En reservberäkningsmetodik baserad på enskilda skador

Transkript

1 Matematsk statstk Stockholms unverstet En reservberäknngsmetodk baserad på ensklda skador Elze Wästanfors Eamensarbete 005:3

2 Postadress: Matematsk statstk Matematska nsttutonen Stockholms unverstet 06 9 Stockholm Sverge Internet:

3 En reservberäknngsmetodk baserad på ensklda skador Elze Wästanfors * Februar 005 SAMMANFATTNING För att kunna täcka framtda kostnader för skador som dag ännu nte anmälts samt för skador som rapporterats men nte slutreglerats, avsätter varje försäkrngsbolag medel tll en reserv. Det fnns många tllvägagångssätt för att estmera storleken på reserven. Den gemensamma utgångspunkten för de dag mest frekvent använda metoderna är en aggregaton av data tll trangelform. En välkänd metod som eemplferar denna teknk och som använts årtonden är Chan Ladder-metoden. I denna stude utvecklas och utvärderas en dé tll en metod för reservpredkton som stället grundas på ndvduella skador och försäkrngar. Analysen delas upp två delar, dels problemet att skatta antalet skador, dels svårgheten att uppskatta vad dessa skador kommer att kosta. Vad beträffande antalet skador baseras beräknngarna på en anpassad fördelnngsfunkton för td från skadetllfälle tll nrapporterng. Kostnaden skattas va en utjämnande kurvanpassnng. Endast försktga slutsatser om denna ndvduella metodk kan dras på grund av få jämförelseperoder. För att metoden skall kunna fungera som ett användbart komplement är det självklart vktgt att både skattnngarna av antalet skador och kostnaden för dessa är goda. Utfrån de data som studen grundar sg på har dock nte någon tllförltlg metod för antalet skador kunnat fastställas. * E-post: elze.wastanfors@trygghansa.se Handledare: Esbjörn Ohlsson och Anders Lndström

4 A method based on ndvdual clams n order to estmate the reserve of an nsurance company ABSTRACT To be able to cover future epenses caused by ncurred but not yet reported clams and reported but not settled clams, an nsurance company must allocate captal to a reserve. There are many approaches to estmate the sze of the reserve. The Chan Ladder method s one of the most used loss reservng technques. Lke other frequently used methods t s based on aggregated observatons n the shape of a trangle. In ths paper we develop and evaluate an dea for a method based on ndvdual clams and polces. The analyss s dvded nto two parts. In the frst part an estmaton of the number of IBNR clams s assessed. The calculatons are based on a ftted dstrbuton functon for the tme nterval from occurrence to notfcaton. In the second part, the clam amounts are estmated va an adjustng curve. Only vague conclusons about ths new method can be made due to few perods of comparson. For the method to functon, t s mportant that both clam counts and clam amounts are well estmated. However, on the bass of the data of ths study, no relable method n order to estmate the number of clams has been establshed.

5 FÖRORD Denna rapport är utförd under hösten/vntern 004/005 på försäkrngsbolaget Trygg-Hansa, aktuareenheten dvson Prvat, Affärsområde Sak, Stockholm. Uppgften motsvarar 0 veckors arbete och utgör mtt eamensarbete, omfattande 0 poäng för magstereamen matematsk statstk, från Matematk-ekonom-lnjen, Stockholms Unverstet. Jag vll med detta förord passa på att rkta ett tack tll Trygg-Hansa som och med erbjudandet av arbetsplats och egen dator gvt mg möjlgheten att få en nblck arbetslvet. Stort tack även tll mn handledare på Trygg-Hansa, Anders Lndström, för rådgvnng, väglednng och för att han alltd funnts tll hands. Mn handledare på Stockholms Unverstet, Esbjörn Ohlsson, skall också ha ett varmt tack för stor hjälp med det teoretska arbetet, uppmuntran och gvande möten. Tll sst en stor eloge tll hela aktuaregruppen för trevlgt sällskap samt stöd och goda råd längs vägen. 3

6 INNEHÅLLSFÖRTECKNING SAMMANFATTNING... ABSTRACT... FÖRORD... 3 INLEDNING RESERVSÄTTNING SYFTE EN ALTERNATIV METOD AVGRÄNSNING... 6 ANALYS UTREDNING AV ANMÄLNINGSMÖNSTRET FÖRDELNINGSANPASSNING AV ANMÄLNINGSTIDEN SKATTNING AV ANTAL EFTERANMÄLDA SKADOR Dagsmetoden Skadefrekvensmetoden Chan Ladder Jämförelse av metoderna SKATTNING AV KOSTNADEN FÖR DE EFTERANMÄLDA SKADORNA Utjämnande kurvanpassnng IBNR-RESERVEN... 3 RESULTAT OCH SLUTSATSER KÄLLFÖRTECKNING APPENDIX GAMMAFÖRDELNINGEN LOGNORMALFÖRDELNINGEN PARETOFÖRDELNINGEN GRUNDLÄGGANDE MODELLANTAGANDEN

