Tolkningen av normalfördelningsfunktionen. Felfortplantningsformeln Felet i medelvärdet Acceptans av data Felpropagering Relativa fel

Transkript

1 Tolknngen av normalördelnngsunktonen Felortplantnngsormeln Felet medelvärdet cceptans av data Felpropagerng Relatva el Fskeperment, 7.5 hp

2 ormalördelnngsunktonen (; µ, ) ( µ ) ep π sgma 0. sgma 0.5 Medelvärdet µ 0 med : (;0, ) ep π Om v även sätter : (;0,) (0,) ep π sgma Fskeperment, 7.5 hp Denna unkton är den vktgaste teoretska sannolkhetsördelnngen statstken och är välkänd nom matematken. Kallas även Gaussunktonen. Mätvärdenas normalördelnng vd slumpmässga el utgör en ramgångsrk modell nom statstken.

3 Sannolkheten ör en mätnng Fördelnngen ovan beskrver den relatva sannolkheten ör ett utall då utallsrummet är normalördelat med medelvärdet µ och standardavvkelsen. Funktonen ( ; µ, ) ( µ ) ep π ' d d ' ' P( (, d); µ, ) ( ; µ, ) d ep mätvärde ntervallet (, d). π anger sannolkhetstätheten och uttrcket: ( µ ) d anger sannolkheten ör ett Med hjälp av tabellen ppend läroboken kan man enkelt nna sannolkheten ör ett utall godtcklga ntervall Fskeperment, 7.5 hp 3 Våra mätnngar under laboratonerna antar v är tagna ur en normalördelnng, dvs en mätnng är behätad med ett slumpmässgt el som gör att v år ett mätvärde som avvker rån det sanna medelvärdet enlgt sannolkhetsunktonen ovan. Genom att mäta samma storhet lera gånger kan v å en god uppattnng om sprdnngen mätnngarna och sannolkhetsunktonens två parametrar medelvärde och standardavvkelse. 3

4 Felunktonen er(t) 0,687 otera att ComsolScrpt (MatLab) er(t) är denerad ör ep(- ) motsats tll bokens ep(- /). Dvs sannolkheten att vd en mätnng nna ett värde mellan -ts < < ts beräknas som: er (t/ ) 68,7% (nte som er (t)) Fskeperment, 7.5 hp 4 Varabeln t anger ntervallet andelar av s. Observera skllnader nomenklaturen mellan ComsolScrpt (MatLab) och kursboken (sdan 36). Fguren ovan kan ses som en grask ramställnng av tabellen ppend läroboken (s. 87). 4

5 cceptans av värden Under rmlga antaganden om ördelnngen hos mätdata kan v säga något om hur pass bra ett mätresultat är. V vet att det är 68% chans att hamna nom en standardavvkelse rån medelvärdet, och v kan jämöra vårt mätta värde med ett känt värde eller ett teoretskt värde genom att beräkna: mätt teor t, där teor det örväntade värdet och mätnngens antagna standardavvkelse. Med kännedom om t kan v uttala oss om rmlgheten hos vårt resultat. Eempel: Om sgnkansnvån 5% är ett kvaltetskrav så är en avvkelse större än,96 nte en acceptabel avvkelse rån det nomnella värdet Fskeperment, 7.5 hp 5 Parametern t anger absolutbeloppet av den relatva avvkelsen antal sgma (). Kontrollera med hjälp av ppend att P(mätvärde ±,96 ) 95%. Sgnkansnvån är sannolkheten ör utall det krtska området trots att nollhpotesen är sann. Vanlga värden på sgnkansnvån är 5%, % och 0,%. 5

6 Sannolkheten ör en mätsere (eempel på ett dskret utallsrum) Sngla slant: Vad är sannolkheten att erhålla utallet krona-krona-klave eter tre slantsnglngar? Sannolkhetsunktonen är en konstant ½: P ( krona) /, P( klave) / och P(krona,krona,klave) ½ ½ ½ /8. Dra kort: Vad är sannolkheten att dra ra Ess ur en kortlek? Svar: 4/5 3/5 /50 /49 / Fskeperment, 7.5 hp 6 V antar att sannolkheten att å krona örsta kastet är ½. Sannolkheten att å krona andra kastet är ½ och sannolkheten att å klave tredje kastet är ½. Den totala sannolkheten är ½ ½ ½ /8 ör just denna öljd, dvs produkterna av de ndvduella sannolkheterna. otera eempelvs att det är lka sannolkt att rött,svart,rött,svart kommer upp vd roulettspel som vlken annan kombnaton av rött och svart som helst (det nns 6 lka sannolka kombnatoner vd 4 spel). 6

