LABORATION 2 UPPTÄCK ETT SAMBAND

Transkript

1 Fysikum FK Fysikexperiment FK Exp. fysik för lärare Laborationsinstruktion (28 september 2010) LABORATION 2 UPPTÄCK ETT SAMBAND FJÄDERN Mål Idenhärlaborationenskalldubörjamedattställauppenhypotes för hur svängningsfrekvensen hos en spiralfjäder beror på olika storheter som fjädertrådens diameter, antal varv som fjädern har, spiralens medeldiameter och andra storheter. Laborationen gårut på att experimentellt pröva den uppställda hypotesen, dvs om den antagna formeln inom den experimentella noggrannheten beskriver svängningsfrekvensen hos spiralfjädrar i allmänhet. Om hypotesen ä r k o r r e k t k a n t v å a v d e f e m o b e k a n t a k o n s t a n t e r n a i f o r m e l n för frekvensen entydigt bestämmas genom dimensionsanalys. Du skall tillsammans med din medlaborant göra en skriftlig rapport samt ge en utförlig muntlig redovisning om ca 30 minuter infö r g r u p p e n och en lärare.

2 .

3 LABORATION 2: Upptäck ett samband fjädern 1 1 Inledning Varje fast kropp som utsätts för en kraft deformeras i någon mån. Om deformationen är liten, återgår kroppen till sin ursprungliga form när belastningen upphör. Vi säger att deformationen är elastisk. Ett välbekant exempel är förlängningen av en spiralfjäder då den utsätts för en dragande kraft. Förlängningen är i detta fall proportionell mot den dragande kraften och fjädern återgår till sin ursprungliga längd när kraften tas bort. Vid en noggrannare analys av fjäderns deformation inser man att fjädern deformeras genom att trådmaterialet skjuvas, imotsatstilltöjningför en tråd som belastas i sin längdriktning. Man inför en materialkonstant, den s.k. skjuvmodulen (G), som är ett mått på deformationen som funktion av den skjuvande kraften per ytenhet. Vi kan komma fram till en mer exakt definition av G genom följande resonemang. Ett material i form av ett rätblock utsätts för en tangentiell kraft som ansätts på rätblockets översida med arean A (se figuren nedan) Figur 1: Skjuvning en vinkel γ. Rätblocket defomeras i kraftens riktning genom att sidoytorna (fram och bakkant) kommer att vridas en liten vinkel γ. Hur beror vinkeldeformationen på de ingående storheterna? Ju större F per ytenhet, desto större vinkeldeformation γ, alltså γ F A Iuttrycketsaknasnågotsomtalaromhur styvt materialetär. Dennamaterialegenskap är i detta fall skjuvmodulen G (skjuv- eller torsionsmodul, eng. shear modulus ) och den är sådan, att dess värde är stort för ett styvt material, dvs för liten vridning. Vi finner alltså att skjuvmodulen G = F A Detta samband är en form av Hookes lag 1. / γ med enheten Pa = N/m 2 1 Efter Robert Hooke ( ), professor, Gresham College, London.

4 2 LABORATION 2: Upptäck ett samband fjädern 2 Hypotes Betrakta en fjäder (i denna laboration arbetar vi med fjädrar i form av helixar) som som hängs upp i en krok och belastas med en tyngd. Sträcks fjädern ut och därefter släpps kommer den att börja svänga med en viss karakteristisk frekvens f. Från mekaniken vet vi att denna frekvens bestäms av fjäderkonstanten k som i sin tur beror på fjäderns geometri och materialegenskaper. Vi är här intresserade av ett uttryck som ger sambandet mellan svängningstiden T = 1/f och de storheter som beskriver fjädern. Uttrycket skall vara generellt, dvs gälla för alla fjädrar (som är elastiska) med godtyckliga dimensioner och av olika material. Vi antar att de storheter som kan påverka svängningstiden är den svängande massan M, (funderaöverhurfjädernsegen massa kan räknas in i den svängande massan), spiralfjäderns (medel-)lindningsdiameter D och tråddiametern d. Vidare bör antalet lindningsvarv ingå (fjädern sträcks ut en sträcka som är proportionell mot antalet lindningsvarv och tyngdens rörelse blir mer dämpad ju längre fjäderns sträcks ut). Slutligen måste ingå något som beskriver materialets styvhet, dvs fjäderns elastiska egenskaper. Den fysikaliska storhet som skall in här är fjädermaterialets skjuvmodul G. Vi antar alltså att följande storheter påverkar svängningstiden: Storhet Beteckning Dimension Skjuvmodulen G Pa = N/m 2 =kg/ms 2 Massan M kg Spiralens medeldiameter D m Spiralens tråddiameter d m Antalet lindningsvarv N och vi ansätter följande samband:. T = K D α d β M γ N δ G ɛ (1) där K är en dimensionslös konstant. Exponenterna α till ɛ antas vara halv- eller heltal.

