Experimentella metoder 2014, Räkneövning 1

Transkript

1 Experimentella metoder 04, Räkneövning Problem : Tio mätningar av en resistans gav följande resultat: Mätning no. Resistans (Ω) Mätning no Resistans (Ω) Beräkna ett uppskattat värde för resistansen, med fel, efter, 5 och 0 mätningar. Ange ocks uppskattningen fr standardavvikelsen i en enskild mtning efter, 5 resp. 0 mtningar. Problem : En grupp studenter mäter höjden av en flaggstång med hjälp av en teodolit som figuren ovan visar. Som framgår av figuren ges flaggstångens höjd av H = L tan α + h Man gör mätningarna och uppskattar fel i storheterna. Resultatet blir h = (98 ± ) cm L = (4,3 ± 0,05) m α = (5, ± 0,3) Bestäm värdet på flaggstångens höjd med fel.

2 Problem 3: Man kan fråga sig hur studenterna i problem uppskattade felen. Det är en ganska dålig teodolit och det är svårt både att läsa av ordentligt och att få horisontalplanet korrekt. En annan grupp behandlar felen på statistisk väg genom att flytta runt teodoliten lite grann och göra om mätningarna. Man får följande sammanhörande värden på α och L: L/m α/ L/m α/ 7,0 43,47 5,8 49,7 8,5 40,07 8,95 36,74,33 30,66 9,4 35,55 4,8 5,09 8,48 38,0 Teodolitens höjd uppmättes till h = (98 ± ) cm a: Bestäm ett värde på höjden för varje mätning, och uppskatta felet i en enskild H-bestämning. b: Histogrammera de åtta H-värdena. c: Bestäm ett bästa värde, med fel, på flaggstångens höjd. Problem 4: En likformig sannolikhetsfördelning ges av f(x) = b a 0 a < x < b övriga x Bestäm fördelningens standardavvikelse!

3 Problem, lösning: Vi uppskattar resistansen som medelvärdet av mätvärdena med ett fel som svarar mot medelvärdets standardavvikelse. Lägg märke till att det kan vara lämpligt att införa x = R 99 för att slippa så mycket siffror. Efter fem mätningar har vi x = Vi beräknar variansen av x som s = 4,3 +,5 +,0 + 0,95 + 0,9 5 =,3 Ω 5 (x i x) = (0, , , ,08 + 0,099) Ω 4 i= och standardavvikelsen (mätosäkerheten i en enstaka mätning) uppskattar vi som s = s = 0,5 Ω Att vi använt x istället för R spelar ingen roll för standardavvikelsen, men medelvärdet av resistansmätningarna blir R = x + 99 Ω = 00,3 Ω Medelvärdets standardavvikelse uppskattar vi som s/ N = s/ 5. Efter fem mätningar är alltså vår uppskattning av resistansen R = (00, ± 0,) Ω, och osäkerheten i en enskild mätning har vi uppskattat till σ R = 0,5 Ω. Motsvarande räkning efter två mätningar ger och efter tio mätningar får vi Problem, lösning: R = (00,6 ± 0,5)Ω σ R = 0,7 Ω, R = (00, ± 0,)Ω σ R = 0,5 Ω. Insättning i formeln H = L tan α + h ger H = 7,69 m. Vi använder sedan felfortplantningsformeln för H. Partialderivatorna blir H L = tan α H α = L cos α 3