7 Sannolkheten ör en mätsere (eempel på ett kontnuerlgt utallsrum) Om v gör stcken mätnngar av en normalördelad varabel (som har medelvärdet µ och sprdnngsmåttet ), så ges den totala sannolkheten ör dessa mätnngar av produkten av de ndvduella sannolkheterna ( analog med öregående eempel): π ( µ ) ep ( µ ) ep π... ( ep π µ ) Denna totala sannolkhetsunkton kan skrvas på ett mer kompakt vs: (,,..., ( µ ) ) ep π V antar nu att sannolkheten att erhålla mätvärdena,,, är just denna unkton och v anpassar µ ochså att denna unkton (sannolkhet) blr så stor som möjlgt Fskeperment, 7.5 hp 7 En mätnng av en storhet, t.e. tden ör en kropp att alla en vss sträcka, anses vara slumpvs den menngen att alltden har ett väl denerat medelvärde (alla epermentella betngelser är appromatvt konstanta) och en konstant sprdnng runt detta medelvärde (som är karaktärstskt ör epermentuppställnngen). Utallen anges då av normalördelnngsunktonen och analog med öregående resonemang med slantsnglng antar v att det totala utallet anges av produkten av varje enskld sannolkhet. 7

8 Mamum Lkelhood Grundprncpen ör denna uppskattnng kallas på engelska Mamum Lkelhood vlket skall uttdas så att våra mätresultat härrör ur just den asmptotska ördelnng som har störst sannolkhet att ge just de värden v mätt upp. För att lösa detta problem skall v: Betrakta våra mätvärden som a. Beräkna ett uttrck ör att erhålla just denna mätsere (,,, ) som en unkton av parametrarna m och. Mamera sannolkheten ör att erhålla vår mätsere genom att varera m och Fskeperment, 7.5 hp 8 Mamum Lkelhood uppskattnng börjar med att man skrver ner ett uttrck ör Lkelhood -unktonen ör en datamängd. Enkelt uttrck är Lkelhood unktonen ett uttrck ör sannolkheten att erhålla just den datamängd som man har ått (mätt) gvet den specka sannolkhetsmodellen som antagts ör data (t.e. att mätnngarna är normalördelade). Detta uttrck kommer att nnehålla de parametrar som beskrver just den antagna modellen ( detta all m och s). Värdet på dessa parametrar som mamerar Lkelhood unktonen kallas Mamum Lkelhood Estmates eller MLE (se kap. 5.5 läroboken och jämör med vad som sägs kap. 7.). 8

9 Härlednng av μ och Mamum Lkelhood hänseende! Det gäller att bestämma µ och genom att mamera sannolkheten ör unktonen: (,,..., Vlket nnebär att v örst beräknar dervatan: ( µ ) ) ep π ( ). µ ep µ π 0 µ µ ( µ ) Fskeperment, 7.5 hp 9 ( µ ) Parametern µ erhålles genom att sätta dervatan / µ tll 0: På lknande sätt bestämmer v varansen s. Kom håg att dervatan av e är e, eller om eponenten är en unkton (): D[e () ] e () ÿd[()]. I detta all antar v att alla mätvärden har erhållts ur en och samma ördelnng, dvs µ och s är samma ör alla mätvärden. tt mamera ovanstående unkton är detsamma som att mnmera argumentet ör eponentalunktonen (bortsett rån mnustecknet). Etersom detta argument är en kvadratsk unkton av derenserna kallas metoden detta all även ör Mnsta kvadratmetoden. 9

10 Bestämnng av parametern V gör nu samma optmerng ör parameterns: ( µ ) ( µ ) ep ( µ ) ep / / 3 ( π ) (π ) Dervatan sätts tll 0 och v nner ett utrck ör varansen: 0 ( µ ) 0 µ ( 3 ) I detta uttrck betecknar m det sanna värdet på medelvärdet. Etersom detta värde otast är okänt så år v appromera det med vårt bästa estmat medelvärdet av. Man kan vsa att detta medör att v år ett något moderat uttrck ör varansen: ( ) Fskeperment, 7.5 hp 0 Ett enkelt argument ör att v skall använda aktorn - stället ör nämnaren är det örhållandet att v egentlgen endast har - oberoende termer summan. och medelvärdet <> är korrelerade genom S - <> -. 0

