EXPERIMENTELLA METODER LABORATION 2 UPPTÄCK ETT SAMBAND BALKEN

Transkript

1 FYSIKUM Fysikum 21 mars 2005 Stockholms universitet EXPERIMENTELLA METODER LABORATION 2 UPPTÄCK ETT SAMBAND BALKEN FYSIKLINJEN ÅK1 Vårterminen 2005 Mål I den här laborationen skall du börja med att ställa upp en hypotes för hur nedböjningen hos en balk beror på olika storheter som längd, balkens tvärsnittsarea och den böjande kraften. Laborationen går ut på att experimentellt pröva den uppställda hypotesen, dvs om den antagna formeln inom den experimentella noggrannheten beskriver nedböjningen hos balkar. Om hypotesen är korrekt kan två av de fem obekanta konstanterna i formeln för nedböjningen entydigt bestämmas genom dimensionsanalys. Du skall tillsammans med din medlaborant göra en skriftlig rapport samt ge en utförlig muntlig redovisning om minuter för en L-grupp och en lärare.

2 2 LABORATION 2: Upptäck ett samband balken 1 Inledning Varje fast kropp som utsätts för en kraft deformeras i någon mån. Om deformationen är liten, återgår kroppen till sin ursprungliga form när belastningen upphör. Vi säger att kroppen är elastisk. Ett välbekant fenomen är förlängningen av ett gummiband då det utsätts för en dragande kraft. Vid en noggrannare analys av en kropps deformation inför man en materialkonstant, den s.k. elasticitetsmodulen (E), som är ett mått på deformationen som funktion av den sträckande kraften per ytenhet. Vi kan komma fram till en mer exakt definition av E genom följande resonemang. Ett material i form av en stav med vilolängden L 0 och tvärsnittsarean A är inspänd i ena änden och påverkas i den andra av en dragande kraft F som ger upphov till en förlängning L av staven. Hur beror förlängningen av de inverkande storheterna? Ju större F desto större L, alltså L F. Ju större area A, desto starkare blir staven och desto mindre L, Således L 1/A och ju större vilolängden är, desto större blir L, vilket ger L L 0. Detta gör tillsammans att L F L 0 A eller L L 0 F A Vi har här antagit att exponenten på alla ingående storheter är 1. I uttrycket saknas nu något som talar om hur styvt materialet är. Denna materialegenskap är i detta fall elasticitetsmodulen E och den är sådan, att dess värde är stort för ett styvt material, dvs för liten färlängning. Vi finner alltså resonemangsmässigt att elasticitetsmodulen (även kallad Young s modulus 1 ): E = F A / L L med enheten N/m 2 Detta samband kallas Hookes lag 2. I resonemanget ovan införs elasticitetsmodulen för att beskriva hur ett material töjs när det utsätts för en sträckande kraft. Erfarenheten visar att elasticitetsmodulen också är viktig för att beskriva material som deformeras på andra sätt. Vi ansätter därför att hur mycket en belastad balk böjs ned också kommer att bero av elasticitetsmodulen. 1 Uppkallad efter Thomas Young ( ), ett engelskt universalgeni, som bl.a. studerade elastiska egenskaper hos fasta kroppar. 2 Efter Robert Hooke ( ), professor, Gresham College, London.

3 LABORATION 2: Upptäck ett samband balken 3 2 Hypotes Betrakta en balk upplagd på två stöd (se figuren i nästa avsnitt). Vi är intresserade av ett uttryck som ger sambandet mellan nedböjningen d och de storheter som inverkar på nedböjningen. Uttrycket skall vara generellt, dvs gälla för rektangulära balkar av godtyckliga dimensioner och material. Närmast till hands är naturligtvis kraften F som orsakar nedböjningen (vi bortser här från balkens egen tyngd). Vidare bör inses att avståndet mellan uppläggningspunkterna L har betydelse och att balkens bredd b och höjd h måste inverka. Slutligen måste ingå något som beskriver materialets styvhet, dvs balkens elastiska egenskaper. Den fysikaliska storhet som skall in i uttrycket är balkens elasticitetsmodul E. Vi antar alltså att följande storheter påverkar nedböjningen: Storhet Beteckning Dimension Elasticitetsmodulen E Pa = N/m 2 = kg/ms 2 Böjande kraft F N = kg m/s 2 Avst. mellan uppl.punkt. A och B L m Tvärsnittets bredd b m Tvärsnittets höjd h m Vi gissar på ett produktsamband och ansätter därför ett uttryck för nedböjningen:. d = K F α L β h γ b δ E ɛ (1) där K antas vara en dimensionslös konstant. Genom att variera en storhet i taget kan vi i princip bestämma exponenterna α till ɛ.