7 INLEDNING. Reservsättnng Skadeförsäkrngsbolag avsätter medel tll den så kallade ersättnngsreserven. Detta för att kunna täcka de framtda kostnaderna för skador nträffade under den bakomlggande peroden. Problemet är att den slutlga kostnaden för var och en av dessa skador nte är känd vd bokslutstllfället, dels för att alla skador ännu nte rapporterats av försäkrngstagarna, dels för att det tar td att slutreglera rapporterade skador. Man kan använda sg av följande uppdelnng: IBNR ncurred but not reported nträffade men ej rapporterade skador RBNS reported but not settled rapporterade men ej slutreglerade skador För att kunna bestämma det totala reservbehovet måste alltså kostnaden för dessa två poster predkteras.. Syfte en alternatv metod Den mest använda metoden för att predktera kostnaden för ovan nämnda IBNR- och RBNSskador, och därmed kunna bestämma det totala reservbehovet, är den så kallade Chan Ladder-metoden. Denna metod utgår från aggregerade data trangelform. Syftet med detta ejobb är att utfrån ensklda skador/försäkrngar htta och utvärdera ett alternatv tll Chan Ladder-metoden och andra dag frekvent använda metoder. V önskar htta en snabbare och enklare metod som dessutom kan tllämpas när som helst under året, nte bara vd årsskften. För att Chan Ladder skall kunna fungera vd godtycklg tdpunkt måste det fnnas hstorska data med denna uppdelnng. Därmed nte sagt att denna ndelnng nte är möjlg, men beroende på vlken typ av försäkrng man analyserar kommer för ändamålet uppdaterade data vara mer eller mndre lättllgänglga. Just denna stude kommer v dock att använda oss av sådana data som lätt går att aggregera både års- och månadsvs och därmed är tllräcklga för ett användande av Chan-Ladder. Målet är att se om denna typ av ndvduell metodk kan fungera som ett bra komplement tll befntlga modeller, om den är mer lätthanterlg och om den eempelvs ger mer eakta resultat. Därutöver vll v som sagt kunna applcera den på kortare tdsntervall än år. I utrednngen behandlar v endast de skador som har nträffat men ännu ej nrapporterats, IBNR. Inlednngsvs anpassar v en parametrsk fördelnng för td från skadetllfälle tll anmälan. Utfrån denna fördelnng skattar v förväntat antal efteranmälda skador, dvs de skador för vlka v måste ha avsatta medel, så att framtda kostnader kan täckas. Den förväntade skadekostnaden för dessa skador skall också beräknas, med hänsyn tll beroendet på anmälnngstden. Tll sst skall v utvärdera och bedöma resultatet av den nya metoden. 5

8 .3 Avgränsnng För att kunna hålla detta arbete nom rmlga gränser måste v göra vssa avgränsnngar. Den datamängd som har ställts tll förfogande nnehåller nformaton om alla skador nom bransch Motor med skadetllfälle från 0 jan 990 tll 30 jul 004. V har också vetskap om det totala antalet delkaskoförsäkrngar från och med 994 och framåt. För att kunna bedöma och analysera den nya metoden förhållande tll befntlg behövs ett färdgavvecklat datamateral, så därför utesluter v skador med skadedatum senare än V väljer också att särsklja olka skadetyper, eempelvs stöld, vagnskada och glas, det fall anmälnngsmönstret för dessa skadearter skljer sg nämnvärt åt. Vad beträffande anpassandet av en fördelnng tll anmälnngstden, så ska v pröva tre olka fördelnngar, nämlgen gamma-, lognormal- samt Paretofördelnngen. Parametrarna fördelnngarna kommer att skattas med hjälp av moment- och ML-metoden. 6

9 ANALYS. Utrednng av anmälnngsmönstret Inlednngsvs undersöker v anmälnngsmönstret mellan olka skadearter på prvatägda personblar. V vll bland annat se om medelvärdet för td tll anmälan skljer sg mycket åt för varje typ av skada. Intutvt känns det som att så är fallet. Rmlgtvs borde ju en stulen bl locka tll omedelbar skadeanmälan snarare än vad en sprcka bakrutan skulle göra. I tabell. syns medelvärdet och standardavvkelsen av tden mellan skadedatum och rapporterngsdatum för några olka skador, uttryckt dagar. Värdena är baserade på skador från alla åren materalet. Tabell. MEDELVÄRDE STANDARDAVVIKELSE Personbl - stöld, 30,8 Personbl - vagnskada 4,7 37,4 Personbl - glas 57,4 69, Personbl - räddnng 47, 54, Personbl - totalt 9,3 55,5 Då anmälnngsstrukturen varerar anmärknngsvärt väljer v att analysera de olka typerna av skador separat, för att få en bättre anpassad fördelnngsfunkton. Tll att börja med koncentrerar v oss på stöldskador på personbl. För att en parametrsk anpassnng tll anmälnngstden ska vara menngsfull krävs stabla utvecklngsmönster över åren. Därför måste v undersöka hur anmälnngsstrukturen för stöldskador på personbl ser ut år för år. Om de skljer sg nämnvärt faller hela dén om ett tdsberoende. Fgur. vsar anmälnngsmönstret för vart och ett av skadeåren för de första tjugo dagarna. andel anmälda per dag år för år Fgur.: andel anmälda per dag för åren , de fyra undre lnjerna representerar och den övre gruppen vsar anmälnngsmönstret för åren V ser en ntressant struktur: de fyra lnjerna som motsvarar åren lgger samlade, medan åren har grupperat sg. Under de tdga åren verkar det som om färre skador 7

