LABORATION 2 TERMODYNAMIK BESTÄMNING AV C p /C v

Transkript

1 Fysikum FK Fristående kursprogram Laborationsinstruktion (1 april 2008) LABORATION 2 TERMODYNAMIK BESTÄMNING AV C p /C v Mål Denna laboration är uppdelad i två delar. I den första bestäms C p /C v vid rumstemperatur för de tre gaserna argon, kväve och koldioxid genom att studera en svängningsrörelse orsakad av adiabatiska expansioner och kompressioner av respektive gas. I den andra delen bestäms ångbildningsvärmet för kväve. Du skall ställa samman dina observationer i en individuellt skriven, kortfattad rapport. Presentation av data och databehandlingen skall, så långt som möjligt, ske med hjälp av de metoder som du har fått lära dig i årskurs 1.

2 . 2

3 LABORATION 2: Bestämning av C p /C v 1 1 Allmän teori Värmekapaciteten per mol vid konstant volym, C v, definierar vi som den värmemängd som åtgår per mol för att höja temperaturen 1 K när volymen hålls konstant, dvs C v = 1 N ( Q ) = 1 T v N ( U ) T v (1.1) där N är substansmängden och U inre energin. Värmekapaciteten per mol vid konstant tryck C p definieras på motsvarande sätt C p = 1 N ( Q ) = 1 T p N ( H ) T p (1.2) där H = U + pv är entalpin. C p och C v är temperaturberoende och olika för olika ämnen. Den inre energin växer med temperaturen enligt en formel som kan motiveras med principen om likafördelning av energin mellan olika frihetsgrader U = 1 mnrt + konstant (1.3) 2 där m är antalet frihetsgrader, R den allmänna gaskonstanten 1 och där den konstanta termen beror på temperaturområdet. Härav följer att För en ideal gas är C v = 1 N ( U ) = 1 mr (1.4) T v 2 C p = R + C v = 1 (m + 2)R 2 (1.5) γ = C p /C v = m + 2 m (1.6) Detta kan antas gälla för naturliga gaser när deras tillståndsekvation kan approximeras med ekvationen för en ideal gas: pv = NRT. Inre energin kan delas upp i translations-, rotations- och vibrationsenergi. Med translationsenergin är tre frihetsgrader associerade. Antalet rotationsfrihetsgrader beror på molekylens geometri. För linjära molekyler, dit de tvåatomiga hör, är antalet två, för de övriga molekylerna tre. Antalet vibrationsfrihetsgrader är 2x (x är antalet sätt varmed molekylen kan vibrera). Faktorn 2 beror på att vibrationsenergin kan uppdelas i kinetisk och potentiell energi. Alla molekyler i en gas har translationsenergi. För att det stora flertalet atomer skall rotera krävs att absoluta temperaturen T är mycket större än den karakteristiska rotationstemperaturen θ r = h 2 (I är molekylens tröghetsmoment, k är Boltzmanns konstant och 2Ik h Plancks konstant dividerad med 2π). På samma sätt måste T vara mycket större än den 1 R har värdet 8,314 J/mol K.

4 2 LABORATION 2: Bestämning av C p /C v karakteristiska vibrationstemperaturen θ v = h ω k vibrationsfrihetsgraderna skall bidraga till C v. ( ω 2π är vibrationsfrekvensen) för att För tvåatomiga molekyler erhålls en variation av C v och γ med temperaturen enligt nedanstående schematiska figur (se även diagram 1 (figur 4) på sidan 6 för väte och kväve). C V γ 7 R 2 5 R 2 3 R 2 R R 1, 67R 1, 40R 1, 29R T Figur 1: C v och γ som funktion av absoluta temperaturen T. T Adiabatiska processer i en ideal gas ger möjlighet att bestämma γ. Här gäller p V γ = konstant (1.7) En adiabatisk process är en process utan värmeutbyte med omgivningen. Detta kan i praktiken realiseras med en mycket god värmeisolering eller genom så snabba processer att inget värmeutbyte hinner ske.