5 LABORATION 2: Upptäck ett samband fjädern 3 3 Experimentuppställning Till vårt förfogande har vi en stadigt tvärbalk med hål fö r a t t h ä n g a f j ä d r a r n a i. Balken läggs på bordet så att änden med hålet sticker ut och fixeras med hjälp av ett par kraftiga tvingar. Experimentuppställningen framgår av figuren nedan: M Figur 1. Uppställning för mätning av en spiralfjäders svängningstid. Fjädern hängs upp i ena änden av balken och belastas med en massa M. Svängningstiden T för systemet mäts med hjälp av lampa med fotocell och en elektronisk tidtagare/räknare. Gaffeln med fotocellen sätts fast i ett stativ. Idenvertikala, raka delen av fjädern finns en remsa som användas för att skugga fotocellen (se till att den sitter fast och är horisontell - saknas den så gör en ny).

6 4 LABORATION 2: Upptäck ett samband fjädern 4 Mätapparaturens funktion Sladden från givaren kopplas till startlådan. En koaxkabel går från startlådan till räknaren. Startlådans funktion: Varje gång givarens fotocell skuggas, alstras i startlådan enpulssom normalt stannar i lådan. När du trycker på startknappen, leds nästa puls (från givaren) vidare till räknaren som startas som ett stoppur. Efterföljande pulser från givaren stannar i startlådan tills antalet stämmer med det förvalda antalet perioder. Stämmer antalet går nästa puls till räknaren och tidmätningen avslutas. För denna laboration välj inställningen för 5 pulser. Upprepa tidmätningen fem gånger för varje uppsättning så att du kan uppskatta ett fel i tidmätningen. Frekvens/periodräknaren: Se till att grundinställningen för räknaren är: POWER ON, PER, 100 KHZ, TRIGG LEVEL i mellanläge, och ATT X20. Vid datatagning, sätt fjädern i svängning och se till att en flagga på fjädern omväxlande skymmer fotocellen - men inte passerar fotocellen (i vilket falla räknaren registrerar två pulser). Tryck på RESET (det kan ibland behövas flera tryckningar, eventuellt måste TRIGG LEVEL justeras), och sedan på startlådans START-knapp. Efter 5 hela svängningar anges totaltiden (i ms) på räknarens display. 5 Förslag på mätserier Tyvärr är antalet fjädrar begränsat (se tabell omstående sida) och det kan vara svårt att hitta lämpliga mätserier. Ett litet trick kan dock användas här. Så fort en exponent har bestämts, t.ex. α i D α,kanfjädrarmednågotavvikandediametrar D normaliseras genom att studera funktionen T/D α = f(d, M, N, G) istället. På samma sätt, om exponenten δ i N δ bestämts, görs övriga mätdata oberoende av N- beroendet genom att studera funktionen T/N δ = f(d, d, M, G) ellert/d α /N δ = f(d, M, G), etc. 2 Detta trick utökar totala antalet möjliga mätkombinationer (det ä r p r e c i s d e n m e t o d d u a n v ä n d e r s e n a r e f ö r a t t b e s t ä m m a d en återstående, okända konstanten K). 2 Observera att halv- eller heltalsvärden på exponenterna skall användas här.