10 anmäldes under de första dagarna jämfört med de senare årtalen. Det märklga är att förändrngen nte sker successvt med tden. Skllnaden mellan de två grupperna är tydlg. Fnns det då någon förklarng tll detta fenomen? Jo, under 997 förändrades både arbetssätt och hanterngen av skador på Trygg-Hansa. Idag regstreras allt drekt telefon och det fnns en strävan om att alla skador som anmäls ska regstreras samma dag som de kommer n. Innan 997 blev många av skadorna lggande några dagar nnan de regstrerades. Detta betyder att fgur. ger oss en falsk bld. Trots att grafen vsar att eempelvs drygt 0 % av skadorna år 994 anmäldes samma dag, kanske det korrekta värdet är 5%. V kan ana en fara med att basera en metod på ett emprskt mönster som den mänsklga faktorn är med och påverkar. Verklgheten följer kanske ett stablt mönster, där arbetssättet nte alls behöver göra det! För vårt anpassnngsförfarande nnebär detta att v endast kan utgå från skador från åren 997 och framåt, för att undvka en felaktg anpassnng. Skador med skadetllfälle efter tas bort ur datamängden, eftersom v vll arbeta med ett materal som dag är det närmaste färdgavvecklat. Två skador, vlkas anmälnngstd har passerat preskrptonstden tre år för stöldskador på personbl, ekluderar v från beräknngarna. Av de återstående skadorna fnns fortfarande 45 stycken öppna efter stycken av dessa har reserv 0, och de antas som slutreglerade. 64 skador återstår som alltjämt lgger öppna. Det faktum att de lgger öppna är dock nget problem för anpassnngen av anmälnngstden för IBNR, så första delen lämnas de oredgerade och kvarstår analysen. Kostnaden för dessa antar v sammanfalla med skadereglerarnas bedömnng av den slutlga kostnaden. Det vanlgaste är att en stöldskada anmäls samma dag som skadan nträffat. 5,6 % av skadorna anmäls samma dag. Efter en månad är 95,3 % av skadorna nrapporterade. Medelvärdet för td tll anmälan är nu 7,6 dagar (jämför med tabell. samtdgt som standardavvkelsen är 8,3 dagar. Observera att och med borttagandet av skador nträffade tdgare än 997 ur analysen, har medelvärdet för td tll anmälan sjunkt med hela 3,5 dagar, vlket motsvarar drygt 30 %. Anmälnngstd procent dagar Fgur.: andel skador som anmäls på 0,,,30 dagar för skador nträffade under peroden

11 . Fördelnngsanpassnng av anmälnngstden V ska anpassa en parametrsk fördelnng tll den emprska fördelnngen för tden från skadetllfälle tll anmälan. Låt T vara denna anmälnngstd. En parametrsk anpassnng är mer lätthanterlg än den emprska fördelnngen när man vll göra förändrngar modellen, tll eempel för att förutsäga något om framtden. Den emprska fördelnngen kan vara besvärlg vd omfattande beräknngar och ger dessutom sannolkhetsmassan noll ntervall där det nte nträffat några observatoner. En fördel med den emprska fördelnngen är dock att den är fr från antaganden. Därutöver kan självklart nte alla ojämnheter den emprska fördelnngen fångas upp av en parametrsk. Men lätthanterlgheten kombnaton med att en parametrsk fördelnng ger oss utjämnng, gör att denna ändå är att föredra. Som tdgare nämnts nrapporteras detta fall en stor andel av skadorna redan samma dag. På grund av den stora skllnaden mellan sannolkheterna för dag 0 jämfört med dag, dag osv kan då en bra anpassnng bl svår att htta om dessa skador bbehålls datamateralet under anpassnngsförfarandet. Därför skattar v sannolkheten P(T0 med den emprska snttsannolkheten för detta utfall över åren , nämlgen 0,56. Denna emprska sannolkhet för andel anmälda dag 0 är stabl över åren, se fgur.3. Övergångsåret 997 avvker en anng, men nte så att det stör analysen. andel anmälda dag år för år sntt 97-0 Fgur.3: andel anmälda samma dag som skadan nträffat för vart och ett av åren jämfört med andel anmälda dag 0 under hela peroden (observera skalan på y-aeln. Tll resterande materal anpassar v F T (tp(t t t>0 genom att testa tre olka fördelnngar, nämlgen gammafördelnngen, lognormalfördelnngen och Paretofördelnngen. Parametrarna skattas dels med momentmetoden, dels med ML-metoden. I momentmetoden bestämmer man parametrarna så att de första momenten den emprska fördelnngen respektve den parametrska fördelnngen överensstämmer med varandra. I ML-metoden får v våra parameterskattnngar genom att mamera lkelhoodfunktonerna. (fördelnngar och skattnngar fnns append, för härlednngar hänvsas tll Johansson (997. 9

12 Tabell. : parameterskattnngarna för de tre olka parametrska fördelnngarna med de två olka skattnngsmetoderna FÖRDELNING METOD PARAMETERSKATTNINGAR gamma Moment 0,0985 β 03,35 ML 0,976 β 34,993 lognormal Moment µ,44 σ,37 ML µ,779 σ,5354 Pareto Moment,409 γ,86 ML 6,49 γ,593 En jämförelse av värdena för de olka fördelnngsfunktonerna med den emprska fördelnngsfunktonen (utan skador med T 0 samt plottar över dessa ger båda en ndkaton på att Paretofördelnngen med ML-skattade parametrar passar bäst. I beräknngarna hädanefter väljer v därför den som vår anpassade fördelnngsfunkton. Tabell.3 : en jämförelse av den emprska fördelnngsfunktonens värden med de olka anpassade fördelnngarnas värden för skador anmälda på,,,5 dagar DAGAR EMPIR GAM MM GAM ML LOGN MM LOGN ML PAR MM PAR ML 0,307 0,665 0,387 0,36 0,03 0,58 0,4 0,476 0,7 0,47 0,48 0,35 0,8 0, ,579 0,739 0,59 0,497 0,454 0,38 0,47 4 0,635 0,760 0,573 0,547 0,58 0,46 0,55 5 0,67 0,776 0,608 0,584 0,585 0,58 0,64 6 0,704 0,790 0,638 0,64 0,63 0,583 0, ,73 0,80 0,664 0,640 0,668 0,69 0, ,754 0,8 0,686 0,66 0,699 0,669 0, ,775 0,80 0,707 0,679 0,75 0,70 0, ,794 0,88 0,75 0,695 0,748 0,73 0,786 0,8 0,835 0,74 0,709 0,767 0,756 0,806 0,86 0,84 0,756 0,7 0,784 0,777 0,83 3 0,840 0,847 0,770 0,733 0,799 0,796 0, ,85 0,853 0,78 0,744 0,8 0,83 0, ,86 0,858 0,794 0,753 0,84 0,88 0,86 6 0,870 0,86 0,804 0,76 0,835 0,84 0,87 7 0,878 0,867 0,84 0,770 0,844 0,853 0, ,886 0,87 0,84 0,777 0,853 0,863 0, ,893 0,875 0,83 0,784 0,86 0,873 0, ,899 0,879 0,84 0,79 0,868 0,88 0,90 0,904 0,88 0,848 0,797 0,875 0,889 0,907 0,908 0,886 0,855 0,80 0,88 0,896 0,9 3 0,93 0,889 0,86 0,807 0,887 0,90 0,97 4 0,97 0,89 0,868 0,8 0,89 0,908 0,9 5 0,9 0,895 0,874 0,87 0,897 0,94 0,95 0