4 4 LABORATION 2: Upptäck ett samband balken 3 Experimentuppställning Till vårt förfogande har vi ett stadigt stativ med två ståndare med fasthållare för ca 150 cm långa bandjärn med rektangulär tvärsnittsarea. Experimentuppställningen framgår av figuren nedan:..... L (0, 50 < L < 1, 25 m) A Mätklocka B L/2 d F = m g Stativ 1400 mm Uppställning för mätning av en balks nedböjning. En metallstav med rektangulär tvärsnittsarea läggs upp på de två stöden, A och B i figuren (staven skall ligga fritt över de två skarpa eggarna för att tillåta glidning när staven böjs ner). En kraft (F = m g) anbringas på mitten av staven med hjälp av en vågskål med tyngder, och nedböjningen d mäts upp. För mätning av nedböjningen används en mätklocka med visare. Graderingen tillåter avläsning på 1/100 mm. Mätnoggrannheten kommer dock att bestämmas av den mekaniska hysteresen som beror på friktionens inverkan på systemet (uppläggningsytor, balk, mätklocka). Osäkerheten σ i varje enskild mätning av nedböjningen är således obestämd. I anpassningarna kan vi dock använda ett uppskattat medelfel i nedböjningen som kan bestämmas med följande metod. Placera en av balkarna (inte den lättaste och inte den tyngsta) på stativet och mät nedböjningen tio gånger i följd för ett lagom värde på L och med en lagom belastning (samma längd och vikt används för alla tio nedböjningar). Nedböjningen skall beräknas som skillnaden mellan mätklockans utslag då balken är obelastad och belastad. Vid varje mättillfälle kan man med fördel knacka lite lätt på balkens sida med en penna för att utlösa eventuell latent hysteres (friktion). Viktigt: titta inte på mätklockan när du knackar på balken, utan bestäm i förväg att du knackar en, två eller tre gånger! Använd sedan samma procedur för alla

5 LABORATION 2: Upptäck ett samband balken 5 mätserier i fortsättningen! 3 Bestäm sedan spridningen (standardavvikelsen) hos dessa nedböjningar och använd detta värde som felet i nedböjningen för alla mätningar i analysen. Följande balkmaterial finns att tillgå (L = 150 cm): Material Bredd x Höjd i mm E järn 16 x 3 (20, 0 ± 0, 5) N/m 2 järn 19 x 3 järn 20 x 4 järn 20 x 5 järn 25 x 5 järn 25 x 6 järn 25 x 8 järn 25 x 10 järn 30 x 5 järn 30 x 6 järn 30 x 8 järn 40 x 5 järn 40 x 6 mässing 30 x 5 okänd aluminium 25 x 5 okänd aluminium 30 x 5 okänd aluminium 30 x 8 okänd plast 26 x 8 okänd plast 40 x 8 okänd Observera att angivna mått är ungefärliga. Mät bredd och höjd med skjutmått (flera gånger på olika ställen) och uppskatta en mätosäkerhet. Behandla balkarna varsamt! Undvik att bocka till dem eller knäcka dem. För att belasta balken finns vikter om ca 50 g och 100 g styck (kontrollväg). Vikterna placeras på en speciell hållare med krok som placeras på balkens ovansida mitt på balken. Den böjande kraften är F = m g, där m är viktens massa och g = (9, 8188 ± 0, 0002) m/s 2. 4 Förslag på mätserier Det finns ett stort antal balkar med olika tvärsnitt (se tabellen ovan). Lägg ner lite arbete på att hitta lämpliga mätserier. Nedböjningen som funktion av den böjande 3 Fundera gärna på varför detta är viktigt.