4 och felet i H ges av H = Insättning av värden ger H h = tan α ( L) + L cos 4 α ( α) + ( h) H = 5, , = 9,4 0 m Resultatet av mätningen är alltså: H = (7,69 ± 0,09) m Problem 3, lösning: a: Vi har en statistisk spridning som beror på mätningarna av L och α. Fördelningen av L resp. α var för sig betyder inte så mycket, man har ju helt enkelt valt olika avstånd från stången för att göra sin mätning. Om vi däremot beräknar H så kommer vi att få slumpmässiga avvikelser från det sanna värdet. För att bestämma osäkerheten i en enstaka H-mätning måste vi uppskatta hur stor spridningen är. Först beräknar vi alltså H för varje punkt i (i =, 8) enligt H i = L i tan α i + h Sedan uppskattar vi standardavvikelsen (Hi H) σ H s = N Vi kan t.ex. använda omskrivningen ( s = H ( ) ) H N N Vi får följande tabell H (m) H (m ) 7,65 58,45 7,836 6,397 7,697 59,37 7,666 58,77 7,76 59,536 7,66 58,689 7,583 57,50 7,60 57,93 Summa: 6,394 47,90 (Jag har behållit massvis med siffror för mellanresultat. Eftersom fluktuationerna är små jämfört med medelvärdet gör det faktiskt skillnad.) Nu kan vi lätt beräkna H H = = 7,67m 8 4

5 och s = N ( H ( ) ) H = 7,9 cm N Men detta är inte hela osäkerheten i H. Det tillkommer också en osäkerhet på cm i teodolitens höjd h. Vi kan lägga ihop dessa båda osäkerheter kvadratiskt, och uppskattar alltså felet i en mätning av H som H = s + h = 7,9 + = 7,96 cm Lägg märke till att felet i h är en centimeter, men det påverkar bara det totala felet med 0,06 cm eftersom det är så mycket mindre än felet i H. Vi uppskattar alltså samma fel i alla H-värdena. Den första mätningen ger t.ex. H = (7,63 ± 0,08) m b: För att göra ett histogram delar vi in H-axeln i klasser, t.ex. som i tabellen nedan. Intervall (m) Antal Interval (m) Antal 7,50 7,55 0 7,70 7,75 7,55 7,60 7,75 7,80 0 7,60 7,65 7,80 7,85 7,65 7,70 3 7,85 7,90 0 Vi avsätter sedan antalet mätningar i varje klass (bin) på den vertikala axeln i ett histogram: 5

6 c: Eftersom alla våra mätningar har samma precision är det bästa värdet på H medelvärdet som vi redan beräknat till 7,67 m. Medelvärdets standardavvikelse får vi genom att dividera standardavvikelsen i en enskild mätning med N: σ H = σh 8 =,78 cm Också här måste vi inkludera osäkerheten i h, så att vår osäkerhet i H blir,78 + cm =,95 cm. Slutresultatet för H blir alltså H = (7,67 ± 0,03) m Om felet i h vore mycket större (vi kanske glömt mäta h, och är tvugna att uppskatta det ur minnet) skulle det ha en betydande inverkan på felet i H. Vi skulle ha kunnat införa storheten λ = L tan α och bestämt osäkerheten i den på statistisk väg för att sedan beräkna H = λ + h med fel. Detta är på sätt och vis enklare, men att beräkna H för fixt h och sedan variera h är en mer allmän procedur som också hade kunnat användas om de enskilda mätningarna och slutresultatet berott på h på ett mycket mer komplicerat sätt. Lägg också märke till att spridningen i H bör bero på vilket L vi väljer, så för att vår uppskattning av felet ur spridningen av H-värdena skall vara tillförlitlig bör vi välja ungefär samma L hela tiden. Problem 4, lösning: Variansen (kvadraten på standardavvikelsen) är V = E ( (x µ) ) = + (x µ) f(x) dx Av symmetriskäl är fördelningens medelvärde µ = (b + a) Eftersom f(x) = 0 utanför intervallet [a, b] får vi V = b a (x µ) f(x) dx = b a Primitiva funtionen till ( ) x b+a är 3 ( ( b b + a V = 3(b a) 3(b a) b a ( ) x b+a 3, så ) 3 ( a b + a ) ) 3 = ( (b ) 3 ( ) ) 3 a a b = ( x b + a ) dx ( 3(b a) ( ) ) 3 b a = (b a) Således är standardavvikelsen σ = b a 6