13 emprska gamma MM gamma ML Fgur.4: den emprska fördelnngsfunktonen för td tll anmälan jämfört med den anpassade gammafördelnngen emprska lognormal MM lognormal ML Fgur.5: den emprska fördelnngsfunktonen för td tll anmälan jämfört med den anpassade lognormalfördelnngen, 0,8 0,6 0,4 0, emprska Pareto MM Pareto ML Fgur.6: den emprska fördelnngsfunktonen för td tll anmälan jämfört med den anpassade Paretofördelnngen

14 .3 Skattnng av antal efteranmälda skador På kommande sdor ska v angrpa det vktga problemet att beräkna det förväntade antalet skador som dag har nträffat, men som ännu nte rapporterats, IBNR. V tänker oss att v dag vll kalkylera hur mycket medel som måste avsättas för stöldskador nträffade på personbl någon gång under den bakomlggande treårsperoden. (Perodlängden tre år (095 dagar är vald eftersom preskrptonstden för stöldskador är tre år, men man skulle prncp kunna välja hur lång eller kort perod som helst. Bland alla de skador jag tttat på fnns det dessutom bara två skador som nte anmälts på tre år. Varje dag under denna treårsperod har det nträffat ett vsst antal skador. Några av dem har fram tll dag hunnt nrapporteras. Dessa är kända. En del kan dock fortfarande komma att anmälas någon gång framtden. Dessa måste v skatta..3. Dagsmetoden För överskådlghetens skull ställer v upp problemet enlgt tabell.4 nedan. Observera att dagarna tll skllnad från den sedvanlga trangeluppställnngen motsvarar kalenderdagar, nte utvecklngsdagar. Så om v väljer dag som 3 dec 00 svarar dag 0 mot jan 999. V är då ntresserade av de skador som har nträffat under peroden 0jan99-3dec0, men som dag, den 3 dec 00, ännu nte anmälts. Tabell.4 Idag Dag N 0 N 0,095 N N,t N 095 N 095,0 Låt N det totala antalet skador som nträffat dag. Idag känner v N 0,095,, N,t,, N 095,0, där N,t antal skador som nträffat dag och som har rapporterats på 0 dagar 095- Specellt är: N 0,095 antal skador som nträffat dag 0 och som har rapporterats på 0 dagar 095 N 095,0 antal skador som nträffat dag 095 och som har rapporterats på 0 dagar, dvs samma dag som skadan nträffat

15 Det v söker är N N,t N t, dvs antal skador som nträffat dag, men som fortfarande kan komma att anmälas någon gång från morgon och dagar framåt. Låt I och I vara två ndkatorvarabler: I I { j} { } j om skada jär rapporterad 0 < dagar med sh (- p FT ( t 0 annars om skada jär rapporterad på t 0 dagar med sh p P(T 0 0 annars där den anpassade fördelnngsfunktonen F T (tp(t t T>0 är sannolkheten att en skada anmäls på t dagar, gvet att den nte anmälts samma dag. V kan då skrva N,t som: N N N N, t I j j j j { j } + I { j} ( I{ } + I { j} Tar v väntevärdet på båda sdor får v: N E( N, t E I{ } I { j} + E N E j E( N ( F ( t( p + p ( ( ( I { j} + I { j} j T Detta leder oss tll en skattnng av N DM (där DM står för DagsMetoden: N t ( F ( t( p + p +t095 (. DM, ˆ T N Observera här att N,t är känd samt att p skattas med den emprska sannolkheten för att T0, medan F T (t skattas enlgt avsntt.. Det skattade totala antalet efteranmälda skador för peroden fråga blr alltså: 095 ( ˆ N t 095 t, Nˆ t N (. När v applcerar (. på några olka testperoder får v nedanstående skattnngar jämfört med vad det faktska antalet efteranmälda skador blev. I tabellen vsas också det totala antalet 3