6 6 LABORATION 2: Upptäck ett samband balken kraften går snabbt att göra och vi rekommenderar att du mäter med några olika vikter (behåll sedan denna viktserie under alla mätningar så slipper du väga om vikterna varje gång) då du studerar de andra måttsambanden. Tips: Om det är nödvändigt att att använda balkar med t.ex. något varierande bredd (då höjden varieras), kan de olika balkbredderna normaliseras genom att anpassa till funktionen d/b δ = f(f, L, h, E) istället (i detta fall väljer man det riktiga värdet på parametern δ). 5 Mätningar 1. Gör först en dimensionsanalys av formel (1) för nedböjningen 4. I detta speciella fall kan ingen parameter bestämmas direkt. 2. Bestämning av α. Bestäm parametern α genom att mäta nedböjningen d för 5-7 olika belastningar F (=m g) för en av järnbalkarna (gärna en balk med medelbredd och medeltjocklek). Genom dimensionsanalysen är nu även parametern ɛ bestämd. Glöm inte att för varje mätning notera värdet på alla storheter som ingår i formeln för nedböjningen. 3. Bestämning av δ. Välj tre järnbalkar med olika bredder (men med konstant höjd och avstånd mellan stödpunkterna) och bestäm parametern δ. 4. Bestämning av β. Välj en järnbalk och variera L i 5 steg mellan 0,8 och 1,2 m, välj b = 25(30) mm och h = 5(6) mm. För att öka statistiken och för att studera formelns allmängiltighet kan du med fördel göra två serier med olika värden på den tyngande massan m. 5. Bestämning av γ. Välj ett avstånd i intervallet 0, 8 m < L < 0, 9 m och välj en lämplig kraft F och bestäm nedböjningen för fyra olika höjder h för järnbalkarna med bredden 25 mm eller 30 mm. Vid behov kan du kompensera för att balkarna har olika bredd genom att dividera bort breddberoendet (se tips ovan). 6. Bestämning av E. Efter det att konstanten K har bestämts (se nedan) väljer du en balk av ett annat material (mässing, aluminium eller plast). Gör en enkel mätserie genom att belasta den valda balken med 5 olika tyngder. Beräkna materialets elasticitetsmodul med fel med hjälp av formel (1). 6 Mätvärdesbehandling Bestäm en exponent i taget med den uppsättning data där motsvarande storhet varieras. Bestäm t.ex. α genom att anpassa en rät linje till ln d som funktion av ln F : ln d = C + α ln F. 4 Ett exempel på hur man gör en dimensionsanalys finns i Appendix A.

7 LABORATION 2: Upptäck ett samband balken 7 Värdet på exponenten bör inom felgrnsen (kvalitativt uppskattad eftersom vi inte gör en formell felanalys) vara ett hel- eller halvtal. Sätt i fortsättningen exponenten till detta tal. När alla exponenter är bestämda, används alla mätdata för att bestämma konstanten K. Plotta och beräkna ett oviktat medelvärde av K. 7 Redovisning Här vill vi passa på att ge tips om vilka punkter som skall vara med i redovisningen. Du får gärna tillfoga fler vid behov. Inledning: Dimensionsanalys: Experimentbeskrivning: Mätresultat: Mätvärdesbehandling: Diskussion: Presentation av problemställning m.m. Gör en dimensionsanalys av den ansatta formeln (1) och argumentera för valda värden på parametrarna α (hur skulle du argumentera för parametern δ istället?). En beskrivning av apparatuppställningen. Snygga tabeller med alla primärvärden och i förekommande fall beräknade värden med fel. Här presenterar du dina data i diagramform, dina anpassningar med resultat, beräkningar och en resultatsammanställning. Här skall du bl.a. besvara hur väl den ansatta formeln stämmer med verkligheten. Vad finns det för felkällor? Är det någon av balkarna som avviker från formeln och vad kan detta bero på? Utrustning: Ett mätstativ för balkar. Balkar av olika material och med olika dimensioner. En mätklocka för bestämning av nedböjningen. Stativ för fastsättning av mätklockan. En krok med vågskål att hänga på balken. Våg och vikter.

8 8 LABORATION 2: Upptäck ett samband balken Appendix A

9 LABORATION 2: Upptäck ett samband balken 9 Appendix B