5 LABORATION 2: Bestämning av C p /C v 3 2 Bestämning av C p /C v för argon, kväve och koldioxid γ bestäms genom att studera den odämpade svängningen hos en liten PVC-plastcylinder. Cylindern svänger odämpat kring ett jämviktsläge i ett vertikalt precisionsglasrör (1) (se figur 2) med inre diametern 15,95 mm, som med en gummislang (3) sitter fäst på en kolv med ungefär 2 liters volym (4). Mitt på det vertikala glasröret har borrats ett litet hål (2). Genom ständig tillförsel av gas (5) hålls gasen i kolven vid ett litet övertryck. Plastcylindern bringas att svänga kring ett jämviktsläge som sammanfaller med hålet i glasröret. Gasvolymen i kolven och därmed trycket varierar med cylinderns läge i glasröret. På grund av den ständiga svaga tillförseln av gas finns en svag tryckkomponent som överlagras de periodiska tryckvariationerna på grund av cylinderns svängning. När cylindern befinner sig under hålet stiger gastrycket sakta med tiden och när cylindern är ovanför hålet sjunker trycket med tiden på grund av läckning genom hålet. Det är dessa svaga överlagrade tryckvariationer som kompenserar friktionskrafterna och får cylindern att svänga odämpat. De periodiska tryck- och volymvariationerna antas ske adiabatiskt. Figur 2: Försöksanordning för bestämning av γ. Ur en analys av svängningsrörelsen kan ett uttryck för γ härledas. Vi inför följande beteckningar (se figur 3): m = cylinderns massa D = cylinderns diameter p 0 = jämviktstrycket i kolven V 0 = gasvolymen under hålet p = periodiskt övertryck V = periodisk volymändring x = cylinderns utslag från jämviktsläget b = barometerståndet T = svängningstiden Figur 3: Analys av det fysikaliska förloppet.

6 4 LABORATION 2: Bestämning av C p /C v Vid jämvikt gäller mg + πd2 4 b = πd2 4 p 0 Cylinderns rörelse ges av (x räknas positiv nedåt): m d2 x πd2 = mg dt2 4 (p 0 + p) + πd2 4 b = πd2 p (2.8) 4 Ur Poissons ekvation för en adiabat, p V γ = konstant fås med logaritmisk differentiering: Detta ger: p p + γ V V = 0 V ges av (se figur 3): p = γ V p V γ V p 0 V 0 (2.9) Ur (2.8), (2.9) och (2.10) fås nu V = πd2 4 x (2.10) d 2 x dt + 2 ω2 x = 0 med ω 2 = γp 0π 2 D 4 16V 0 m Detta är en harmonisk svängningsrörelse med periodtiden T = 2π/ω. Vi bryter ut γ och erhåller slutligen: där p 0 = b + 4mg/(πD 2 ). 2.1 Förberedande uppgifter γ = 64mV 0 /(p 0 T 2 D 4 ) (2.11) Det är till hjälp att före laborationen ha besvarat dessa frågor. 1. I formel (2.11) är trycket p 0 uttryckt i N/m 2. Under laborationen avläses trycket på en kvicksilverbarometer och således i mm Hg. Vilket samband finns mellan mm Hg och N/m 2? 2. Bestäm relativa felet ( γ/γ) i γ. Varifrån kommer det största bidraget till felet? Är detta bidrag eventuellt dominerande? Gör en uppskattning med hjälp av följande värden från ett experiment med syrgas. m = (1, 130 ± 0, 001) 10 2 kg V 0 = (2, 270 ± 0, 005) 10 3 m 2 D = (1, 595 ± 0, 003) 10 2 m p 0 = (1, 036 ± 0, 001) 10 5 Pa T = (0, 4192 ± 0, 0003) s