16 skador, både det verklga och det skattade, för att ge en känsla för hur stor del av alla skadorna som egentlgen efteranmäls. Idag känt N nnebär eempelvs för 0jan98-3dec00 de skador som nträffat under just nämnda perod och som också hunnt anmälas fram tll dag, den 3 dec 000. I beräknngarna har Paretofördelnngen med ML-skattade parametrar använts som den anpassade F T (t. Tabell.5 INTRÄFFANDE- PERIOD TOTALT N SKATTAT N IDAG KÄNT N EFTER- ANMÄLDA SKATTADE EFTER- ANMÄLDA DIFFERENS 0jan95-3dec jan96-3dec jan97-3dec jan98-3dec jan99-3dec jan00-3dec V får ett som synes ojämnt resultat. Observera dock att resultaten för de två första peroderna bör tolkas med försktghet. V upptäckte ju tdgare att anmälnngsstrukturen för skador nträffade före och efter 997 jämförelse ser annorlunda ut. Därför beror kanske dfferenserna delvs på att vår anpassade fördelnngsfunkton nte lämpar sg tll dessa tdga år. I tabellen kan v utläsa att för perod 0jan97-3dec99 blr skattnngen nära det rktga resultatet, men tll eempel för peroden 0jan99-3dec0 fås en markant underskattnng. Vd närmare gransknng framgår det att dagsskattnngarna blr väldgt skakga på slutet av testperoden. Med andra ord har v en mycket stor varans då t är ltet. Beror det på att den anpassade parametrska fördelnngen är lla vald även tll åren efter 997? Om v påmnner oss sambandet mellan det totala antalet skador och de som v dag har vetskap om så nser v att det nte är den främsta anlednngen. V förstår att det är antalet N,t, dvs de dag kända skadorna, som nverkar mest på skattnngen. Ponera att det för två dagar sedan nträffade seto skador och att ngen av dessa dag hunnt anmälas. Sannolkheten för denna händelse är stor, trots att de flesta skador anmäls samma dag, så detta antagande känns rmlgt. Enlgt (. blr då det förväntade totala antalet skador och därmed också det skattade antalet efteranmälda skador noll. Denna skattnng skulle erhållts oavsett vlken fördelnng v använt oss av. Man förväntar sg alltså ngen skada överhuvudtaget och mssar med andra ord alla de seto skadorna. Skulle å andra sdan, säg 7 skador, ha hunnt nrapporteras dag, blr skattnngen av de efteranmälda skadorna det närmaste dentsk med den verklga summan. Denna stora slumpmässga varaton skattnngarna av antal efteranmälda skador känns nte helt tllfredsställande. Hur ska v då angrpa problemet för att få mer tllförltlga skattnngar?.3. Skadefrekvensmetoden Hur stora bestånden är vd olka tdpunkter, dvs hur stort det totala antalet försäkrngar är ( det här fallet delkaskoförsäkrngar, har v kännedom om. Antalet skador som förväntas 4

17 nträffa kan v uppskatta va skadefrekvensen. Ju fler skador som nträffar, desto fler skador borde rmlgtvs också efteranmälas. Så, om v konstruerar en modell för skadefrekvensen för stöldskador kan v va (.3 nedan skatta antalet förväntade skador per dag (där SM står för SkadefrekvensMetoden: ˆ skadefrekvens bestånd ( N SM Analysen av skadefrekvensen gör v med generalserade lnjära modeller, GLM. GLM är en generalserng av den allmänna lnjära modellen. Utfrån de modellantaganden som förelgger nom skadeförsäkrng (se append är antalet nträffade skador Possonfördelat. Skadefrekvensen får då en relatv Possonfördelnng. Med hjälp av programpaketet Emblem ansätter v en multplkatv modell tll skadefrekvensen och erhåller också våra parameterskattnngar. Den multplkatva modellen nnebär att logartmen av väntevärdet är lnjär ett antal förklarande varabler. Förklarande varabler kan det här fallet eempelvs vara blmärke och blens ålder. Om v bara har en trovärdg modell för skadefrekvensen får v genom sambandet (.3 dagsskattnngar som nte påverkas av de dag kända skadorna. Skattnngarna kommer att vara lka stabla alternatvt cke-stabla oavsett om det gäller antal skador nträffade dag eller dag 000 testperoden. Vktgt är dock att nte bortse från det v dag redan vet. V önskar en sammanvägnng av de två ovan beskrvna skattnngsmetoderna. V väljer att använda samma angreppssätt som Bornhuetter-Ferguson gör när de väger samman Chan Ladder med känd skadekostnad. Låt oss därför skrva om vårt N, det totala antalet skador nträffade dag, som: N, t N t N N t N t + N { N, +,, 443 httlls anmälda- känt antal efteranmälda - okänt N N, t Vkten skattas med ( F ( t( p + p w N Detta ger oss vårt önskade resultat: T ( w enlgt (. DM SM Nˆ Nˆ w + Nˆ (.4 Det v söker är som bekant antal efteranmälda skador, N t : N ˆ N, t Nˆ SM SM ( w Nˆ ( ( F ( t( p + p T Nˆ SM skadefrekvens 365 ( p ( F ( t bestånd ( p ( F ( t (.5 T T 5

18 V antar denna stude att bestånden är konstanta halvårsvs och gör även samma antagande om skadefrekvensen. Dessa antaganden grundar v på det faktum att bestånden nte förändras sg så pass mycket från den ena dagen tll den andra att det kommer ha avgörande betydelse för våra skattnngar. Den sammanvägda skadefrekvensmetoden (.5 ger oss nu de skattnngar av antal efteranmälda skador som vsas tabell.6. I tabellen ser v också det skattade antalet efteranmälda skador v skulle erhålla om v va skadefrekvensen skulle gssa eakt rätt antal skador per dag. Tabell.6 INTRÄFFANDE PERIOD EFTER- ANMÄLDA SKATTADE EFTER- ANMÄLDA DIFFERENS SKATTADE EFTER- ANMÄLDA EXAKT DIFFERENS 0jan95-3dec jan96-3dec jan97-3dec jan98-3dec jan99-3dec jan00-3dec Det är ntressant att jämföra vårt skattade antal med de värden v skulle ha fått vd korrekt antal skador per dag, eftersom v på så sätt kan upptäcka var den främsta osäkerheten våra skattnngar lgger. V noterar att antalet efteranmälda skador beräknas bl konsekvent lägre vd rätt antal skador per dag än vd estmerat antal dagsskador. Endast ett av fallen (perod 0jan97-3dec99 nnebär detta ett resultat närmare verklgheten. Med andra ord skulle en perfekt, dagsvs uppdaterad skadefrekvens nte ge oss bättre skattnngar just de här testperoderna. Intutvt borde dock motsatsen vara fallet. Tyvärr har v med så få data svårt att bedöma precsonen av vår modell, något som en smulerng skulle kunnat hjälpa oss med..3.3 Chan Ladder Då Chan Ladder-metoden denna uppsats endast ska användas att jämföra med, hänvsar v eempelvs tll Ohlsson & Johansson (003 eller Dahl (003 för detaljbeskrvnng. V påmnner oss här bara att Chan Ladder baseras uteslutande på tdgare erfarenheter. Metoden utgår från aggregerade data form av en trangel. Va utvecklngsfaktorer som bygger på denna hstorska trangel predkterar man sedan det slutlga antalet rapporterade skador. Nedan redovsas Chan Ladder-skattnngarna av antal efteranmälda skador denna stude. Tabell.7 INTRÄFFANDE- EFTER- SKATTADE DIFFERENS PERIOD ANMÄLDA EFTERANMÄLDA 0jan95-3dec jan96-3dec jan97-3dec jan98-3dec jan99-3dec jan00-3dec