7 LABORATION 2: Upptäck ett samband fjädern 5 6 Fjädermaterial Alla fjädrar är av samma material (fjäderstål med skjuvmodulen G =(6, 7 ± 0, 1) N/m 2 ). De fjädrar som finns att tillgå är listade i nedanstående tabell (tabellen har kompletterats med fjädrar lånade från KTH). d =tråddiameter,n =antalspiralvarv,d ytter =spiralensytterdiameter(återfinns på märkningen av fjädern), samt medeldiameter D medel = D ytter d. Tabellen nedan visar de fjädrar som är tillgängliga. Med hjälp av denna kan du iförvägförsökaläggauppenstrategifördinamätningar. Fjäder d N D ytter D medel # mm varv mm mm F1a-b F , F2a-b F3a-c 4 9, F4a-b 4 14, F F6a-b 3 6, F7 3 6, F8a-d F9a-b 4 11, F F F ,5 67,5 62,5 F13a-c F14a-c 6 15, KTH KTH 2a-b KTH ,5 61,5 KTH 4a-b 5 8, Angivna mått är ungefärliga! Du måste därför noga mäta upp alla dimensioner och uppskatta mätfelen. Glöm inte att väga fjädrarna, deras massa används för att korrigera den svängande massan. Behandla fjädrarna varsamt! Fjädrarna får inte belastas så att de i viloläge har mer än dubbla sin ursprungliga form. Sträcks fjädrarna mer deformeras dom.

8 6 LABORATION 2: Upptäck ett samband fjädern 7 Mätningar 1. Gör först en dimensionsanalys av formel (1) för svängningstiden och bestäm parametrarna γ och ɛ. 3 Det återstår nu att bestämma de tre andra parametrarna. Börja med δ. Glöm inte att för varje mätning notera värdet på alla storheter som ingår i formeln för svängningstiden. 2. Bestämning av δ. Välj ut några lämpliga fjädrar (med samma diametrar D och d) menmedolikavarvtaln. Bestäm svängningstiden för varje N. Du kan sedan välja att bestämma parametern α eller parametern β enligt punkt 3 nedan. Välj sedan endera av nedanstående alternativ: 3a. Bestämning av α. Välj en lämplig kombination av fjädrarna och bestäm svängningstiden för varje diameter D. Beräknaβ genom dimensionsanalys. 3b. Bestämning av β. Välj en lämplig kombination av fjädrarna och bestäm svängningstiden för varje diameter d. Beräknaα genom dimensionsanalys. 4. Verifiera beroendet av γ. Kontrolleravärdetpåparameternγ som erhölls vid dimensionsanalysen genom att välja en fjäder och bestäm svängningstiden T för 5 olika massor M. Kompenseraförfjädernsegenmassa. 5. Beräkning av en okänd fjäders svängningstid. Mät svängningstiden för en helt annan, klenare typ av fjäder. Du får antaga att samma värdepåskjuvmodulen G kan användas. Beräkna svängningstiden med hjälp av formel 1 och dina experimentella värden på alla parametrar och jämför med det uppmätta värdet blir du imponerad? 8 Mätvärdesbehandling Bestäm en exponent i taget med den uppsättning data där motsvarande storhet varieras. Bestäm t.ex. γ genom att anpassa en rät linje till lnt som funktion av ln M: ln T = C + γ ln M. Använd den viktade minsta kvadratmetoden. Beräkna ett preliminärt värde på γ genom att bara ta hänsyn till felet i ln T. Gör sedan om anpassningen med ett ekvivalent fel (se appendix B) i ln T som ä v e n t a r h ä n s y n t i l l f e l e t i l n M. Värdet på exponenten bör inom felgränsen vara ett hel- eller halvtal. Sätt i fortsättningen exponenten till detta tal. När alla exponenter är bestämda, används alla mätdata för att bestämma konstanten K. PlottaK-värdena och beräkna ett oviktat medelvärde av K och bestäm felet ur spridningen. 3 Ett exempel på hur man gör en dimensionsanalys finns i Appendix A.