7 LABORATION 2: Bestämning av C p /C v 5 3. Vid härledningen av formel (2.11) antogs att processen var adiabatisk, dvs att inget värmeutbyte hinner ske med omgivningen. Däremot ändras gasens temperatur. a) Vilket samband finns mellan volym och temperatur vid en sådan process? b) Hur stor blir temperaturändringen i gasen om kolvens förflyttning orsakar en volymändring på 1% och om gasen är kvävgas vid rumstemperqatur? c) Med vilken gas (Ar, N 2 eller CO 2 ) erhålles den största temperaturändringen? 2.2 Utförande Svängningstiden bestäms för argon, kväve och koldioxid med tre olika massor för varje gas. Massan hos plastcylindern kan varieras genom att olika tunga skruvar skruvas i den. För varje sådan kombination bestäms periodtiden ett tiotal gånger. Lämpligen betäms varje gång tiden för flera svängningar för att minska effekten av tillfälliga störningar. Periodtiden för svängningarna bestäms, med hjälp av en elektronisk tidmätare kopplad till en fotocell som registrerar svängningarna. Cylindern vägs på en elektronisk våg. Lufttrycket mäts med en kvicksilverbarometer. Volymen finns angiven på glaskolven och diametern hos glasröret är D = 1, 595 ± 0, 003 cm. VARNING VAR FÖRSIKTIG MED GASTUBERNA RÖR DEM INTE FÖRÄN DU FÅTT INFORMATION PÅ PLATSEN 2.3 Redogörelsen Redogörelsen skall innehålla mätdata och resultat. Felkalkyl skall göras. Diskutera resultatens överensstämmelse med teorin på sid. 1 2 och eventuella avvikelser.

8 6 LABORATION 2: Bestämning av C p /C v γ = C p /C v * vätgas o kvävgas Temperatur T (K). Figur 4: C p /C v som funktion av temperaturen. Data ur Amer. J. Phys., 32, 700(64).

9 LABORATION 2: Bestämning av C p /C v 7 3 Bestämning av ångbildningsvärmet för kväve 3.1 Mål Experimentet har som mål att ge en ökad förståelse av begreppet latent värme vid fasövergång samt beräkna detta för en viss övergång. Vid gränsen mellan två faser, t.ex. mellan vätska och gas, behöver man tillföra värme för att gå från en fas (här vätska) till en annan (här gas), även om temperaturen hålls konstant. Energin som krävs för att få till stånd fasomvandlingen brukar kallas latent värme (latent heat) och i fallet vätska till ånga, ångbildningsvärme. Ångbildningsvärmet för kväve bestäms genom att tillföra en bestämd energi. Den värmemängd som krävs kommer i det aktuella fallet att tas från en metallbit, varvid denna kyls ned till kvävetemperaturen. Man får då tillfälle att också bekanta sig med begreppet värmekapacitet i en direkt experimentell tillämpning. Som vid alla laborativa inslag gäller förstås även här att tillfälle ges att öva handhavande av experimentell utrustning samt bedömning av den experimentella osäkerheten, dvs felbehandling. 3.2 Teori Vid en första ordningens fasövergång kommer substansens specifika volym att förändras. För att genomföra en sådan fasövergång krävs dessutom tillförsel av en viss energimängd (per massenhet), generellt benämnd latent värme. Just för övergången från vätska till gas (ånga) benämns denna ångbildningsvärmet. Det gäller alltså att på något sätt tillföra värme. I vårt experiment kommer värme att tillföras det flytande kvävet genom att en bit aluminium läggs ner i en behållare som innehåller kvävet. Värmekapacitet c p (J/gram/K) för Aluminium Temperatur T (K) Figur 5: Värmekapacitet för aluminium. Data ur Handbook of Chemistry and Physics 44th Edition. Kurvan anges av funktionen (3.12) i texten. Värme från aluminiumbiten kommer då att genom temperaturskillnaden ledas över till kvävet som befinner sig vid kokpunkten för kväve vid det aktuella lufttrycket. Den överförda värmemängden kommer härvid att förånga en viss kvantitet kväve, som alltså kokar bort. Detta fortgår sedan till dess hela aluminiumbiten antagit samma temperatur som kvävet, dvs då jämvikt råder mellan resterande kväve och aluminiumbiten. Om man nu kan beräkna den energi som aluminiumbiten avgivit och dessutom känner det bortkokade kvävets massa, kan ångbildningsvärmet för kväve beräknas. Vi behöver således mäta det bortkokade kvävets massa samt begyn-