19 Precs som för dagsmetoden och skadefrekvensmetoden ger Chan Ladder-metoden mycket varerande resultat. Överlag får v dock fler överskattnngar med Chan Ladder. En tänkbar förklarng tll de ojämna skattnngarna är att v vd beräknngarna utgår från år, nte månader. Eftersom majorteten av stöldskadorna på personbl anmäls nom bara några dagar får v endast fyra skade- och utvecklngsår att jobba med. Utvecklngsfaktorerna blr då osäkra och fångar nte upp verklgheten på ett tllförltlgt sätt..3.4 Jämförelse av metoderna Låt oss jämföra våra skattnngar med de som Chan-Ladder-metoden ger. Fgur.7 vsar de tre metodernas skattnngar jämfört med det verklga resultatet. antal efteranmälda skador verklgt CL dagsmet skadefrekmet Fgur.7: skattat antal efteranmälda skador jämfört med det egentlga antalet V ser att den sammanvägda skadefrekvensmetoden är den metod som ger bäst resultat fyra av de se fallen..4 Skattnng av kostnaden för de efteranmälda skadorna V har nu det förväntade antalet efteranmälda skador. Men för att kunna bestämma IBNRreserven behöver v naturlgtvs veta vad dessa skador kommer att kosta. V ställs dessvärre nför två problem vd beräknandet av kostnaden. Det första problemet uppkommer och med att då skadorna nte har anmälts ännu, har v ngen nformaton alls om deras egenskaper och premeargument. V vet nte om det rör sg om en stulen bl eller en stöld ur en bl, v vet nte vlket blmärke blen fråga har och v vet nte hur gammal ägaren tll blen är. Det enda v med säkerhet kan uttala oss om är att skadan kommer att anmälas vd någon godtycklg tdpunkt efter dag, vlket leder oss n på det andra problemet. Då v nte vet eakt när tden nrapporterng av skadan sker kan v bara vara säkra på att de skador som nträffade för eempelvs fem dagar sedan och som nte anmälts dag, kommer att anmälas på 6 dagar. Detta gör att v nte kan ansätta någon GLM med anmälnngstden som förklarande varabel. 7

20 Ett förslag som kan användas för att komma tllrätta med denna problematk är att ur vårt materal av kända stöldskador ta fram en medelskada, M t, för skador anmälda på t dagar, t:-095, och se om v kan skönja en regelbunden struktur. Om så är fallet skulle en utjämnande kurvanpassnng vara en tänkbar ansats. sammanlagd skadekostnad för de skador med anmälnngstd t dagar M t (.6 totalt antal skador med anmälnngstd t dagar kumulerad medelskada Fgur.8:medelskadan M t (observera att M t nnebär medelskadan för skador anmälda på t dagar Som synes fgur.8 har v en tydlg avtagande trend för denna kumulerade medelskada. De skakga observatonerna på slutet kan v bortse från eftersom v endast har enstaka skador där. Det stora hoppet vd 04 dagar är orsakat av en enskld skada med en slutlg skadekostnad på kr. Självklart är även här stabla utvecklngsmönster nödvändga för att en eventuell kurvanpassnng ska vara möjlg. Låt oss därför undersöka M t för vart och ett av åren och jämföra med M t beräknad utfrån alla åren Tabell.8: medelskadan för skador anmälda på t dagar (observera den abnorma sffran för M 00 för 00, som beror på en enskld skadekostnad på kr för en skada med anmälnngstd 04 dagar Alla M M M M M M Det verkar som om kostnaderna för skador från de tdga åren överlag är högre än de senare. V drar oss tll mnnes den förändrng hanterng av nrapporterade skador som skedde 997 och som påverkade det mätbara anmälnngsmönstret. V nser att denna utvecklng av arbetssättet borde nfluera medelskadan lkväl som rapporterngsstrukturen. Därför baserar v stället skadekostnadsberäknngarna på skador med skadetllfälle från

21 Tabell.9: medelskadan för skador med anmälnngstd t dagar, beräknad utfrån åren Medelskadan för skador anmälda på dag, M Medelskadan för skador anmälda på dagar, M Medelskadan för skador anmälda på 3 dagar, M 3 Medelskadan för skador anmälda på 0 dagar, M 0 Medelskadan för skador anmälda på 00 dagar, M 00 Medelskadan för skador anmälda på 500 dagar, M kr 6599 kr 606 kr 5069 kr 4406 kr 087 kr V får ett lknande avtagande mönster för medelskadan vd 97-0-beräknngen som vd beräknngen..4. Utjämnande kurvanpassnng Precs som vd alla former av statstskt modellbygge önskar v htta en förhållandevs enkel anpassnng som samtdgt passar väl tll data. Därgenom får v en lättarbetad metod som förhoppnngsvs ger bra utjämnng av slumpmässga effekter. I vårt fall är det vktgast att v har en god anpassnng början, eftersom det är där flest antal skador nträffar. Låt oss förstora kurvan och granska mönstret under de första två månaderna Fgur.9: den kumulerade medelskadan för dag -60 medelskadan -60 dagar De första sju dagarna ser ut att följa ett specfkt mönster, medan v för resterande observatoner trolgtvs skulle tjäna på att logartmera msk -7 dagar 9