11 Problem 4. Talor. Standardavvkelsen blr: ( q q) 0, ellerekvvalent: s 0, ( q ) ( ) q 0, Svar: Hon bör välja 0, Fskeperment, 7.5 hp Problem 4.: En student mäter laddnngarna,,4,6,6,. Hur uppskattar hon stt mätel? V vsar här eplct att de två ormlerna ör standardavvkelsen (se problem 4.5 Talor) ger samma resultat. I praktken används den örsta metoden mest då v ändå önskar beräkna medelvärdet av data på samma gång.

12 Etrapolaton av unktonsvärde (D) () (som en nlednng tll elortplantnng) () Tangenten punkten (,) ( ) ( ) dvs ( ) ( ) ( ) ( ) k D Om vårt bästa värde på unktonen () är () mätpunkten blr rågan: hur stor är avvkelsen om osäkerheten är D? Den lnjära etrapolatonen ger oss svaret: avvkelsen är proportonell mot örstadervatan ( punkten ) ä osäkerheten. d d Fskeperment, 7.5 hp En lten upprsknng av era mattekunskaper. I ett tllräcklgt ltet ntervall kan man allmänhet appromera en godtcklg unkton, (), med en lnjär unkton. V ser att den vertkala avvkelsen mellan den svarta räta lnjen och den röda unktonskurvan är mcket mndre än D själv och således örsumbar sammanhanget.

13 Fskeperment, 7.5 hp 3 Etrapolaton två varabler! ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( (,) För varabler erhålles:... V gör en rask utlkt högre dmensoner. För en unkton av två oberoende varabler kan v beräkna dervatan av unktonen de två planen - och - oberoende av varandra. Den vertkala örlttnngen - planet och - planet adderas tll en total örlttnng D -led.

14 Fskeperment, 7.5 hp 4 Felortplantnngsormeln I två dmensoner nner v att den kvadratska osäkerheten blr Om och är okorrelerade år v elortplantnngsormeln ör två varabler: 0 bsolutbeloppet av D år v genom att addera komponenterna kvadratskt (jm Pthagoras sats). För många mätnngar blr genomsnttet av den tredje termen ovan noll (om och är okorrelerade). För en mer matematsk härlednng hänvsas tll kaptel 5.6 läroboken.

15 Felet medelvärdet Tllämpnng på unktonen: de partella dervatorerna är: så v år det enkla resultatet: dvs (,,..., och ) ( ) ( ) Fskeperment, 7.5 hp 5 u kommer v tll den örsta vktga tllämpnngen av elortplantnngsormeln uppskattnngen av medelvärdets el! otera skllnaden mellan betecknngarna s (standardavvkelsen) och s <> (medelvärdets standardavvkelse eller kortare medelvärdeselet eller elet ). En annan vktg punkt är att medelvärdet är också normalördelat, så medelvärdeselet kan ses som standardavvkelsen ör medelvärdena. Dvs gör v om örsöket lera gånger och beräknar ett ntt medelvärde ör varje örsöksomgång är medelvärdena normalördelade med medelvärdeselet (ör den ensklda mätomgången) som ett mått på medelvärdenas sprdnng, dvs standardavvkelse. I det allmänna allet kommer naturlgtvs nte alla dessa medelvärden och medelvärdesel att vara lka. Hur man behandlar denna stuaton beskrvs på sdorna 5-9 ramöver. 5

16 Problem 4.0 Talor Följande mätsere har gjorts på svängnngstden ör en jäder: Mass m (kg) Perod T (s) Bestäm jäderkonstanten med standardavvkelse och medelvärdesel. Försök Mass Perod Sprng # m T k k - <k> (k - <k>)^ kg s kg/s^ 0,5,4 3,7 0,06 0,00 0,58,33,97-0,88 0,04 3 0,63,36 3,53 0,377 0,4 4 0,69,44 3,6 0,00 0,00 5 0,75,50 3,9 0,039 0,00 6 0,83,59 3,0-0,3 0,0 7 0,90,65 3,07-0,090 0,0 8 0,95,69 3,3-0,04 0,00 Sum 05,4 0,000 0, Mean <k> 3,6 Standard devaton 0,7 Standard error 0, Fskeperment, 7.5 hp 6 Fjäderkonstanten k beräknas som k 4p m/t (se sdan 05 läroboken). Fjäderkonstantens medelvärde blr 3,55-0,06 (eller med en värdesra elet: 3,6-0,06). Epermentets precson är 0,7 (osäkerheten den ensklda mätnngen). otera alltså att elet medelvärdet är mndre än den enstaka mätnngens el (med en aktor / ). 6

