86 sek) 15

16 Rotationsrörelse Rotationsrörelse: Cirkulär rörelse runt en rotationsaxel se avsnittet om analogier mellan translations- och rotationsrörelse i appendix sid. A8! Viktiga begrepp inom rotationsrörelse: Vinkel Θ (vinkelförflyttning utslag). Kan mätas i grader, radianer eller antal (delar av) varv. Vinkelhastighet ω, eller medelvinkelhastighet ϖ = Θ/t. Mäts lämpligen i radianer per sekund. Vinkelacceleration α. Som vanligt hastighetsförändring per tidsenhet. Generellt gäller ( ω f ω ) ω α = f eller α = om t t ω = ( ) t f Omvandlingsfaktorer för vinklar 16

17 Vinkelrörelsen är en vektor! (Liksom även momentet) Riktningen av vektorn är kopplad till rotationsriktningen, längden av vektorn är kopplad till rotationshastigheten. Tumregel: Höger hand med fingrar i rotationsriktning: Tummen pekar i vektorns riktning. Samband mellan linjär hastighet och vinkelhastighet Den linjära hastigheten v varierar med radien enligt: v = ω r där ω är vinkelhastigheten och r är radien (dvs avståndet från rotationscentrum) Linjära hastigheten v är riktad i tangentens riktning. För att öka v måste antingen rotationshastigheten (vinkelhastigheten) eller radien ökas. Vid släggkastning ökas ω under tre, fyra varv med mindre radie. Under sista varvet slungas släggan med maximal radie (raka armar + wire). Observera att vinkelhastigheten ω är densamma för alla delar av en roterande kropp! (Till skillnad från den linjära hastigheten). 17

18 Samband mellan linjär acceleration och vinkelacceleration Den linjära accelerationen har två komponenter, dels den tangentiellt riktade accelerationen a T, och dels den radiellt riktade accelerationen a R. Den tangentiellt riktade accelerationen a T varierar med radien enligt: a T = α där ω är vinkelhastigheten och r är radien. (jämför v = ω r ) r Den radiellt riktade accelerationen a R beräknas ur formeln a R v = = r ω r Observera att radiell acceleration finns även om en kropp roterar med ett konstant varvtal! Acceleration = hastighetsförändring, kan både innebära ändring av hastighetens storlek och ändring av hastighetens riktning. Exempel En släggkastare roterar under uppvärmningen sin slägga med en konstant hastighet av 1 varv på 1,5 sek. Rotationsradie r enl. figur. Beräkna: vinkelhastighet ω, linjär hast. v, tangentiell acceleration a T samt radiell acceleration a R. (ω = 4,19 rad/s, v = 8,38 m/s, a T =, a R = 35,1 m/s ) 18

19 Exempel En cyklist startar från vila vid A och rör sig utefter en cirkulär bana varav hälften visas i figuren nedan. Om cyklisten accelererar från till 6 m/s på 1 sekunder, beräkna a) Hur stor vinkel Θ cyklisten tillryggalagt efter 1 sekunder. b) Hur stor vinkelhastighet ω han har efter 1 sekunder c) Hur stor vinkelacceleration α han har under de 1 sekunderna d) Hur stor radiell acceleration a R han har efter 1 sekunder (a) Θ =,46 rad = 6,4 o, b) ω =,9 rad/s, c) α = 9,3. 1-3, d) a R =,55 m/s ) 19

20 Samtidig translation och rotation En allmän, plan rörelse (dvs. en rörelse som bara försiggår i ett plan) kan ses som sammansatt av en ren translation och en rotation runt en fix axel. I figuren ovan har kroppen en godtycklig plan rörelse som visas i till vänster ( va vb ). Denna rörelse kan beskrivas som summan av den rena translationen i mittenfiguren och den rena rotationen kring en fix axel i figuren till höger (motsvarande samband gäller även för en kropps acceleration).

21 Exempel En cyklist rör sig framåt med hastigheten v = km/h enligt figur. Hur ser hastigheten ut för olika delar av däcken ut? Däckens radie är,65 m. Vi studerar endast hastigheten för den del av däcket som är i kontakt med vägbanan, den del som är diametralt motsatt den punkten samt hastigheten i däckets nav. Fotografi av däck i rörelse 1

22 Analogier mellan linjär och roterande rörelse Linjär rörelse a = ( v f v ) ( t t ) f v = s t Roterande rörelse α = ( ω f ω ) ( t ) t f ω = Θ t v f = v + a t = ω + α t ω f v f = v + a s ω = ω + α Θ f t + a t = ( v + v ) t Θ = t + α t = ( ω + ω f ) t s v f = ω s = v f a v ω f ω Θ = α Övningstal i kompendiet (sid ) Observera att lösningar till talen finns på sid. 18 och framåt i kompendiet. Formelsamlingen i appendix, sid. A9 kan också vara användbar. Kommentarer till några av talen: Tal, se diagram i Fig. 53 sid. 43. Tal 6, se löst tavelexempel med längdhoppare. Tal 7, se löst tavelexempel med släggkastare. Tal 8, se motsvarande diagram i Fig. 55 med tillhörande text på sid. 44 och 45. Rekommenderade uppgifter: Tal, 1,, 3, 4, 5, 6 (lite svårare), 7.