22 logartmerade observatoner Fgur.: logartmerad medelskada V beslutar oss för att använda de emprska värdena för kostnaden för de första sju dagarna. M( står för medelskadan för skador med eller fler dagar från skadetllfälle tll anmälan. M( M( M(3 M(4 M(5 M(6 M( kr kr kr kr kr kr 59.6 kr Efter att ha testat några olka tänkbara varanter väljer v för 8 eller fler dagar nedanstående loglnjära modell: { 0, ,58} { 0, ,406} ep för 8 60 M ( (.7 ep för medelskadan jämfört med anpassnngen Fgur.: den emprska kumulerade medelskadan jämfört med den utjämnande anpassnngen M(. Observera skalan på -aeln! 0

23 .5 IBNR-reserven För att beräkna reserven utnyttjar v nu de skattnngar v har av antal efteranmälda skador per dag tllsammans med den förväntade kostnaden för dessa. Förfarngssättet blr som följer: Tabell.0 t ANTAL SKADOR MED ANMTID t KOSTNAD FÖR SKADOR MED ANMTID t FÖRVÄNTAD TOTALKOSTNAD N M( N * M( N M( N * M( N 095 M(095 N 095 * M(095 RESERV 095 t N M ( t (.8 t Låt oss nu enlgt (.8 beräkna den totala förväntade kostnaden för de efteranmälda skadorna, för de olka peroderna. V använder skadefrekvensmetodens skattnngar av antalet skador. Eftersom v hela tden arbetar med ett slutreglerat materal kan v ju också kalkylera och jämföra med vad den faktska kostnaden blev. Tabell. INTRÄFFANDEPERIOD VERKLIG KOSTNAD UPPSKATTAD KOSTNAD DIFFERENS 0jan95-3dec kr kr -7,0 % 0jan96-3dec kr kr +,0 % 0jan97-3dec kr 4 40 kr +6,4 % 0jan98-3dec kr kr -4,0 % 0jan99-3dec kr 777 kr -3,6 % 0jan00-3dec kr kr -8,3 % Den uppskattade kostnaden blr som synes tabell. procentuell dfferens nstabl. Beror fluktuatonen.4. då på kostnadsanpassnngen eller skattnngen av antal 0.8 skador? Om v granskar den 0.6 procentuella dfferensen mellan verklg och uppskattad kostnad och jämför den med samma dfferens för nträffat vs skattat antal skador ser v antal totkostn att de följs åt. (se fgur höger Detta ndkerar betryggande nog att kurvanpassnngen M( passar väl tll var och en av de olka årgångarna. Det tyder också på att skattnngarna av antalet skador spelar den centrala rollen för reservbestämnngen. Eempelvs för peroden 96-98, då v överskattade antal efteranmälda skador med endast 3,%, tror v också att den slutlga kostnaden bara blr margnellt större än den verklga.

24 V gssar alltså att den förväntade kostnaden kommer att stämma väl överens med den verklga om v vsste det korrekta antalet efteranmälda skador. I tabell. bekräftas våra anngar. V ser återgen att denna metod med vår anpassnng M( är antalet skador avgörande för bestämmandet av reserven. Tabell.: den verklga kostnaden för de efteranmälda skadorna jämfört med den estmerade kostnad v skulle fått om antalet skador var känt INTRÄFFANDEPERIOD VERKLIG KOSTNAD VERKLIGT ANTAL SKADOR*M(X DIFFERENS 0jan95-3dec kr kr 8,0 % 0jan96-3dec kr kr 3, % 0jan97-3dec kr kr +,5 % 0jan98-3dec kr kr 4,6 % 0jan99-3dec kr kr 6,5 % 0jan00-3dec kr kr 9,7 %

25 3 RESULTAT OCH SLUTSATSER Syftet med denna stude var att utvärdera en ndvduell metodk för skattnngen av ett försäkrngsbolags reserv. Huvudfokus har legat på de skador som dag ännu nte nrapporterats, IBNR. Det v genomgående baserat våra beräknngar på är tden från skadetllfälle tll anmälan. I och med detta har v stött på ett återkommande problem som genomsyrat hela analysen. Vd vlken tdpunkt v än väljer att stanna och uppdatera reserven, vet v bara att det kommer efteranmälas skador, nte när. Tdgt analysen nsåg v att det kan nnebära en rsk att låta ett emprskt mönster, som delvs styrs av omständgheter krng arbetssätt och dylkt, lgga tll grund för en metod. Förändrngar anmälnngsmönstret kan ju då tll vss grad vara orsakade av den mänsklga faktorn och nte av förändrngar den underlggande samhällsstrukturen. Detta måste hållas väl mnnet vd användandet av denna metod! Chan Ladder bygger vsserlgen också på ett utvecklngsmönster, men som det här fallet då ändrngar skadereglerngsrutnerna främst påverkade fördelnngen för de första dagarna, kommer nte det att ge utslag om Chan Ladder tllämpas på eempelvs månader. Att arbetssättet krng hanterng av nrapporterade skador förändrades markant under 997 gjorde att v var tvungna att begränsa vår datamängd drastskt. Detta nnebär tyvärr osäkrare skattnngar och färre jämförelseperoder. Vd anpassandet av antal efteranmälda skador, fann v att Paretofördelnngen med MLskattade parametrar passade bäst. Men den emprska fördelnngsfunktonen, tllhörande det specfka valet av skadetyp (stöldskador på personbl v avgränsat oss tll detta arbete, har ett mycket specellt utseende. Som v såg avsntt. anmäls hela 5,6% av skadorna samma dag som de nträffat och efter endast en vecka har 95,3% av skadorna nrapporterats. Denna struktur kan vara svår att fånga upp med en parametrsk fördelnng. Vsserlgen har v bara testat tre olka fördelnngar, men kanske hade det vart lättare att htta en bra anpassnng om v analyserat en skadefördelnng med mer jämn sprdnng mellan antalet anmälnngsdagar. V gör trots allt bedömnngen att Paretofördelnngen stämmer relatvt väl överens med den emprska fördelnngsfunktonen. Slutsatserna beträffande dagsmetoden blr att den nte är tllförltlg. V upptäckte avsntt.3. att de dag kända skadorna nverkar mest på skattnngen av de efteranmälda skadorna. En så skakg metod med denna stora slumpmässghet känns nte betryggande. Skadefrekvensmetoden gav oss bättre skattnngar än både dagsmetoden och Chan Ladder. Två omständgheter gör dock att v har svårt att uttala oss om precsonen denna modell: ( ( v utgår från skador nträffade under en bakomlggande treårsperod vår anpassade Paretofördelnng passar bara tll data från 997 och framåt Dessa två kombnaton gör att v egentlgen bara har fyra testperoder där v kan jämföra skattnng med utfall. V skulle behöva smulera fram data för att kunna dra några säkra slutsatser. Avseende kostnaden för IBNR-skadorna fck v åter möta problemet med att v bara vet att, nte när, en skada anmäls. Detta ledde tll att alla medelskadorna M t, för skador anmälda på t dagar, blev beroende av varandra och v kunde nte ansätta någon generalserad lnjär modell. 3