10 8 LABORATION 2: Bestämning av C p /C v nelsetemperatur (=rumstemperaturen) och sluttemperatur (=kokpunkten för flytande kväve vid det aktuella trycket, dvs lufttrycket i rummet) för aluminiumbiten. Vi har fått lära oss att värmekapaciteten för en gas är konstant, oberoende av temperaturen, vid såväl konstant tryck som konstant volym. Hur är det nu med ett fast ämne som vår aluminiumbit? Vid tillräckligt hög temperatur och inom ett begränsat temperaturintervall kan detta se ut att gälla här också, men tyvärr inte över större områden eller vid lägre temperaturer. Vi måste skaffa oss en modell för hur C p beror av T. Experiment har visat att värmekapacitetens (C p ) temperaturberoende följer C p (T) = a + (b 10 3 )T + (c 10 6 )T 2 + d 103 T 2 (3.12) där a, b, c och d är experimentellt bestämda konstanter. Detta samband syns i figur 5. För aluminium har konstanterna bestämts till: a = 0, 303 ± 0, 027 J/g b = 3, 2 ± 0, 2 J/(g K) c = 4, 0 ± 0, 4 J/(g K 2 ) d = 1, 09 ± 0, 09 J/(g K 2 ) Värmeinnehållet eller entalpin (H) är bestämt från värmekapaciteten genom en enkel integration över temperaturområdet där (3.12) gäller. Om rumstemperaturen (t.ex. 298 K) tas som referenstemperatur gäller H T H 298 = T 298 C p dt Entalpin som skall bestämmas i laborationen bestäms enklast genom numerisk integration av funktionen ovan. 3.3 Mätningar En frigolitbägare fylls till hälften med flytande kväve och placeras på en våg som skall ha en känslighet på minst 0,1 g. För att bestämma hur fort kvävet kokar bort i rumstemperatur mäts massan som funktion av tiden i ett antal punkter. Sedan läggs en bit aluminium ner i kvävet och massan hos bägaren med det flytande kvävet och aluminiumbiten mäts som funktion av tiden medan aluminiumbiten kyls ner. Sedan aluminiumbiten antagit flytande kvävets temperatur mäts ytterligare ett antal punkter. Även detta för att bestämma bortkokningshastigheten hos kväve i rumstemperatur. Hela detta förlopp mäts med flygande avläsning av vågens mätvärde och ett tidtagarur som kan stoppas och återstartas utan att tidmätningen avbryts 2. Ur dessa mätningar kan massan av kvävet som kokat bort pga aluminiumbiten beräknas. Mätningarna görs på minst fem aluminiumbitar med olika vikt för att ge statistik till analysen. 2 Vågens utslag ändras långsammare än klockan och klockan kan lämpligen stoppas då vågens display just har slagit om till ett nytt värde. Vikt och tid noteras och klockan kan därefter startas igen.

11 LABORATION 2: Bestämning av C p /C v Tips för analysen Tänk på att bortkokningshastigheten för kvävet i rummet, även utan inverkan av aluminiumbiten, inte är helt konstant utan beroende av arean på bortkokningsytan. Därför kommer hastigheten att variera om kvävets nivå ändras, hur påverkar detta mätningarna? Inom vilket område kan hastigheten anses konstant? Hur beräknas felet på det bortkokade kvävets massa? 3.5 Redovisning Mätvärden med mätfel. Diagram över minst en mätserie med beskrivning av hur det bortkokade kvävets massa bestäms. Jämförelse med litteraturvärdet. Diskussion om felkällor, mätningens utförande och resultaten. Samt som vanligt en kort beskrivning av försöket och av den använda teorin.