17 Eempel på konvergens av mätsere Resultat eter örsök Slumpvärden mellan och 6 (otera att medelvärdet och standardavvkelsen är konstant medan elet går mot noll!) ntal örsök Medelvärde Standardavvkelsen Felet medelvärdet Fskeperment, 7.5 hp 7 Medelvärdet bör bl (6)/ 3,5. Breddmåttet kan v gssa bör lgga på etersom ntervallet,5 tll 5,5 nneattar 4/667% av alla utall (jämör ntervallet -s tll s ör en normalördelnng som nneattar 68%). V ser att eter ca 5 örsök har v en god uppattnng om sprdnngen (sgma) och elet medelvärdet är < ½ enhet. 7

18 En tllämpnng på elortplantnngsormeln: Osäkerheten en summa (derens) Vad blr osäkerheten summan? ± och ± nsättes Osäkerheten blr: Eempel: (8 ± ) (0 ± 4), Fskeperment, 7.5 hp 8 otera att elet en summa (som nnehåller negatva termer) kan bl mcket större än summan själv! Vad blr elet en summa av termer dragna ur samma ördelnng med std s? 8

19 Relatv osäkerhet ntag att v har en mätnng med resultatet ± mätnng Det relatva elet (osäkerheten) deneras mätnng Eempel: Längden L(50 ± ) cm det relatva elet är /500,0% Uppgt.3 och.4 läroboken Fskeperment, 7.5 hp 9 Om v mäter en längd L 0 cm och en annan längd L 000 cm med samma absoluta precson cm år v en känsla av att den senare mätnngen har en högre grad av noggrannhet. Den relatva osäkerheten D/ är en dmensonslös storhet som ger en appromatv ndkaton på mätnngens kvaltet. 9

20 Fskeperment, 7.5 hp 0 Betrakta produkten där osäkerheten och är och u är och Tllämpnngar av elortplantnngsormeln med relatva el vlket med elortplantnngsormelns hjälp ger oss: Det relatva elet produkten är alltså lka med kvadratroten av summan av de relatva elens kvadrater. Mer generellt gäller: n m n m Dessa relatoner är mcket vktga! Man kan här drekt se nverkan av de olka parametrarnas el. Små relatva el kan otast bortses rån om andra är ett par aktorer större vlket enkelt nses genom några numerska eempel. Observera att m och n kan vara både postva och negatva bråktal (T.e. / -/ ).

21 Felpropagerng ( ) Mätnng av g med enkel pendel (s. 68 boken) Tngdacceleratonen L g 4π där L 9,95 ± 0,cm, T,936 ± 0,004 s. T Relatva osäkerheten bestämnngen blr g g L L g 979,0 cm/s T T och g g beräknas ett eperment med. Genom nsättnng nner v 4, cm/s, dvs g 979 ± 4 cm/s Fskeperment, 7.5 hp Relatva elet L är /99,5 0,00 Relatva elet T är 4/936 0,00 och kommer med aktorn att domnera elet g!

22 Quck Check 3.9 Här skall v bestämma ett värde på unktonen: q med 00 ±, 50 ±, 40 ± Fskeperment, 7.5 hp Vsa att svaret skall vara q 0-6 (5,7). Den relatva osäkerheten denna kvot är alltså mcket större än osäkerheten de ensklda mätvärdena.