26 En utjämnande kurvanpassnng blev vårt förslag på lösnng, se avsntt.4.. Den appromaton v valde vsade sg ge tllfredsställande resultat rörande totalkostnaden, under förutsättnng att skattnngen av antalet skador var god. Följden av den begränsade datamängd v har blr att slutsatserna beträffande den ndvduella metodken blr vaga. Utfrån de synlga resultat v har kan v ändå säga att metoden, med vssa förbehåll, verkar kunna fungera som ett komplement tll dagens metoder. Som v såg avsntt.5 förefaller antalet skador vara av betydande vkt för reservpredktonen, men denna stude har ngen nöjaktg modell för dessa fastställts. Om så vore fallet skulle metoden dock kunna användas för att beräkna den förväntade totalkostnaden för de dag nträffade, men ej rapporterade skadorna. Fördelen med detta angreppssätt är att v lätt kan utnyttja metoden vd godtycklg tdpunkt under året. Tll sst kan några aspekter som nte hänsyn tagts tll nämnas: V har nte undersökt huruvda någon säsongseffekt förelgger. Anmälnngsmönstret kanske ser olka ut under året, vlket skulle nnebära att separata fördelnngsanpassnngar skulle vara nödvändga. V har begränsat oss tll endast en specell typ av skada. V kan dessvärre nte uttala oss alls om denna metodk fungerar bättre eller sämre på andra skadearter. Angående skadekostnaden har nflatonen nte tagts beaktande. 4

27 4 KÄLLFÖRTECKNING Dahl, P. (003: Introducton to reservng, Corrected ed. Handout. Gut, A. (995: An ntermedate course n probablty. Sprnger-Verlag New York, Inc. Hogg, R. V. & Klugman, S. A. (984: Loss dstrbutons. John Wley & Sons, Inc. Johansson, B. (997: Matematska modeller nom sakförsäkrng. Kompendum. Matematsk statstk, Stockholms unverstet. Ohlsson, E.& Johansson, B. (003: Prssättnng nom sakförsäkrng med Generalserade lnjära modeller. Kompendum. Matematsk statstk, Stockholms unverstet. Restad, A. (999: Fördelnngsanpassnng av anmälnngstden vd skadeförsäkrng. Forsknngsrapport. Matematsk statstk, Stockholms unverstet. Ross, S. M. (000: Introducton to Probablty Models. Seventh edton. Academc Press, USA. Tamhane, A. & Dunlop, D. (000: Statstcs and data analyss from elementary to ntermedate. Prentce Hall, Inc., Upper Saddle Rver, USA. Taylor, G. (000: Loss Reservng: An Actuaral Perspectve. Kluwer Academc Publshers, USA. 5

28 6 5 APPENDIX 5. Gammafördelnngen Täthetsfunkton: 0, ( ( Γ e f β β Fördelnngsfunkton: 0, ( ( 0 Γ dv e v F β β Väntevärde: β (X E Varans: ( β a X Var Momentskattnng: s s ˆ ˆ β ML-skattnng: β ˆ 0 log( ( ( log( log( : n ur numerskt löses n k k + Γ Γ Här har sekantmetoden, se Johansson (997, använts för att lösa ovanstående ekvaton numerskt. 5. Lognormalfördelnngen Täthetsfunkton: ( 0, ( / log > e f σ µ πσ Fördelnngsfunkton: 0, log ( > Φ F σ µ Väntevärde: ( σ µ + e X E Varans: ( ( σ σ µ e e e X Var

29 7 Momentskattnng: log( log( ˆ log( log( ˆ s s + + σ µ ML-skattnng: n k k n k k n n ˆ (log( ˆ log( ˆ µ σ µ 5.3 Paretofördelnngen Täthetsfunkton: ( 0, ( > + + f γ γ γ Fördelnngsfunkton: 0, ( > + F γ Väntevärde:, ( > γ γ X E Varans: ( (, ( > γ γ γ γ X Var Momentskattnng: ˆ ˆ s s s s + γ ML-skattnng: ˆ ( ˆ ( ˆ 0 ( ( : log : ( : ( γ a a b a ur numerskt löses då n b och n a sätt n k n k k k Här har sekantmetoden, se Johansson (997, använts för att lösa ovanstående ekvaton numerskt.

30 5.4 Grundläggande modellantaganden. Utfallen för olka försäkrngsavtal är oberoende av varandra.. Utfallen dsjunkta tdsntervall är oberoende av varandra. 3. Inom en tarffcell har två försäkrngsavtal med samma eponerng samma fördelnng för utfallen. 8