9 LABORATION 2: Upptäck ett samband fjädern 7 9 Redovisning Här vill vi passa på att ge tips om vilka punkter som skall vara mediredovisningen. Du får gärna tillfoga fler vid behov. Inledning: Presentation av problemställning m.m. Dimensionsanalys: Gör en dimensionsanalys av den ansatta formeln (1) och bestäm parametrarna γ och ɛ. Experimentbeskrivning: En beskrivning av apparatuppställningen. Mätresultat: Snygga tabeller med alla primärvärden och i förekommande fall beräknade storheter med fel. Mätvärdesbehandling: Här presenterar du dina data i diagramform, dina anpassningar med resultat, beräkningar och en resultatsammanställning. Gör två grafer för varje anpassning (sida vid sida för att spara papper): en graf där den aktuella storheten på y-axeln med fel (det ekvivalenta felet) plottas som funktion av den oberoende variabeln tillsammans med den anpassade räta linjen och en graf där differensen mellan mätvärdena och den räta linjen plottas. 4 Diskussion: Här skall du bl.a. besvara hur väl den ansatta formeln, hypotesen stämmer med verkligheten. Vad finns det för felkällor? Är det någon av fjädrarna som avviker från formeln och vad kan detta bero på? Inlämning: Utrustning: De skriftliga rapporterna mejlas i PDF/ODT-format till bsel. Tvärbalk för upphängning av fjädrarna. Stadiga tvingar för fasthållning av tvärbalk. Fjädrar av olika dimensioner. Mätgaffel med fotocell och elektronikbox. Frekvens/periodtidmätare. Våg och vikter. Skjutmått. 4 Härigenom ser man tydligare små avvikelser (residualen) mellan den mätta storheten med sitt fel och den anpassade funktionen. Grafen kallas residualplott. Notera att den ursprungliga grafen och residualplotten skall ha samma skala på x-axeln.

10 8 LABORATION 2: Upptäck ett samband fjädern Appendix A Dimensionsanalys Vi skall här ge ett enkelt exempel på hur man kan göra en dimensionsanalys. Antag att vi har en massa (m [kg]) som hänger vertikalt i en spiralfjäder med fjäderkonstanten k [N/m]. Massan sättes i svängning och vi ansätter följande hypotes om svängningstiden (T [s]) (perioden): T = A k a m b där A är en dimensionslös konstant. Exponenterna a och b skall bestämmas. Vi sätter upp följande samband mellan enheterna (1 N/m = 1 kgm/s 2 /m = 1 kg/s 2 ): (s) 1 =( kg s 2 )a (kg) b = { (s) 1 =( 1 s 2 ) a (kg) 0 =(kg) a (kg) b = { 1= 2a 0=a + b = { a = 1/2 b =1/2 Perioden kan alltså skrivas: T = A m/k

11 LABORATION 2: Upptäck ett samband fjädern 9 Appendix B Ekvivalenta fel Antag att vi har en funktion y = f(x) somskallanpassastillettantalmätpunkter (x i,y i ), där vi har mätfel x i och y i både i den oberoende variabeln x och i den beroende variabeln y (se figuren nedan). Det är inte ovanligt att (den relativa) osäkerheten i x många gånger kan vara större än (den relativa) osäkerheten i y. Med minsta kvadratmetoden tar vi normalt bara hänsyn till osäkerheten i y men i detta fall vill vi även inkludera osäkerheten i x. Detta kan enkelt göras genom att se på hur mycket värdet y i ä n d r a s n ä r v ä r d e t x i ä n d r a s. E n e n k e l m e t o d ä r a t t s t u d e r a funktionens derivata (dvs funktionens lutning) i punkten (x i,y i ). Om lutningen i punkten är k i,kommervärdetpåfunktionenf(x) inärhetenav punkten att approximativt variera som f(x) =f(x i )+k i x. Metodenärgenerell och gäller även för icke-linjära funktioner. I denna övning är dock vår anpassade funktion linjär och derivatan har då samma värde (k) i alla punkter. För att bestämma lutningen, dvs värdet på k, görviförstenpreliminäranpassning med de givna felen i variabeln y. Deekvivalentafelenipunkternay i som härrör från felen i x i kan sedan beräknas som k x i. y f(x) k x i x i x Om vi dessutom har mätta (eller uppskattade) fel y i imätvärdenay i adderar vi dessa kvadratiskt till de ekvivalenta felen, dvs y tot,i = ( y i ) 2 +(k x i ) 2 De på detta sätt beräknade felen i variabeln y kan sedan används för att göra en ny (viktad) anpassning av data till funktionen y = f(x).