23 Relatv noggrannhet V känner nu tll betdelsen av ett mätvärde och dess el. Låt oss se tllbaks på Fgur. läroboken: Denst ρ (gram/cm 3 ) George Martha gold allo Fskeperment, 7.5 hp 3 Martha kan dentvs säga att legerngen nte är av guld med hög sannolkhet (kan v beräkna denna sannolkhet?). Georges mätnng lgger närmare värdet på guld men kan nte utesluta att legerngen nte är guld. Med hänsn tll avvkelsen örhållande tll Georges mätel kan v nte utesluta någondera av mätnngarna. Hur skall v utnttja bägge mätnngarna på ett bra sätt? 3

24 vvkelse Vad menas med avvkelse? Låt oss se tllbaks på Fgur. läroboken: B D 0 avvkelse 0 0 avvkelse 0 C Fskeperment, 7.5 hp 4 Den vänstra mätseren är gjord med högre precson än den högra och v ser att avvkelsen är stor örhållande tll de små elen. Dessa två mätnngar kan nte jämöras då där trolgen örelgger ett sstematskt el den ena eller andra mätnngen (eller bägge). Dessa data kan nte kombneras. I det högra allet är elen mcket större, men avvkelsen är lten örhållande tll elen och de två mätnngarna kan (om man är övertgad om att där nte nns några sstematska el) kombneras. 4

25 Vktade medelvärden Hur kombnerar man oberoende resultat med olka precson? ntag att studenterna och B mäter samma kvanttet lera gånger och kommer ram tll resultaten (med olka sprdnng): B ± ± Om skllnaden mellan de båda resultaten är väsentlgt större än respektve sprdnng så är detta sgnkant och en mätnng är trolgen el ( nconsstent ). B ntag att så nte är allet, hur kombnerar man då tll ett resultat? Fskeperment, 7.5 hp 5 Spännande ortsättnng på nästa sda. 5

26 Vktade medelvärden Ett enkelt medelvärde skulle ge halva vkten tll vardera värdet, trots att sprdnngen (dvs osäkerheterna) är olka. Istället använder v Mamum Lkelhood -prncpen v använde tdgare. Sannolkheterna ör resp. värde är Prob( ) e ( ) X / och Prob( B ) e ( ) X / Sannolkheten ör båda värdena samtdgt är produkten av resp. sannolkhet: χ / Prob(, B ) Prob( ) Prob( ) e, där X B X χ B Fskeperment, 7.5 hp 6 B B B 6

27 Vktade medelvärden 3 Mamum Lkelhood-prncpen säger nu att det bästa värdet v kan å på det sanna värdet X är det som ges när den kombnerade sannolkheten är som störst, dvs när eponenten χ har mnmum. Som tdgare så derverar v med avseende på X och sätter tll noll, vlket ger X 0, så att B X X B / B B B Om v nu denerar vkterna w, w Så kan ormeln ör vktat medelvärde skrvas: Fskeperment, 7.5 hp 7 ( w X w X ) ( w w ) X / wav B B B B B otera att de relatva vkterna ger de två mätnngarna olka tngd. Det vktade medelvärdet kommer att lgga närmare det värde som har det mndre elet. 7

28 Generalserng Data guren vsar mätnngar med olka stora el. Hur skall v ta hänsn tll att vssa mätnngar har utörts med högre precson än andra? otera att ngen avvkelse är sgnkant. Som tdgare antar v att sannolkheten att en mätnng erhålla mätvärdet ± är: P( ) ep ( µ) Fskeperment, 7.5 hp Den totala sannolkheten ör hela mätseren är: P,,, ) P( ) P( ) P( ) P( ( ) Metoden kan naturlgtvs generalseras tll lera mätnngar. Den övre blå lnjen anger ett vanlgt (ovktat) medelvärde, den undre blå lnjen anger det vktade medelvärdet. V ser att den örsta mätnngen nte nämnvärt påverkar det vktade medelvärdet. 8

29 Fskeperment, 7.5 hp 9 Generalserng där. Låt oss även nöra µ χ w 0 ) ( / e w P χ µ µ j j j j j j w w µ Felortplantnngsormeln ger oss även det na elet: ( ) j j j j w w w w w µ µ Lkelhood unktonen kan skrvas: / ) ( χ µ e e P Om du tcker det är svårt med alla summor och produkter så örenkla beräknngarna genom att räkna eplct på ett eempel med.

30 Fskeperment, 7.5 hp 30 Ett eempel på statstk på tabelldata med klassndelnng (värnplktga 98). V antar att längdördelnngen är representatv ör pojkar landet och nutd och vll uppskatta det teoretska antalet möjlga basketbollag på Stockholms unverstet. I ppend nner v värdet 86,38% ör t,49. Det betder att (00 86,38) / 6,8% av 6800 pojkar mellan 8 och 5 år är presumtva basketbollspelare (585 st). Om v vdare gör antagandet att endast hälten är ntresserade och ett lag består av 5 ndvder år v uppskattnngsvs 0 lag. 30